1、第 14 讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会观察和发现递推关系；利用树形固、列表等方法处理某些递推关系，另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题典型问题兴趣篇1一个楼梯共有 10 级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶走完这 10 级台阶，一共可以有多少种不同的走法？2小悦买了 10 块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃 3 块，直到吃完，共有多少种吃法？3用 l2 的小方格覆盖 27 的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？4如果在一个平面上画出 4 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画 20 条直线，最多可以分成几个部分？5甲、乙、丙三
2、名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个先由甲发球，经过 6 次传球后球仍然回到了甲的手中请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？6一个三位数，有相邻两个数字的和为 16，那么这样的三位数共有多少个？7由 1、3、4 组成的各位数字之和为 9 的多位数共有多少个？8一个各位数字互不相等的五位数不含数字 0，且数字和为 18，这样的五位数共有多少个？9一个十位数只含有数字 l 或 2，且不含两个连续的数字 1，一共有多少个这样的十位数？10一个六位数由 1、2、3、4、5 组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是 l，这样的六位数有多少个？拓展篇1老师给冬冬布置了 12 篇作文，
3、规定他每天至少写 l 篇，如果冬冬每天最多能写 3 篇，那么共有多少种写完作文的方法？2用 10 个 13 的长方形纸片覆盖一个 103 的方格表，共有多少种覆盖方法？3现有 14 块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？4如果在一个平面上画出 8 条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画 8 个圆，最多可以把平面分成几个部分？5四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个先由红衣人发球，并作为第 1 次传球，经过 8 次传球后球仍然回到红衣人手中。请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？6如图 14-1 所示，一个圆环
4、被分成 8 部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？7圆周上有 10 个点 A1，A 2，A 10 以这些点为端点连结 5 条线段，要求任两条线段之问都没有公共点，共有多少种连结方式?8在有些多位数的各位数字中，奇数的个数比偶数的个数多，例如 1370、36712 等请问：在1 至 10000 中有多少个这样的多位数?9有些自然数存在相邻的两位数字顺次为 7 和 5，例如 1975、75675 等，但 432579。不算在内请问：具有这种性质的六位数有多少个?10用 1 至 9 这 9 个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要求：每一位上
5、的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前面的所有数字请问：这样的九位数共有多少个?11一个七位数，每一位都是 1、2 或者 3，而且没有连续的两个 l，这样的七位数一共有多少个?12 满 足 下 面 性 质 的 四 位 数 称 为 “好 数 ”： 它 的 个 位 比 十 位 大 ， 十 位 比 百 位 大 ， 百 位 比 千 位 大 ， 并且 任 意 相 邻 两 位 数 字 的 差 都 不 超 过 3 例 如 1346、 2579 是 好 数 ， 但 1567 就 不 是 好 数 请 问 ： 一共 有 多 少 个 好 数 ?超越篇1一个九位数，它只由数字 l、2 和 3 组成，而且它的任意
6、连续两位数都不等于 12、21、22 或31，这样的自然数有多少个?如果还要求数字 1、2 和 3 每个数字都至少出现一次，则这样的九位数有多少个?2(1)如果在一个平面上画出 8 个三角形，最多可以把平面分成多少个部分 ?(2)如果在一个平面上画出 3 个四边形、2 个圆、l 条直线，最多可以把平面分成多少个部分?3如图 142 所示，阴影部分是一个圆环，4 条直线最多可以把这个阴影分成多少个部分?4用 15 个 l2 的小纸片覆盖图 143，共有多少种不同的覆盖方法?5对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加 l，如此进行下去直到得数为 1 操作停止问：经过 9 次操作
7、变为 1 的数有多少个?6用 4 种不同的颜色将图 144 中的圆圈分别涂色，要求有线段连结的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色，共有多少种涂法?(不允许旋转、翻转图 144)7圆周上有 15 个点 A1，A 2，A 15，以这些点为顶点连出 5 个三角形，要求任意两个三角形没有公共点，共有多少种连结方式？8有一年级到六年级的同学各一人，排成一列领取糖果如果一个高年级的同学站在一个低年级的同学前面，那么这个低年级的同学就会产生一次“怨言” （一个人可以有多次“怨言” ） 在一种排列顺序里，我们把所有“怨言”的总数叫“怨言数” 例如：六位同学按下面的顺序排列：一年级、四年级、三年级、二年级、六年级、
8、五年级，那么这六位同学产生的“怨言”次数依次为 0、0、l、2、0、l，这种排列的“怨言数”就是 4请问：有多少种 “怨言数”为 7 的排列顺序？第 14 讲 计 数 综 合 三兴 趣 篇1. 一 个楼 梯共 有 10级台 阶 ， 规 定每 步可 以迈 一级 台阶或 二级 台阶。 走 完 这10级 台阶 ， 一 共可以 有多 少种 不同 的走 法？【分析 】例如登 上一 级台 阶 有 1 种 走法 ，登上 第二 级台 阶 有 2 种 走法 (一步 走两 级或 者 走两 步每 步 走 一 级 )；由 此 得 出 登上 第 三 级 台 阶 的 走 法 数 为 1 2 3 又 知道 走上 第四 级
9、台阶的 走法 总数 也等 于登 上第三 级和 第二 级台 阶的 走法总 数之 和又可 以算 出 登上 第四级 台阶 共有2 3 5 种方 法 ，依此类 推 ：1 级 2 级 3 级 4 级 5 级 6 级 7 级 8 级 9 级 10 级1 2 3 5 8 13 21 34 55 89所以 ，登上 第1 0 级 台阶 的 走法数 为8 92. 小 悦买 了 10块巧 克力 ， 她每 天最 少吃 一块 ， 最 多吃3 块 ， 直到 吃完 ， 共 有多少 种吃 法 ？【分析 】递推法 。吃 1 块 只 有1 种 吃 法 ，吃2 块 有1 1和2 两种 吃 法 ，吃3 块 有1 +1+1,1+2，2
10、+1,3 共 4 种 吃 法 ，吃4 块 有 ：1+1+1+1；1+1+2；1+2+1；2+1+1；2+2；1+3；3+1共7 种 ；吃5 块 有2 +4+7=13 种 吃 法 ，吃6 块 有4 +7+13=24 种 吃 法 事实上 ，吃n 块巧 克力 ，吃 最后一 块 前 ，吃 掉的 块数 是在第n 1 块 或n 2 块 或n - 3块 上 ，所以 吃n 块巧克 力 的 吃 法数 相当 于 吃 第n 1 块 和第 n 2 块 以及 第n -3 块 的总和 。依照 这一 规律 ，列 表写出 吃1 到1 0 块 各 块 的 吃 法数 。最 后递 推得 到 吃 第1 0块巧克 力 有2 74 种
11、吃 法 。1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 4 7 13 24 44 81 149 2743. 用1 2的小 方格 覆盖 2 7的长 方 形 ， 共 有多 少种 不同 的覆 盖方法？【分析 】递推法 若 用 1 2 的小长 方形 去覆盖2 n 的方 格网 ，设 方法 数为A n ，那么A 1 1 ，A2 2 当n 3 时 ，对于 最左 边的 一列 有两种 覆盖 的方 法： 用 1 个 1 2 的小长 方形 竖着 覆盖 ，那么 剩下 的2 n 1 的方 格 网有A n 1 种方法 ； 用 2 个 1 2 的小长方 形 横着 覆 盖 ，那 么 剩 下 的2 n 2 的 方 格 网 有
12、 An 2 种 方 法 ，根 据 加 法 原 理 ，可 得An An 1 An 2 递 推 可 得 到 A3 1 2 3 ，A7 8 13 21 ，A4 2 3 5 ， A5 3 5 8 ， A6 5 8 13 ，所以覆 盖 2 7 的方格 网共 有2 1 种不同 方法 4. 如 果在 一个 平面 上画 出 4 条 直线 ， 最 多可 以把 平面分 成几 个部 分 ？ 如果 画20条直 线 ， 最n 1 n多可以 分成 几个 部分 ？【分析 】一条 直 线时 ，分 平面 内 为2 个部 分 ；增加一 条直 线 ，即2 条时 ，显 然它 应该 与原来 那条 直线相 交 才 能把 平面 分的 多
13、，这是增加 了2 部分 ，总 数2 +2 ；再增 加1 条 时， 同理 应该 与前两 条都 相交 ，这 时增 加了3 部分 ，总 数2 +2+3； 增加 到4 条 时， 分平 面增 加4 部 分， 总 数2 +2+3+4； 由此我 们发 现 ，每增 加一 条直线 ，多分 平面部 分逐 个递增 ，即n 条直线 最 多 分 平 面n(n 1)2 2 3 4 n 1 。这 就 得到 了直 线分 平面 的公式 。2所以画 出4 条直 线 ，最多 可以把 平面 分成 1 4 5 11 个部 分 ，如果 画20 条直 线 ，2最多可 以分 成 1 20 21 211 个部分25. 甲 、 乙 、 丙 三名
14、 同学 练 习传球 ， 每 人都 可以 把球 传给 另 外两 个人 中的 任意 一个 。 先由 甲发球 ， 经 过6 次 传球 后球 仍然回 到了 甲的 手中。 请 问： 整 个传 球过 程共 有多 少种不 同的 可能 ？【分析 】设 第n 次 传 球后 ，球又 回到甲 手 中的 传球 方 法有a n 种 可 以 想象 前n 1 次 传 球 ，如果每 一 次 传球 都任 选其 他 二 人 中的 一人 进行 传球 ，即 每 次传 球都 有2 种可能 ，由乘 法 原 理 ，共 有2 2 2 22 n1 (种 )传球方 法 这些 传 球方 法 并不是 都 符合(n 1)个 2要求的 ，它 们可 以分
15、 为两 类 ，一 类是 第 n 1 次恰好 传到 甲手 中 ，这 有 an 1 种传法 ， 它们不 符合 要求 ，因为 这 样第 n 次无法 再把 球传 给甲 ；另 一类 是第 n 1 次传 球 ，球 不 在甲 手 中 ，第n 次 持 球 人 再 将 球 传 给 甲 ，有a n 种 传 法 根 据 加 法 原 理 ，有n 1a a 2 2 2 2 (n 1)个 2由于甲 是发 球者 一 次传 球 后球又 回到 甲手 中的 传球 方法是 不存 在的 ，所 以 a1 0 利用递 推关 系可 以得 到 ：a2 2 0 2 ，a3 2 2 2 2 ，a4 2 2 2 2 6 ，a5 2 2 2 2 6
16、 10 a6 2 2 2 2 2 10 22这说明 经过6 次传 球后 ，球 仍回到 甲手 中的 传球 方法 有2 2 种 6. 一 个三 位数 ， 有 相邻 两 个数字 的和 为 16， 那么 这 样的三 位数 共有 多少 个 ？【分析 】两个数 字的 和 为 16 只有 8 8, 9 7 两 种， 相 邻两 个数 字有 百位 和十位 相邻， 十 位和 个位相邻两种 (1) 当相邻两个数字为百位和十位相 有 3 10 30 种 ；(2) 当十位数 字 和个 位 数 字 相 邻 时 有 3 9 27 ，但 是8 88 ，979 ，797 被 算 了 两 次 ，所 以 共 有30 27 3 54
17、 种7. 由1 、 3、 4 组成 的各 位 数字之 和 为9 的 多位 数共 有多少 个 ？【分析 】（1）由9 个 1 组成 的多 位 数 有1 个（2）由 6 个1 、1 个3 组成 的多 位 数有7 个（3）由 5 个1 、1 个4 组成 的多 位 数有6 个（4）由 3 个1 、2 个3 组成 的多 位 数有 5 4 3 2 1 10 个2 1 3 2 151151423（5）由 2 个1 、1 个3 、1 个4 组成 的 多位数 有 4 3 2 1 12 个2 1（6）由 1 个 1 、2 个4 组成 的多 位 数有 3 个（7）由 0 个1 、3 个3 组成 的多 位 数有 1
18、个 综合有 1 7 6 10 12 3 1 40 个8. 一 个各 位数 字互 不相 等 的五位 数不 含数 字 0， 且数 字和 为18 ， 这样 的五 位数 共有多 少个 ？【分析 】因 为 18 1 2 3 4 8 1 2 3 5 7 1 2 4 5 6 对 于 每 一 种 都 可 以 组 成A5 120 个五 位 数 ，所 以 这 样 的 五 位数 共 有 120 3 360 个9. 一 个十 位数 只含 数字1 或2 ， 且不 含两 个连 续的 数字 1， 一 共有 多少 个这 样的十 位数？【分析 】1 的个数 最多 有5 个 ，因 此 1 的 个数有 6 中情 况 ，只 要把 1
19、 插 到2 所产 生的 空中 即符合条件 ，因 此有C 5 C4 C3 C2 C1 C0 6 35 56 36 10 1 1446 7 8 9 10 1110. 一 个六 位数 由1 、 2、 3、 4、 5 组成 ， 而 且任 意相 邻两个 数位 的数 字之 差都 是1 ， 这样 的六位数 由多 少个 ？【分析 】利用 树状图法 ，根 据对称性首 位是1 和5 的六位 数 应该是相 同的 ，首位是2 和4 的 六位数 应该 是相 同的 ，44 3 254 35 54 33 2 31 2 35 4243 2 13 1 23 4 532 13123 41 2 2 2 1 23 4 31 2 1
20、2 33 4223453 44 25 454 3 423 2 1 23 43 21 2142 3 23 4 5 4422 1 23 42所以共 有 9 18 18 18 9 72 个拓 展篇1. 老 师给 冬冬 布置 了 12篇作文 ， 规定 他每天 至少 写1 篇 。 如果 冬冬每 天最 多能 写3 篇 ， 那 么共有 多少 种写 完作 文的 方法 ？【分析 】递 推 法 。1 篇 作 文 只 有 1 种 写 法 ，2 篇 作 文 有 1 1和 2 两 种 写 法 ，3 篇 作 文有1+1+1,1+2，2+1,3 共4 种 写 法 ，4 篇作 文 有 ：1+1+1+1；1+1+2；1+2+1
21、；2+1+1；2+2；1+3；3+1 共 7 种 ；5 篇 作文 有 2+4+7=13 种 写 法 ，6 篇 作文 有4 +7+13=24 种 写法 依 照 这 一 规 律 ，最后 递 推 得 到 写 第 12 篇 作 文 有9 27 种 写 法 。2. 用10 个 1 3的长 方形 纸片 覆盖 一 个 10 3的方格 表 ， 共有 多少种 覆盖 方法 ？【分 析 】递 推 法 若 用 1 3 的小 长 方形 去覆盖 3 n 的方 格网 ，设 方法 数为A n ，那么A 1 1 ，A2 1 A3 2当n 4 时 ，对于 最左 边的 一列 有两种 覆盖 的方 法： 用 1 个 1 3 的小长 方
22、形 竖着 覆盖 ，那么 剩下 的3 n 1 的方 格 网有 An 1 种方法 ； 用 3 个 1 3 的小长方 形 横着 覆 盖 ，那 么 剩 下 的 3 n 3 的 方 格 网 有 An 3 种 方 法 ，根 据 加 法 原 理， 可 得An An 1 An 3 递 推 可 得 到 A4 1 2 3 ，A5 1 3 4 ， A6 2 4 6 ， A7 3 6 9 ，A8 4 9 13 ， A9 6 13 19 ，A10 9 19 28 所以覆 盖 3 10 的方格 网共 有2 8 种不同 方法 3. 现 有 14块糖 ， 如 果阿 奇每天 吃奇 数块 糖 ， 直到 吃完 ， 那么 阿奇 共有
23、 多少 种吃法 ？【分析 】根据 题 意设n 块糖 有A n 种吃法 ，则A1 1 , A2 1, (2 1 1) , A3 2, (3 3 1 1 1) , A4 3, (3 1 3 3 1 1 1 1 1)A5 2 3 5, (5 5 1 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1) ,因此 每种 吃法 都是前两种 吃法 的和 ，A12 144 , A13 233 ,所以A 14 3774. 如 果在 一个 平面 上画 出 8 条 直线 ， 最 多可 以把 平面分 成几 个部 分 ？ 如果 画8 个 圆， 最多 可以把 平面 分成 几个 部分 ？【分析 】一条 直 线时 ，分 平面
24、 内 为2 个部 分 ；增加一 条直 线 ，即2 条时 ，显 然它 应该 与原来 那条 直线相 交 才 能把 平面 分的 多 ，这是增加 了2 部分 ，总 数2 +2 ；再增 加1 条 时， 同理 应该 与前两 条都 相交 ，这 时增 加了3 部分 ，总 数2 +2+3； 增加 到4 条 时， 分平 面增 加4 部 分， 总 数2 +2+3+4； 由此我 们发 现 ，每增 加一 条直线 ，多分 平面部 分逐 个递增 ，即n 条直线 最 多 分 平 面n(n 1)2 2 3 4 n 1 。这 就 得到 了直 线分 平面 的公式 。2所以 ，n 8 时 ，最多 分平 面 1 8 (8 1) 37
25、部分 。21 个 圆能 把平 面分 成2 部 分， 2 个 圆与 原来 的圆 产 生 2 个交 点 ，这两 个交 点 把新圆n分割 出2 段 曲线 ，能 得 到2 块新 部分 ，共 得到4 部 分.第3 个 圆与 原来 的圆 最多 产生4 个交 点 ，这4 个交 点把新 圆分 割 出4 段 曲线 ，能 得 到4 块 新部 分 ，共得 到8 部分 .第4 个 圆与 原来 的圆 最多 产生6 个交 点 ，这6 个交 点把新 圆分 割 出6 段 曲线 ，能 得 到 6 块 新部 分 ，共得 到1 4 部分 .因此n 个圆 共得 到2 n n 1 部 分 .所以 8 个圆共得2 8 7 58 个部 分
26、5. 四 个人 分别 穿着 红 、 黄 、 绿 、 蓝四 种颜 色的 球衣 练习传 球， 每人 都可 以把 球传给 另外 三 个人中 的任 意一 个 。 先由 红衣人 发球 ， 并 作为 第 1 次传球 ， 经 过 8 次传 球后 球仍然 回到 红衣人 手中 。 请 问： 整个 传球过 程共 有多 少种 不同 的可能 ？【分析 】设 第n 次 传 球后 ，球又 回到 红 衣 人 手 中的 传 球方 法有 an 种 可以 想象 前n 1 次 传 球 如果 每一 次传 球都 任选 其他三 人中 的一 人进 行传 球 即 每 次传 球都 有 3 种可 能 ， 由乘法原理 ，共有 33 3 33n1
27、(种 )传 球方法 这些 传球 方法 并 不是都 符合( n1)个 3要求的 ，它 们可 以分 为两 类 ，一类是 第 n 1 次恰好 传到 红衣人 手中 ，这 有a n 1 种传 法 ，它们 不符 合要 求 ，因 为这样 第 n 次无法 再把 球传 给 红衣 人 ；另 一类 是第 n 1 次 传球 ，球不 在 红 衣人 手中 ，第n 次持球 人再 将球 传给 红衣人 ，有a n 种 传 法 根 据 加法原理 ，有a a 3 3 3 3n1 n1 n ( n1) 个 3由于 红 衣人 是发 球者 ，一 次传球 后球 又回 到 红 衣人 手中的 传球 方法 是不 存在 的， 所 以a1 0 利用
28、递 推关 系可 以得 到 ：a 3 0 3 ，a 3 3 3 6 ，a 3 3 3 6 21 ，2 3 45 6a5 3 3 3 3 21 60 7a6 3 60 183 ， a 7 3 183 546 ，a8 3 546 1641这说明 经过 8 次 传 球 后 ，球 仍回 到 红 衣 人 手 中 的 传 球 方法 有 1641 种 6. 如 图所 示 ， 一个 圆环 被 分成8 部分 ， 现 将每 一部 分染上 红 、 黄 、 蓝三 种颜 色之一 ， 要 求 相邻两 部分 颜色 不同 ， 共 有多少 种染 色方 法 ？【分析 】设圆环 被分 成n 部分 ，共 有 An 种染色 方法 ，除了
29、 第一 部 分有3 种染法 ，其余 各部 分 都有两 种染 法 ，但这 里包 括 最后 一 部 分和 第一 部分 颜色相 同的 情况 ，恰 是 An1 ，因此A 3 2n1 An 1则 A1 3 ,4A2 3 2 6 ,A3 3 2 2 A2 6 ,5A4 3 2 2 2 A3 18 ，6A5 3 2718 30 , A6 3 2 30 66 , A7 3 2 66 126 ,A8 3 2 126 2587. 圆 周上 有10个点 A1，A 2 ， ，A 10 ， 以 这些 点为 端点 连 结 5 条 线段 ， 要求 任两 条 线段之间都没 有公 共点 ， 共 有多 少种连 结方 式 ？【分析
30、 】设有n 个点 共 有 fn 种连结 方式 ，1.显然 f2 1 ；2.若有 四个 点 ，可以 选两 个相邻 的点 ，不 妨从A 开始 ，包含 A 的两 个相 邻的 点的 选1 1法有 2 种 ，那 么 剩 下两 个点 就有 f 2 种连结 方式 ，所 以共 有 f 4 2 f 2 2 ，3. 若有 六 个点 ，(1) ：可 以选 两 个相邻 的点 ，那么 剩下 四 个点 就 有 f 4 种连结 方式 ，不妨从 A 开始 ，包含A 的两 个相 邻的点 的选 法有 两 种 ，所 以共有2 f 81 1 4(2) ：可以 选两 个 点 连接 成线 段后， 线段 两边 各有 两 个 点， 不 妨从
31、A 1 开始 ，包含A 1的两个 点的 选法 有一 种 ，那么剩 下四 个点 就有 f 2 种连 结方式 所以 共有 f 2 12 2因此 f 6 4 1 54.若有 8 个点 ，同 理有 f8 2 f6 2 f4 f2 145.若 有 10 个点 ，同 理有 f 2 f 2 f f f 2 42因此共 有4 2 种连结 方式10 8 2 6 48. 在 有些 多位 数的 各位 数 字中 ， 奇数 的个 数比 偶数 的个数 多， 例如 1370、 36712 等 。 请问 ： 在1 至100 00 中 有多 少个 这样的 多位 数 ？【分析 】当这个 多位 数为 一位 数是 有5 个 ，两位
32、数有 5 5 25 个当这个多位数为三位数时，各 位数字分 2 奇1 偶、 3 奇两种情况共有5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 475 个当这个多位数为四位数时 ，各位数字分 4 奇、3 奇1 偶两种情况， 共有5 5 5 5 3 5 5 5 4 5 5 5 5 3000 个 .综上所 述共 有 5 25 475 3000 3505 个9. 有 些自 然数 存在 相邻 的 两位数 字顺 次 为 7 和5 ， 例 如 1975、 75675 等 ， 但432 579不 算在 内 。请 问： 具有 这种 性质 的六位 数有 多少 个？【分析 】（1）当 这个六 位数有 一个 相 邻数
33、字 是 7, 5 时 ，有7 5 ， 75 ， 75，75 ， 75 五种 情况 ，共 有 104 9 103 46000 个 ；(2) 当 这 个 六 位 数 有 两 个 相 邻 数 字 是 7, 5 时， 有7 575 ，75 75 ， 7575 ，75 75 ，75 75 ，7575 六种情 况 。共有 100 3 90 3 570 个 ；998 317 316 31(3)当这个 六位 数有 三个 相 邻数 字 是 7, 5 时 ，只 有 757575 一个六 位数 ;第 （1种 情况 中 两个 相邻 数字是 7, 5 的 都 被计 算了2 次 ，三 个相邻 数字 是 7, 5 的 ，
34、在 （1 （2 ）两 种 情 况 都 被 计 算 了 3 次， 因 此 具 有 这 种 性 质 的 六 位 数 共 有46000 570 1 45431 .10. 用 1 至 9 这 9 个 数字 组成一 个没 有重 复数 字的 九位数 ， 满 足以 下要 求 ： 每 一位上 的数 字 要么大 于它 前面 的所 有数 字， 要 么小 于它 前面 的所 有数字。 请 问： 这样 的九 位数共 有多 少个 ？【分析 】设 1 到n 这n 个数 字组 成的 n 位数 符合要 求的n 位 数 的个 数为 fn ， 当n 2 时 ， f2 2 ；当n 3 时 ，分最 大 、最小 数排在 最后 两种 情况
35、 ，3 排 在最后 时， 有 f2 个 符合 要求2的数 ；1 排在 最后 时 ，剩下 两个 数 有 f2 个符合 要求 的数 ；因此 f3 2 f2 2 ；当n 4 时 ，分最大 、最小数排在最后两种情况 ，4 排在最后时 ，有 f3 个符合要求3的数 ；1 排 在最后时 ，剩下三个数 有 f3 个符合要求 的数； 因此 f4 2 f3 2类推有 f 28 256 ，这 样的 九位 数共 有 256 个，依次11. 一 个七 位数 ， 每 一位 都是 1、 2 或者 3， 而 且没 有连续 的两 个1 ， 这 样的 七 位数一 共有 多 少个 ？【分析 】设n 位数 满足 条件 的个 数为
36、fn ，显 然 f1 3 ，当 是两 位数 时 ，分 最高位 是 1 和不是1两种情 况 分 别有 2, 2 f1 ，所以 f 2 2 2 f1 8 ，当是三 位数 时 ，分 最高 位 是 1 和不 是1 两 种 情 况 分 别 有 2 f1, 2 f 2 ， 所 以 f 3 2 f 1 2 f 2 22， 依 次 类 推 得f4 2 f2 2 f3 60 ， f5 2 f3 2 f4 164 ， f6 2 f4 2 f5 448 ，f7 2 f5 2 f6 1224 个 ，因 此满 足条 件的 七位 数有 1224 个12. 满 足下 面性 质的 四位 数称为“ 好 数” ： 它 的个 位
37、比十位 大 ， 十位 比百 位大 ， 百位 比千 位 大 ， 并且 任意 相邻 两位 数 字的差 都不 超 过 3。 例 如 1346、 2579是 好数 ， 但 1567就不 是 好数 。 请问 ： 一 共有 多少 个好数 ？【分析 】由于千 位数 字最 小 ，最 小 为 1 ，满 足个 位比十 位大 ，十位比 百位 大 ，百 位比 千 位大 的四位 数共 有C 4 126 个 ，还 有不 满足条 件的 需排 除千位是 1, 2, 3 时有 不符 合条 件的 ，千位 是4 以上的 都符 合条 件 ，（1）当千位和 个位差 8 时 （即 千 位是 1 个位是 9 ）四个数字有 三个差 ，只要
38、有一 个差大 于 3 就不符 和要 求 （而且只 有一 个差 大于 3 的可 能 ）且 三 个 差的 和是 8 ，相 当于 8 个苹果 放进 3 个盘 子里 其中一 个盘 子里 至少4 个苹 果 其 他盘 子至 少有 1 个 苹果 ，因 此有 C2 6 个 ，但 这个 大 于 3 的差 可以 有三 个位 置可 以选择 ，因 此不 符合要求的 有 6 3 18 个（2 ）当 千 位 和 个 位 差 7 时 （即 千 位 是1 个 位 是8 ，千 位 是2 个 位 是9 ）有3 C2 2 18 不符合 要求 的数（3）当 千位 和个 位差6 时 （即 千位 是 1 个位是7 ，千位 是2 个 位
39、是8 ，千 位是3 个位是 9 ）有3 C2 3 9 不符 合 要求 的数当千位 和个 位差5 时 ，都符 合要求 因 此一 共 有 126 18 18 9 81 个好 数5n超 越 篇1. 一 个九 位数 ， 它 只由 数 字1 、 2 和3 组 成， 而且 它 的任意 连续 两位 数都 不等 于12 、 21、22或 31， 这 样的 自然 数有 多少个 ？ 如 果还 要求 数 字1 、 2 和3 每 个数 字都 至少 出现一 次 ， 则这样 的九 位数 有多 少个 ？所 以 F (1) 2 , F (2) 1 ,F (3) 2 , 通 过 归 纳 有13F (1) F3 (1) F23(
40、3) ，2 2 2 n n 1 n 1Fn (2) Fn 1 (3) ，Fn (3) Fn1 (2) Fn1 (3)m 3 4 5 6 7 8 9Fn (1) 4 7 12 20 33 55 89Fn (2) 2 3 5 8 13 21 34Fn (3) 3 5 8 13 21 34 55因此符 合条 件的 九位 数有 89 34 55 177 个要求数 字1 、2 和3 每 个 数 字都 至 少 出 现 一 次 ，只 要 将不 含 1, 2, 3 排除不含 1 的 ，即 全是 3 （不 可能 全是2 ）或 全 由 2, 3 组成的 数 ，共有 34 55 89 个 不含 2 的 ，即 全由
41、1 或由 1, 3 （全 是 3 的已 计算 ）组 成的 数 ，共有 9 个不含 3 的 ，只 能 是 全由 1 （已 计 算 ） 所以共 有 177 89 9 79 个2. （ 1） 如 果在 一个 平面 上画 出8 个 三角 形 ， 最多 可以把 平面 分成 多少 个部 分？（ 2） 如果 在一 个平 面上 画 出3 个 四边 形 、 2个 圆 、 1 条直线 ， 最 多可 以把 平面 分成多 少 个部分 ？【分析 】（ 1） 设n 个三角 形最 多将 平 面分成a n 个部 分 n 1 时 ，a1 2 ；n 2 时 ，第 二个 三角 形的 每 一 条边与 第一 个三 角形 最多 有 2
42、个交 点 ，三条 边与 第 一个三 角形 最多 有 2 3 6 (个 )交 点 这 6 个交 点将 第二 个三 角形的 周边 分成 了 6 段 ，这6 段中 的每 一段 都将 原来的 每一 个部 分分 成2 个部分 ，从而 平面 也增 加了6个部分 ，即a 2 2 2 3 n 3 时 ，第 三个 三角 形与 前面 两个三 角形 最多 有 4 3 12 (个 )交 点， 从 而平 面也增加了 12 个部 分 ，即 ：a3 2 2 3 4 3 一般地 ，第n 个三 角形 与前 面 n 1 个三 角形 最多 有2 n 1 3 个交点 ，从而 平面也增加2 n 1 3 个部 分 ，故a 2 2 3 4
43、 3 2n 1 3 2 2 4 2 n 1 3 3n 2 3n 2 ，特 别 地 ，当 n 8 时 ，a 3 82 3 8 2 170 ，即 8 个 三 角 形 最 多 把 平 面 分 成 170 个部 分 （ 2） 三 个 四 边 形 共 分 出2 4 3 2 26 部 分 ，再 画 一 个 圆 与 26 部 分 ，（除 内 外 两 部 分产 生 24 个 交 点 再 画 一 个 圆 产 生2 4 2 个 交 点 再 画 直 线 产 生 3 2 2 2 10个 交 点 。所 以 共 有 26 24 26 10 86 部 分3. 如图所 示 ， 阴影 部分 是一 个圆环 ， 4 条直 线最 多
44、可 以 把这个 阴影 分成 多少 个部 分 ？【分析 】4 条直线 最多 把一 个圆 分成 1 1 2 3 4 11 部 分 其中 最内 部是 一个 由 四条直 线 围成的 四边 形 ，可以 做一 个圆与 这个 四边 形相 交， 最多产 生 8 个交点 ，这 样圆 环分 成的部 分增 加了4 个 ，少了 一个四 边形 ，所 以有 11 4 1 14 个部 分4. 用15 个 1 2的小 纸片 覆盖 图 ， 共 有多 少种 不同 的覆 盖方法？【分析 】设 用 1 2 的小纸 片覆 盖 含 有n 个 “ ”的 图形 覆盖 方法 有 fn 种方法 显然 f1 3对于如 下图 形有 f 2所以 f2
45、 f1 f1 1 3 3 1所以 f f f f 5 5 3 73 2 2 1f 4 f 3 f 3 f 2 9f5 11， f6 13 ， f 7 155. 对 一个 自然 数作 如下 操 作 ： 如果 是偶 数则除 以2 ， 如果是 奇数 则 加 1， 如此 进 行下去 直到得数 为1 操 作停 止 。 问 ： 经过 9次操 作 变 为 1的数 有多少 个 ？【分析 】可以先 尝试 一下 ，倒 推 得 出下面 的图 ：5 1031 2 486 1112 247 14 132816 15 30313264其中 经1 次 操作 变 为1 的1 个 ，即2 ，经2 次 操作 变 为1 的 1 个 ，即4 ，经3 次操作 变为 1 的 2 个 ，是 一奇 一偶 ，以后 发现 ，每 个偶 数可 以变成 两个 数 ，分别 是
