1、考点规范练 25 数列求和一、基础巩固1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,(2n-1)+ ,的前 n 项和 Sn 的值等于( )121418116 12A.n2+1- B.2n2-n+1-12 12C.n2+1- D.n2-n+1-12-1 122.若数列a n满足 a1=1,且对任意的 nN *都有 an+1=a1+an+n,则 的前 100 项和为( )1A. B. C. D.100101 99100 101100 2001013.在数列a n中,如果 a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么 S100 的值为 ( )A.2 500 B.2 600 C.2 700 D.2 8
2、004.已知函数 f(x)=xa 的图象过点(4,2),令 an= ,nN *.记数列 an的前 n 项和为 Sn,则 S2 020 等1(+1)+()于( )A. -1 B. +12 020 2 020C. -1 D. +12 021 2 0215.已知数列a n满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则a n的前 60 项和为( )A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 8306.已知在数列a n中,a 1=1,且 an+1= ,若 bn=anan+1,则数列 bn的前 n 项和 Sn 为( )2+1A. B.22+1 2+1C. D.22-1 2-12+17.已知等差数
3、列a n满足 a3=7,a5+a7=26,bn= (nN *),数列b n的前 n 项和为 Sn,则 S100= 12-1. 8.已知a n是等差数列,b n是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求a n的通项公式;(2)设 cn=an+bn,求数列c n的前 n 项和.9.设等差数列a n的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列b n的公比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列a n,bn的通项公式;(2)当 d1 时,记 cn= ,求数列c n的前 n 项和 Tn.10.已知 Sn 为数列a n的前 n 项和,a n0,
4、+2an=4Sn+3.2(1)求a n的通项公式;(2)设 bn= ,求数列b n的前 n 项和.1+111.已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn,满足 =2Sn+n+4,a2-1,a3,a7 恰为等比数列b n2+1的前 3 项.(1)求数列a n,bn的通项公式;(2)若 cn=(-1)nlog2bn- ,求数列 cn的前 n 项和 Tn.1+1二、能力提升12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码” 的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,
5、4,8,16,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440 B.330 C.220 D.11013.已知首项为 的等比数列a n不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(nN *),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差32数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=(-1)n+1n(nN *),求数列a nbn的前 n 项和 T n.14.设数列a n的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2-an,nN *,设函数 f
6、(x)=lo x.数列 bn满足 bn=f(an),记 bn的前12n 项和为 Tn.(1)求 an 及 Tn;(2)记 cn=anbn,求 cn 的最大值 .三、高考预测15.已知等比数列a n的各项均为正数,a 1=1,公比为 q;在等差数列b n中,b 1=3,且 bn的前 n 项和为Sn,a3+S3=27,q= .22(1)求a n与 bn的通项公式;(2)设数列c n满足 cn= ,求c n的前 n 项和 Tn.32考点规范练 25 数列求和1.A 解析 该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ ,则 Sn=1+3+5+(2n-1)+ =n2+1- .12 (12+122+12) 1
7、22.D 解析 an+1=a1+an+n, an+1-an=1+n. an-an-1=n(n2) . an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+2+1= .(+1)2 =2 .1= 2(+1) (1- 1+1) 的前 100 项和为 21 (1-12+12-13+=2 .故选 D.1100- 1101) (1- 1101)=2001013.B 解析 当 n 为奇数时,a n+2-an=0,所以 an=1,当 n 为偶数时,a n+2-an=2,所以 an=n,故 an=1,为 奇数 ,为 偶数 ,于是 S100=50+ =2 600.(2+100)
8、5024.C 解析 由 f(4)=2,可得 4a=2,解得 a= ,则 f(x)= .12 12 an=1(+1)+()= 1+1+= ,+1 S2 020=a1+a2+a3+a2 020=( )+( )+( )+( )= -1.2 1 3 2 4 3 2 021 2 0202 0215.D 解析 an+1+(-1)nan=2n-1, 当 n=2k(kN *)时,a 2k+1+a2k=4k-1, 当 n=2k+1(kN *)时,a 2k+2-a2k+1=4k+1, + 得,a 2k+a2k+2=8k.则 a2+a4+a6+a8+a60=(a2+a4)+(a6+a8)+(a58+a60)=8(1
9、+3+29)=8 =1 800.15(1+29)2由 得 a2k+1=a2k+2-(4k+1), a1+a3+a5+a59=a2+a4+a60-4(0+1+2+29)+30=1 800- =30,(430292 +30) a1+a2+a60=1 800+30=1 830.6.B 解析 由 an+1= ,得 +2,2+1 1+1=1 数列 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,1 =2n-1,又 bn=anan+1,1 bn=1(2-1)(2+1)= ,12( 12-1- 12+1) Sn= ,故选 B.12(11-13+13-15+ 12-1- 12+1)= 2+17. 解析 因为 a3=7
10、,a5+a7=26,所以公差 d=2,25101所以 an=a3+2(n-3)=2n+1.所以 bn= .12-1= 1(2+1)2-1= 14(+1)=14(1- 1+1)所以 S100=b1+b2+b100= 1- + = .14 12+1213 11001101251018.解 (1)因为等比数列 bn的公比 q= =3,32=93所以 b1= =1,b4=b3q=27.2设等差数列a n的公差为 d.因为 a1=b1=1,a14=b4=27,所以 1+13d=27,即 d=2.所以 an=2n-1.(2)由(1)知,a n=2n-1,bn=3n-1.因此 cn=an+bn=2n-1+3
11、n-1.从而数列c n的前 n 项和Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1= =n2+ .(1+2-1)2 +1-31-3 3-129.解 (1)由题意,有 101+45=100,1=2, 即 21+9=20,1=2, 解得1=1,=2或 1=9,=29.故=2-1,=2-1或 =19(2+79),=9(29)-1. (2)由 d1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn= ,2-12-1于是 Tn=1+ + , 32+522+723+924 2-12-1Tn= + . 12 12+322+523+724+925 2-12 - 可得 Tn=2+ + =3- ,故 Tn=6- .12
12、 12+122 12-22-12 2+32 2+32-110.解 (1)由 +2an=4Sn+3,2可知 +2an+1=4Sn+1+3.2+1两式相减可得 +2(an+1-an)=4an+1,2+12即 2(an+1+an)= =(an+1+an)(an+1-an).2+12由于 an0,可得 an+1-an=2.又 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去),a 1=3.21所以a n是首项为 3,公差为 2 的等差数列,故a n的通项公式为 an=2n+1.(2)由 an=2n+1 可知bn=1+1= 1(2+1)(2+3)= .12( 12+1- 12+3)设数列b n的前 n 项和
13、为 Tn,则 Tn=b1+b2+bn=12(13-15)+(15-17)+( 12+1-.12+3)= 3(2+3)11.解 (1)因为 =2Sn+n+4,2+1所以 =2Sn-1+n-1+4(n2).2两式相减,得 =2an+1,2+12所以 +2an+1=(an+1)2.2+1=2因为a n是各项均为正数的数列,所以 an+1=an+1,即 an+1-an=1.又 =(a2-1)a7,23所以(a 2+1)2=(a2-1)(a2+5),解得 a2=3,a1=2,所以a n是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,所以 an=n+1.由题意知 b1=2,b2=4,b3=8,故 bn=2n.(2
14、)由(1)得 cn=(-1)nlog22n- =(-1)nn- ,1(+1)(+2) 1(+1)(+2)故 Tn=c1+c2+cn=-1+2-3+(-1)nn- .123+134+ 1(+1)(+2)设 Fn=-1+2-3+(-1)nn.则当 n 为偶数时,F n=(-1+2)+(-3+4)+-(n-1)+n= ;2当 n 为奇数时,F n=Fn-1+(-n)= -n= .-12 -(+1)2设 Gn= + ,123+134 1(+1)(+2)则 Gn= + .1213+1314 1+1 1+2=12 1+2所以 Tn=-12+1+2,为 偶数 ,-+22+1+2,为 奇数 .12.A 解析
15、设数列的首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推,设第 n组的项数为 n,则前 n 组的项数和为 .第 n 组的和为 =2n-1,前 n 组总共的和为 -n=2n+1-(1+)2 1-21-2 2(1-2)1-22-n.由题意,N100, 令 100,得 n14 且 nN *,即 N 出现在第 13 组之后.若要使最小整数 N 满足:(1+)2N100 且前 N 项和为 2 的整数幂 ,则 SN- 应与- 2-n 互为相反数,即 2k-1=2+n(kN *,n14),所以(1+)2k=log2(n+3),解得 n=29,k=5.所以 N= +5=440,故选
16、 A.29(1+29)213.解 (1)设等比数列 an的公比为 q.由 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,可得 2(S5+a5)=S3+a3+S4+a4,即 2(S3+a4+2a5)=2S3+a3+2a4,即 4a5=a3,则 q2= ,53=14解得 q= .12由等比数列a n不是递减数列,可得 q=- ,12故 an= =(-1)n-1 .32(-12)-1 32(2)由 bn=(-1)n+1n,可得 anbn=(-1)n-1 (-1)n+1n=3n .32 (12)故前 n 项和Tn=3 ,112+2(12)2+(12)则 Tn=312 1(12)2+2(12)3+,(
17、12)+1两式相减可得, Tn=312 12+(12)2+(12)- (12)+1=3 ,12(1-12)1-12-(12)+1化简可得 Tn=6 .(1-+22+1)14.解 (1) Sn=2-an, a1=1,当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2-an-(2-an-1)=an-1-an, an= an-1(n2),12则数列a n是公比 q= ,a1=1 的等比数列,12 an= ;(12)-1 bn=f(an)=n-1, Tn= .(0+-1)2 =2-2(2)cn=(n-1) ,(12)-1由 cn+1-cn=n -(n-1) n-2(n-1)= (2-n),(12) (12)-1=(12) (12)当 n=1 时,c 2c1;当 n=2 时,c 3=c2;当 n3 时,c n+1cn, (cn)max=c2=c3= .1215.解 (1)设数列 bn的公差为 d, a3+S3=27,q= ,22 q2+3d=18,6+d=q2,联立方程可求得 q=3,d=3, an=3n-1,bn=3n.(2)由题意得,S n= ,cn= ,n(3+3)2 32=3223 1(+1)=1 1+1 Tn=1- + =1- .12+1213+1314 1 1+1 1+1=+1
