2019秋人教A版数学必修2同步练习含解析:2.3.3直线与平面垂直的性质

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1、A 级 基础巩固一、选择题1已知互相垂直的平面 , 交于直线 l.若直线 m,n 满足 m ,n ,则( )Aml BmnCnl Dm n解析:选项 A,只有当 m 或 m 时,m l;选项 B,只有当 m 时,m n;选项C,由于 l,所以 nl;选项 D,只有当 m 或 m 时,mn.答案:C2设 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,下列命题正确的是( )A若 mn,n,则 m B若 m, ,则 mC若 m,n ,n 则 mD若 mn,n , ,则 m解析:对于 A,若 mn,n,则 m 或 m 或 m 或 m 与 斜交,故 A 错误;对于 B,若 m, 则 m 或 m 或

2、m 或 m 与 斜交,故 B 错误;对于 C,若m,n,则 mn,又 n,则 m,故 C 正确;对于 D,若 mn,n,则 m或 m 或 m 或 m 与 斜交,故 D 错误答案:C3.(2019全国卷)如图,点 N 为正方形 ABCD 的中心, ECD 为正三角形,平面ECD平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点,则 ( )ABMEN,且直线 BM、EN 是相交直线BBM EN ,且直线 BM、EN 是相交直线CBM EN ,且直线 BM、EN 是异面直线DBMEN,且直线 BM、EN 是异面直线答案:B4.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB 上任取一点 E,作 EF

3、A 1B1 于点F,则 EF 与平面 A1B1C1D1 的关系是( )A平行BEF 平面 A1B1C1D1C相交但不垂直D相交且垂直解析:由于正方体中平面 ABB1A1平面 A1B1C1D1,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF 与平面 A1B1C1D1 相交且垂直答案:D5如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA 12AB, ABBC,则下列结论中正确的是( )ABD 1B 1C BA 1D1平面 AB1CCBD 1AC DBD 1平面 AB1C解析:连接 BD(图略) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,ABBC,所以 ACBD.又ACDD1,BD DD1D,所以 A

4、C平面 BDD1,因为 BD1平面 BDD1,所以 ACBD1.答案:C二、填空题6如图,若边长为 4 和 3 与边长为 4 和 2 的两个矩形所在的平面互相垂直,则 cos cos _解析:由题意,两个矩形的对角线长分别为 5,2 ,5则 cos ,cos ,所以 cos cos 2.525 4 529 52929 2529 229145 5答案: 257设 a,b 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,有下列四个说法:若 ab,a,b ,则 b;若 a,a ,则 ;若 a, ,则 a 或 a;若 ab,a,b ,则 .其中正确的个数为_解析:若 ab,a,可得出 b 或 b,又 b,可得出

5、 b,正确;若a,a ,由线面平行的性质定理可以得出在 内存在一条线 c,故可得出 ,正确;由 a, ,可得出 a 或 a,正确;由 ab,a,可得出 b 或 b,又 b,可得出 ,正确答案:48已知直二面角 l,点 A,AC l,点 C 为垂足,B,BDl,点 D 为垂足若 AB2, ACBD 1,则 CD 的长为_解析:如图,连接 BC.因为二面角 l 为直二面角,AC ,且 ACl,l,所以 AC.又 BC,所以 ACBC,所以 BC2AB 2AC 23.又 BDCD,所以 CD .BC2 BD2 2答案: 2三、解答题9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA 底面 ABCD,ABAD

6、,AC CD,ABC60,PA ABBC ,E 是 PC 的中点证明:(1)CD AE;(2)PD 平面 ABE.证明:(1)在四棱锥 P-ABCD 中,因为 PA底面 ABCD,CD 平面 ABCD,所以 PACD.又因为 ACCD,且 PAAC A,所以 CD平面 PAC.而 AE平面 PAC,所以 CDAE.(2)由 PAABBC,ABC 60,可得 ACPA.因为 E 是 PC 的中点,所以 AEPC.由(1)知 AECD,且 PCCDC,所以 AE平面 PCD.而 PD平面 PCD,所以 AEPD.因为 PA底面 ABCD,AB平面 ABCD,所以 PAAB.又因为 ABAD,且 P

7、AADA,所以 AB平面 PAD,而 PD平面 PAD,所以ABPD.又因为 ABAEA,所以 PD平面 ABE.10.(2017全国卷)如图,在四棱锥 PABCD 中,ABCD,且BAPCDP90.(1)证明:平面 PAB平面 PAD;(2)若 PAPDABDC,APD90,且四棱锥 P-ABCD 的体积为 ,求该四棱锥83的侧面积(1)证明:由已知BAPCDP90,得 ABAP,CDPD.由于 ABCD,故 ABPD,从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB,所以平面 PAB平面 PAD.(2)解:如图,在平面 PAD 内作 PEAD,垂足为 E.由(1)知,AB平面 PAD,故ABP

8、E, ABAD,可得 PE平面 ABCD.设 ABx,则由已知可得 AD x,PE x.222故四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD ABADPE x3.13 13由题设得 x3 ,故 x2.13 83从而结合已知可得 PAPD ABDC2,ADBC 2 ,PBPC2 .2 2可得四棱锥 PABCD 的侧面积为 PAPD PAAB PDDC BC2sin 6062 .12 12 12 12 3B 级 能力提升1.如图所示,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2, G2G3 的中点,现在沿SE,SF,EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1,G 2, G3 重合,重合后的点

9、记为 G.给出下列关系:SG平面 EFG;SE平面 EFG; GFSE;EF平面 SEG.其中成立的有( )A与 B与C与 D与解析:由 SGGE,SGGF ,得 SG平面 EFG,排除 C、D;若 SE平面 EFG,则SGSE,这与 SGSES 矛盾,排除 A.答案:B2在三棱锥 PABC 中,平面 PAC平面 ABC,PCA90,ABC 是边长为 4 的正三角形,PC4,M 是 AB 边上的一动点,则 PM 的最小值为 _解析:如图,连接 CM,则由题意知 PC平面 ABC,可得 PCCM,所以 PM,要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可,在ABC 中,当 CMAB 时PC2

10、CM2CM 有最小值,此时有 CM4 2 ,所以 PM 的最小值为 2 .32 3 7答案:2 73.如图,边长为 2 的正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直,AD 与 CE 的交点为M,AC BC,且 ACBC.(1)求证:AM平面 EBC;(2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角正切值(1)证明:因为平面 ACDE平面 ABC,平面 ACDE平面 ABCAC,BC AC,所以 BC平面 ACDE.又 AM平面 ACDE,所以 BCAM.因为四边形 ACDE 是正方形,所以 AMCE.又 BCCEC ,所以 AM平面 EBC.(2)解:取 AB 的中点 F,连接 CF,EF.因为 EAAC,平面 ACDE平面 ABC,平面 ACDE平面 ABCAC,所以 EA平面 ABC,所以 EACF.又 ACBC,所以 CFAB.因为 EAABA,所以 CF平面 AEB,所以CEF 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角在 RtCFE 中,CF ,FE ,2 6tan CEF .26 33

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