1、2.2.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点一 双曲线的定义观察图形，思考下列问题：思考 1 图中动点 M 的几何性质是什么？答案 |MF 1|MF 2|常数(常数|F 1F|或|F 2F|)且 0常数0 ，b0)x2a2 y2b2 1(a0 ，b0)y2a2 x2b2焦点 F1(c,0) ，F 2(c,0) F1(0，c) ，F 2(0，c)焦距 |F1F2|2c ， c2a 2b 2(1)平面内到两定点的距离的差等于常数( 小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲
2、线( )(2)在双曲线标准方程 1 中，a0，b0 且 ab .( )x2a2 y2b2(3)在双曲线标准方程中，a，b 的大小关系是 ab.( )类型一 求双曲线的标准方程例 1 求下列双曲线的标准方程(1)与椭圆 1 有公共焦点，且过点( 2， )；y225 x216 10(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；(3)过点 P ，Q ，且焦点在坐标轴上(3，154) ( 163，5)考点 求双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)方法一 椭圆 1 的焦点为 F1(0，3)，F 2(0,3)x216 y225设双曲线的方程为 1(a0 ，b0)，y2a2 x2b2则
3、有Error!解得Error!故所求双曲线的方程为 1.y25 x24方法二 由椭圆方程 1 知焦点在 y 轴上，x216 y225设所求双曲线方程为 1(160，b0)，x2a2 y2b2c ，b 2c 2a 26a 2.6由题意知 1， 1，25a2 4b2 25a2 46 a2解得 a25 或 a230(舍)b 21.双曲线的标准方程为 y 21.x25(2)设双曲线方程为 mx2ny 21( mn0，b0) ，点 A，B 均在双曲线的右支上，x2a2 y2b2线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2，| AB|m，F 1 为双曲线的左焦点，则ABF 1 的周长为_(2)已知双曲线 1 的左
4、、右焦点分别是 F1，F 2，若双曲线上一点 P 使得x29 y216F 1PF260，则F 1PF2 的面积为_考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 (1)4a2m (2)16 3解析 (1)由双曲线的定义，知|AF 1|AF 2|2a，|BF1|BF 2|2 a.又|AF 2| |BF2| |AB|，所以ABF 1 的周长为| AF1| |BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)由 1，得 a3，b4，c5.x29 y216由双曲线定义和余弦定理，得|PF 1|PF 2|6，|F1F2|2 |PF1|2 |PF2|22|PF 1|PF2|cos 60，所以 102(|PF 1
5、|PF 2|)2| PF1|PF2|，所以|PF 1|PF2|64，所以 |PF1|PF2|sinF 1PF212FPSA12 64 16 .12 32 3引申探究本例(2)中若F 1PF290，其他条件不变，求 F 1PF2 的面积解 由双曲线方程知 a3，b4，c5，由双曲线的定义得|PF 1|PF 2|2a6，所以|PF 1|2| PF2|22|PF 1|PF2|36.在 Rt F1PF2 中，由勾股定理得|PF 1|2| PF2|2| F1F2|2(2c )2100.将代入得|PF 1|PF2|32，所以 |PF1|PF2|16.12FPSA12反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方
6、法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF 1| PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|PF2|的值；利用公式 |PF1|PF2|sinF 1PF2 求得面积12PFSA12(2)方法二：利用公式 |F1F2|yP|(yP为 P 点的纵坐标)求得面积12A12特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1| |PF2| 2a 的变形使用，特别是与| PF1|2| PF2|2，|PF 1|PF2|间的关系跟踪训练 2 已知双曲线的方程是 1，点 P 在双曲线上，且到其中一个焦
7、点 F1 的距x216 y28离为 10，点 N 是 PF1 的中点，求|ON|的大小(O 为坐标原点)考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形解 设双曲线的另一个焦点为 F2，连接 PF2，ON 是三角形 PF1F2 的中位线，所以|ON| |PF2|，12因为|PF 1|PF 2|2a8，| PF1|10，所以|PF 2|2 或 18，| ON| |PF2|1 或 9.12类型三 与双曲线有关的轨迹问题例 3 已知圆 C1：(x3) 2y 21 和圆 C2：(x3) 2y 29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 _考点 双曲线的定义题点 由双曲线
8、的定义确定轨迹方程答案 x 2 1(x 1)y28解析 如图，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和 B，根据两圆外切的条件 |MC1| |AC1| MA|，|MC 2| BC2| MB|, 因为| MA| MB|，所以|MC 1|AC 1| MC2|BC 2|，即|MC 2|MC 1|2，这表明动点 M 与两定点 C2，C 1 的距离的差是常数 2 且 2 ).x22 y26 21到两定点 F1(3,0) ，F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹是( )A椭圆 B线段C双曲线 D两条射线考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹答案 D解析 由题意
9、知|F 1F2|MF 1|MF 2|6，所以点 M 的轨迹是两条射线2设 F1，F 2 分别是双曲线 x2 1 的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且y2243|PF1| 4|PF2|，则 PF 1F2 的面积等于( )A4 B82 3C24 D48考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 C解析 由题意得Error!解得Error!又由|F 1F2|10，可得PF 1F2 是直角三角形，则 |PF1|PF2|24.12PFSA123椭圆 1 与双曲线 1 有相同的焦点，则 a 的值是( )x24 y2a2 x2a y22A. B1 或212C1 或 D112考点 圆锥曲线的综合应用题点
10、 椭圆与双曲线的综合应用答案 D解析 由于 a0,0a 24，且 4a 2a2，所以可解得 a1，故选 D.4若 kR，方程 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是( )x2k 3 y2k 2A32 Dk2考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 A解析 由题意知，k30 且 k2b 不一定成立，要注意与椭圆中 a，b，c 的区别在椭圆中a2b 2c 2，在双曲线中 c2a 2b 2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出 a，b，c 的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如 mx2ny 21( m
11、n5”是“方程 1 表示双曲线 ”的( )x2k 5 y2k 2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 A解析 当 k5 时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k5 或 kn0)和双曲线 1( s，t 0)有相同的焦点 F1 和 F2，而 P 是这两x2m y2n x2s y2t条曲线的一个交点，则|PF 1|PF2|的值是( )Ams B. (ms)12Cm 2s 2 D. m s考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 A解析 如图所示，设|PF 1| x，| PF2|y，则Error!x ，y
12、，m s m s|PF 1|PF2| xym s .5已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 F1( ，0)，点 P 在双曲线上，且线段 PF1 的中5点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A. y 21 Bx 2 1x24 y24C. 1 D. 1x22 y23 x23 y22考点 双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 B解析 据已知条件得焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为 1(a0，b0)，x2a2 y2b2则 a2b 25.线段 PF1 的中点坐标为(0,2)，点 P 的坐标为( ，4)，将其代入双曲线的方程，5得 1.5a2 16b2由解得 a21，b 24，双曲线
13、的方程为 x2 1.y246已知两圆 C1：(x4) 2y 22，C 2：(x4) 2y 22，动圆 M 与两圆 C1，C 2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是( )Ax0 B. 1(x )x22 y214 2C. 1 D. 1 或 x0x22 y214 x22 y214答案 D考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程解析 动圆 M 与两圆 C1，C 2 都相切，有四种情况：动圆 M 与两圆都外切；动圆 M 与两圆都内切；动圆 M 与圆 C1 外切，与圆 C2 内切；动圆 M 与圆 C1 内切，与圆 C2 外切在情况下，显然动圆圆心 M 的轨迹方程是 x0；在的情况下，如图，设动
14、圆 M 的半径为 r，则|MC 1|r ，|MC 2|r ，2 2故得|MC 1|MC 2|2 ；2在的情况下，同理，得|MC 2|MC 1|2 .2由得|MC 1|MC 2|2 0)，则由 QF1QF 2，得 kQF1kQF21， 1，c5.5c 5 c设双曲线方程为 1(a 0，b0)，x2a2 y2b2则 1，32a2 9b2又c 2a 2b 225，a 216，b 29，双曲线的标准方程为 1.x216 y2910在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的顶点 A(6，0)和 C(6,0)，若顶点 B 在双曲线 1 的左支上，则 _.x225 y211 sin A sin Csin
15、 B考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 56解析 由双曲线的定义可得 ac10，由正弦定理得 .sin A sin Csin B a cb 1012 5611已知方程 1 表示的曲线为 C.给出下列判断：x24 t y2t 1当 14 或 t4.其中正确的是_(填序号 )考点 双曲线的标准方程题点 已知方程判断曲线的类型答案 解析 错误，当 t 时，曲线 C 表示圆；正确，若曲线 C 为双曲线，则(4t)( t1)524；正确，若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则4tt10，14.52三、解答题12.如图，已知定圆 F1：x 2y 210x240，定圆 F2：x 2y 210x9
16、0，动圆 M 与定圆F1，F 2 都外切，求动圆圆心 M 的曲线方程考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程解 圆 F1：( x5) 2y 21，圆心 F1(5,0)，半径 r11.圆 F2：( x5) 2y 24 2，圆心 F2(5,0)，半径 r24.设动圆 M 的半径为 R，则有|MF 1|R1，|MF 2|R4，|MF 2|MF 1|3.点 M 的轨迹是以 F1，F 2 为焦点的双曲线( 左支)，且 a ，c5.b 2 .32 914双曲线方程为 1 .x294y2914 (x 32)13已知双曲线过点(3，2)且与椭圆 4x29y 236 有相同的焦点(1)求双曲线的标准方
17、程；(2)若点 M 在双曲线上， F1， F2 为左、右焦点，且|MF 1|MF 2|6 ，试判断MF 1F2 的形3状考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形解 (1)椭圆方程可化为 1，焦点在 x 轴上，x29 y24且 c ，故设双曲线方程为 1，9 4 5x2a2 y2b2则有Error!解得 a23，b 22，所以双曲线的标准方程为 1.x23 y22(2)不妨设 M 点在双曲线的右支上，则有| MF1| MF2|2 ，3又|MF 1|MF 2|6 ，3解得|MF 1|4 ，| MF2|2 ，又|F 1F2|2 ，3 3 5因此在MF 1F2 中，| MF1|边最长，而 cosMF
18、 2F1 0，|MF2|2 |F1F2|2 |MF1|22|MF2|F1F2|所以MF 2F1 为钝角，故 MF 1F2 为钝角三角形四、探究与拓展14双曲线 1 的一个焦点到中心的距离为 3，则 m 的取值范围为_x2m y2m 5考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 2,7解析 (1)当焦点在 x 轴上时，有 m5，则 c2mm 59，m7；(2)当焦点在 y 轴上时，有 m0，则 c2m5m 9，m2.综上所述，m7 或 m2.15已知OFQ 的面积为 2 ，且 m ，其中 O 为坐标原点6 OF FQ (1)设 m4 ，求 与 的夹角 的正切值的取值范围；6 6 OF F
19、Q (2)设以 O 为中心， F 为其中一个焦点的双曲线经过点 Q，如图所示，| |c，m c2，当| |取得最小值时，求此双曲线的标准方程OF ( 64 1) OQ 考点 双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)因为Error!所以 tan .46m又 m4 ，所以 1tan 4.6 6即 tan 的取值范围为(1,4) (2)设双曲线的标准方程为 1( a0，b0)，Q(x 1，y 1)，则 ( x1c，y 1)，x2a2 y2b2 FQ 所以 SOFQ | |y1|2 ，则 y1 .12OF 6 46c又 m，即 (c,0)(x1c，y 1) c2，OF FQ ( 64 1)解得 x1 ，6c4所以| | 2 ，OQ x21 y21 3c28 96c2 12 3当且仅当 c4 时取等号，| |最小，OQ 这时点 Q 的坐标为( ， )或 ( ， )6 6 6 6因为Error!所以Error!所以双曲线的标准方程为 1.x24 y212
