1、2019 年福建省泉州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （3 分）设全集 U1，2，3，4，5，A x|x24x+30，xN，则 UA（ ）A1 ，2，3 B3 ，4，5C4，5 D x|x0 或 x32 （3 分）设复数 za+ i（a R）的共轭复数为 若 z+ 4，则 z （ ）A B3 C4 D53 （3 分）已知双曲线 E： 的一条渐近线方程为 y2x，则 E 的两焦点坐标分别为（ ）A （ ，0） ， （ ，0） B （0， ）
2、 ， （0， ）C （ ，0） ， （ ，0） D （0， ） ， （0， ）4 （3 分）根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试某学校为了解高一年 425 名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前 4 种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“”表示选择该科， “”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误的是学科人数物理 化学 生物 政治 历史 地理124 101 86 74 （ ）A前 4 种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B前 4 种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数
3、C整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数第 2 页（共 27 页）5 （3 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zx +2y 的最大值等于（ ）A2 B3 C4 D56 （3 分）已知正三棱锥 PABC 的侧棱长为 3，M ，N 分别为 AB，AC 的中点，PMPN，则 AB（ ）A3 B2 C2 D47 （3 分）已知曲线 ysin（2x+ ）向左平移 （0）个单位，得到的曲线 yg（x）经过点（ ，1） ，则（ ）A函数 yg（ x ） 的最小正周期 TB函数 yg （ x ）
4、在 ， 上单调递增C曲线 yg （ x ） 关于直线 x 对称D曲线 yg（ x ） 关于点（ ，0）对称8 （3 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）A36 B72 C108 D729 （3 分）函数 f（x ）x 3ex 的图象大致为（ ）A第 3 页（共 27 页）BCD10 （3 分）已知 ， 满足 sincos ，sin cos2cossin ，则 cos2（ ）A B C D11 （3 分）两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上若圆柱的侧面积等于两个圆
5、锥的侧面积之和，且该球的表面积为 16，则圆柱的体积为（ ）A2 B C6 D8第 4 页（共 27 页）12 （3 分）已知函数 f（x ）ae xxae，若存在 a（1，1） ，使得关于 x 的不等式f（x）k 0 恒成立，则 k 的取值范围为（ ）A （，1 B （，1） C （，0 D （，0）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置13 （3 分）已知向量 （t，1） ， （1，0） ，若 +2 与 垂直，则 t 14 （3 分）已知函数 f（x ）e |x|+ax2，f （1）e+1，
6、则 f（1） 15 （3 分）已知 O 是椭圆 E 的对称中心，F 1，F 2 是 E 的焦点以 O 为圆心，OF 1 为半径的圆与 E 的一个交点为 A若 与 的长度之比为 2：1，则 E 的离心率等于 16 （3 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 b2accosB，D 为ABC所在平面上一点，且 CACD，CA CD，BCBD，AD 2，则ABD 的面积为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第
7、22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn已知 S12，a n+1S n+2（1）证明：a n为等比数列；（2）记 bnlog 2an，数列 的前 n 项和为 Tn，若 Tn10，求 的取值范围18 （12 分）如图，BB 1CC 1，BB 1平面ABC，ABAC，AB ，AC ，BB 12CC 12，M 在线段 BC 上（1）当 BM1 时，求证：平面 AMB1平面 BCC1B1；（2）当B 1MC1 的面积等于 时，求三棱锥 B1ABM 与三棱锥 C1ACM 的体积比19 （12 分）某仪器配件质量采用 M 值进
8、行衡量某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两第 5 页（共 27 页）条生产线生产该配件为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔 30min 分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其 M 值下面是甲、乙两条生产线各抽取的 30个配件的 M 值甲生产线：25.1125.3225.3625.4125.3425.4025.3825.3725.4225.3925.3925.4325.3925.4025.4425.4425.4225.3525.4125.4325.4325.3525.4525.3925.3625.3425.9825.4525.3825.42乙生产线：25.5525.4325.4425.
9、4525.4625.4725.7825.4625.3625.3825.3325.5625.3925.2225.4325.3125.3725.3425.3225.4625.4625.3325.0125.4325.4025.3525.3625.3825.2325.40经计算得 25.405，s 甲 0.123， 25.395，s 乙 0.125，其中 xi，y i（i 1，2， ，30）分别为甲、乙两生产线抽取的第 i 个配件的 M 值（1）若规定 M（ 3s， +3s）的产品质量等级为合格，否则为不合格已知产品不合格率需低于 5%，生产线才能通过验收利用样本估计总体，分析甲、乙两条生产线是否可以
10、通过验收；（2）若规定 M（ s， +s）时，配件质量等级为优等，否则为不优等请统计上面提供的数据，完成下面的 22 列联表产品质量等级优等 产品质量等级不优等 小计甲生产线乙生产线小计根据上面的列联表，能否有 90%以上的把握认为“配件质量等级与生产线有关”？第 6 页（共 27 页）附：K 2 ，其中 na+b+c+dP（K 2k 0） 0.10 0.05 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.82820 （12 分）已知抛物线 C： x22py（p0）的焦点为 F，点 A，B 在 C 上，F 为线段 AB的中点，| AB|4（1）求 C 的方程；（2）过
11、F 的直线 l 与 C 交于 MN，两点若 C 上仅存在三个点 Ki（i1，2，3） ，使得MNKi 的面积等于 16，求 l 的方程21 （12 分）已知函数 f（x ）（x ）lnx，g（x）x （1）证明：函数 f（x ）的极小值点为 1；（2）若函数 yf（x）g（x）在1，+）有两个零点，证明： 1k（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，其中n0以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的
12、极坐标方程为 （ R） ，曲线 C2 的极坐标方程为 2cos21（1）求 C1，C 2 的直角坐标方程；（2）已知点 P（2，0） ，l 与 C1 交于点 Q，与 C2 交于 A，B 两点，且|PA|PB|PQ| 2，求 l 的普通方程选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x |+|x+ |，M 为不等式 f（x） 2 的解集（1）求 M；（2）证明：当 a，bM 时，2 ab第 7 页（共 27 页）2019 年福建省泉州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1
13、 （3 分）设全集 U1，2，3，4，5，A x|x24x+30，xN，则 UA（ ）A1 ，2，3 B3 ，4，5C4，5 D x|x0 或 x3【分析】求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可【解答】解：Ax| x24x +30，xN x|1x 3，xN1 ，2，3，则 UA4，5，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键2 （3 分）设复数 za+ i（a R）的共轭复数为 若 z+ 4，则 z （ ）A B3 C4 D5【分析】由已知列式求得 a，再由 求解【解答】解：由 za+ i（aR） ，得 ，又 z+
14、4，即 2a4，得 a2z2+i，则 z |z| 25故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的加减运算，考查了复数模的求法，是基础题3 （3 分）已知双曲线 E： 的一条渐近线方程为 y2x，则 E 的两焦点坐标分别为（ ）A （ ，0） ， （ ，0） B （0， ） ， （0， ）C （ ，0） ， （ ，0） D （0， ） ， （0， ）【分析】利用双曲线的渐近线方程求出 n，然后求解焦点坐标【解答】解：双曲线 E： 的一条渐近线方程为 y2x，第 8 页（共 27 页）可得 n4，双曲线的焦点坐标在 x 轴，所以焦点坐标：（ ，0） ， （ ，0） 故选：C【点评】本题考
15、查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查4 （3 分）根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试某学校为了解高一年 425 名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前 4 种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“”表示选择该科， “”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误的是学科人数物理 化学 生物 政治 历史 地理124 101 86 74 （ ）A前 4 种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B前 4 种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C整个高一年段，选择地理学科的人数多
16、于选择其他任一学科的人数D整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数【分析】先对图表信息的分析，再进行简单的合情推理，逐一检验即可得解【解答】解：对于选项 A，前 4 种组合中，选择生物学科的学生选择两理一文组合的学生有 160 人，选择一理两文组合的学生有 101 人，故 A 正确，对于选项 B，前 4 种组合中，选择两理一文的人数为：284，选择两文一理的人数为：101，故选项 B 正确，对于选项 C，整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数为311，显然多于选择其他任一学科的人数，故 C 正确，对于选项 D，整个高一年段，选择物理学科的人数为 198 人，选
17、择生物学科的人数为261，则选择物理学科的人数少于选择生物学科的人数，故 D 错误，故选：D第 9 页（共 27 页）【点评】本题考查了对图表信息的分析及进行简单的合情推理，属中档题5 （3 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zx +2y 的最大值等于（ ）A2 B3 C4 D5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由 zx +2y，得 y x+ ，平移直线 y x+ ，由图象可知当直线 y x+ 经过点 A 时，直线 y x+的截距最大，此时 z 最大由 ，得 A（1，2） ，此时 z 的最大值为
18、 z1+2 25，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法6 （3 分）已知正三棱锥 PABC 的侧棱长为 3，M ，N 分别为 AB，AC 的中点，PMPN，则 AB（ ）A3 B2 C2 D4【分析】解设 AB2a，则 AMANMNa，PMPN ，由PMPN，得 PM2+PN2MN 2，由此能求出 AB【解答】解：设 AB2a，则 AMANMNa，第 10 页（共 27 页）PMPN ，PMPN， PM2+PN2MN 2，9a 2+9a 2a 2，解得 a ，AB2 故选：C【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间
19、的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题7 （3 分）已知曲线 ysin（2x+ ）向左平移 （0）个单位，得到的曲线 yg（x）经过点（ ，1） ，则（ ）A函数 yg（ x ） 的最小正周期 TB函数 yg （ x ） 在 ， 上单调递增C曲线 yg （ x ） 关于直线 x 对称D曲线 yg（ x ） 关于点（ ，0）对称【分析】利用函数 yA sin（ x+）的图象变换规律求得 g（x ）的解析式，再利用正弦函数的图象和性值质，可得结论【解答】解：把曲线 ysin（2x+ ）向左平移 （0）个单位，得到的曲线yg（x）sin（2x+2+ ） ，第
20、11 页（共 27 页）由于所得曲线经过点（ ，1） ，sin（ +2+ ）sin21， ，yg（x）sin（2x+ + ）cos（2x+ ） ，故 g（x）cos（2x+ ） 的最小正周期为 ，故 A 错误；在 ， 上，2x + 2，故函数 yg（ x ） 在 ， 上单调递减，故 B 错误；当 x 时，g（x ）0，故 g（x ）的图象关于点（ ， 0）对称，故 C 错误；当 x 时，g（x ）0，故 g（x ）的图象关于点（ ，0）对称，故 D 正确，故选：D【点评】本题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题8 （3 分）如图，网格纸上小正方形
21、的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）A36 B72 C108 D72【分析】根据三视图知该几何体是三棱柱，去掉一个小三棱柱所剩余的几何体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱柱，去掉一个小三棱柱所剩余的几何体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为第 12 页（共 27 页）VV 三棱柱 V 小三棱柱 866 436108故选：C【点评】本题考查了利三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题9 （3 分）函数 f（x ）x 3ex 的图象大致为（ ）ABCD【分析】由 x0 时 x3ex0 排除 B；由 f（
22、1）e1 排除 D；求出函数在 x0 处的切线方程排除 A【解答】解：当 x0 时，x 3ex0，故排除 B；f （1）e1，故排除 D；f（x）（x 3+2x2）e x，令 f（x ）0，得 x0 或 x2第 13 页（共 27 页）当 x（， 2）时，f（x）0，当 x（2，0）时， f（x）0，当x（0，+）时，f（x ） 0，f（x）在（ ，2）上单调递减，在（2，0） ， （0，+）上单调递增，又 f（0）0，故 f（x）在 x0 的切线为 x 轴，故排除 A故选：C【点评】本题考查函数的图象及图象判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题10 （3 分）已知 ， 满足 sinco
23、s ，sin cos2cossin ，则 cos2（ ）A B C D【分析】由已知可得 ，或 ，kZ然后分类求解 cos2，再由二倍角公式求解【解答】解：由 sincossin （ ） ，得，或 ，kZ若 ，则 sin（ +）1，由 sincos2cossin ，得 sin（+）3cos sin ，cos 则 ，cos2 ；若 ，则 sin（ ）1，由 sincos2cossin ，得 sin（+）cos sin ，cossin ，则 （舍） cos2 故选：D【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，是中档题11 （3 分）两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，
24、且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为 16，则圆柱第 14 页（共 27 页）的体积为（ ）A2 B C6 D8【分析】求出外接球的半径 R2，再设圆锥的底面圆半径为 r，高为 h，由此表示出圆柱的底面圆半径和高，根据题意列方程组求出 h 和 r 的值，再计算圆柱的体积【解答】解：设设外接球的半径为 R，则 4R216，解得 R2；设圆锥的底面圆半径为 r，高为 h，则圆柱的底面圆半径为 r，高为 42h；由题意知， ，h1，r ，所以圆柱的体积为 V （42）6故选：C【点评】本题考查了旋转体的结构特征与表面积和体积的计
25、算问题，是基础题12 （3 分）已知函数 f（x ）ae xxae，若存在 a（1，1） ，使得关于 x 的不等式f（x）k 0 恒成立，则 k 的取值范围为（ ）A （，1 B （，1） C （，0 D （，0）【分析】把问题化为存在 a（1，1） ，函数 f（x）ae xxae 有最小值；求导数 f（x） ，讨论 a（1，0时 f（x ）0，f（x）是单调减函数，不存在最小值；a（0，1）时，令 f（x）0 求得 x 的值，得出 f（x）的最小值，再构造函数 g（a） ，求出 g（a）在 a（0，1）上的最大值，即可得出 k 的取值范围【解答】解：不等式 f（x ）k0 恒成立
26、，即 kf （x）恒成立；第 15 页（共 27 页）则问题化为存在 a（1，1 ） ，函数 f（x）ae xxae 有最小值，又 f（x）ae x1，当 a（1，0时，f（x）0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值；当 a（0，1）时，令 f（x）0，得 ex ，解得 xlna ，即 xlna 时， f（x ）有最小值为 f（lna）1+lnaae；设 g（a）1+lnaae ，其中 a（0，1） ，则 g（a） e，令 g（a）0，解得 a ，所以 a（0， ）时，g（ a）0，g（a）单调递增；a（ ，1）时，g（a） 0，g（a）单调递减；所以 g（a）的最大值为 g（ ）1+ln
27、 e1；所以存在 a（0，1）时，使得关于 x 的不等式 f（x）k0 恒成立，则 k 的取值范围是（，1故选：A【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了利用导数求函数最值的应用问题，是难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置13 （3 分）已知向量 （t，1） ， （1，0） ，若 +2 与 垂直，则 t 1 【分析】可先求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 t【解答】解： ； ； ；t1故答案为：1【点评】考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件14 （3 分）已知函数 f（x ）e |x|+ax
28、2，f （1）e+1，则 f（1） e1 第 16 页（共 27 页）【分析】根据题意，当 x0 时，有 f（x）e x+ax2，求出其导数，又由 f（1）e+1分析可得 a 的值，即可得函数的解析式，据此计算可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）e |x|+ax2，当 x0 时，有 f（x）e x+ax2，其导数 f（x ）e x+2ax，又由 f（1）e +1，则有 e+2ae+1，解可得 a ，则 f（x）e |x|+ x2，当 x0 时，f（ x）e x + x2，此时 f（x ）e x +x，则 f（1）e 1；故答案为：e1【点评】本题考查导数的计算，涉及分段函数的性质，关
29、键是求出 a 的值，属于基础题15 （3 分）已知 O 是椭圆 E 的对称中心，F 1，F 2 是 E 的焦点以 O 为圆心，OF 1 为半径的圆与 E 的一个交点为 A若 与 的长度之比为 2：1，则 E 的离心率等于 1 【分析】设椭圆方程为 + 1（ab0） ，圆的圆心为原点，半径为 c，由弧长之比可得圆心角，可得|AF 2|c，|AF 1| c，再由椭圆的定义和离心率公式，可得所求值【解答】解：设椭圆方程为 + 1（ab0） ，圆的圆心为原点，半径为 c，若 与 的长度之比为 2：1，可得AOF 1120，AOF 260，即有|AF 2|c，|AF 1| c，由椭圆的定义可
30、得|AF 1|+|AF2| c+c2a，则 e 1故答案为： 1第 17 页（共 27 页）【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，主要是离心率的求法，以及圆的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题16 （3 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 b2accosB，D 为ABC所在平面上一点，且 CACD，CA CD，BCBD，AD 2，则ABD 的面积为 1 【分析】建立如图所示的直角坐标系后，由 b2ac ，得 a2+c23b 2，设出B 的坐标，根据 a2+c26 解方程可得 B 的坐标，再根据点到直线的距离求出高，可得面积【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：由
31、 b2accos B 以及余弦定理得 b2ac ，得 a2+c23b 2，又根据题意得 AD2，ACCD ，a 2+c26，BCBD，B 的横坐标为 ，设 B（ ，t ） ，又 A（0， ） ，C（0，0） ，a 2+c2BC 2+AB2 +t2+ +（t ） 22t 22 t+3，62t 22 t+3，即 t2 t30，解得 t 或 t ，B（ ， ）或 B（ ， ） ，由于这两个点到直线 AD：x+y 0 的距离都等于 1，ABD 的面积为 1，故答案为：1第 18 页（共 27 页）【点评】本题考查了正弦定理，属中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17
32、21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn已知 S12，a n+1S n+2（1）证明：a n为等比数列；（2）记 bnlog 2an，数列 的前 n 项和为 Tn，若 Tn10，求 的取值范围【分析】 （1）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（2）求得 bnlog 2anlog 22nn， （ ） ，由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得到所求范围【解答】解：（1）证明：a 1S 12，a n+1S n+2可得 a2S 1+24，当 n2 时，a nS n1
33、 +2又 an+1S n+2相减可得 an+1a na n，即 an+12a n，且 a22a 1，则a n为首项和公比均为 2 的等比数列；（2）b nlog 2anlog 22nn， （ ） ，则前 n 项和为 Tn（1 + + ）（1 ） ，第 19 页（共 27 页）Tn10，即为 ，而 10（1+ ）20，可得 20【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题18 （12 分）如图，BB 1CC 1，BB 1平面ABC，ABAC，AB ，AC ，BB 12CC 12，M 在线段 BC 上（1）当 BM1 时，求证：
34、平面 AMB1平面 BCC1B1；（2）当B 1MC1 的面积等于 时，求三棱锥 B1ABM 与三棱锥 C1ACM 的体积比【分析】 （1）推导出 AMBB 1，AM BM，由此能证明平面 AMB1平面 BCC1B1（2）由题意可知，四边形 BCC1B1 为直角梯形，其面积 S ，求出 ，由 ， ，能求出三棱锥 B1ABM 与三棱锥 C1ACM 的体积比【解答】证明：（1）BB 1平面 ABC，AM平面 ABC，AMBB 1，AB ，AC ，BC 3，cos ，AM ，AB 2AM 2+BM2，AM BM，BB 1BMB，BB 1，BM面 BCC1B1，第 20 页（共 27 页）又 AM面
35、AMB1，平面 AMB1平面 BCC1B1解：（2）由题意可知，四边形 BCC1B1 为直角梯形，其面积 S ，由（1）知 ，设 AMm，则 ， ， ， ，由（1）知 ， ，解得 m ， ， ，三棱锥 B1ABM 与三棱锥 C1ACM 的体积比为 2：1【点评】本题考查面面垂直的证明，考查两个三棱锥的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）某仪器配件质量采用 M 值进行衡量某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔 30min 分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其
36、M 值下面是甲、乙两条生产线各抽取的 30个配件的 M 值甲生产线：25.1125.3225.3625.4125.3425.4025.3825.3725.4225.3925.3925.4325.3925.4025.4425.4425.4225.3525.4125.4325.4325.3525.4525.3925.3625.3425.9825.4525.3825.42乙生产线：25.5525.4325.4425.4525.4625.4725.7825.4625.3625.3825.3325.5625.3925.2225.4325.3125.3725.3425.3225.4625.4625.332
37、5.0125.4325.4025.3525.3625.3825.2325.40经计算得第 21 页（共 27 页） 25.405，s 甲 0.123， 25.395，s 乙 0.125，其中 xi，y i（i 1，2， ，30）分别为甲、乙两生产线抽取的第 i 个配件的 M 值（1）若规定 M（ 3s， +3s）的产品质量等级为合格，否则为不合格已知产品不合格率需低于 5%，生产线才能通过验收利用样本估计总体，分析甲、乙两条生产线是否可以通过验收；（2）若规定 M（ s， +s）时，配件质量等级为优等，否则为不优等请统计上面提供的数据，完成下面的 22 列联表产品质量等级优等 产品质量等级不优
38、等 小计甲生产线乙生产线小计根据上面的列联表，能否有 90%以上的把握认为“配件质量等级与生产线有关”？附：K 2 ，其中 na+b+c+dP（K 2k 0） 0.10 0.05 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.828【分析】 （1）甲生产线的不合格率为 ，小于 5%，故甲生产线可以通过验收乙生产线的不合格率约为 ，大于 5%，故乙生产线不能通过验收（2） 根据提供的数据得到列联表；计算出 k2，根据临界值表可得；【解答】解：（1）由题意可知， 3s 甲 25.036， +3S 甲 25.774，依题意，甲生产线抽取的 30 个配件中，不合格的有 1 个，
39、利用样本估计总体，甲生产线的不合格率为 ，小于 5%，故甲生产线可以通过验收第 22 页（共 27 页）3s 乙 25.020， +3s 乙 25.770，依题意，乙生产线抽取的 30 个得配件中，不合格的有 2 个，利用样本估计总体，乙生产线的不合格率约为 ，大于 5%，故乙生产线不能通过验收（2） 由提供的数据可知， s 甲 25.828， +S 甲 25.528，s 乙 25.270， +s 乙 25.520，统计提供的数据可知，得到下面的 22 列联表：产品等级优等 产品等级不优等 小计甲生产线 28 2 30乙生产线 24
40、6 30小计 52 8 60k2 2.308，因为 2.3082.706，故没有 90%以上的把握认为“配件质量等级与生产线有关” 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题20 （12 分）已知抛物线 C： x22py（p0）的焦点为 F，点 A，B 在 C 上，F 为线段 AB的中点，| AB|4（1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线 l 与 C 交于 MN，两点若 C 上仅存在三个点 Ki（i1，2，3） ，使得MNKi 的面积等于 16，求 l 的方程【分析】 （1）由抛物线的对称性知 ABx 轴，得出 A、B 的坐标，由|AB|求得 p 的值，再写
41、出抛物线 C 的方程；（2）作与直线 l 平行且与抛物线 C 相切的直线 l，切点为 K，则MNK 的面积为16，设出 l 的方程，把抛物线方程化为 y x2，利用导数 1 求得切线斜率，求出 K 的坐标，计算 K 到直线 l 的距离 d，求出|MN| 的值，再利用MNK 的面积，求得直线 l 的斜率与方程【解答】解：（1）由抛物线 C：x 22py（p0）的对称性，可知 ABx 轴，且 A、B 的坐标分别为（2， ） ， （2， ） ，第 23 页（共 27 页）所以|AB|42p ，解得 p2；所以抛物线 C 的方程为 x24y；（2）如图所示，作与直线 l 平行且与抛物线 C 相切的直线
42、 l，切点为 K；由题意可知，MNK 的面积等于 16，设 l 的方程为 ykx+1，抛物线方程 x24y 可化为 y x2，则 y x；令 yk，解得 x2k，将 x2k 代入 x24y 中，得 yk 2，所以 K（2k，k 2） ；所以点 K 到直线 l 的距离为 d ；由 ，消去 y，得 x24kx40；所以 x1+x24k，x 1x24；所以|MN | 4（k 2+1） ，所以MNK 的面积为 |MN|d2（k 2+1） 16，解得 k 或 k ；所以直线 l 的方程为 y x+1 或 y x+1【点评】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题21 （
43、12 分）已知函数 f（x ）（x ）lnx，g（x）x （1）证明：函数 f（x ）的极小值点为 1；（2）若函数 yf（x）g（x）在1，+）有两个零点，证明： 1k【分析】 （1） ，当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）在区间（ 0，1）递减，当 x（1，+）时，f （x）0，f（x）在区间第 24 页（共 27 页）（1，+）递增，且 f（1） 0，由此能求出函数 f（x）的极小值点（2）函数 yf（x）g（x）在1，+）有两个零点，即方程（ x21）lnx x 2k在区间1，+ ）有两个解，令 h（x ）（x 21）lnxx 2，则 ，令 （x ）h （x） ， （x1） ，则
44、（x）2lnx+ +10，从而 h（x）在1，+ ）单调递增，存在唯一的 m（1，2） ，使得 lnm ，从而 h（x）在（1，m）单调递减，在区间（ m，+）单调递增，且 h（1）h（e ）1由此能证明1 【解答】证明：（1）函数 f（x ）（x ）lnx， ，当 x（0，1）时， lnx0，1+ 0，1 0，f（x）0，f（x）在区间（ 0，1）递减，当 x（1，+）时，lnx0，1+ 0，1 0，f（x）0 ，f（x ）在区间（ 1，+）递增，且 f （1）0，函数 f（x）的极小值点为 1（2）函数 yf（x）g（x）在1，+）有两个零点，即方程（x 21）lnx x 2 k 在区间1
45、，+ ）有两个解，令 h（x）（x 21）lnxx 2，则 ，令 （x ）h （x） ， （x1） ，则 （x）2lnx+ +10，h（x）在1，+ ）单调递增，h（1）20， ，存在唯一的 m（1，2） ，使得 ，即 lnm ，h（x）在（1，m ）单调递减，在区间（m ，+）单调递增，且 h（1）h（e）1h（x） minh（m ）（m 21）lnmm 2（m 21） （ ）m 2 （m 2+第 25 页（共 27 页） ，m（1，2） ，h（x） min ，关于 x 的方程（x 21）lnx x2k 在1，+）有两个零点， ，1 【点评】本题考查函数的极小值点的证明，考查实数的取值范围的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，其中n0以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的
