1、章末复习学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆 双曲线 抛物线定义平面内与两个定点F1，F 2 的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内到两个定点F1，F 2 的距离之差的绝对值等于定值 2a(大于 0 且小于|F 1F2|)的点的轨迹平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹标准方程 1 或 x2a2 y
2、2b2 y2a21(a b0)x2b2 1 或x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2y22px 或 y2 2px 或x22py 或 x2 2py(p0)关系式 a2b 2c 2 a2b 2c 2图形 封闭图形无限延展，但有渐近线y x 或 y xba ab 无限延展，没有渐近线变量范围|x|a，|y|b 或|y|a，|x|b|x|a 或| y|a x0 或 x0 或 y0 或 y0对称中心为原点 无对称中心对称性两条对称轴 一条对称轴顶点 四个 两个 一个离心率 e ，且 01cae1决定形状的因素e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小2椭圆的焦点三角形设 P
3、为椭圆 1(ab0)上任意一点(不在 x 轴上)，F 1，F 2 为焦点且F 1PF2，则x2a2 y2b2PF1F2 为焦点三角形 (如图)(1)焦点三角形的面积 Sb 2tan .2(2)焦点三角形的周长 L2a 2c.3双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线 1(a0 ，b0)的渐近线方程为x2a2 y2b2 0(a0，b0)，即 y x；双曲线 1( a0，b0)的渐近线方程为x2a2 y2b2 ba y2a2 x2b2 0(a0，b0)，y2a2 x2b2即 y x.ab(2)
4、如果双曲线的渐近线方程为 0，它的双曲线方程可设为 (0)xayb x2a2 y2b24求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2ny 21(m0，n0 且 mn)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小5直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴
5、平行(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等.类型一 圆锥曲线的定义及应用例 1 已知椭圆 y 21(m1) 和双曲线 y 21(n0)有相同的焦点 F1，F 2，P 是它们的一x2m x2n个交点，则F 1PF2 的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 m，n 变化而变化考点 椭圆与双曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用答案 B解析 设 P 为双曲线右支上的一点对于椭圆
6、y 21(m1)，c 2m1，x2m|PF1|PF 2|2 ，m对于双曲线 y 21，c 2n 1，x2n|PF1|PF 2|2 ，n|PF 1| ，|PF 2| ，m n m n|F1F2|2 (2c)2 2(mn)，而|PF 1|2| PF2|22( mn)(2c) 2|F 1F2|2，F 1PF2 是直角三角形，故选 B.反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决跟踪训练 1 抛物线 y22px(p0)上有 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF|， |BF|， |CF|成等差数列
7、，则( )Ax 1，x 2，x 3 成等差数列By 1， y2，y 3 成等差数列Cx 1， x3，x 2 成等差数列Dy 1，y 3，y 2 成等差数列考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的其他应用答案 A解析 如图，过 A，B，C 分别作准线的垂线，垂足分别为 A，B，C，由抛物线定义可知|AF| AA| ， |BF|BB|， |CF|CC|.2| BF| AF| |CF|，2| BB| AA| |CC |.又|AA|x 1 ，|BB|x 2 ，| CC|x 3 ，p2 p2 p22 x 1 x 3 ，得 2x2x 1x 3，(x2 p2) p2 p2故选 A.类型二 圆锥曲线的方程及几何性
8、质命题角度 1 求圆锥曲线的方程例 2 已知双曲线 1(a0 ，b0)的两条渐近线与抛物线 y22px( p0)的准线分别交于x2a2 y2b2A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为 ，则 p 等于( )3A1 B. C2 D332考点 求圆锥曲线的方程题点 求圆锥曲线的方程答案 C解析 双曲线 1 的渐近线方程为 y x，y 22px 的准线方程为 x .x2a2 y2b2 ba p2双曲线的离心率为 2，e 2，1 (ba)2即 ，渐近线方程为 y x，ba 3 3由Error!得 y p，|AB| p，32 3SOAB p ，解得 p2.12 p2 3 3反
9、思与感悟 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2ny 21(m0，n0 且 mn)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系跟踪训练 2 设抛物线 C：y 22px( p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，| MF|5，若以 MF 为直径的圆过点 A(0,2)，则 C 的方程为( )Ay 24x 或 y28x By 22x 或 y28xCy 2 4x 或 y216x Dy 22x 或 y2
10、16x考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 C解析 由抛物线 C 的方程为 y22px( p0)，知焦点 F .(p2，0)设 M(x，y)，由抛物线性质 |MF|x 5，p2可得 x5 .p2因为圆心是 MF 的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为 .5 p2 p22 52由已知，得圆半径也为 ，据此可知该圆与 y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为 2，则 M 点52纵坐标为 4，则 M ，代入抛物线方程得 p210p160，(5 p2，4)所以 p2 或 p8.所以抛物线 C 的方程为 y24x 或 y216x.命题角度 2 求圆锥曲线的离心率例 3 如图，F 1，F
11、2 是椭圆 C1： y 21 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C 2 在x24第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是_考点 圆锥曲线的综合应用题点 求圆锥曲线的离心率答案 62解析 由椭圆可知|AF 1| AF2|4，|F 1F2|2 .3因为四边形 AF1BF2 为矩形，所以|AF 1|2| AF2|2|F 1F2|2 12，所以 2|AF1|AF2|(|AF 1|AF 2|)2(|AF 1|2|AF 2|2)16124，所以(| AF2|AF 1|)2| AF1|2|AF 2|22|AF 1|AF2|124 8，所以|AF 2| AF1|
12、2 ，2因此对于双曲线有 a ，c ，2 3所以 C2 的离心率 e .ca 62反思与感悟 求圆锥曲线离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线) 的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上都有关系式 a2b 2c 2(a2b 2c 2)以及 e ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参ca数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆( 双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之
13、间的关系，使问题更形象、直观跟踪训练 3 已知抛物线 y24x 的准线与双曲线 y 2 1 交于 A，B 两点，点 F 为抛物线x2a2的焦点，若FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是_考点 圆锥曲线的综合应用题点 求圆锥曲线的离心率答案 6解析 抛物线 y24x 的准线方程为 x1，又FAB 为直角三角形，则只有AFB90，如图，则 A(1,2) 应在双曲线上，代入双曲线方程可得 a2 ，15于是 c .a2 165故 e .ca 6类型三 直线与圆锥曲线的位置关系例 4 已知椭圆 1(ab0)上的点 P 到左、右两焦点 F1，F 2 的距离之和为 2 ，离心x2a2 y2b2 2率为
14、.22(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若 y 轴上一点 M 满足| MA|MB|，求直(0，37)线 l 的斜率 k 的值考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆位置关系的综合应用解 (1)由题意知，| PF1|PF 2|2a2 ，2所以 a .2又因为 e ，ca 22所以 c 1，22 2所以 b2a 2c 2211，所以椭圆的标准方程为 y 21.x22(2)已知 F2(1,0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为 yk (x1)，A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，联立直线与椭圆的方程得Error!化简得(12k 2)x24k 2
15、x2k 220，16k 44(12k 2)(2k22) 0，所以 x1x 2 ，4k21 2k2y1y 2k(x 1x 2)2k . 2k1 2k2所以 AB 的中点坐标为 .(2k21 2k2， k1 2k2)当 k0 时，AB 的中垂线方程为 y k1 2k2 ，1k(x 2k21 2k2)因为|MA| |MB|，所以点 M 在 AB 的中垂线上，将点 M 的坐标代入直线方程得， ，37 k1 2k2 2k1 2k2即 2 k27k 0，3 3解得 k 或 k ；336当 k0 时，AB 的中垂线方程为 x0，满足题意所以斜率 k 的取值为 0， 或 .336反思与感悟 解决圆锥曲线中的参
16、数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围跟踪训练 4 如图，焦距为 2 的椭圆 E 的两个顶点分别为 A，B，且 与 n( ，1)共AB 2线(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若直线 ykxm 与椭圆 E 有两个不同的交点 P 和 Q，且原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的内部，求实数 m 的取值范围考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆位置关系的综合应用解 (1)因为 2c2，所以 c1.又 (a，b)，且 n ，AB AB 所以 ba，所
17、以 2b2b 21，2所以 b21，a 22.所以椭圆 E 的标准方程为 y 21.x22(2)设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，把直线方程 ykxm 代入椭圆方程 y 21，x22消去 y，得(2 k21)x 24kmx 2m220，所以 x1x 2 ，x 1x2 .4km2k2 1 2m2 22k2 116k 28m 280，即 m20，n0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同，离心率为 ，则此x2m2 y2n2 12椭圆的方程为( )A. 1 B. 1x212 y216 x216 y212C. 1 D. 1x248 y264 x264 y248考点 圆锥曲线的综合应用题点
18、 椭圆与抛物线的综合应用答案 B解析 y 28x 的焦点为(2,0)， 1 的右焦点为(2,0)，mn 且 c2.x2m2 y2n2又 e ，m4.12 2mc 2m 2n 24，n 212.椭圆方程为 1.x216 y2124有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A2 p B4 p3 3C6 p D8 p3 3考点 抛物线的几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 B解析 设 A，B 在 y22px 上，另一个顶点为 O，则 A，B 关于 x 轴对称，则AOx30，则 OA 方程为 y x.33由Error!得 y2 p.3AOB 的
19、边长为 4 p.35过抛物线 y24x 的焦点，作倾斜角为 的直线交抛物线于 P，Q 两点，O 为坐标原点，34则POQ 的面积为 _考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线位置关系的综合应用答案 2 2解析 设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，F 为抛物线的焦点由Error!消去 x，得 y24y 4 0，|y1 y2| 4 .42 42 2SPOQ |OF|y1y 2|2 .12 2在解决圆锥曲线问题时，待定系数法， “设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的烦琐问题一、选择题1方程 1
20、 所表示的曲线是( )x2sin 1 y22sin 3A焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在 y 轴上的椭圆C焦点在 x 轴上的双曲线D焦点在 y 轴上的双曲线考点 双曲线的标准方程题点 已知方程判断曲线类型答案 D解析 sin 10，方程表示焦点在 y 轴上的双曲线2.如图所示，共顶点的椭圆，与双曲线，的离心率分别为 e1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )Ae 1b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，上顶点为 B.若|BF 2| F1F2|2，x2a2 y2b2则该椭圆的方程为( )A. 1 B. y 21x24 y23 x23C. y 21 D. y 21x22 x24考点 椭圆的标
21、准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 A解析 |BF 2| F1F2|2，a2c2，a2，c1，b ， 椭圆的方程为 1.3x24 y234已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，以|F 1F2|为直径的圆与双x2a2 y2b2曲线渐近线的一个交点为 P(3,4)，则此双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x216 y29 x23 y24C. 1 D. 1x29 y216 x24 y23考点 双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线方程答案 C解析 由已知条件，得 2r|F 1F2|2c，即 rc ，而 r|OP|5.渐近线方程为 y x，ba点 P(3,4)在直线
22、 y x 上，ba所以Error!解得Error!所以双曲线方程为 1.x29 y2165已知曲线 1 和直线 axby10(a，b 为非零实数)在同一坐标系中，它们的图x2a y2b象可能为( )考点 圆锥曲线的综合应用题点 由曲线类型判断图象答案 C解析 直线 axby 10，与 x 轴的交点为 ，与 y 轴的交点为 ，在图 A，B( 1a，0) (0， 1b)中，曲线表示椭圆，则 ab0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合在图 C，D 中，a0，b0)的焦点 F，且与 y 轴相交于点 A，若OAF(O 为坐标原点 )的面积为 4，则抛物线的方程为_考点 抛物线的焦点弦问题题点 已知三角形
23、面积求方程答案 y 28x解析 依题意得|OF| ，a4又直线 l 的斜率为 2，可知|AO |2|OF| ，a2AOF 的面积等于 |AO|OF| 4，12 a216则 a264.又 a0，所以 a8，所以抛物线的方程是 y28x .9.如图所示，已知抛物线 y22px(p0)的焦点恰好是椭圆 1 的右焦点 F，且两条曲x2a2 y2b2线的交点连线也过焦点 F，则该椭圆的离心率为_考点 圆锥曲线的综合应用题点 椭圆与抛物线的综合应用答案 12解析 设椭圆的左焦点为 F，抛物线与椭圆在第一象限的交点为 A，连接 AF，F ，F ，(p2，0) ( p2，0)可得焦距|FF|p2c(c ，为椭
24、圆的半焦距)a2 b2对抛物线方程 y22px ，令 x ，p2得 y2p 2，所以|AF |y A|p.在 RtAFF 中，|AF|FF|p，可得|AF| p，2再根据椭圆的定义，可得|AF|AF| 2a(1 )p，2该椭圆的离心率为 e ca 2c2a 1.p1 2p 210点 P 在椭圆 x2 1 上，点 Q 在直线 yx 4 上，若| PQ|的最小值为 ，则y2m 2m_.考点 直线与椭圆的位置关系题点 最值问题答案 3解析 根据题意，与直线 yx4 平行且距离为 的直线方程为 yx2 或 yx6(舍去) ，2联立Error!消去 y，得(m 1)x24x 4m 0，令 16 4( m
25、1)(4 m)0 ，解得 m0 或 m3，m0， m3.11已知双曲线 1(a 0，b0) 的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x22py(p0) 的x2a2 y2b2焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_考点 圆锥曲线的综合应用题点 双曲线与抛物线的综合应用答案 yx解析 抛物线的准线方程为 y ，焦点为 F ，p2 (0，p2)a 2 2c 2.(p2)设抛物线的准线 y 交双曲线于 M ，N 两点，p2 (x1， p2) (x2， p2)Error!即 1，解得 xa ，x2a2 ( p2)2b2 p24b2 12a 2c .p24
26、b2 1又b 2c 2a 2，由，得 2. 11，c2a2 b2a2 c2a2解得 1.双曲线的渐近线方程为 yx .ba三、解答题12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的一边 AB 在 x 轴上，另一边 CD 在 x 轴上方，且 AB8，BC6，其中 A(4，0)，B(4,0)(1)若 A， B 为椭圆的焦点，且椭圆经过 C，D 两点，求该椭圆的方程；(2)若 A， B 为双曲线的焦点，且双曲线经过 C，D 两点，求双曲线的方程考点 圆锥曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用解 (1)A，B 为椭圆的焦点，且椭圆经过 C，D 两点，根据椭圆的定义，|CA| |CB|16
27、2a，a8.在椭圆中，b 2a 2c 2641648，椭圆方程为 1.x264 y248(2)A， B 是双曲线的焦点，且双曲线经过 C，D 两点，根据双曲线的定义，|CA| |CB|42a，a2.在双曲线中，b 2c 2a 216412，双曲线方程为 1.x24 y21213已知椭圆 E： 1(ab0) 的一个顶点 A(0， )，离心率 e .x2a2 y2b2 3 12(1)求椭圆 E 的方程；(2)设动直线 l：y kxm 与椭圆 E 相切于点 P，且与直线 x4 相交于点 Q，求证：以 PQ为直径的圆过定点 N(1，0)考点 直线与椭圆的位置关系题点 定点(定值)问题(1)解 由已知，
28、可得Error!a 24，所求椭圆方程为 1.x24 y23(2)证明 联立方程 1 与 ykxm ，消去 y，得x24 y23(34k 2)x28kmx4m 2120.曲线 E 与直线只有一个公共点，0 ，化简可得 m24k 23，故 m0.设 P(xP，y P)，故 xP ， 8km23 4k2 4kmyPkx Pm ，3m故 P .( 4km，3m)又由Error!得 Q(4,4km)N(1,0) ， ， (3,4km )，PN (1 4km， 3m) NQ 3 30，PN NQ 12km 12km ，PN NQ 以 PQ 为直径的圆过定点 N(1,0)四、探究与拓展14若点 M(1,2
29、)，点 C 是椭圆 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则| AM|AC |的最x216 y27小值是_考点 椭圆几何性质的应用题点 最值问题答案 82 5解析 设点 B 为椭圆的左焦点，则 B(3,0) ，点 M(1,2)在椭圆内，那么|BM|AM|AC|AB| AC|2a，当且仅当 A，B，M 三点共线时等号成立，所以|AM| |AC |2a|BM |，而 a4，|BM| 2 ，1 32 22 5所以(| AM|AC |)min82 .515已知椭圆的一个顶点为 A(0，1) ，焦点在 x 轴上，若右焦点到直线 xy2 0 的距2离为 3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线 ykxm
30、相交于不同的两点 M，N，当|AM| AN|时，求 m 的取值范围考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆位置关系的综合应用解 (1)设椭圆的方程为 1，则 b1.x2a2 y2b2又焦点 F(c,0)到直线 xy2 0 的距离为 3，2 3，| c2 |3 ，c0，c ，|c 22|2 2 2 2a 2b 2c 23，椭圆方程为 y 21.x23(2)由Error!消去 y，得(3k 2 1)x2 6mkx3( m21)0，直线与椭圆有两个不同的交点，0 ，即 m23k 21.(i)当 k0 时，设弦 MN 的中点为 P(xP，y P)，x M，x N分别为点 M，N 的横坐标，则 xP ，xM xN2 3mk3k2 1从而 yPkx P m ，m3k2 1kAP ，yP 1xP m 3k2 13mk又|AM |AN|，APMN.则 ，即 2m3k 21，m 3k2 13mk 1k将代入得 2mm 2，解得 0m2，由得 k2 0，解得 m ，2m 13 12故所求的 m 的取值范围是 .(12，2)(ii)当 k0 时，|AM| AN|，APMN，由 m23k 21，解得1m 1.综上所述，当 k0 时，m 的取值范围是 ，(12，2)当 k0 时，m 的取值范围是( 1,1)
