1、2019 年广东省肇庆市怀集县中考数学二模试卷一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1 （3 分）如图是五个大小相同的正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）A B C D2 （3 分）下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D3 （3 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为（ ）A4410 8 B4.410 9 C4.410 8 D4.410 104 （3 分）下列计算正确的是（ ）Ax 23x 22x 4
2、 B （3x 2） 26x 2Cx 2y2x32x 6y D6x 3y2（3x）2x 2y25 （3 分）一个正多边形的每一个外角都等于 45，则这个多边形的边数为（ ）A4 B6 C8 D106 （3 分）将一副三角板（A30）按如图所示方式摆放，使得 ABEF，则1 等于（ ）A75 B90 C105 D1157 （3 分）如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（ ）A10.5，16 B8.5，16 C8.5，8 D9，88 （3 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 4，B135，则劣
3、弧 AC 的长是（ ）A4 B2 C D9 （3 分）小芳在本学期的体育测试中，1 分钟跳绳获得了满分，她的“满分秘籍”如下：前 20 秒由于体力好，小芳速度均匀增加，20 秒至 50 秒保持跳绳速度不变，后 10 秒进行冲刺，速度再次均匀增加，最终获得满分，反映小芳 1 分钟内跳绳速度 y（个/秒）与时间 t（秒）关系的函数图象大致为（ ）A BC D10 （3 分）如图，把长方形纸片 ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD，那么，有下列说法： EBD 是等腰三角形，EBED； 折叠后ABE 和CBD 一定相等；折叠后得到的图形是轴对称图形；EBA 和EDC 一定是全等三角形其中正确的是
4、（ ）A B C D二、填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11 （4 分）计算：1+2 12 （4 分）分解因式：m 3 m 13 （4 分）将 y2x 2 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位，则得到的新图象所对应的函数表达式为 14 （4 分）如图，ABCD，AB CD，S ABO ：S CDO 15 （4 分） 九章算术中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为 1
5、6 （4 分）如图，用圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm三、解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）17 （6 分）计算：2sin30+ 2019 018 （6 分）先化简，再求值，其中 x219 （6 分）如图，在锐角ABC 中，AB2cm，AC3cm（1）尺规作图：作 BC 边的垂直平分线分别交 AC，BC 于点 D、E （保留作图痕迹，不要求写作法） ；（2）在（1）的条件下，连结 BD，求ABD 的周长四、解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）20 （7 分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为
6、 78m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处的俯角为 48，测得底部 C 处的俯角为 58，求甲、乙建筑物的高度 AB 和DC（结果取整数） 参考数据：tan481.11，tan581.6021 （7 分）中华文化源远流长，文学方面， 西游记 、 三国演义 、 水浒传 、 红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图请根据以上信息，解决下列问题 （1）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部； （2）扇形统计图中“4 部”所在扇形的圆
7、心角为 度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率22 （7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且EDDB，FBBD（1）求证：AEDCFB；（2）若A30，DEB 45，求证：DADF五、解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）23 （9 分）如图，以 AB 为直径作 O，过点 A 作O 的切线 AC，连结 BC，交 O 于点D，点 E 是 BC 边的中点，连结 AE（1）求证：AEB2C ；（2）若 AB6，cos B ，求 DE 的长24 （9
8、 分）已知，抛物线 yax 2+ax+b（a0）与直线 y2x+m 有一个公共点 M（1，0） ，且 ab（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示） ；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求DMN 的面积与 a 的关系式；（3）a1 时，直线 y2x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（t0） ，若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取值范围25 （9 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 边的中点，点 P 在线段 AD 上，过 P 作 PFAE
9、于 F，设 PAx（1）求证：PFAABE ；（2）当点 P 在线段 AD 上运动时，设 PAx，是否存在实数 x，使得以点 P，F，E 为顶点的三角形也与ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以 D 为圆心， DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时，请直接写出 x 满足的条件： 2019 年广东省肇庆市怀集县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1 （3 分）如图是五个大小相同的正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）A B C D【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案【解
10、答】解：从上面看得到的图形是 故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图2 （3 分）下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要
11、寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3 （3 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为（ ）A4410 8 B4.410 9 C4.410 8 D4.410 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：4 400 000 0004.410 9，故选：B【点评】此
12、题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4 （3 分）下列计算正确的是（ ）Ax 23x 22x 4 B （3x 2） 26x 2Cx 2y2x32x 6y D6x 3y2（3x）2x 2y2【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式的乘除法逐一计算可得【解答】解：A、x 23x 2 2x2，此选项错误；B、 （3x 2） 2 9x4，此选项错误；C、x 2y2x32x 5y，此选项错误；D、6x 3y2（3x）2x 2y2，此选项正确；故选：D【点评】本题主要考查整式的运算
13、，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式的乘除法法则5 （3 分）一个正多边形的每一个外角都等于 45，则这个多边形的边数为（ ）A4 B6 C8 D10【分析】根据多边形的外角和是 360 度即可求得外角的个数，即多边形的边数【解答】解：多边形的边数为：360458故选：C【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键6 （3 分）将一副三角板（A30）按如图所示方式摆放，使得 ABEF，则1 等于（ ）A75 B90 C105 D115【分析】依据 ABEF ，即可得BDE E45，再根据 A30，可得B60
14、，利用三角形外角性质，即可得到1BDE+B105【解答】解：ABEF ，BDEE45，又A30，B60，1BDE+B45+60105，故选：C【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等7 （3 分）如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（ ）A10.5，16 B8.5，16 C8.5，8 D9，8【分析】根据中位数、众数的概念分别求解即可【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 9；众数是一组数据中出现次数最多的数，即 8；
15、故选：D【点评】考查了中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数8 （3 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 4，B135，则劣弧 AC 的长是（ ）A4 B2 C D【分析】根据圆内接四边形对角互补求出D 的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍求出AOC 的度数，利用弧长公式计算即可【解答】解：四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，B+D180，B135，D4
16、5，AOC2D，AOC90，则 l 2，故选：B【点评】此题考查了弧长的计算，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键9 （3 分）小芳在本学期的体育测试中，1 分钟跳绳获得了满分，她的“满分秘籍”如下：前 20 秒由于体力好，小芳速度均匀增加，20 秒至 50 秒保持跳绳速度不变，后 10 秒进行冲刺，速度再次均匀增加，最终获得满分，反映小芳 1 分钟内跳绳速度 y（个/秒）与时间 t（秒）关系的函数图象大致为（ ）A BC D【分析】根据前 20 秒匀加速进行，20 秒至 40 秒保持跳绳速度不变，后 10 秒继续匀加速进行，得出速度 y 随时间 x 的增加的变化情况，即可
17、求出答案【解答】解：随着时间的变化，前 20 秒匀加速进行，所以小芳同学 1 分钟内跳绳速度 y 随时间 x 的增加而增加，再根据 20 秒至 50 秒保持跳绳速度不变，所以小芳同学 1 分钟内跳绳速度 y 随时间 x 的增加而不变，再根据后 10 秒继续匀加速进行，所以小芳同学 1 分钟内跳绳速度 y 随时间 x 的增加而增加，故选：D【点评】此题考查了函数的图象；正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决10 （3 分）如图，把长方形纸片 ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD，那么，有下列说法： EBD 是等腰三角形，EBED； 折叠后A
18、BE 和CBD 一定相等；折叠后得到的图形是轴对称图形；EBA 和EDC 一定是全等三角形其中正确的是（ ）A B C D【分析】根据矩形的性质得到BAEDCE，ABCD，再由对顶角相等可得AEB CED，推出AEBCED，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得正确；无法判断 ABE 和CBD 是否相等【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，BAE DCE，ABCD，在AEB 和CED 中，AEB CED（AAS） ，BEDE ，EBD 为等腰三角形，折叠后得到的图形是轴对称图形，无法判断ABE 和CBD 是否相等故其中正确的是故选：B【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一
19、种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变二、填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11 （4 分）计算：1+2 1 【分析】根据有理数的加法法则，同号两数相加，取相同的符号，再把它们的绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号作为结果的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值【解答】解：1+2211【点评】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有 0，从而确定用哪一条法则在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值” 12 （4 分）分解因式：m 3 m m（m+1） （m1） 【分析】先提取公因式 m，再对余下的多项
20、式利用平方差公式继续分解【解答】解：m 3m，m（m 21） ，m（m+1） （m 1） 【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式13 （4 分）将 y2x 2 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位，则得到的新图象所对应的函数表达式为 y 2x 23 【分析】利用二次函数平移规律，左加右减，上加下减分别分析得出即可【解答】解：二次函数 y2x 2 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位，得到新的图象的二次函数表达式是：y2x 23故答案是：y2x 23【点评】此题主要考查了二次函数平移变换，正确记忆平移规律是解题关键14 （4 分）如图，ABCD，
21、AB CD，S ABO ：S CDO 1：4 【分析】先根据相似三角形的判定定理得出AOBCOD，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答【解答】证明：ABCD，ABOCDO，S ABO ：S CDO （ ） 2，AB CD， ，S ABO ：S CDO 1：4故答案为 1：4【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，比较简单，熟记三角形相似的判定方法和相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键15 （4 分） 九章算术中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8
22、 两问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金 x 两，每只羊值金 y 两，可列方程组为 【分析】根据“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10 两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两” ，得到等量关系，即可列出方程组【解答】解：根据题意得： 故答案为： 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系16 （4 分）如图，用圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 4 cm【分析】先利用弧长公式得到圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形的弧长4，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长
23、，则可计算出圆锥的底面圆的半径为 2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高【解答】解：圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形的弧长 4，圆锥的底面圆的周长为 4，圆锥的底面圆的半径为 2，这个纸帽的高 4 （cm） 故答案为 4 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了弧长公式和勾股定理三、解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）17 （6 分）计算：2sin30+ 2019 0【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的
24、运算法则求得计算结果【解答】解：2sin30+ 2019 02 +4 1 +4 1【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算18 （6 分）先化简，再求值，其中 x2【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可【解答】解：原式（ ） ，当 x2 时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键19 （6 分）如图，在锐角ABC 中，AB2cm，AC3cm（1）尺规作图：作 BC 边的垂直平分线分别交 AC，BC 于点 D、E （保留作图痕迹，不要求
25、写作法） ；（2）在（1）的条件下，连结 BD，求ABD 的周长【分析】 （1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作 DE 垂直平分 BC；（2）利用线段垂直平分线的性质得到 DBDC，则利用等量代换得到ABD 的周长AB+AC，然后把 AB2cm，AC3cm 代入计算计算【解答】解：（1）如图，DE 为所作；（2）DE 垂直平分 BC，DBDC，ABD 的周长AB +BD+ADAB+CD+ADAB+AC 2+35（cm ） 【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 四、解
26、答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）20 （7 分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处的俯角为 48，测得底部 C 处的俯角为 58，求甲、乙建筑物的高度 AB 和DC（结果取整数） 参考数据：tan481.11，tan581.60【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案【解答】解：如图作 AECD 交 CD 的延长线于 E则四边形 ABCE 是矩形，AEBC78 ，AB CE，在 Rt ACE 中，ECAEtan58125（m ）在 Rt AED 中，D
27、EAE tan48，CDECDEAEtan58 AE tan48781.6781.1138（m ） ，答：甲、乙建筑物的高度 AB 约为 125m，DC 约为 38m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题21 （7 分）中华文化源远流长，文学方面， 西游记 、 三国演义 、 水浒传 、 红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图请根据以上信息，解决下列问题 （1）本次调查所得数据的众
28、数是 1 部，中位数是 2 部； （2）扇形统计图中“4 部”所在扇形的圆心角为 54 度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率【分析】 （1）先根据调查的总人数，求得 1 部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；（2）根据扇形圆心角的度数部分占总体的百分比360，即可得到“4 部”所在扇形的圆心角；（3）根据 1 部对应的人数为 402108614，即可将条形统计图补充完整；（4）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率【解答】解：（1）调查的总人数为：1025%40，1 部
29、对应的人数为 402108614，本次调查所得数据的众数是 1 部，2+14+102621，2+1420，中位数为 2 部，故答案为：1、2；（2）扇形统计图中“4 部”所在扇形的圆心角为： 36054；故答案为：54；（3）条形统计图如图所示，（4）将西游记 、 三国演义 、 水浒传 、 红楼梦分别记作 A，B，C，D，画树状图可得：共有 16 种等可能的结果，其中选中同一名著的有 4 种，故 P（两人选中同一名著） 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识注意平均条数总条数总人数；如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m
30、 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 22 （7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且EDDB，FBBD（1）求证：AEDCFB；（2）若A30，DEB 45，求证：DADF【分析】 （1）由四边形 ABCD 为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用 ASA 即可得证；（2）过 D 作 DH 垂直于 AB，在直角三角形 ADH 中，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半得到 AD2DH，在直角三角形 DEB 中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB2DH，易
31、得四边形 EBFD 为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EBDF ，等量代换即可得证【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，ADCB，AC，ADCB，ABCD，ADBCBD，EDDB ，FBBD，EDBFBD90，ADECBF，在AED 和CFB 中，AEDCFB（ASA） ；（2）作 DHAB，垂足为 H，在 Rt ADH 中，A30，AD2DH ，在 Rt DEB 中，DEB45，EB2DH，EDDB ，FBBDDEBF，ABCD，四边形 EBFD 为平行四边形，FDEB，DADF 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含 30度直角三角形
32、的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键五、解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）23 （9 分）如图，以 AB 为直径作 O，过点 A 作O 的切线 AC，连结 BC，交 O 于点D，点 E 是 BC 边的中点，连结 AE（1）求证：AEB2C ；（2）若 AB6，cos B ，求 DE 的长【分析】 （1）根据切线的性质证明即可；（2）连接 AD，根据三角函数解答即可【解答】 （1）证明：AC 是 O 的切线，BAC90点 E 是 BC 边的中点，AEECCEAC，AEB C+EAC，AEB 2C （2）连结 ADAB 为直径作O，ABD90AB6， ，BD 在
33、 Rt ABC 中，AB6， ，BC10点 E 是 BC 边的中点，BE5 【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线性质和三角函数解答24 （9 分）已知，抛物线 yax 2+ax+b（a0）与直线 y2x+m 有一个公共点 M（1，0） ，且 ab（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示） ；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求DMN 的面积与 a 的关系式；（3）a1 时，直线 y2x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（t0） ，若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求
34、 t 的取值范围【分析】 （1）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点 D 的坐标；（2）把点 M（1，0）代入直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去 y，可得到关于 x 的一元二次方程，可求得另一交点 N 的坐标，根据 ab，判断a0，确定 D、M、N 的位置，画图 1，根据面积和可得DMN 的面积即可；（3）先根据 a 的值确定抛物线的解析式，画出图 2，先联立方程组可求得当 GH 与抛物线只有一个公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段 GH 与抛物线有两个不同的
35、公共点时 t 的取值范围【解答】解：（1）抛物线 yax 2+ax+b 有一个公共点 M（1，0） ，a+a+b0，即 b2a，yax 2+ax+bax 2+ax2a a（x+ ） 2 ，抛物线顶点 D 的坐标为（ ， ） ；（2）直线 y2x +m 经过点 M（1，0） ，021+m，解得 m2，y2x2，则 ，得 ax2+（a2）x 2a+2 0，（x1） （ax+2a2）0，解得 x1 或 x 2，N 点坐标为（ 2， 6） ，ab，即 a2a，a0，如图 1，设抛物线对称轴交直线于点 E，抛物线对称轴为 x ，E（ ，3） ，M（1，0） ，N（ 2， 6） ，设DMN 的面积为 S，
36、SS DEN +SDEM |（ 2）1| | （3）| ，（3）当 a1 时，抛物线的解析式为：yx 2x +2（x+ ） 2+ ，有 ，x 2x+2 2x，解得：x 12，x 21，G（1，2） ，点 G、H 关于原点对称，H（1，2） ，设直线 GH 平移后的解析式为：y2x +t，x 2x+2 2x+t，x2x2+t0，14（t2）0，t ，当点 H 平移后落在抛物线上时，坐标为（ 1，0） ，把（1，0）代入 y2x +t，t2，当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是 2t 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面
37、积等知识在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于 x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大25 （9 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 边的中点，点 P 在线段 AD 上，过 P 作 PFAE 于 F，设 PAx（1）求证：PFAABE ；（2）当点 P 在线段 AD 上运动时，设 PAx，是否存在实数 x，使得以点 P，F，E 为顶点的三角形也与ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（
38、3）探究：当以 D 为圆心， DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时，请直接写出 x 满足的条件： x 或 0x 1 【分析】 （1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当PEF EAB 时，则得到四边形 ABEP 为矩形，从而求得 x 的值；当PEF AEB 时，再结合（1）中的结论，得到等腰APE再根据等腰三角形的三线合一得到 F 是 AE 的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解（3）首先计算圆 D 与线段相切时， x 的值，在画出圆 D 过 E 时，半径 r 的值，确定
39、x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定 x 的取值范围【解答】 （1）证明：矩形 ABCD，ABE 90，ADBC，PAF AEB，又PFAE，PFA 90ABE ，PFA ABE （4 分）（2）解：分二种情况：若 EFPABE，如图 1，则PEFEAB，PEAB，四边形 ABEP 为矩形，PAEB3，即 x3 （6 分）若 PFEABE，则PEFAEB，ADBCPAF AEB，PEF PAFPEPAPFAE，点 F 为 AE 的中点，RtABE 中，AB4，BE3，AE5，EF AE ，PFE ABE， ， ，PE ，即 x 满足条件的 x 的值为 3 或 （9 分）（3）如图 3，当D 与 AE 相切时，设切点为 G，连接 DG，APx，PDDG 6 x，DAG AEB，AGDB90，AGD EBA， ， ，x ，当 D 过点 E 时，如图 4，D 与线段有两个公共点，连接 DE，此时 PDDE5，APx651，当以 D 为圆心，DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时，x 满足的条件：x或 0x1；故答案为：x 或 0x 1（12 分）【点评】本题是矩形和圆的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外
