1、2018 年河北省石家庄市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| ylog 2（x2），B x|x2 9，则 A（ RB）（ ）A2，3） B （2，3） C （3，+） D （2，+）2 （5 分）若复数 z 满足 ，其中 i 为虚数单位，则| z|（ ）A2 B C D33 （5 分）已知命题 p：1x3，q：3 x1，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分
2、）函数 f（x ） 的图象大致为（ ）A BC D5 （5 分）已知双曲线 （a0，b0）与椭圆 有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的方程为（ ）A BC D6 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D7 （5 分）已知 ABCD 为正方形，其内切圆 I 与各边分别切于 E，F，G ，H，连接EF， FG，GH，HE现向正方形 ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件 A：豆子落在圆 I内，事件 B：豆子落在四边形 EFGH 外，则 P（B|A）（ ）A B C D8 （5
3、分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）A B C D2第 3 页（共 25 页）9 （5 分）将函数 f（x ）2sinx 图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，然后向左平移 个单位长度，得到 yg（x）图象，若关于 x 的方程 g（x）a 在上有两个不相等的实根，则实数 a 的取值范围是（ ）A2，2 B2，2） C1 ，2） D 1，2）10 （5 分）若函数 f（x ） ，g（x）分别是定义在 R 上的偶函数，奇函数，且满足 f（x）+2g（x ）e x，则（ ）Af（2）f（3）g（
4、1） Bg（1）f（3）f （2）Cf（2）g（1）f（3） Dg（1） f（2）f（3）11 （5 分）已知 F1，F 2 分别为椭圆 + 1（ab0）的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长 PF2 交椭圆于点 Q，若 PF1PQ 且| PF1|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）A2 B C D12 （5 分）为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖） ，但没有得到牟合方盖的体积200 年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异意思是，夹在两个平
5、行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）第 4 页（共 25 页）13 （5 分）已知（1+x） n 的展开式各项系数之和为 256，则展开式中含 x2 项的系数为 14 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a66， S1515，则公差 d &nb
6、sp; 15 （5 分）在ABC 中， ，其面积为 3，设点 H 在ABC 内，且满足0，则 16 （5 分）对x 1R， x23，4 ，使得不等式 x12+x1x2+x222x 1+mx2+3 成立，则实数 m的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 acosB+bsinAc（1）求角 A 的大小；（2）若 ，ABC 的面积为 ，求 b+c 的值18 （12 分）2022 年北京冬奥会的申办成功与“
7、3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热” 北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 ，而男生有 10 人表示对冰球运动没有兴趣额（1）完成 22 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计男 55女合计（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取 1 名学生，抽取 5 次，记被抽取的 5 名学生中对冰球有兴趣的人数为 x，若每次抽取的结果是相互独立的，求 x 的分布列，期望和方差附表：P（K
8、 2k 0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635第 5 页（共 25 页）19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PBC平面ABCD， PBPD（1）证明：平面 PAB平面 PCD；（2）若 PBPC ，E 为棱 CD 的中点，PEA90，BC 2，求二面角 BPAE 的余弦值20 （12 分）已知点 ，直线 l： ，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 H，且满足 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）过点 F 作直线 l'与轨迹
9、C 交于 A，B 两点，M 为直线 l 上一点，且满足 MAMB，若MAB 的面积为 ，求直线 l'的方程21 （12 分）设函数 f（x ）xe 1x （1）求证：当 x0 时， ；（2）求证：对任意给定的正数 k，总存在 x0，使得当 x（x 0，+）时，恒有请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 x2+y24，直线 l 的参数方程（t 为参数） ，若将曲线 C1 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线 C2（1）写出曲线 C2 的参数方程；
10、（2）设点 ，直线 l 与曲线 C2 的两个交点分别为 A，B ，求第 6 页（共 25 页）的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x +1|+|3x1| ，M 为不等式 f（x）6 的解集（1）求集合 M；（2）若 a，bM，求证：|ab +1|a+b|第 7 页（共 25 页）2018 年河北省石家庄市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| ylog 2（x2），B x|x2 9，则 A（ RB）（ ）A2，3
11、） B （2，3） C （3，+） D （2，+）【分析】根据条件求出集合 A，B 的等价条件，结合集合的补集和交集的定义进行求解即可【解答】解：Ax| ylog 2（x2） x|x20 x|x2，B x|x29x|x3或 x3，RBx| 3x3，则 A（ RB）x |2x 3（2，3）故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键2 （5 分）若复数 z 满足 ，其中 i 为虚数单位，则| z|（ ）A2 B C D3【分析】设出复数 z，利用复数相等的条件求出 a，b 的值，然后由复数模的公式计算得答案【解答】解：设 za+ bi（a，b R）
12、， ，2（a+bi）+abi3i，即 3a+bi3i ，解得 a1，b1，复数 z1i 的模为 故选：C【点评】本题考查复数相等的充要条件，考查复数的模的求法，是基础题3 （5 分）已知命题 p：1x3，q：3 x1，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】q：3 x1，可得 x0，又命题 p：1x3，即可判断出关系【解答】解：q：3 x1，可得 x0，又命题 p：1x3，第 8 页（共 25 页）p 是 q 的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4
13、 （5 分）函数 f（x ） 的图象大致为（ ）A BC D【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除 C，D 两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在 X 轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在 x 轴上方，故可排除 B，A 选项符合，故选：A【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值5 （5 分）已知双曲线 （a0，b0）与椭圆 有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为 ，则该双曲线
14、的方程为（ ）A BC D【分析】求出双曲线的渐近线方程可得 ，求出椭圆的焦点坐标，可得c2 ，即 a2+b28，解方程可得 a，b 的值，进而得到双曲线的方程第 9 页（共 25 页）【解答】解：曲线 （a0，b0）的一条渐近线方程为 ，可得， ，椭圆 的焦点为（2 ，0） ，可得 c2 ，即 a2+b28，由可得 a ，b ，则双曲线的方程为 故选：D【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查6 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为（ ）A B C D【分析】由已知中的程序框图可知：该
15、程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量第 10 页（共 25 页）S + + 1 + + 的值，由退出循环的条件为 n50，故最后一次进行循环的循环变量的值：kn50，故输出的 S 值为 ，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7 （5 分）已知 ABCD 为正方形，其内切圆 I 与各边分别切于 E，F，G ，H，连接EF， FG，GH，HE现向正方形 ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件 A：豆子落在圆 I内，事件 B
16、：豆子落在四边形 EFGH 外，则 P（B|A）（ ）A B C D【分析】由题意，计算正方形 EFGH 与圆 I 的面积比，利用对立事件的概率求出P（B| A）的值【解答】解：由题意，设正方形 ABCD 的边长为 2a，则圆 I 的半径为 ra，面积为 a2；正方形 EFGH 的边长为 a，面积为 2a2；所求的概率为 P（B|A）1 1 故选：C【点评】本题考查条件概率与几何概率的计算问题，是基础题8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）第 11 页（共 25 页）A B C D2【分析】由已知可得该
17、几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，三棱锥的原题侧棱与底面的一个顶点垂直，其体积 V （ 12）2 ，故选：B【点评】本题考查的知识点棱锥的体积与表面积，空间几何体的三视图，难度中档9 （5 分）将函数 f（x ）2sinx 图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，然后向左平移 个单位长度，得到 yg（x）图象，若关于 x 的方程 g（x）a 在上有两个不相等的实根，则实数 a 的取值范围是（ ）A2，2 B2，2） C1 ，2） D 1，2）【分析】根据三角函数的图象变换关系求出 g（x）
18、的解析式，结合三角函数的图象进行求解即可【解答】解：将函数 f（x ）2sinx 图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到 y2sin2 x，然后向左平移 个单位长度，得到 yg（x）图象，z第 12 页（共 25 页）即 g（x）2sin2（x+ ）2sin（2x+ ） ， x ， 2x ， 2x+ ，当 2x+ 时，g（x ）2sin 2 1，函数的最大值为 g（x）2，要使 g（x）a 在 上有两个不相等的实根，则 1a2，即实数 a 的取值范围是1，2 ） ，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用整体转换法是解决本题的关键10 （5 分）若
19、函数 f（x ） ，g（x）分别是定义在 R 上的偶函数，奇函数，且满足 f（x）+2g（x ）e x，则（ ）Af（2）f（3）g（ 1） Bg（1）f（3）f （2）Cf（2）g（1）f（3） Dg（1） f（2）f（3）【分析】运用奇偶性的定义，将 x 换为x，解方程可得 f（x） ，g（x） ，计算可得所求大小关系【解答】解：函数 f（x ） ，g（x）分别是定义在 R 上的偶函数，奇函数，且满足 f（x）+2g（x）e x，可得 f（x）+2g（x）e x ，即有 f（x）2 g（x）e x ，解得 f（x） （e x+ex ） ，第 13 页（共 25 页）g（x） （
20、e xe x ） ，可得 g（1） （ e）0，f（2） （e 2 +e2）0，f（3） （e 3 +e3）0，f（2）f（3） （e1） （e 3 e 2）0，即有 g（1）f（2）f（3） ，故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性的运用：求函数解析式，考查运算能力，属于中档题11 （5 分）已知 F1，F 2 分别为椭圆 + 1（ab0）的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长 PF2 交椭圆于点 Q，若 PF1PQ 且| PF1|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）A2 B C D【分析】由题意可得PQF 1 为等腰直角三角形，设| PF1|t ，|QF 1|m，运用椭
21、圆的定义可得|PF 2|2at，| QF2|2am，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率【解答】解：PF 1PQ 且| PF1|PQ|，可得PQF 1 为等腰直角三角形，设|PF 1| t，| QF1|m，由椭圆的定义可得|PF 2|2at，| QF2|2am，即有 t4atm，m t，则 t2（2 ）a，在直角三角形 PF1F2 中，可得 t2+（2a t） 24c 2，4（64 ）a 2+（128 ）a 24c 2，化为 c2（96 ）a 2，可得 e 故选：D【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角第 14 页（共 25 页）形的性质和勾
22、股定理，以及运算求解能力，属于中档题12 （5 分）为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖） ，但没有得到牟合方盖的体积200 年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为（ ）A B C D【分析】在高度
23、h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为 S1，截得正方体所得面积为 S2，截得锥体所得面积为 S3， ，S 2S 1S 3，求出 S3h 2，再由定积分求出锥体体积，由正方体的体积减去锥体体积即可【解答】解：在高度 h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为 S1，截得正方体所得面积为 S2，截得锥体所得面积为 S3，可得 ， ，S 2S 1S 3，由 S3h 2，可得 h2dh h3 则 V1 该牟合方盖的体积为：8V8 故选：B【点评】本题考查不规则几何体的体积的求法，考查祖暅原理的运用，以及定积分的运第 15
24、 页（共 25 页）用，考查推理和运算能力，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知（1+x） n 的展开式各项系数之和为 256，则展开式中含 x2 项的系数为 28 【分析】由已知求得 n，写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 2 求得 r 值，则答案可求【解答】解：由题意，2 n256，n8（1+x） n（1+x） 8，其展开式的通项为 ，取 r2，得展开式中含 x2 项的系数为 28故答案为：28【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题14 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a66，
25、 S1515，则公差 d 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：a 66，S 1515，a 1+5d6，15a 1+ d15，d 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15 （5 分）在ABC 中， ，其面积为 3，设点 H 在ABC 内，且满足0，则 【分析】由条件可得 AHBC，延长 AH 交 BC 于 M，运用直角三角形的性质可得|BM|，再由三角形的面积公式计算可得所求值【解答】解：满足 0，可得 AHBC，延长 AH 交 BC 于 M，则 | | |co
26、sHBC|BM| |BC|，由在ABC 中， ，其面积为 3，第 16 页（共 25 页）可得|BM| |AB|，3 |AB|BC|sin ，可得 |AB|BC|2 ，即 2 ，故答案为：2 【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查三角形的面积公式，以及直角三角形的性质，属于中档题16 （5 分）对x 1R， x23，4 ，使得不等式 x12+x1x2+x222x 1+mx2+3 成立，则实数 m的取值范围是 （，3 【分析】根据二次函数的性质计算 x12+（x 22）x 1 的最小值，从而得出 x2 与 m 之间的关系，分类参数得出 m x2 +1，求出右侧函数的最大值即
27、可得出 m 的范围【解答】解：由 得：x 12+（x 22）x1x 22+mx2+3，当 x11 时，x 12+（x 22）x 1 取得最小值（1 ） 2+（x 22） （1 ）+x21， +x21x 22+mx2+3，x 20，m x2 +1，x 23，4， x2 +1 的最大值为 3m3故答案为：（，3【点评】本题考查了二次函数的性质，函数存在性问题与函数最值的关系，属于中档题第 17 页（共 25 页）三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 acosB+bsin
28、Ac（1）求角 A 的大小；（2）若 ，ABC 的面积为 ，求 b+c 的值【分析】 （1）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得 A 的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得 b+c 的值【解答】解：（1）ABC 中，acos B+bsinAc，由正弦定理得：sinAcosB+sinBsin AsinC ，又 sinCsin （A +B）sinAcosB+cosAsin B，sinBsinAcosAsinB，又 sinB0，sinAcosA ，又 A（0，） ，tanA 1，A ；（2）由 SABC bcsinA bc ，解得 bc2 ；又 a2b 2+c22bc cosA
29、，2b 2+c2 bc（b+ c） 2（2+ ）bc，（b+c） 22+（2+ ）bc2+（2+ ） （2 ）4，b+c2【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题18 （12 分）2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热” 北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 ，而男生有 10 人表示对冰球运动没有兴趣额（1）完成 22 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计第
30、18 页（共 25 页）男 55女合计（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取 1 名学生，抽取 5 次，记被抽取的 5 名学生中对冰球有兴趣的人数为 x，若每次抽取的结果是相互独立的，求 x 的分布列，期望和方差附表：P（K 2k 0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】 （1）根据已知数据得到列联表，求出 K23.0302.706，从而有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关” （2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是 ，由题意知 XB（5
31、， ） ，由此能求出 X 的分布列、期望和方差【解答】解：（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣 没有兴趣 合计男 45 10 55女 30 15 45合计 75 25 100根据列联表中的数据，得到 K2 ，K23.0302.706，所以有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关 ”（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是 ，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是 ，由题意知 XB（5， ） ，P（X0）（ ） 5 ，第 19 页（共 25 页）P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ，P（X4） ，P（X5）（ ） 5 ，从而 X 的分布列为X 0
32、1 2 3 4 5PXB（5， ） ，E （X）5 ，D （X） 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机事件概率分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PBC平面ABCD， PBPD（1）证明：平面 PAB平面 PCD；（2）若 PBPC ，E 为棱 CD 的中点，PEA90，BC 2，求二面角 BPAE 的余弦值【分析】 （1）证明 CDBC CDPBPB PD 推出 PB平面 PCD然后证明平面PAB平面 PCD（2）设 BC 中点为
33、O，连接 PO，OE ，以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz求出平面 PAB 的法向量，平面 PAE 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 BPAE 的余弦值即可第 20 页（共 25 页）【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，CDBC平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCDBC ， CD平面 ABCD，CD平面 PBC，CDPB PBPD ，CDPD D，CD、PD 平面 PCD，PB平面 PCDPB 平面 PAB，平面 PAB平面 PCD（2）解：设 BC 中点为 O，连接 PO，OE ，PBPC ，PO
34、 BC ，又面 PBC面ABCD，且面 PBC面 ABCDBC，所以 PO面 ABCD以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz由（1）知 PB平面 PCD，故 PB ，设 ABa，可得 ，所以 ，由题得 ，解得 所以 ，设 （x，y，z）是平面 PAB 的法向量，则 ，即 ，可取 （1，0，1） 设 （x，y，z）是平面 PAE 的法向量，则 ，即 ，可取 （1， ，3） 所以二面角 BPA E 的余弦值为 第 21 页（共 25 页）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用应用，考查空间想象能力以及计算能力2
35、0 （12 分）已知点 ，直线 l： ，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 H，且满足 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）过点 F 作直线 l'与轨迹 C 交于 A，B 两点，M 为直线 l 上一点，且满足 MAMB，若MAB 的面积为 ，求直线 l'的方程【分析】 （1）根据向量的数量的运算即可求出轨迹方程，（2）设 l的方程为 ykx+ ，根据韦达定理和弦长公式以及点到直线的距离公式和三角形的面积公式即可求出 k 的值，问题得以解决【解答】解：（1）设 P（x ，y ） ，则 ， ，（x， y ） ， + （x ，2y） ， ，x 22y0，
36、即轨迹 C 的方程为 x22y（ II）显然直线 l的斜率存在，设 l的方程为 ykx+ ，由 ，消去 y 可得：x 22kx10，设 A、B 的坐标分别为（x 1，y 1） 、 （x 2，y 2） ，M（t， ） ，x 1+x22k，x 1x21，第 22 页（共 25 页） （x 1t，y 1+ ） ， （x 2t ，y 2+ ） ，MAMB， ，即（x 1t） （x 2t）+（y 1+ ） ）+（y 2+ ）0，x 1x2（x 1+x2）t+ t2+（kx 1+1） （kx 2+1）0，12kt+t 2k 2+2k2+10，即 t22kt+k 20，tk，即 M（ k， ） ，|AB|
37、2（1+k 2） ，M（k ， ）到直线 l的距离 d ，S MAB |AB|d（1+k 2） 2 ，解得 k1，直线 l的方程为 x+y+ 或 xy+ 0【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，直线和抛物线的位置关系，弦长公式，三角形的面积公式，考查了学生的计算能力，是中档题21 （12 分）设函数 f（x ）xe 1x （1）求证：当 x0 时， ；（2）求证：对任意给定的正数 k，总存在 x0，使得当 x（x 0，+）时，恒有【分析】 （1）当 x0 时， 等价于 x0，x 2e x，构造函数 g（x）e xx 2，x0则 g'（x ） ex2x ，记 h（
38、x）g'（x） ex2x ，利用导函数求解函数的极值，转化求解判断函数的单调性，推出结果（2）由（1）可知，当 x0 时，e xx 2于是， 转化证明求解即可【解答】解：（1）当 x0 时， 等价于 x0，x 2e x，第 23 页（共 25 页）构造函数 g（x）e xx 2，x0则 g'（x）e x2x，记 h（x）g'（x ）e x2x ， h（x）e x2，当 xln2 时， h（x）0，h（x）在（ln2，+）上单调递增；当 0xln2 时， h（x）0，h（x）在（0，ln2）上单调递减于是，g'（x） minh（x ） minh（ln2）22ln
39、20，即当 x0 时，g'（x）0，g（x）为（0，+）上的增函数，所以，g（x）g（0）0，即 exx 2于是，当 x0 时， （2）证明：由（1）可知，当 x0 时，e xx 2于是， 所以， 解不等式 ，可得 ，取 则对任意给定的正数 k， ，当 xx 0 时，有，即 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 x2+y24，直线 l 的参数方程（t 为参数）
40、，若将曲线 C1 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线 C2（1）写出曲线 C2 的参数方程；（2）设点 ，直线 l 与曲线 C2 的两个交点分别为 A，B ，求的值【分析】 （1）推导出曲线 C2 的直角坐标方程，由此能求出曲线 C2 的参数方程（2）将直线 l 的参数方程化为标准形式，将参数方程代入 ，得. 的值第 24 页（共 25 页）【解答】解：（1）曲线 C1 的方程为 x2+y24，直线 l 的参数方程 （t为参数） ，若将曲线 C1 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得曲线 C2曲线 C2 的直角坐标方程为 ，整理得 ，曲线 C2 的参数方程 （ 为参数） （
41、2）将直线 l 的参数方程化为标准形式为 （t '为参数） ，将参数方程代入 ，得 ，整理得 ， ， 【点评】本题考查曲线的参数方程的求法，考查两线段的倒数的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|3x +1|+|3x1| ，M 为不等式 f（x）6 的解集（1）求集合 M；（2）若 a，bM，求证：|ab +1|a+b|【分析】 （1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出 x 的范围；（2）由） （ab+1） 2（a+ b） 2（a 21） （b 21）
42、 ，即可证得要求证得式子【解答】解：（1）f（x ）|3x+1|+|3x1| 6当 时，f（x ）3x13x+16x，由6x6 解得x1， ；第 25 页（共 25 页）当 时，f（x ）3x+13x+12，26 恒成立， ；当 时，f（x ）3x+1+3x16x 由 6x6 解得 x1，综上，f（x） 6 的解集 Mx|1x 1 ；证明：（2） （ab+1） 2（a+b） 2a 2b2+2ab+1（a 2+b2+2ab）a 2b2a 2b 2+1（a 21） （b 21）由 a，bM 得|a|1，| b|1，a 210，b 210，（a 21） （b 21）0，|ab +1|a+b|【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题
