1、章末复习学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题1在 xx 0 处的导数(1)定义：函数 yf(x )在 xx 0 处的瞬时变化率是 ，我们称limx 0yx lim x 0 fx0 x fx0x它为函数 yf(x )在 xx 0 处的导数(2)几何意义：函数 yf(x )在 xx 0 处的导数是函数图象在点( x0，f (x0)处的切线斜率2基本初等函数的导数公式原函数 导函数yC(C 为常数) y
2、0yx n ynx n1 (n 为自然数)ysin x ycos xycos x y sin xya x(a0，a1) y axln aye x y exylog ax(a0 且 a1，x 0) y1xln ayln x y1x3.导数的运算法则和差的导数 f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数 f(x)g(x)f ( x)g(x)f (x)g(x)商的导数 (g(x)0)fxgx f xgx fxg xg2x4.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数如果在(a，b) 内，f( x)0，则 f(x)在此区间内单调递增；f(x)f(x0)，则称函数 f(x)在点 x0 处取极小值，记
3、作 y 极小值 f(x 0)，并把 x0 称为函数 f(x)的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点5求函数 yf( x)在 a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求 f(x)在开区间 (a，b)内所有极值点(2)计算函数 f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.类型一 导数几何意义的应用例 1 已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值考点 切线方程的求解及应用题点 求在某点的切线方程解 函数 f(x)的定义域为(0，) ，f ( x
4、)1 .ax(1)当 a2 时，f (x)x2ln x，f(x)1 (x0), 2xf(1)1，f (1)1, yf(x) 在点 A(1，f(1) 处的切线方程为y1(x1), 即 xy20.(2)由 f(x) 1 ，x0.ax x ax当 a0 时，f(x )0，函数 f(x)为(0，) 上的增函数，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，由 f(x) 0，解得 xa.当 x(0 ，a)时，f(x)0，f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值综上
5、，当 a0 时，f(x )的单调递增区间为(0，) ；当 a0 时，f(x )的单调递增区间为 ，单调递减区间为 (0， )a， a反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程” ，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程” ，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y 1)，由 f(x 1)和 y1f (x1)，求出 x1，y 1 的值，转化为第一类类型y0 y1x0 x1跟踪训练 1 已知函数 f(x)ax 33x 26ax 11，g( x)3 x26x12，直线 m：ykx
6、9，且 f(1) 0.(1)求 a 的值；(2)是否存在实数 k，使直线 m 既是曲线 yf(x)的切线，又是 yg( x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，说明理由考点 导数的应用题点 与切线有关的问题解 (1)因为 f( x)3ax 26x6a，且 f( 1)0，所以 3a66a0，得 a2.(2)因为直线 m 过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线 yg(x)相切的直线方程设切点坐标为(x 0,3x 6x 012)，20又因为 g(x 0)6x 06，所以切线方程为y(3x 6x 0 12)(6x 06)(xx 0)20将点(0,9)代入，得 93x 6x 0126x
7、 6x 0，20 20所以 3x 30，得 x01.20当 x01 时，g(1)12，g(1)21，切点坐标为(1,21) ，所以切线方程为 y12x 9；当 x01 时，g( 1)0， g(1)9，切点坐标为( 1,9)，所以切线方程为 y9.下面求曲线 yf( x)的斜率为 12 和 0 的切线方程：因为 f(x)2x 33x 212x 11，所以 f(x) 6x 26x 12.由 f(x )12，得6x 26x 1212，解得 x0 或 x1.当 x0 时，f(0)11，此时切线方程为 y12x11；当 x1 时，f(1)2，此时切线方程为 y12x10.所以 y12x9 不是公切线由
8、f(x )0，得6x 26x 120，解得 x1 或 x2.当 x1 时，f( 1)18，此时切线方程为 y18；当 x2 时，f(2)9，此时切线方程为 y9，所以 y9 是公切线综上所述，当 k0 时，y 9 是两曲线的公切线类型二 函数的单调性与导数例 2 已知函数 f(x) x2aln x(aR)12(1)若 f(x)在 x2 时取得极值，求 a 的值；(2)求 f(x)的单调区间考点 题点 解 (1)f(x) x ，因为 x2 是一个极值点，所以 2 0，则 a4.此时 f(x) x ax a2 4x，x 2x 2x因为 f(x)的定义域是(0，) ，所以当 x(0,2)时，f (
9、x)0；当 x(2，) 时，f(x)0，所以当 a4 时，x2 是一个极小值点(2)因为 f(x) x ，x(0，)，ax x2 ax所以当 a0 时，f(x )的单调递增区间为(0，) 当 a0 时，f(x )x ，ax x2 ax x ax ax当 0x 时， f( x)0，当 x 时，f ( x)0，a a所以函数 f(x)的单调递增区间为( ，)；单调递减区间为 (0， )a a综上，当 a0 时，f(x )的单调递增区间为(0，) ；当 a0 时，f(x) 的单调递增区间为( ，) ，单调递减区间为(0 ， )a a反思与感悟 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)
10、已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集跟踪训练 2 已知函数 f(x)x 3ax1.(1)若 f(x)在 R 上单调递增，求 a 的取值范围；(2)是否存在实数 a，使 f(x)在( 1,1)上单调递减，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由考点 利用函数的单调性求变量题点 已知函数的单调性求参数解 (1)求导得 f( x)3x 2a，因为 f(x)在 R 上是增函数，所以 f(x) 0 在 R 上恒成立即 3x2a0 在 R 上恒成立，即 a3x 2，而 3x20，所以 a0.当 a0 时，f(x )x 31 在 R 上单调递
11、增，符合题意所以 a 的取值范围是(， 0(2)假设存在实数 a，使 f(x)在( 1,1)上单调递减，则 f(x )0 在(1,1)上恒成立即 3x2a0 在( 1,1)上恒成立，即 a3x 2，又因为在(1,1)上，03x 20；当 x 时，f(x )0.(23，1所以 f(x)的单调递增区间为3，2) 和 ，单调递减区间为 .(23，1 ( 2，23)又 f(2)13， f ，f( 3)8，f (1)4，(23) 9527所以 f(x)在区间3,1上的最大值为 13.反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即
12、f(x)的正负(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者跟踪训练 3 已知函数 f(x) ln x ，其中 aR ，且曲线 yf(x)在点(1 ，f (1)处的切x4 ax 32线垂直于直线 y x.12(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值考点 函数的极值与导数的关系题点 含参数的函数求极值解 (1)对 f(x)求导得 f( x) ，14 ax2 1x由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y x 知，f(1) a2，解得 a .12 34 54(2)由(1)知 f(x) ln x ，x4 54x 32则 f(x ) .x2
13、 4x 54x2令 f(x )0，解得 x1 或 x5.因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，) 内，故舍去当 x(0,5)时，f(x )0，故 f(x)在(5 ，)内为增函数所以函数 f(x)在 x5 时取得极小值 f(5)ln 5，无极大值类型四 分类讨论思想在导数中的应用例 4 已知函数 f(x) 1.ln xx(1)试判断函数 f(x)的单调性；(2)设 m0，求 f(x)在m,2m 上的最大值考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用解 (1)函数 f(x)的定义域是(0，)由已知得 f(x ) ，1 ln xx2令 f(x )0，得 1ln x 0，所以 xe.因为当 00，1 l
14、n xx2当 xe 时，f(x ) 0，当 e3，试判断 f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在 a，使得当 x(0,1时，f(x)有最大值 1?考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用解 (1)设 x(0,1 ，则x1,0) f(x)为偶函数，f(x)f(x) x 3ax ，即当 x(0,1时，f(x )x 3ax.(2)f(x)在(0,1上单调递增，证明如下：由(1)知 f(x) 3x2a，x(0,1，3x 23,0)又 a3，a3x 20，即 f(x)0.f(x)在(0,1上单调递增(3)由(2)知当 a3 时，f(x )在(0,1上单调递增，f(x) maxf(1
15、) a11.a2 与 a3 矛盾当 0a3 时，令 f(x )a3x 20，得 x 或 x (舍去)a3 a3当 x 时，f(x )0，(0，a3)f(x)在 上单调递增(0，a3)当 x 时，f(x )0，函数 f(x)x 3ax 在1，) 上单调递增，则 a 的最大值为 考点 利用函数的单调性求变量题点 已知函数的单调性求参数答案 3解析 由题意知，f(x )3x 2a0(x1)，a3x 2，a3，a 的最大值为 3.5设 f(x)aln x x1，其中 aR，曲线 yf(x)在点 (1，f (1)处的切线垂直于 y 轴12x 32(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值考点 函数
16、的极值与导数的关系题点 含参数的函数求极值解 (1)f(x) .ax 12x2 32由题意知，曲线在 x1 处的切线斜率为 0，即 f(1) 0，从而 a 0，解得 a1.12 32(2)由(1)知，f(x)ln x x1( x0)，12x 32则 f(x ) 1x 12x2 32 .3x2 2x 12x2 3x 1x 12x2令 f(x )0，解得 x11，x 2 (舍去)13当 x(0,1)时，f(x )0，故 f(x)在(1 ，)上为增函数故 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3，无极大值1利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 yy 0f(x 0)(xx 0)明确“
17、过点 P(x0，y 0)的曲线 yf(x)的切线方程”与“在点 P(x0，y 0)处的曲线 yf (x)的切线方程”的异同点2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题一、选择题1已知曲线 yx 4ax 21 在点 (1，a2)处切线的斜率为 8，则 a 等于( )A9 B6 C9 D6考点 切线方程的求解及应用题点 根据切点或切线斜率求值答案 D解析 y4x 32ax ，由导数的几何意义知在点 (1，a2)处的切线斜率为ky| x1 42a8，解得 a6.2yxsin
18、x 在(0，)上是( )A单调递减函数B单调递增函数C. 上是增函数， 上是减函数(0，2) (2，)D. 上是减函数， 上是增函数(0，2) (2，)考点 利用导数研究函数的单调性题点 根据导数判定函数的单调性答案 B解析 y1cos x，又 x(0，)，y0，函数为增函数，故选 B.3函数 f(x)ln x x2 的图象大致是( )12考点 函数变化快慢与导数的关系题点 由函数解析式确定其图象答案 B解析 f(x) x ，x(0，)1x 1 x2x 1 x1 xx当 x(0,1)时，f(x )0，函数单调递增，当 x(1 ，)时，f(x)0)的导数 f( x)的最大值为 5，则在函数 f(
19、x)图象上的23点(1，f(1)处的切线方程是( )A3x15y40 B15x3y20C15x 3y 20 D3xy10考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用答案 B解析 f(x)2x 24ax 32(x a) 232a 2，f(x )max32a 25，a0，a1.f(x )2x 24x 3，f(1)2435，又 f(1) 23 ，23 133所求切线方程为 y 5(x1)133即 15x3y20.5已知函数 f(x)x 3ax 2x 1 在( ，)上是单调函数，则实数 a 的取值范围是( )A(， ) B ， 3 3 3C( ，) D( ， )3 3 3考点 题点 答案 B解析 f(x)
20、3x 22ax 10 在(，)上恒成立，4a 2120，即 a .3 36函数 f(x)ax 3bx 2cxd 的图象如图，则函数 yax 2 bx 的单调递增区间是( )32 c3A(，2 B.12， )C2,3 D.98， )考点 函数极值的应用题点 函数极值在图象上的应用答案 D解析 不妨取 a1，f(x)x 3bx 2cxd，f( x)3x 22bxc，由图可知 f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc 0，b ，c18.32yx 2 x 6，y2x ，94 94当 x 时，y 0，98yax 2 bx 的单调递增区间为 .32 c3 98， )故选 D.7当函数 f(x)2x
21、 39x 212 xa 恰好有两个不同的零点时，a 可以为( )A8 B6 C4 D2考点 函数极值的应用题点 函数的零点与方程的根答案 C解析 由 f(x )6x 218x 126(x1)(x2)知，极值点为 x1，x2，且 f(1)5a，f(2)4a，可见当 a4 时，函数 f(x)恰好有两个零点二、填空题8若曲线 yax 2ln x 在点(1，a) 处的切线平行于 x 轴，则 a .考点 题点 答案 12解析 y2ax ，k yError!2a10，a .1x 129如果函数 f(x)2x 2ln x 在定义域内的一个子区间(k 1，k1)上不是单调函数，那么实数 k 的取值范围是 考点
22、 利用函数的单调性求变量题点 已知函数的单调性求参数答案 1，32)解析 f(x) 4x ，1x 4x2 1x 2x 12x 1x令 f(x )0，得 x 或 ，12 12f(x)的定义域为(0，)，x 舍去12由题意知Error!解得 1k0)的极大值为正数，极小值为负数，则实数 a 的取值范围是 考点 函数极值的应用题点 极值存在性问题答案 (22， )解析 f(x)3x 23a 2(a0)，当 xa 或 x0，当a .2211若函数 f(x)(mx 1)e x在0 ，)上单调递增，则实数 m 的取值范围是 考点 利用函数的单调性求变量题点 已知函数的单调性求参数答案 1，)解析 f(x)
23、 me x(mx 1)e x(mxm 1)e x，由题意知，f(x )0 在 x0，) 上恒成立，即 mxm1 0 在 x0，)上恒成立当 m0 时显然不成立，当 m0 时，令 g(x)mx m1，只需 g(0)0，得 m1.即实数 m 的取值范围为1，)三、解答题12已知曲线 yx 3x 2 在点 P0 处的切线 l1 与直线 4xy10 平行，且点 P0 在第三象限(1)求 P0 的坐标；(2)若直线 ll 1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程考点 切线方程的求解及应用题点 求切点坐标解 (1)由 yx 3x 2，得 y3x 21，由已知得 3x214，解得 x1.当 x1 时，
24、y0；当 x1 时，y4.又点 P0 在第三象限，切点 P0 的坐标为(1，4) (2)直线 ll 1，l 1 的斜率为 4，直线 l 的斜率为 .14l 过切点 P0，点 P0 的坐标为( 1，4)，直线 l 的方程为 y4 (x1) ，14即 x4y170.13已知函数 f(x)ln x (a0)ax(1)若 a1，求函数 f(x)的单调区间；(2)若以函数 yf(x )(x(0,3)图象上任意一点 P(x0，y 0)为切点的切线的斜率 k 恒成立，求12实数 a 的最小值考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围解 (1)当 a1 时，f (x)ln x ，定义域为(0，)，1xf
25、(x) ，1x 1x2 x 1x2当 x(0,1)时，f(x )0，所以 f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1 ，)(2)由(1)知 f(x) (0x3) ，x ax2则 kf(x 0) (0x03) 恒成立，x0 ax20 12即 a( x x 0)max.1220当 x01 时， x x 0 取得最大值为 ，1220 12所以 a ，所以 a 的最小值为 .12 12四、探究与拓展14设函数 f(x) x3 x2tan ，其中 ，则导数 f(1)的取值范围是( )sin 3 3cos 2 0，512A2,2 B. 2，3C. D. 3，2 2，2考点 题点 答案 D解析
26、f(x)x 2sin x cos ，3f(1)sin cos 23 (12sin 32cos )2sin .( 3)0 ， ，512 3 3 34 sin 1，22 ( 3) 2sin 2.2 ( 3)15设函数 f(x) x32ax 23a 2xb(0 a1)13(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若当 xa1，a2时，恒有| f(x)|a，试确定 a 的取值范围；(3)当 a 时，关于 x 的方程 f(x)0 在区间1,3上恒有两个相异的实根，求实数 b 的取值范23围考点 题点 解 (1)f(x) x24ax3a 2(x a)(x3a)令 f(x )0，得 xa 或 x 3a.
27、当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x (，a) a (a,3a) 3a (3a，)f(x ) 0 0 f(x) 极小值 极大值 所以 f(x)在(，a)和(3 a，) 上是减函数，在(a,3a)上是增函数所以当 xa 时，f( x)取得极小值，f(x)极小值 f(a) b a3；43当 x3a 时，f( x)取得极大值，f (x)极大值 f (3a)b.(2)f(x) x 24ax3a 2，其对称轴为 x2a.因为 0a1，所以 2aa1.所以 f(x) 在区间a1，a2 上是减函数当 xa1 时，f( x)取得最大值，f ( a1)2a1；当 xa2 时，f( x)取得最小值，f ( a2)4a4.于是有Error!即 a1.45又因为 0a1，所以 a1，即 a 的取值范围为 .45 45，1)(3)当 a 时，f (x) x3 x2 xb.23 13 43 43f(x)x 2 x ，83 43由 f(x )0，即x 2 x 0，83 43解得 x1 ，x 22，23可知 f(x)在 上是减函数，( ，23)在 上是增函数，在 (2，)上是减函数(23，2)若 f(x)0 在1,3上恒有两个相异实根，即 f(x)在(1,2)， (2,3)上各有一个实根，于是有Error!即Error!解得 0b ，即 b 的取值范围为 .13 (0，13
