1、2020 年高考数学二模试卷（理科）年高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x+10，Bx|2x2x10，则 AB（ ） A（，1 B ， C ， D ， 2（x1）（x2）7的展开式中 x6的系数为（ ） A14 B28 C70 D98 3已知向量 ， ， ， ，则ABC 的面积为（ ） A5 B10 C25 D50 4平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 M （3，4），则 sin（2）（ ） A B C D 5音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基 本音，“宫”经过一次“
2、损”，频率变为原来的 ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”， 频率变为原来的 ，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、 角”五个音阶据此可推得（ ） A“宫、商、角”的频率成等比数列 B“宫、徵、商”的频率成等比数列 C“商、羽、角”的频率成等比数列 D“徵、商、羽”的频率成等比数列 6函数 的图象不可能是（ ） A B C D 7已知 a（sin2）2，b2sin2， ，则（ ） Abca Bbac Cabc Dcba 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图 是等边三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A10 B C9 D 9每年
3、的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失某保险公司为此开发了针对渔船 的险种，并将投保的渔船分为，两类，两类渔船的比例如图所示经统计，2019 年 ， 两类渔船的台风遭损率分别为 15%和 5% 2020 年初， 在修复遭损船只的基础上， 对类渔船中的 20%进一步改造 保险公司预估这些经过改造的渔船 2020 年的台风遭损 率将降为 3%，而其他渔船的台风遭损率不变假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确 的是（ ） A2019 年投保的渔船的台风遭损率为 10% B2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例不超过 80% C预估 2020 年 I 类渔船的台风遭损率会小于
4、 II 类渔船的台风遭损率的两倍 D 预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于 II 类渔船因台风遭损的数 量 10已知双曲线 E 的左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 M，N点 P 在 E 的渐 近线上， ， ，则 E 的离心率为（ ） A B C D 11若 0，函数 f（x）3sinx+4cosx（ ）的值域为4，5，则 的取 值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 12以 A，B，C，D，E 为顶点的多面体中，ACCB，ADDB，AEEB，AB10，CD 6，则该多面体的体积的最大值为（ ） A B80 C90 D 二、填空题：本大题共 4 小题，
5、每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置 13在复平面中，复数 z1，z2对应的点分别为 Z1（1，2），Z2（2，1）设 z1的共轭复数 为 ，则 z2 14已知点 A（1，0），B（1，0），过 A 的直线与抛物线 y24x 相交于 P，Q 两点若 P 为 AQ 中点，则 15ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ，a3若点 D 在边 BC 上，且 BD2DC，则 AD 的最大值是 16若存在过点（1， ）的直线 l 与函数 f（x）x+e x，g（x）xeax的图象都相切，则 a 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 第
6、 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17记 Sn为数列an的前 n 项和，且 a12，2Sn（n+1）an （1）求 Sn； （2）若 ，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明： 18 如图， 四棱锥 PABCD 的底面为菱形， BAD120， AB2 平面 PCD平面 ABCD， PCPD，E，F 分别是 BC，PD 的中点 （1）求证：EF平面 PAB； （2）若直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，求直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦 值 19已知圆 O：x2+y23，直线 PA 与圆 O
7、相切于点 A，直线 PB 垂直 y 轴于点 B，且|PB| 2|PA| （1）求点 P 的轨迹 E 的方程； （2）直线 PA 与 E 相交于 P，Q 两点，若POA 的面积是QOA 的面积的两倍，求直线 PA 的方程 20 “业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据某公司为量化考核员 工绩效等级设计了 A，B 两套测试方案，现各抽取 100 名员工参加 A，B 两套测试方案的 预测试，统计成绩（满分 100 分），得到如频率分布表 成绩 频率 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75） 75，85） 85，95 方案 A 0.02 0.11 0.22
8、0.30 0.24 0.08 0.03 方案 B 0.16 0.18 0.34 0.10 0.10 0.08 0.04 （1）从预测试成绩在25，35）85，95的员工中随机抽取 6 人，记参加方案 A 的人数 为 X，求 X 的最有可能的取值； （2） 由于方案 A 的预测试成绩更接近正态分布， 该公司选择方案 A 进行业务技能测试 测 试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩 x 与绩效等级优秀率 y，如表所示： x 32 41 54 68 74 80 92 y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用 yex作为回归方程令 z
9、lny，经计算得 ， ，ln0.151.9 （）若某部门测试的平均成绩为 60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？ （）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 xN（，2），其中 近似为样 本平均数 ，2近似为样本方差 s2，求某个部门绩效等级优秀率不低于 0.78 的概率为多 少？ 参考公式与数据：（1）ln3.321.2，ln5.21.66，s20 （2）线性回归方程 中， ， （3）若随机变量 XN（，2），则 P（X+）0.6826，P（2X +2）0.9544，P（3X+3）0.9974 21已知函数 （1）若 f（x）在（0，+）单调递增，求 a 的值； （2）当 时，设函数 的
10、最小值为 h（a），求函数 h（a）的值域 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22直角坐标系 xOy 中，圆 C1： ， （ 为参数）上的每一点的横坐标不变，纵 坐标变为原来的 ， 得到曲线 C 2 以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 （1）求 C2的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）设 l 与两坐标轴分别相交于 A，B 两点，点 Q 在 C2上，求QAB 的面积的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|+|x3|+
11、mx （1）当 m1 时，求不等式 f（x）8 的解集； （2）当 0m1 时，证明：f（x）3 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x+10，Bx|2x2x10，则 AB（ ） A（，1 B ， C ， D ， 【分析】先求出集合 A，B，再利用集合的并集运算即可求出结果 解：集合 Ax|x+10x|x1，Bx|2x2x10x| ， 则 ABx|x1， 故选：A 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题 2（x1）（x2）7的展开式中 x6的系数为（ ） A14 B28 C70
12、D98 【分析】把（x2）7按照二项式定理展开，可得（x1）（x2）7的展开式中 x6的系 数 解： （x1） （x2） 7（x1） （x714x6+84x5280x4+560x3672x2+448x128）， 故展开式中 x6的系数为 （2）21 （2）98， 故选：D 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用， 二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属于基础题 3已知向量 ， ， ， ，则ABC 的面积为（ ） A5 B10 C25 D50 【分析】先求出| |、| |、cosA 的值，再根据ABC 的面积为 | | | | sin A，求得结果 解：| | ，| | 2 ，cosA
13、0，A90 ABC 的面积为 | | | | sinA5， 故选：A 【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，求向量的模，属于基础题 4平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 M （3，4），则 sin（2）（ ） A B C D 【分析】 由题意可求得|OM| 5， 由三角函数的定义可得 cos， sin 的值， 进而根据诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解 解：由题意，角 的终边过点 M（3，4），可得|OM| 5， 由三角函数的定义可得 cos ，sin ， 可得 sin（2）sin22sincos2 故选：D 【点评】本题主要考查了三角函数的定
14、义，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函 数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 5音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基 本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”， 频率变为原来的 ，得到“商”；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、 角”五个音阶据此可推得（ ） A“宫、商、角”的频率成等比数列 B“宫、徵、商”的频率成等比数列 C“商、羽、角”的频率成等比数列 D“徵、商、羽”的频率成等比数列 【分析】根据文化知识，分别求出相对应的概率，即可判断 解：设“宫”的频率为 a，由题意经过一次“损”，可得
15、“徵”的频率为 a，“徵”经 过一次“益”，可得“商”的频率为 a， “商”经过一次“损”，可得“羽”频率为 a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角” 的频率是 a， 由于 a， a， a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列， 故选：A 【点评】本题考查了等比数列的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题 6函数 的图象不可能是（ ） A B C D 【分析】观察选项可知，A，B 选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D 选 项的函数图象关于 y 轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论； 解：A，B 选项中，图象关于原点对称， f（x）为奇函数，即 f（x）
16、+f（x）0，即 ， k1， 当 k1 时，f（x）的图象为选项 A；当 k1 时，f（x）的图象为选项 B； 而 C，D 选项中，图象关于 y 轴对称，所以 f（x）为偶函数，即 f（x）f（x），即 ， k0， 当 k0 时，f（x）0，故 f（x）的图象为选项 D，不可能为选项 C 故选：C 【点评】本题主要考查利用函数奇偶性判断函数图象，考查数形结合思想以及运算求解 能力，属于基础题 7已知 a（sin2）2，b2sin2， ，则（ ） Abca Bbac Cabc Dcba 【分析】利用三角函数、指数函数、对数函数的单调性直接求解 解： ， ， 0a1，b1，0c1， a（sin2）
17、2（ ）2 ， c ， bac 故选：B 【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查三角函数、指数函数、对数函数的单调性 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图 是等边三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A10 B C9 D 【分析】先将三视图还原为四棱锥，再将其补形为正三棱柱，而外接球的球心就是该三 棱柱的中心，然后结合正三角形中边角关系、勾股定理和球的表面积公式即可得解 解：由三视图可知，原几何体为四棱锥 BACDE，其中平面 ABC平面 ACDE，该几何 体可补形为棱长均是 2 的正三棱柱 ABCEP
18、D， 设等边ABC 的中心为 O1，几何体外接球的球心为 O，半径为 R，则 OO11， 在等边ABC 中， ， ROB ， 外接球的表面积 S 故选：B 【点评】本题考查三视图的还原、球的表面积，采用补形法是解题的关键，考查学生的 空间立体感和运算能力，属于中档题 9每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失某保险公司为此开发了针对渔船 的险种，并将投保的渔船分为，两类，两类渔船的比例如图所示经统计，2019 年 ， 两类渔船的台风遭损率分别为 15%和 5% 2020 年初， 在修复遭损船只的基础上， 对类渔船中的 20%进一步改造 保险公司预估这些经过改造的渔船 2020 年的台风遭
19、损 率将降为 3%，而其他渔船的台风遭损率不变假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确 的是（ ） A2019 年投保的渔船的台风遭损率为 10% B2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例不超过 80% C预估 2020 年 I 类渔船的台风遭损率会小于 II 类渔船的台风遭损率的两倍 D 预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于 II 类渔船因台风遭损的数 量 【分析】仔细观察频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质能求出结果 解：设全体投保的渔船为 t 艘， 对于 A， 2019 年投保的渔船的台风台风遭损率为 60%15%+40%5%11%， 故 A
20、 错误； 对于 B，2019 年所有因台风遭损的投保的渔船中，I 类渔船所占的比例为： 80%，故 B 错误； 对于 C， 预估 2020 年 I 类渔船的台风遭损率为： 20%3%+80%15%12.6%2 （5%） ， 故 C 错误； 对于 D，预估 2020 年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量：t 60% 20% 3%少于 II 类渔船因台风遭损的数量：t 40% 5%，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 10已知双曲线 E 的左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 M，N点 P 在 E 的渐 近
21、线上， ， ，则 E 的离心率为（ ） A B C D 【分析】先由点 P 在 E 的渐近线上， P（a，b），再由 得到 a 与 b 的关系式，进而求得离心率 解： 不妨设 P 是渐近线在第一象限上的点， 因为 ， 所以F1PF290， |PO| |OF2|c，又 P 在渐近线 y 上，所以可得 P 点的坐标是（a，b），所以 PNF1F2 在直角三角形 PNM 中， ，所以|MN| |PN|，即 2a ， ， 所以 e 故选：B 【点评】 本题主要考查直角三角形的性质、 双曲线的性质及离心率的计算， 属于基础题 11若 0，函数 f（x）3sinx+4cosx（ ）的值域为4，5，则 的取
22、 值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】由函数 f（x）3sinx+4cosx5sin（x+），其中 sin ，cos ，0 令 tx+，g（t）5sint，由 0， ，可得 t +，由 g（） 4， 且0 可得g （） 4， g （ ） 5 可得 2 当0 x 2 时，ycosx 单调递减即可得出 解：函数 f（x）3sinx+4cosx5sin （x+）， 其中 sin ，cos ，0 令 tx+，g（t）5sint，0， ，t +， g（）4，且 0 g（）4，g（ ）5 +，即 2 当 0 x2 时，ycosx 单调递减 cos（ ）sin ，cos（2）cos2si
23、n 2cos2 的取值范围是 ， 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的单调性、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 12以 A，B，C，D，E 为顶点的多面体中，ACCB，ADDB，AEEB，AB10，CD 6，则该多面体的体积的最大值为（ ） A B80 C90 D 【分析】取 AB 的中点 O，由已知可得 C、D、E 在以 AB 为直径的球面 O 上设 A，B 到平面 CDE 的距离分别为 d1，d2，则 d1+d2AB可得该多面体的体积 VVACDE+VB CDE 过 C，D，E 作球的截面 O，设 O的半径为 r，可得 3r5把三角形 CDE 的面积表示为
24、r 的函数，由函数单调性求得最大值，可 得多面体的体积的最大值 解：如图，取 AB 的中点 O， ACCB，ADDB，AEEB，OAOBOCODOE， 故 C、D、E 在以 AB 为直径的球面 O 上 设 A，B 到平面 CDE 的距离分别为 d1，d2，则 d1+d2AB 该多面体的体积 VVACDE+VBCDE 过 C，D，E 作球的截面 O，设 O的半径为 r，则 r3，且 r ，即 r5 3r5 又点 E 到 CD 距离的最大值为 r r 函数 f（r）r 在3，5上单调递增，f（r）maxf（5）5+49 从而 V 故选：C 【点评】本题考查多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方
25、法与数学转化思想方 法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置 13在复平面中，复数 z1，z2对应的点分别为 Z1（1，2），Z2（2，1）设 z1的共轭复数 为 ，则 z2 5i 【分析】由已知求得 z1，z2，代入 z2，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由题意，z11+2i，z22i， ，则 z2（12i）（2i）5i 故答案为：5i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 14已知点 A（1，0），B（1，0），过 A 的直线与抛物线 y24x
26、相交于 P，Q 两点若 P 为 AQ 中点，则 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，分别作点 P，Q 到准线的垂线段，垂足分别为 点 D，C，运用抛物线的定义和三角形的中位线定理，即可得到所求值 解：抛物线 y24x 的焦点为（1，0），即 B 为焦点，准线方程为 x1， 分别作点 P，Q 到准线的垂线段，垂足分别为点 D，C， 由抛物线的定义，可得|PB|PD|，|QB|QC|，由|PB|PD|，|QB|QC|， 因为 PDQC，且 P 为 AQ 的中点， 所以 PD 是AQC 的中位线，|PD| |QC|， 即|PB| |QB|， 故 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的定义和性质，考查三
27、角形的中位线定理，主要考查逻辑推理 能力，属于基础题 15ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ，a3若点 D 在边 BC 上，且 BD2DC，则 AD 的最大值是 1 【分析】ABC 中利用正弦定理转化求得 A 的值，再求出ABC 外接圆的半径；取 BC 的中点 M， 利用直角三角形的边角关系与两边之和大于第三边， 即可求出 AD 的最大值 解：ABC 中， ，由正弦定理得，sinAsinB sinBcosA， 因为 sinB0，所以 tanA ； 又因为 0A，所以 A ； 设ABC 外接圆的圆心为 O，半径为 R，则由正弦定理得，R ； 取 BC 的中点 M，如图所示
28、； 在 RtBOM 中，BM BC ，OM ； 在 RtDOM 中，DMBDBM ，OD 1； 由 ADAO+ODR+OD 1，当且仅当圆心 O 在 AD 上时取“”； 所以 AD 的最大值是 1 故答案为： 1 【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是难 题 16若存在过点（1， ）的直线 l 与函数 f（x）x+e x，g（x）xeax的图象都相切，则 a 2 【分析】先分别设切点，将各自的切线方程表示出来，然后列出切点满足的方程，结合 过点（1， ）列出方程组，解出 a 的值 解： 由已知得f （x） 1+ex， g （x） 1+eax， 设直线l与函数
29、f （x） 相切于点 （ ， ） ， 则切线斜率 ，切线 l 的方程为 设直线 l 与函数 g（x）的图象相切于点 ， ，则切线斜率 ，切 线 l 的方程为： y 因为过点（1， ）的直线 l 与函数 f（x）x+e x，g（x）x+eax的图象都相切 所以 由 （1） 得 x1ax2， 将 x2ax1代入 （3） 得 所以 （4）， 由（2）+（4）得 ， ， a2 故答案为：2 【点评】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，以及学生运用方程思想解决问题 的能力和运算能力，属于中档题 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试
30、题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17记 Sn为数列an的前 n 项和，且 a12，2Sn（n+1）an （1）求 Sn； （2）若 ，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明： 【分析】本题第（1）题根据题意当 n2 时，由 2Sn（n+1）an，类推可得 2Sn1nan 1，两式相减后化简整理可得 （n2，nN*），则可发现数列 是一个常数 列，进一步计算可求得数列an的通项公式，然后根据等差数列的求和公式可得 Sn的表 达式； 第（2）题先化简 ，然后运用裂项相消法及由（1） 得到的 计算 Tn 的表达式，即可证明不等式 成立 【解答】（
31、1）解：由题意，当 n2 时，由 2Sn（n+1）an，可得 2Sn1nan1， 两式相减，可得 2Sn2Sn1（n+1）annan1， 化简，得 2an（n+1）annan1， 整理，得 （n2，nN*）， 2， an2n，nN*， Sna1+a2+an 2 1+2 2+2 n 2 （1+2+n） 2 n（n+1） （2）证明：由题意， ， 由（1）知， ， Tnb1+b2+bn ， nN*， Tn ，故得证 【点评】本题主要考查数列递推关系、数列求和等基础知识，考查推理论证能力和运算 求解能力等，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向是对发展逻辑推理、数 学运算及数学建模等核心素养的
32、关注，属中档题 18 如图， 四棱锥 PABCD 的底面为菱形， BAD120， AB2 平面 PCD平面 ABCD， PCPD，E，F 分别是 BC，PD 的中点 （1）求证：EF平面 PAB； （2）若直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，求直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦 值 【分析】（1）取 PA 中点 M，连结 BM，MF，推导出四边形 MBEF 是平行四边形，从而 EFBM，由此能证明 EF平面 PAB （2）取 CD 中点 O，连结 PO，AO，AC，推导出 POCD，PO平面 ABCD，则PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成角，即PBO45，以 O 为原点
33、，OA 为 x 轴，OC 为 y 轴， OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值 解：（1）证明：取 PA 中点 M，连结 BM，MF， M，F 分别是 PA、PD 的中点，MFAD，且 MF ， 菱形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，BEAD，且 BE ， MFBE，且 MFBE，四边形 MBEF 是平行四边形， EFBM， EF平面 PAB，BM平面 PAB，EF平面 PAB （2）解：取 CD 中点 O，连结 PO，AO，AC， PCPD，POCD， 平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD，PO平面 PCD， PO
34、平面 ABCD，则PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成角，即PBO45， 在BCO 中，BC2，CO1，BCO120， BO24+1212cos1207，BO ， 如图，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OC 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（0，1，0），P（0，0， ），D（0，1，0），B（ ，2，0），E（ ， ，0）， （ ，1，0）， （0，1， ）， （ ， ，0）， 设平面 PBC 的一个法向量 （x，y，z）， 由 ，令 x ，得 （ ， ， ）， 设 DE 与平面 PBC 所成角为 ， 则 sin ， 直线 DE 与平面 PBC 所成角的正弦值
35、为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19已知圆 O：x2+y23，直线 PA 与圆 O 相切于点 A，直线 PB 垂直 y 轴于点 B，且|PB| 2|PA| （1）求点 P 的轨迹 E 的方程； （2）直线 PA 与 E 相交于 P，Q 两点，若POA 的面积是QOA 的面积的两倍，求直线 PA 的方程 【分析】（1）设 P 的坐标由 PA 与圆 O 相切于点 A 可得|PA|的表达式，再由直线 PB 垂 直 y 轴于点 B，可得|PB|的表达式，再由|PB|2|PA|可得 P 的轨迹方
36、程； （2）设直线 PA 的方程，由与圆相切可得参数的关系，将直线 PA 的方程与椭圆联立求 出两根之和及两根之积，进而求出弦长|PA|，由 SPOA2SQOA可得 P，Q 的横坐标的关 系，代入两根之和及两根之积中可得 k 的值，进而求出 m 的值求出直线 PA 的方程 解：（1）设 P 的坐标（x，y），由题意可得|PA|2|PO|23x2+y23，|PB|2x2， 因为|PB|2|PA|，所以 x24（x2+y23）， 整理可得： 1， 所以点 P 的轨迹 E 的方程为： 1； （2）当直线 PA 的斜率不存在时，不满足条件， 设直线 PA 的方程为：ykx+m，设 P（x1，y1），Q
37、（x2，y2）， 由直线 PA 与圆 O 相切可得 ，即 m 23（1+k2）， 联立直线由于椭圆的方程可得 整理可得：（3+4k 2）x2+8kmx+（4m2 12）0，可得 x1+x2 ，x 1x2 ， 由 SPOA2SQOA可得 2（ ），|PA|2|QA|，|x1|2|x2|， 因为 x1x2 0，所以 x12x2 所以可得 可得 ，解得 k ，即 m ， 所以直线 PA 的方程为：y x 或 y x 【点评】本题考查求轨迹方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式和面积公式，属于中档 题 20 “业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据某公司为量化考核员 工绩效等级设计了 A，
38、B 两套测试方案，现各抽取 100 名员工参加 A，B 两套测试方案的 预测试，统计成绩（满分 100 分），得到如频率分布表 成绩 频率 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75） 75，85） 85，95 方案 A 0.02 0.11 0.22 0.30 0.24 0.08 0.03 方案 B 0.16 0.18 0.34 0.10 0.10 0.08 0.04 （1）从预测试成绩在25，35）85，95的员工中随机抽取 6 人，记参加方案 A 的人数 为 X，求 X 的最有可能的取值； （2） 由于方案 A 的预测试成绩更接近正态分布， 该公司选择方案 A 进行
39、业务技能测试 测 试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩 x 与绩效等级优秀率 y，如表所示： x 32 41 54 68 74 80 92 y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用 yex作为回归方程令 zlny，经计算得 ， ，ln0.151.9 （）若某部门测试的平均成绩为 60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？ （）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 xN（，2），其中 近似为样 本平均数 ，2近似为样本方差 s2，求某个部门绩效等级优秀率不低于 0.78 的概率为多 少？ 参考公式与数据：（1）ln3.321
40、.2，ln5.21.66，s20 （2）线性回归方程 中， ， （3）若随机变量 XN（，2），则 P（X+）0.6826，P（2X +2）0.9544，P（3X+3）0.9974 【分析】（1）求出预测试成绩在25，35）85，95的员工中，接受方案 A 测试与接受 方案 B 测试的人数，记这 6 人中接受方案 A 预测试的人数为 k，由超几何分布可得 P（X k） ，其中 k0，1，2，3，4，5，通过计算可得 P（Xk）maxP（X1）， 即 X1 的可能性最大； （2）（）依题意，yex两边取对数，得 lnyx+ln，即 zx+ln，由已知求得 与 的值，可得 ，取 x60 求得 y
41、值即可； （）由（）及提供的参考数据可知， ，s20，求解不等式 0.15 e0.02x 0.78，可得 x83结合 +83，即可求得“绩效等级优秀率不低于 0.78”的概率 解：（1） 预测试成绩在25， 35） 85， 95的员工中， 接受方案A测试的有100 （0.02+0.03） 5 人； 接受方案 B 测试的有 100（0.16+0.04）20 人 依题意，随机变量 X 服从超几何分布，记这 6 人中接受方案 A 预测试的人数为 k， 则 P（Xk） ，其中 k0，1，2，3，4，5 得 P（Xk）maxP（X1），即 X1 的可能性最大， 故 X 的最有可能的取值是 1； （2）（
42、）依题意，yex两边取对数，得 lnyx+ln，即 zx+ln 其中 63，由提供的参考数据，可知 0.02， 又0.6420.0263+ln，ln1.9，得 0.15 故 ，当 x60 时， ； （）由（）及提供的参考数据可知， ，s20 y0.78，即 0.15 e0.02x0.78，可得 0.02xln5.2，即 x83 又 +83，P（X+）0.6826， 由正态分布的性质，得 P（x83） 1P（X+）0.1587 记“绩效等级优秀率不低于 0.78”为事件 A， 则 P（A）P（x83）0.1587 绩效等级优秀率不低于 0.78 的概率等于 0.1587 【点评】本题主要考查超几
43、何分布、不等式、回归分析、正态分布等知识，考查抽象概 括能力、数据处理能力、运算求解能力和推理论证能力，考查统计与概率思想、化归与 转化思想，是中档题 21已知函数 （1）若 f（x）在（0，+）单调递增，求 a 的值； （2）当 时，设函数 的最小值为 h（a），求函数 h（a）的值域 【分析】（1）求导可得 f（x）（xa）lnx，依题意，（xa）lnx0，分 x1，x 1 及 0x1 讨论即可求得实数 a 的值； （2） 先求得 g （x） 的最小值， 即 ， 再由 g （x0） 0 得 ，再利用导数求函数 h（a）的取值范围即可 解：（1）f（x）（xa）lnx， f（x）在（0，+）单调递增， f（x）0，即（xa）lnx0， （i）当 x1 时，lnx0，则需 xa0，故 axmin，即 a1； （ii）当 x1 时，lnx0，则 aR； （iii）当 0x1 时，lnx0，则需 xa0，故 axmax，即 a1； 综上所示所述，a1； （2） ， ， ， ， g（x）0， g（x）在（0，+）上单调递增， 又 ， ， 存在 x0（1，e），使得 g
