1、人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理 单元测试题时间：100分钟 满分：120分一、选择题(共10小题，每小题 3分,共30分) 1.若一个直角三角形的三边长分别为 a， b， c，且 a29， b216，则 c2为( )A 25 B 7 C 7或25 D 9或162.若直角三角形两直角边长分别为5,12，则斜边上的高为( )A 6 B 8 C D1813 60133.直角三角形三边的长分别为3,4， x，则 x可能取的值为( )A 5 B C 5或 D 不能确定7 74.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，如果大正
2、方形的面积是25，小正方形的面积是 1，直角三角形的两直角边分别是 a和 b，那么 ab的值为( )A 49 B 25 C 12 D 15.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )A B C D6.如图，在水塔 O的东北方向32 m处有一抽水站 A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地 B，在 AB间建一条直水管，则水管的长为( )A 45 m B 40 m C 50 m D 56 m7.如图所示，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行( )A 8 m B 10 m C 12 m D 14 m8.如图，小红想用一条彩带
3、缠绕易拉罐，正好从 A点绕到正上方 B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm ，那么所需彩带最短的是( )A 13 cm B 4 cm C 4 cm D 52 cm61 349.由以下三边不能组成直角三角形的是( )A 5,13,12 B 2,3， C 4,7,5 D 1， ，5 2 310.已知 a、 b、 c是三角形的三边长，如果满足( a6) 2 | c10|0，则三角形的形状是( 8)A 底与腰不相等的等腰三角形 B 等边三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形二、填空题(共8小题，每小题 3分,共24分) 11.如图 P(3,4)是直角坐标系中一点，则 P到原点的距离
4、是_ 12.如图， AB BC CD DE 1，且 BCAB， CDAC， DEAD，则线段 AE的长为_13.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图” ，如果大正方形面积为169，且直角三角形中较短的直角边的长为5，则中间小正方形面积(阴影部分)为_14.九章算术中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈(1丈10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根 3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段 OA和线段 AB来表示竹子，其中线段 AB表示竹子折断部分，用线段 OB表示竹梢触地处离竹根的距
5、离，则竹子折断处离地面的高度 OA是_尺15.如图， AD8， CD6， ADC90， AB26， BC24 ，该图形的面积等于_16.一个三角形的三边长之比为512 13，它的周长为120，则它的面积是_17.如图所示，一个圆柱体高20 cm，底面半径为5 cm，在圆柱体下底面的 A点处有一只蚂蚁，想吃到与 A点相对的上底面 B处的一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从 A点出发沿着圆柱形的侧面爬到 B点，则最短路程是 _ cm.(结果用根号表示)18.在 ABC中，已知 AB BC CA4 cm，点 P、 Q分别从 B、 C两点同时出发，其中点 P沿 BC向终点 C运动，速度为1 cm/s；点 Q
6、沿 CA、 AB向终点 B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为 x(s)，当 x_， BPQ是直角三角形三、解答题(共8小题，共66分 ) 19.（8分）如图， ABC中， AB AC20， BC32， D是 BC上一点， AD15，且 ADAC，求 BD长20. （8分）如图，在 ABC中， C60， AB14， AC10，求 BC的长21. （8分）在直角三角形中，两条直角边的长度分别为 a和 b，斜边长度为 c，则 a2 b2 c2.即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理在一张纸上画两个同样大小的直角三角形 ABC和 ABC，并把它们拼成如图形状 (点 C和 A重
7、合，且两直角三角形的斜边互相垂直)请利用拼得的图形证明勾股定理22. （8分）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯 AC水平放置，则刚好与 AB一样长已知滑梯的高度 CE3 cm， CD1 m，求滑道 AC的长23. （8分）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320 cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h.(彩旗完全展平时的尺寸是如图所示的长方形单位：cm)24. （8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形 ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题(1)线段 AB的长为_， BC的长为_， CD的长为 _；(2)连
8、接 AC，通过计算说明 ACD和 ABC是什么特殊三角形25. （9分）如图，四边形 ABCD中， AB20， BC15， CD7， AD24， B90.(1)判断 D是否是直角，并说明理由(2)求四边形 ABCD的面积26. （9分）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙) ，有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬到柜角 C1处(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当 AB4， BC4， CC15时，求蚂蚁爬过的最短路径的长答案解析1.【答案】C【解析】当 a， b为直角边时， c2 a2 b291625，当 a， c为直角边， b为斜边时， c2
9、 b2 a21697，故选C.2.【答案】D【解析】根据勾股定理可得：斜边长 25 212 2，则斜边长13，直角三角形面积 S 512 13斜边的高，21解得斜边的高 ；6013故选D.3.【答案】C【解析】当 x为斜边时， x 5；32+42当4为斜边时， x .4232 7x的值为5或 ；7故选C.4.【答案】C【解析】如图，大正方形的面积是25，c225，a2 b2 c2 25，直角三角形的面积是(251)46，又 直角三角形的面积是 ab6，21ab12.故选C.5.【答案】D【解析】 A， B， C都可以利用图形面积得出 a， b， c的关系，即可证明勾股定理；故 A，B，C 选项
10、不符合题意；D不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确故选D.6.【答案】B【解析】已知东北方向和东南方向刚好是一直角，AOB90 ，又 OA32 m， OB24 m，AB 40 m.2+2故选B.7.【答案】B【解析】如图，设大树高为 AB10 m ，小树高为 CD 4 m，过 C点作 CEAB于 E，则四边形 EBDC是矩形，连接 AC，EB4 m， EC8 m， AE AB EB1046 m，在Rt AEC中， AC 10 m.2+2故选B.8.【答案】D【解析】由图可知，彩带从易拉罐底端的 A处绕易拉罐4圈后到达顶端的 B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后
11、的长方形的对角线长，易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，x2(124) 220 2，所以彩带最短是52 cm.故选D.9.【答案】C【解析】A.5 212 213 2，此三角形是直角三角形，不符合题意；B2 2( )23 2，5此三角形是直角三角形，不符合题意；C4 25 272，此三角形不是直角三角形，符合题意；D 12( )2( )2，2 3此三角形是直角三角形，不符合题意；故选C.10.【答案】D【解析】( a6) 20， 0，| c10|0，8又 (a b)2 | c10|0，8a60， b80， c100，解得 a 6， b8， c10，628 236 6410010 2，是
12、直角三角形故选D.11.【答案 】5【解析】 P点坐标为(3,4) ， OP 5.32+4212.【答案 】2【解析】 BCAB， CDAC， DEAD，B ACD ADE90，在Rt ABC中， AB BC1，根据勾股定理，得 AC ，2+2 2在Rt ACD中， CD1， AD ，2根据勾股定理，得 AD ，2+2 3在Rt ADE中， DE1， AD ，3根据勾股定理，得 AE 2.2+213.【答案 】49【解析】设直角三角形中较长的直角边的长为 a，由题意得a25 2169解得 a 12，则中间小正方形面积(阴影部分 )为(125) 249.14.【答案 】4.55【解析】设折断处离
13、地面的高度 OA是 x尺，根据题意可得x23 2(10 x)2，解得 x4.55，答：折断处离地面的高度 OA是4.55尺15.【答案 】96【解析】连接 AC，在Rt ACD中， AD8， CD6，AC 10，2+2 82+62在 ABC中，AC2 BC210 224 226 2 AB2，ABC为直角三角形；图形面积为S ABC S ACD 1024 6896.2116.【答案 】480【解析】设三边的长是5 x,12x,13x，则5 x12 x13 x120，解得 x4，则三边长是20,48,52.20248 252 2，三角形是直角三角形，三角形的面积是 2048480.2117.【答案
14、 】10 4+2【解析】如图，把圆柱的侧面展开，得到如图所示的图形，其中 AC R 10 cm， BC 20 cm，在Rt ABC中， AB 10 cm.2+2 4+218.【答案 】2或165【解析】根据题意，得 BP tcm， CQ2 tcm， BQ(8 2 t) cm，若 BPQ是直角三角形，则 BPQ90 或 BQP90，当 BPQ90时，Q在 A点， CQ CA4 cm ，422(s) ；当 BQP90时， B60，BPQ90 6030，BQ BP，21即82 t t，解得 t ，165故当 t 2或 秒时， BPQ是直角三角形16519.【答案 】解 ADAC， AC20， AD1
15、5，CD 25，202+152BD BC CD32257.【解析】因为 BD BC CD，可以在Rt CAD中，根据勾股定理先求出 CD的值20.【答案 】解 如图过 A点作 ADBC于 D点在Rt ABD中， AC10， C60 ，CD AC 5， AD5 ，213AB14 ，BD 11，22BC CD BD16.【解析】21.【答案 】证明 在直角三角形 ABC中，1 290 ， 13，2390，又 ACC90，23 ACC180，B、 C(A)、 B在同一条直线上，又 B90 ， B90 ，B B180，ABCB，连接 AC，过点 C作 CDAB交 AB于点 D，则四边形 ABBC面积等
16、于三个直角三角形面积， (a b)(a b)( a b)b ab ab c2，21211即 a2 b2 ab b2 ab ab c2，a22 ab b22 ab c2，a2 b2 c2.【解析】连接 AC，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理22.【答案 】解 设 AC的长为 x米，AC AB，AB AC x米，EB CD1米，AE( x1)米，在Rt ACE中，AC2 CE2 AE2，即 x23 2( x1) 2，解得 x5，滑道 AC的长为5米【解析】设 AC的长为 x米，表示出 AE( x1) 米，利用在Rt ACE中 AC2 CE2 AE2，列
17、出方程求解即可23.【答案 】解 彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，彩旗的对角线长为 150，1202+90所以 h320150170 cm.彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h为170 cm.【解析】根据图形标出的长度，先构造直角三角形，根据勾股定理就可求出彩旗的对角线的长，继而求出 h的值24.【答案 】解 (1) 由勾股定理得 AB ， BC 5， CD 2 ；22+12 5 32+42 22+22 2(2)AC 2 ， AD 2 ，22+42 5 22+42 5AC AD，ACD是等腰三角形；AB2 AC25 2025 BC2，ABC是直角三角形
18、【解析】(1)把线段 AB、 BC、 CD、放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可；(2)根据勾股定理的逆定理求出 AC AD，即可判断 ACD的形状；由勾股定理的逆定理得出 ABC是直角三角形25.【答案 】解 (1) 连接 AC，B90，AC2 BA2 BC2400225 625，DA2 CD224 27 2625，AC2 DA2 DC2，ADC是直角三角形，即 D是直角；(2)S四边形 ABCD S ABC S ADC，S四边形 ABCD ABBC ADCD21 2015 247234.【解析】(1)连接 AC，根据勾股定理可知 AC2 BA2 BC2，再根据 AC2 DA2 DC2即
19、可得出结论；(2)根据 S四边形 ABCD S ABC S ADC即可得出结论26.【答案 】解 (1) 如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC1D1和 ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 A1C1和 AC1.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1到 C1，爬过的路径的长是 l1 ，42+(4+5)2 97蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1到 C1，爬过的路径的长是 l2 .(4+4)2+52 89l1 l2，最短路径的长是 l2 .89【解析】(1)将长方体形的木柜展开，求出对角线的长即可；(2)求出蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1到 C1，以及蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1到 C1，的距离，再进行比较即可
