1、考点规范练 35 空间向量及其运算一、基础巩固1.若向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b,d=a+b(,R,且 0),则( )A.cdB.cdC.c 不平行于 d,c 也不垂直于 dD.以上三种情况均有可能2.已知 a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若 ab,则 与 的值可以是 ( )A.2, B.-12 13,12C.-3,2 D.2,23.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a(a-b), 则实数 的值为( )A.-2 B.- C. D.2143 1454.已知 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 =0, =0, =0,M 为 BC 的中点,则 A
2、MD是( )A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定5.下列命题: 若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; 若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; 若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; 已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使得 p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.36.在空间四边形 ABCD 中, 的值为 ( )+A.-1 B.0 C.1 D.27.已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a 的夹角为 60的是(
3、)A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)8.若平面 , 的法向量分别为 n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )A. B.C., 相交但不垂直 D.以上均不正确9. 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA 1底面 ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,点 E,F 分别是棱AB,BB1 的中点,则异面直线 EF 和 BC1 所成的角是 . 10.已知点 O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,当 最小时,点 Q 的坐标是 . 11. 在直三棱柱 ABC-A
4、BC中,AC=BC=AA ,ACB=90,D,E 分别为 AB,BB的中点.(1)求证:CEAD;(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值.二、能力提升12.在平行六面体 ABCD-ABCD中,若 =x +2y -3z ,则 x+y+z=( ) A.1 B. C. D.76 56 2313.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则 的值为( )A.a2 B. a2 C. a2 D. a212 14 3414.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 CD,PC 的中点,并且 PA=AD=1.在如图所示的空间
5、直角坐标系中,MN= . 三、高考预测15.如图所示的直三棱柱 ABC-A1B1C1,在其底面 ABC 中,CA=CB=1,BCA=90,棱 AA1=2,M,N 分别是 A1B1,A1A 的中点.(1)求 的模;(2)求 cos的值;1,1(3)求证:A 1BC 1M.考点规范练 35 空间向量及其运算1.B 解析 由题意得,c 垂直于由 a,b 确定的平面. d=a+b, d 与 a,b 共面. cd .2.A 解析 ab, 存在 kR ,使 b=ka,即(6,2 -1,2)=k(+1,0,2), 6=(+1),2-1=0,2=2, 解得 =2,=12或 =-3,=12. 3.D 解析 由题
6、意知 a(a-b)=0,即 a2-ab=0, 14-7=0. =2.4.C 解析 M 为 BC 的中点, ).=12(+ )=12(+= =0.12+12 AMAD ,AMD 为直角三角形.5.A 解析 若 a 与 b 共线,则 a,b 所在直线也可能重合,故 不正确;根据自由向量的定义知,空间任两个向量 a,b 都共面,故 不正确;三个向量 a,b,c 中任两个一定共面 ,但它们三个却不一定共面,故 不正确;只有当 a,b,c 不共面时,空间任意一向量 p 才能表示为 p=xa+yb+zc,故 不正确,综上可知,四个命题中正确的个数为 0,故选 A.6.B 解析 (方法一)如图,令 =a,
7、=b, =c,则 ( )+ ( )+ ( )+=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.(方法二) 在三棱锥 A-BCD 中, 不妨令其各棱长都相等,由正四面体的对棱互相垂直可知,=0, =0, =0.故 =0.+7.B 解析 对于选项 B,设 b=(1,-1,0),则 cos= .|=1122=12因为 0180,所以=60,故选 B.8.C 解析 n1n2=2(-3)+(-3)1+5(-4)0, n1 与 n2 不垂直.又- - - ,321345 n1 与 n2 也不共线. 与 相交但不垂直 .9.60 解析 以 BC,BA,BB1 所在的直线为
8、 x 轴、y 轴、z 轴、建立空间直角坐标系,如图.设 AB=BC=AA1=2,则 C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则 =(0,-1,1), =(2,0,2), 1 =2,1 cos= ,12222=12 EF 和 BC1 所成的角为 60.10. 解析 设 = =(,2),则 =(1-,2-,3-2), =(2-,1-,2-2).(43,43,83) 故 =(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6 . (-43)223所以当 = 时, 取得最小值 - ,43 23此时 .=(43,43,83)所以点 Q 的坐标是 .(43,43,
9、83)11.(1)证明 设 =a, =b, =c,根据题意,得|a|=|b|=|c |,且 ab=bc=ca=0, =b+ c, =-c+ b- a.12 1212 =- c2+ b2=0.12 12 ,即 CEAD .(2)解 =-a+c,| |= |a|,| |= |a|. 2 52=(-a+c) c2= |a|2, (+12)=12 12 cos= .,12|2252|2=1010即异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为 .101012.B 解析 =x +2y -3z , x=1,y= ,z=-=+=+=+ 12, x+y+z=1+ .13 1213=7613.C 解析 如图,设 =a
10、, =b, =c,则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三个向量两两的夹角为 60.(a+b), c,=12 =12 (a+b) c=12 12= (ac+bc)14= (a2cos 60+a2cos 60)= a2.14 1414. 解析 连接 PD, M,N 分别为 CD,PC 的中点,22 MN= PD.又 P(0,0,1),D(0,1,0),12 PD= , MN= .02+(-1)2+12=22215.解 如图,建立空间直角坐标系 Oxyz.(1)依题意得 B(0,1,0),N(1,0,1), | |=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2= .3(2)依题意得 A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), =(1,-1,2), =(0,1,2), =3,1 1 11| |= ,| |= .1 61 5 cos= .1,111 |1|1|=3010(3)证明:依题意,得 C1(0,0,2),M =(-1,1,-2), ,(12,12,2),1 1=(12,12,0) =- +0=0.1112+12 , A1BC 1M.11
