1、A 级 基础巩固一、选择题1已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m ，n ，则( )Aml BmnCnl Dm n解析：选项 A，只有当 m 或 m 时，m l；选项 B，只有当 m 时，m n；选项C，由于 l，所以 nl；选项 D，只有当 m 或 m 时，mn.答案：C2设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A若 mn，n，则 m B若 m， ，则 mC若 m，n ，n 则 mD若 mn，n ， ，则 m解析：对于 A，若 mn，n，则 m 或 m 或 m 或 m 与 斜交，故 A 错误；对于 B，若 m， 则 m 或 m 或
2、m 或 m 与 斜交，故 B 错误；对于 C，若m，n，则 mn，又 n，则 m，故 C 正确；对于 D，若 mn，n，则 m或 m 或 m 或 m 与 斜交，故 D 错误答案：C3.(2019全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心， ECD 为正三角形，平面ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ( )ABMEN，且直线 BM、EN 是相交直线BBM EN ，且直线 BM、EN 是相交直线CBM EN ，且直线 BM、EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM、EN 是异面直线答案：B4.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB 上任取一点 E，作 EF
3、A 1B1 于点F，则 EF 与平面 A1B1C1D1 的关系是( )A平行BEF 平面 A1B1C1D1C相交但不垂直D相交且垂直解析：由于正方体中平面 ABB1A1平面 A1B1C1D1，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF 与平面 A1B1C1D1 相交且垂直答案：D5如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA 12AB， ABBC，则下列结论中正确的是( )ABD 1B 1C BA 1D1平面 AB1CCBD 1AC DBD 1平面 AB1C解析：连接 BD(图略) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABBC，所以 ACBD.又ACDD1，BD DD1D，所以 A
4、C平面 BDD1，因为 BD1平面 BDD1，所以 ACBD1.答案：C二、填空题6如图，若边长为 4 和 3 与边长为 4 和 2 的两个矩形所在的平面互相垂直，则 cos cos _解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为 5，2 ，5则 cos ，cos ，所以 cos cos 2.525 4 529 52929 2529 229145 5答案： 257设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，有下列四个说法：若 ab，a，b ，则 b；若 a，a ，则 ；若 a， ，则 a 或 a；若 ab，a，b ，则 .其中正确的个数为_解析：若 ab，a，可得出 b 或 b，又 b，可得出
5、 b，正确；若a，a ，由线面平行的性质定理可以得出在 内存在一条线 c，故可得出 ，正确；由 a， ，可得出 a 或 a，正确；由 ab，a，可得出 b 或 b，又 b，可得出 ，正确答案：48已知直二面角 l，点 A，AC l，点 C 为垂足，B，BDl，点 D 为垂足若 AB2， ACBD 1，则 CD 的长为_解析：如图，连接 BC.因为二面角 l 为直二面角，AC ，且 ACl，l，所以 AC.又 BC，所以 ACBC，所以 BC2AB 2AC 23.又 BDCD，所以 CD .BC2 BD2 2答案： 2三、解答题9.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 底面 ABCD，ABAD
6、，AC CD，ABC60，PA ABBC ，E 是 PC 的中点证明：(1)CD AE；(2)PD 平面 ABE.证明：(1)在四棱锥 P-ABCD 中，因为 PA底面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 PACD.又因为 ACCD，且 PAAC A，所以 CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，所以 CDAE.(2)由 PAABBC，ABC 60，可得 ACPA.因为 E 是 PC 的中点，所以 AEPC.由(1)知 AECD，且 PCCDC，所以 AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，所以 AEPD.因为 PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 PAAB.又因为 ABAD，且 P
7、AADA，所以 AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，所以ABPD.又因为 ABAEA，所以 PD平面 ABE.10.(2017全国卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 P-ABCD 的体积为 ，求该四棱锥83的侧面积(1)证明：由已知BAPCDP90，得 ABAP，CDPD.由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)解：如图，在平面 PAD 内作 PEAD，垂足为 E.由(1)知，AB平面 PAD，故ABP
8、E， ABAD，可得 PE平面 ABCD.设 ABx，则由已知可得 AD x，PE x.222故四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD ABADPE x3.13 13由题设得 x3 ，故 x2.13 83从而结合已知可得 PAPD ABDC2，ADBC 2 ，PBPC2 .2 2可得四棱锥 PABCD 的侧面积为 PAPD PAAB PDDC BC2sin 6062 .12 12 12 12 3B 级 能力提升1.如图所示，在正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2， G2G3 的中点，现在沿SE，SF，EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G 2， G3 重合，重合后的点
9、记为 G.给出下列关系：SG平面 EFG；SE平面 EFG； GFSE；EF平面 SEG.其中成立的有( )A与 B与C与 D与解析：由 SGGE，SGGF ，得 SG平面 EFG，排除 C、D；若 SE平面 EFG，则SGSE，这与 SGSES 矛盾，排除 A.答案：B2在三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，PCA90，ABC 是边长为 4 的正三角形，PC4，M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的最小值为 _解析：如图，连接 CM，则由题意知 PC平面 ABC，可得 PCCM，所以 PM，要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可，在ABC 中，当 CMAB 时PC2
10、CM2CM 有最小值，此时有 CM4 2 ，所以 PM 的最小值为 2 .32 3 7答案：2 73.如图，边长为 2 的正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直，AD 与 CE 的交点为M，AC BC，且 ACBC.(1)求证：AM平面 EBC；(2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角正切值(1)证明：因为平面 ACDE平面 ABC，平面 ACDE平面 ABCAC，BC AC，所以 BC平面 ACDE.又 AM平面 ACDE，所以 BCAM.因为四边形 ACDE 是正方形，所以 AMCE.又 BCCEC ，所以 AM平面 EBC.(2)解：取 AB 的中点 F，连接 CF，EF.因为 EAAC，平面 ACDE平面 ABC，平面 ACDE平面 ABCAC，所以 EA平面 ABC，所以 EACF.又 ACBC，所以 CFAB.因为 EAABA，所以 CF平面 AEB，所以CEF 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角在 RtCFE 中，CF ，FE ，2 6tan CEF .26 33
