1、33.1 利用导数判断函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系思考 1 观察下列各图，完成表格内容.函数及其图象 切线斜率 k 的正负 导数的正负 单调性正 正 1，) 上单调递增正 正 R 上单调递增负 负 (0，) 上单调递减负 负 (0，) 上单调递减负 负 (，0)上单调递减思考 2 依据上述分析，可得出什么结论？答案 一般地，设函数 yf(x )，在区间(a，b) 上：(1)如果 f(x)0，则 f(x)在该区间上单调递增(2)如果 f(x)0，x
2、 cos xsin x( 或0，1 ln xx2故 f(x)在区间(0，e)上是增函数类型二 利用导数求函数的单调区间命题角度 1 不含参数的函数求单调区间例 2 求 f(x)3x 22ln x 的单调区间考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数的函数求单调区间解 f(x )3x 22ln x 的定义域为(0，) f(x)6x 2x 23x2 1x ，2 3x 1 3x 1x由 x0，解 f(x )0，得 x ，33由 x0，解 f (x)0，函数在定义域内的解集上为增函数(4)解不等式 f( x)0，(x2) 20.由 f(x )0，得 x3，所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，)
3、；由 f(x )0，函数 f(x)在区间(0，) 上单调递增；当 a0 时，由 g(x)0，得 x 或 x (舍去)2a2 2a2当 x 时，g(x)0，即 f( x)0.(2a2， )所以当 a0 时，函数 f(x)在区间 上单调递减，在区间 上单调递增(0，2a2) ( 2a2， )综上，当 a0 时，函数 f(x)在(0，) 上单调递增；当 a0 时，函数 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(2a2， ) (0，2a2)反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定 f(x)的符号，否则会产生错误(2)分类讨论是把数学问题划
4、分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了跟踪训练 3 已知函数 f(x) x2(am)xaln x，且 f(1) 0，其中 a，mR.12(1)求 m 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间考点 利用导数研究函数的单调性题点 含参数的函数求单调区间解 (1)由题设知，函数 f(x)的定义域为(0 ，)，f(x)x(am) .ax由 f(1)0，得 1( am)a0，解得 m1.(2)由(1)得 f(x)x ( a1) .ax x2 a 1x ax x ax 1x当 a1 时，由 f(x)0，得 xa 或 00，得
5、 x1 或 00，得 x1，此时 f(x)的单调递增区间为 (1，)综上，当 a1 时，f(x) 的单调递增区间为( a，)，(0,1)；当 a1 时，f(x )的单调递增区间为(0，) ；当 00 时，函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .(1k， ) (0，1k)反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f(x)0( 或 f(x)0) 恒成立，利用分离参数或函数性
6、质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意先令 f(x)0(或 f(x)0，2x 3a0，a2x 3 在 x2 ，)上恒成立，a(2x 3)min.设 y2x 3，y2x 3 在2，)上单调递增，(2x 3)min16，a16.当 a16 时，f(x ) 0(x2，)，有且只有 f(2) 0，2x3 16x2a 的取值范围是(，16.1函数 f(x)xln x 在(0,6)上是( )A增函数B减函数C在 上是减函数，在 上是增函数(0，1e) (1e，6)D在 上是增函数，在 上是减函数(0，1e) (1e，6)考点 利用导数研究函数的单调性题点 根据导数判定函数的单调性答案 A解析 x
7、(0，)，f(x) 1 0，1x函数在(0,6)上单调递增2设函数 f(x)在定义域内可导，yf (x)的图象如图所示，则导函数 f(x) 的图象可能是( )考点 函数变化快慢与导数的关系题点 根据原函数的图象确定导函数的图象答案 C解析 原函数的单调性是当 x0 时，f( x)的单调性变化依次为增、减、增故当 x0；当 x0 时，f ( x)的符号变化依次为，.故选 C.3函数 f(x)ln x ax(a0)的单调递增区间为 ( )A. B.(0，1a) (1a， )C(0，) D(0，a)考点 利用导数研究函数的单调性题点 求含参数函数的单调区间答案 A解析 f(x) 的定义域为x |x0
8、，且 a0，由 f(x ) a0，1x得 043 43Cm Dm k1 时， f(x )0，f(x)的单调递减区间为(，k1) ，单调递增区间为(k1，) 1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域(2)求导数 f(x)(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 和 f(x)0 恒成立2函数 y x2ln x 的单调递减区间是( )12A(0,1) B(0,1)(， 1)C(，1) D(，)考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数的函数求单调
9、区间答案 A解析 y x2ln x 的定义域为(0，) ，12yx ，1x令 y0，00 恒成立，故 f(x)是增函数4如图是函数 yf( x)的导函数 f( x)的图象，则下列判断正确的是( )A在区间(2,1)上 f(x)是增函数B在(1,3) 上 f(x)是减函数C在(4,5) 上 f(x)是增函数D在(3，2)上 f(x)是增函数考点 函数变化快慢与导数的关系题点 根据导函数的图象研究原函数的图象答案 C解析 由图知当 x(4,5)时，f(x)0，所以在(4,5)上 f(x)是增函数5下列函数中，在(0， )内为增函数的是( )Aysin x Byxe 2Cy x3x Dyln xx考
10、点 利用导数研究函数的单调性题点 根据导数判定函数的单调性答案 B解析 对于 A，显然 ysin x 在(0，) 上既有增又有减；对于 B，因为 e2 为大于零的常数，不用求导就知 yx e2 在(0，)内为增函数；对于 C，y 3x213 ，(x 33)(x 33)故函数在 ， 上为增函数，( ， 33) ( 33， )在 上为减函数；( 33，33)对于 D，y 1 (x 0)，1x故函数在(1，)上为减函数，在(0,1)上为增函数故选 B.6函数 f(x)ax 3x 在 R 上为减函数，则( )Aa0 Ba0 时，显然不合题意，当 a0 时，符合题意故 a0.7函数 f(x)sin x2
11、xf ，f(x)为 f(x)的导函数，令 a ，blog 32，则下列关系正(3) 12确的是( )Af(a)f( b) Bf (a)f(log32)，即 f(a)f(b)( 12)二、填空题8当 x0 时，f( x)x 的单调递减区间是 _2x考点 题点 答案 (0， )2解析 f(x) 1 .2x2 x2 2x2 x 2x 2x2由 f(x )0 且 x0，得 0x .2故 f(x)的单调递减区间是(0， )29已知函数 f(x)ke x1 x x2(k 为常数)，曲线 yf (x)在点(0，f(0)处的切线与 x 轴平行，12则 f(x)的单调递减区间为_考点 利用导数研究函数的单调性题
12、点 含参数的函数求单调区间答案 (，0)解析 f(x) ke x1 1x ，曲线 yf(x) 在点(0 ，f(0) 处的切线与 x 轴平行，f(0)ke 110，解得 ke，f(x )e xx1.令 f(x )2 时，g(x)0，即 g(x)在(2，)上单调递增，m2 ，12 52故实数 m 的取值范围为 .( ，5211函数 f(x)的图象如图所示，f(x)为函数 f(x)的导函数，则不等式 0，故不等式 0)6x 2x 1x 3x当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，)f(x ) 0 0 f(x) f(x)的单调递增区间为(0,1)，(3 ，)，f(x)的单调递减区间为(1,3) 要使函数 f(x)在区间 上是单调函数，(1，m 12)则Error! 解得 m .12 52即实数 m 的取值范围为 .(12，52
