1、2019 年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|1x 1，则 AB（ ）A （1，1） B （1，2） C （1，0） D （0，1）2 （5 分）若复数 z 满足 ，则|z|（ ）A B C D3 （5 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 S633 ，a 12，则 a5（ ）A12 B10 C10 D124 （5 分）下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ &nbs
2、p;）A By2 x2 x Cysinx Dy x 25 （5 分）若 x、y 满足约束条件 ，则 zx +2y 的取值范围是（ ）A0，6 B0，4 C6 ，+） D4 ，+）6 （5 分）已知ABC 的边 BC 上有一点 D 满足 3 ，则 可表示为（ ）A 2 +3 B +C + D +7 （5 分）太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被 的图象分割为两
3、个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼” ，已知小圆的半径均为 1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（ ）第 2 页（共 24 页）A B C D8 （5 分）已知双曲线 C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为 ，点在 C 上，则 C 的方程为（ ）A BC D9 （5 分）由 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A BC D10 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 1AB 2BC4，E 是 AB 的中点，则三棱锥 ED 1
4、C1C 外接球的表面积为（ ）A36 B32 C9 D811 （5 分）已知 x1 是 f（x）x 2（a+3）x+2a+3e x 的极小值点，则实数 a 取值范围是（ ）A （1，+） B （1，+） C （，1） D （，1）12 （5 分）已知椭圆 的左右顶点分别为 A，B，P 是椭圆上异于 A，B 的一点，若直线 PA 的斜率 kPA 与直线 PB 的斜率 kPB 乘积 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D第 3 页（共 24 页）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）一个频率分布表（样本容量为 50）不小
5、心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20， 60）上的频率为 0.6，则估计样本在 40，50） ， 50，60）内的数据个数之和是 14 （5 分）已知数列a n为等比数列，a 12，a 34 则 a12+a22+a32+a82 15 （5 分） 的展开式中 x4 的系数为 16 （5 分）在平面凸四边形 ABCD 中， ，将ABD 沿BD 折起，形成三棱锥 A'BCD ，若翻折过程中，存在某个位置，使得 BCA'D，则 x取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，AC8，BC 7， （1）求角 A 的大小；（2）求ABC 的面积18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，侧面 SBC 是等边三角形，SBAC（1）证明：ABAS ；（2）若 ABAS，CACS ，求二面角 ASDC 的余弦值19 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）经过点 M（ ， ） ， ，第 4 页（共 24 页）直线 l：ykx+ 与椭圆 C 交于 A，B
7、两点，O 是坐标原点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求OAB 面积的最大值20 （12 分）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷 4 枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利” 顾客每买一件产品可以参加 3 次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利” ，则顾客获得代金券 万元，否则该次投掷不获奖；方案二：顾客获得的代金券金额和参加的 3 次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：获得代金券金额（万元） 0“顾客胜利”次数 0 1 2 3（1）求顾客投掷一次硬币，该次投掷
8、“顾客胜利”的概率；（2）若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？21 （12 分）已知函数 在（0，+）上单调递减（1）求 a 的取值范围；（2）若 g（x） lnx 的图象在 xx 1，x 2（x 1x 2）的切线斜率相同，证明：（ i）x 1x2256；（ ii）g（x 1）+g（x 2）8 8ln2（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为
9、极轴建立极坐标系，直线 l1 的极坐标方程为，将直线 l1 绕极点 O 逆时针旋转 个单位得到直线 l2（1）求 C 和 l2 的极坐标方程；（2）设直线 l1 和曲线 C 交于 O，A 两点，直线 l2 和曲线 C 交于 O，B 两点，求第 5 页（共 24 页）|OA|+|OB|的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+|2x2|（a R） （1）当 a2 时，求不等式 f（x ）2 的解集；（2）若 f（x） 2，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 24 页）2019 年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每
10、小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|1x 1，则 AB（ ）A （1，1） B （1，2） C （1，0） D （0，1）【分析】解二次不等式可求得 A（0，2） ，又 B（1，1）则可得解【解答】解：解二次不等式 x22x0，得 0x 2，所以集合 A（0，2） ，又 B（1，1） ，所以 AB （0，1） ，故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，属简单题2 （5 分）若复数 z 满足 ，则|z|（ ）A B C D【分析】直接利用商的模等于模的商求解【解答】解： ，|z|
11、 | | 故选：C【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题3 （5 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 S633 ，a 12，则 a5（ ）A12 B10 C10 D12【分析】先根据求和公式即可求出公差，再求和即可【解答】解：S 633，a 12，S 66a 1+ d，3312+15d，d3，a 5a 1+4d24310，故选：B【点评】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式，属于基础题第 7 页（共 24 页）4 （5 分）下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ）A By2 x2 x Cysinx Dy x 2【分析
12、】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，y ，为反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于 B，y2 x2 x ，有 f（x）2 x 2 xf（x） ，为奇函数，且其导数 f（x）2 x2 x 0，在其定义域上为增函数，符合题意；对于 C，ysinx ，为正弦函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于 D，yx 2，为偶函数，不符合题意；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数奇偶性与单调性，属于基础题5 （5 分）若 x、y 满足约束条件 ，则 zx +2y 的取值范围是（ &n
13、bsp;）A0，6 B0，4 C6 ，+） D4 ，+）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解：x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图：目标函数 zx+2y 经过 C 点时，函数取得最小值，由 解得 C（2，1） ，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4，+） 故选：D第 8 页（共 24 页）【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键6 （5 分）已知ABC 的边 BC 上有一点 D 满足 3 ，则 可表示为（ ）A 2 +3 B +C + D +【分析】根据向量的三角形法则和向量的几何意义即可求出【解答】解：
14、由 3 ，则 + + + （ ） + ，故选：C【点评】本题考查了向量的三角形法则和向量的几何意义，属于基础题7 （5 分）太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被 的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼” ，已知小圆的半径均为 1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（ ）第 9 页（共 24 页）A B C D【分析】
15、由三角函数的周期可得：函数 的周期为 6，即大圆的半径为3，由几何概型中的面积型可得：P（A） ，得解【解答】解：由函数 的图象可得函数的周期为 6，即大圆的半径为 3，设“此点投放到“鱼眼”部分”为事件 A，由几何概型中的面积型可得：P（A） ，故选：B【点评】本题考查了三角函数的周期及几何概型中的面积型，属中档题8 （5 分）已知双曲线 C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为 ，点在 C 上，则 C 的方程为（ ）A BC D【分析】由题意 y x 是 C 的一条渐近线，故可设双曲线的标准方程为（y+ x）（y x）把点 P 的坐标代入即可【解答】解：由题意可知：求的双曲线的方
16、程是标准方程第 10 页（共 24 页）y x 是 C 的一条渐近线，可设双曲线的方程为（y+ x） （y x） ，即 y22x 2把点 P（2 ，2）代入得（2） 22（2 ） 2，解得 14双曲线的方程为 y22x 214化为 1，故选：B【点评】本题考查了双曲线的性质和方程，属于基础题9 （5 分）由 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A BC D【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果【解答】解：函数 的图象向左平移 个单位，得到： ，再把所得图象上所有
17、点的横坐标伸长到原来的 2 倍后，所得： 故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 1AB 2BC4，E 是 AB 的中点，则三棱锥 ED 1C1C 外接球的表面积为（ ）A36 B32 C9 D8【分析】由题意画出图形，由已知求得 D1ECE，可得 D1C 中点 O 为三棱锥ED 1C1C 外接球的球心，求出半径，代入球的表面积公式得答案【解答】解：如图，AA 1AB2BC4，E 是 AB 的中点，第 11 页（
18、共 24 页）CE ， ， ，则 ，D 1ECE，又 D1C1C 1C，取 D1C 中点 O，则 O 为三棱锥 ED 1C1C 外接球的球心，外接球的半径为 三棱锥 ED 1C1C 外接球的表面积为 故选：B【点评】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题11 （5 分）已知 x1 是 f（x）x 2（a+3）x+2a+3e x 的极小值点，则实数 a 取值范围是（ ）A （1，+） B （1，+） C （，1） D （，1）【分析】根据题意求函数 f（ x）的导数 f（x） ，根据 x1 是 f（x）的极小值点，得出 x1 时 f （x）0，且 x
19、1 时 f（x）0，由此可得出实数 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）x 2（a+3 ）x +2a+3ex，则 f（x）x 2（a+1）x +aex，令 f（x）0 ，得 x2（a+1）x+a0，设 g（x）x 2（a+1）x +a，x R，当 a 1 时， g（x）（x1） 20 恒成立，f（x）0 恒成立，f（x）是 R 上的单调增函数，没有极值点，不合题意；当 a 1 时， g（x）有两个零点 1 和 a，且 x1 或 xa 时 g（x）0，则 f（x）0，第 12 页（共 24 页）1xa 时 g（x ）0，则 f（x）0，所以 x1 是 f（ x）的极大值点，不满足题意；当
20、a 1 时， g（x）有两个零点 1 和 a，且 xa 或 x1 时 g（x）0，则 f（x）0，ax1 时 g（x ）0，则 f（x）0，所以 x1 是 f（ x）的极小值点，满足题意；综上所述，x1 是 f（x）的极小值点时，实数 a 取值范围是（，1） 故选：D【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，也考查了导数的应用问题，是中档题12 （5 分）已知椭圆 的左右顶点分别为 A，B，P 是椭圆上异于 A，B 的一点，若直线 PA 的斜率 kPA 与直线 PB 的斜率 kPB 乘积 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】设 P 点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜
21、率公式，即可求得 ，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率【解答】解：设 P（x 0，y 0）代入椭圆方程，则 ，整理得：y 02 （x 02a 2） ，又 k1 ，k 2 ，所以 k1k2 ，联立两个方程则 k1k2 ，即 ，第 13 页（共 24 页）则 e 故选：D【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）一个频率分布表（样本容量为 50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20， 60）上的频率为 0.6，则估计样本在 40，50） ， 50，60）内的数据个数之和是 21 【分析】设分布在4
22、0，50） ，50，60）内的数据个数分别为 x，y 根据样本容量为 50和数据在20，60）上的频率为 0.6，建立关于 x、y 的方程，解之即可得到 x+y 的值【解答】解：根据题意，设分布在40，50） ，50，60）内的数据个数分别为 x，y样本中数据在20，60）上的频率为 0.6，样本容量为 50 ，解之得 x+y21即样本在40，50） ，50，60 ）内的数据个数之和为 21故答案为：21【点评】本题给出频率分布表的部分数据，要我们求表中的未知数据着重考查了频率分布表的理解和频率计算公式等知识，属于基础题14 （5 分）已知数列a n为等比数列，a 12，a 34 则 a12+
23、a22+a32+a82 1020 【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式即可求出【解答】解：数列a n为等比数列，a 12，a 34，q 2 2，a n2（a 1qn1 ） 24（q 2） n1 42 n1 2 n+1，a 12+a22+a32+a82 1020，故答案为：1020【点评】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力，属于基础题第 14 页（共 24 页）15 （5 分） 的展开式中 x4 的系数为 120 【分析】把 按照二项式定理展开，可得 的展开式中 x4 的系数【解答】解： （1+x 3）（x 10+10x7+40x4+80x+80x2 32x5
24、 ） ，故它的展开式中 x4 的系数为 40+80120，故答案为：120【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题16 （5 分）在平面凸四边形 ABCD 中， ，将ABD 沿BD 折起，形成三棱锥 A'BCD ，若翻折过程中，存在某个位置，使得 BCA'D，则 x取值范围是 （ ，+） 【分析】求得 BD3，取 BD 的中点 E，连接 A'E，CE ，由等腰三角形的三线合一，以及线面垂直的判断和性质，以及已知垂直条件可得 A'在底面 BCD 的射影为垂心 H，求得 A'E，EH ，由 A
25、9;EEH，解不等式可得所求范围【解答】解：由平面凸四边形 ABCD 中， ，可得 BD3，取 BD 的中点 E，连接 A'E，CE，由 A'BA 'D，CBCD，可得 BDA'E，BD CE ，则 BD平面 A'CE，可得 BDA'C，由存在某个位置，使得 BC A'D，由线面垂直的判断和性质可得 A'在底面 BCD 的射影为三角形 BCD 的垂心，设 H 为垂心，可得 AEEH ，即 3，解得 x ，满足 x+x3，故答案为：（ ，+） 第 15 页（共 24 页）【点评】本题考查线面垂直的判断和性质的运用，考查转化思想和空间
26、想象能力、推理能力，属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，AC8，BC 7， （1）求角 A 的大小；（2）求ABC 的面积【分析】 （1）由已知利用同角三角函数关系式可求 sinB 的值，根据正弦定理可得，利用大边对大角可求 A 的范围，即可得解 A 的值（2）由（1）利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）在ABC 中，cos
27、B0，所以 ，所以 ，由正弦定理可得， ，即 ，得 （4 分）又因为 AB ，所以 ，第 16 页（共 24 页）所以 （6 分）（2）由（1）可得：sinCsin（A+B）sin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，（9 分）可得： （12 分）【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理，大边对大角，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，侧面 SBC 是等边三角形，SBAC（1）证明：ABAS ；（2）若 ABAS，CACS ，求二面角 AS
28、DC 的余弦值【分析】 （1）取 BS 的中点 O，连接 CO，AO ，推导出 BSCO，BSAC ，从而 BS面 AOC再求出 BSAO由此能证明 ABAS（2）设 BS2，以 O 为原点， 分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 ASD C 的余弦值【解答】 （本小题满分 12 分）证明：（1）取 BS 的中点 O，连接 CO，AO ，因为SBC 是等边三角形，所以 BSCO ，又 BSAC，ACCOC，所以 BS面 AOC又 AO面 AOC，所以 BSAO（3 分）又 O 是 BS 的中点，所以 ABAS （4 分）（2）设 BS2，依题意可得
29、 AOOS 1， ，CA CS2因为 AO2+OC2AC 2，所以 AOOC第 17 页（共 24 页）又由（1）知，OSOA，OSOC，如图以 O 为原点， 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，（6 分）则 A（0，0，1） ，S（1，0，0） ， ，B（1，0，0） ， ，设面 ASD 的一个法向量为 ，则 ，即 ，得方程的一组解为 ，即 （8 分）， ，设面 SDC 的一个法向量为 ，则 ，即 ，得方程的一组解为 ，即 （10 分）（11 分）所以二面角 ASDC 的余弦值为 （12 分）第 18 页（共 24 页）【点评】本题考查两线段相等的证明，考查二面角的余弦
30、值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0）经过点 M（ ， ） ， ，直线 l：y kx+ 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求OAB 面积的最大值【分析】 （1）依题意可得 解得 ，即可求出椭圆方程，（2）联立方程组，得（1+4k 2）x 2+12kx+50，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，能求出OAB 面积取最大值【解答】解：（1）依题意可得 解得 ，椭圆 C 的标准方程为 ，（2）设 A（x
31、1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，第 19 页（共 24 页）由 得（1+4k 2）x 2+12kx+50，（12k） 245（1+4k 2）64k 220由0 得 ， ， ，O 到 AB 的距离设 ，则 ，当且仅当 ，即 t29 时，得 ，OAB 面积取得最大值 1【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷 4 枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利” 顾客每买
32、一件产品可以参加 3 次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利” ，则顾客获得代金券 万元，否则该次投掷不获奖；方案二：顾客获得的代金券金额和参加的 3 次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：获得代金券金额（万元） 0“顾客胜利”次数 0 1 2 3（1）求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；第 20 页（共 24 页）（2）若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？【分析】 （1）设“顾客投掷一次硬币，该次投掷顾客胜利 ”为事件 A，利用古典概型能求出
33、顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率（2）方案一：设顾客参加的 3 次投掷活动中“顾客胜利”次数为 X，获得代金券数目为 Y，则 ， ， ；方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为 ，求出 ，从而统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案二【解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）设“顾客投掷一次硬币，该次投掷顾客胜利 ”为事件 A，则 所以顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率为 （3 分）（2）方案一：设顾客参加的 3 次投掷活动中“顾客胜利”次数为 X，获得代金券数目为 Y，则 ， ， （6 分）方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为 ，则 ，（8 分）（以上概率
34、的值无需化简），第 21 页（共 24 页）（10 分）统计的角度来分析，小翁该采取奖励方案二（12 分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的应用，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21 （12 分）已知函数 在（0，+）上单调递减（1）求 a 的取值范围；（2）若 g（x） lnx 的图象在 xx 1，x 2（x 1x 2）的切线斜率相同，证明：（ i）x 1x2256；（ ii）g（x 1）+g（x 2）8 8ln2【分析】 （1）求出函数的导数，根据导函数的单调性求出函数的最大值，从而求出 a 的范围即可；（2） （i）求出函数的导数，根据函数的单调性
35、证明即可；（ii）求出 g（x 1）+g（x 2）的解析式，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1） ，（1 分）因为 f（x）在（ 0，+）上单调递减，所以 f'（x）0，得令 ，则 h（x） max0（2 分），当 0x16 时，h'（x）0，h（x ）单调递增；当 x16 时，h'（x ）0，h（x ）单调递减，所以当 x16 时，h（x ）取得最大值 h（16）ln16+a3，由 ln16+a3 0 得 a34ln2（4 分）（2） ，依题意有 ，化简整理得 ，因为 x1x 2，所以 （6 分）第 22 页（共 24 页）因为 ，当且仅当 x1x 2 时，等号
36、成立成立，即 ，即 x1x2256，又因为 x1x 2，所以 x1x2256 （8 分）（ii） ，结合 式得 ，令 x1x2t，则 t256，由（1）可知 在（16，+）上单调递减，所以 在（16，+）上单调递增，（10 分）所以当 t256 时，即 g（x 1）+g（x 2）88ln2 （12 分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
37、一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l1 的极坐标方程为，将直线 l1 绕极点 O 逆时针旋转 个单位得到直线 l2（1）求 C 和 l2 的极坐标方程；（2）设直线 l1 和曲线 C 交于 O，A 两点，直线 l2 和曲线 C 交于 O，B 两点，求|OA|+|OB|的最大值【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函函数的性质的应用求出结果第 23 页（共 24 页）【解答
38、】解：（1）将 C 的参数方程化为普通方程得 ，将xcos，ysin 代入，并化简得 C 的极坐标方程为 l2 的极坐标方程为（2）依题意可得 ，即 ，即 因为 ，所以 ，当 时，|OA|+|OB|取得最大值 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x a|+|2x2|（a R） （1）当 a2 时，求不等式 f（x ）2 的解集；（2）若 f（x） 2，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质得到关于 a 的不等式，解出即可【解答】解：（1）不等式 f（ x）2，即|x2|+|2x2|2可得 ，或 或 （3 分）解得 ，所以不等式的解集为 （5 分）（2）f（x） |xa|+|2x2| |xa|+|x 1|+|x1|x a（x1）|+|x 1|a1|+| x1| a1|第 24 页（共 24 页）当且仅当 x1 时，两处等号同时成立，（8 分）所以|a 1|2，解得 a1 或 a3实数 a 的取值范围是（，13 ，+）（ 10 分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题
