1、考点规范练 28 平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固1.对任意平面向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是( )A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b22.已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60,则(2 a-b)b= ( )A.-1 B.0 C.1 D.23.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b |=1,(a+b)b=0,则向量 a,b 的夹角为( )A.30 B.60 C.150 D.1204.已知向量 p=(2,-3),q=(x,6),且 pq,则|p+ q|的值为( )A. B. C.5 D.135 13
2、5.在四边形 ABCD 中,若 =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为 ( ) A. B.2 C.5 D.105 56.在ABC 中,AB 边上的高为 CD,若 =a, =b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则 =( ) A. a- b B. a- b1313 2323C. a- b D. a- b3535 45457.设向量 a 与 b 的夹角为 ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3),则 cos =( )A.- B. C. D.-35 35 55 2558.设 m,n 为非零向量 ,则“ 存在负数 ,使得 m=n”是“mn |a|-|b|.故不等式不恒成立;C 项,(a
3、+b )2=|a+b|2 恒成立;D 项,(a+b)( a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选 B.2.B 解析 由已知得|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角 =60, (2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos -|b|2=211cos 60-12=0,故选 B.3.D 解析 设向量 a,b 的夹角为 ,则(a+b) b=ab+b2=|a|b|cos +|b|2=0,即 21cos =-1,故 cos =- .12又 0,180,故 =120,故选 D.4.B 解析 由题意得 26+3x=0,x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2
4、,3)|= .135.C 解析 依题意得, =1(-4)+22=0, . 四边形 ABCD 的面积为 | |= =5.12|125206.D 解析 ab=0, . |a|=1,|b|=2, AB= .5又 CDAB , AC2=ADAB. AD= . .45=455 =4555=45 )=45=45(= (a-b),故选 D.457.A 解析 向量 a 与 b 的夹角为 ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3), b= =(2,1),+2-2 cos = =- .|=-4+155 358.A 解析 m,n 为非零向量,若存在 0),又 n(tm+n),所以 n(tm+n)=ntm+nn=t
5、|m|n|cos +|n|2=t3k4k +(4k)2=4tk2+16k2=0.13所以 t=-4,故选 B.14.B 解析 因为 = + ,所以| |2=| + |2. 所以 =2| |2+2| |2+2 .(32)2 因为 AB=1,AD= ,ABAD ,3所以 =2+32.34又 =2+322 ,34 3所以(+ )2= +2 .334 3 34+34=32所以 + 的最大值为 ,当且仅当 = ,= 时等号成立.362 64 2415. B 解析 以 BC 所在的直线为 x 轴,BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知 A(0, ),B(-1,0
6、),C(1,0).3设 P(x,y),则 =(-x, -y), =(-1-x,-y), =(1-x,-y). 3 所以 =(-2x,-2y).+所以 ( )=2x2-2y( -y)=2x2+2 - .+ 3 (-32)232 32当点 P 的坐标为 时, ( )取得最小值为- ,故选 B.(0,32) + 3216.3 解析 | |=| |=1,| |= ,由 tan =7,0, 得 00,cos 0,tan = ,sin 22 =7cos ,又 sin2+cos2=1,得 sin = ,cos = =1, =cos =- ,得方程7210 210,=15, (+4) 35组 -35=15,-
7、35+=1,解得 所以 m+n=3.=54,=74,17. 解析 设 a 与 b 的夹角为 ,由已知得 =60,不妨取 a=(1,0),b=(1, ).7 3设 e=(cos ,sin ),则|ae|+|be| =|cos |+|cos + sin |cos |+|cos |+ |sin |=2|cos |+ |sin |,3 3 3当 cos 与 sin 同号时等号成立.所以 2|cos |+ |sin |=|2cos + sin |=3 3 7|27+37|= |sin(+)| 其中 sin = ,cos = ,取 为锐角 .727 37显然 |sin(+)| .7 7易知当 += 时,|sin(+)|取最大值 1,此时 为锐角,sin ,cos 同为正,因此上述不等式中等号能同2时取到.故所求最大值为 .718.-2 解析 |a+b|=|a-b|, ab,即 ab=0. (b-a)a=ab-a2=-4. 向量 b-a 在向量 a 方向上的投影为 =-2.(-)| =-42
