1、直线与圆跟踪知识梳理考纲解读：直线与圆、圆与圆的位置关系:1能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想考点梳理：1.直线与圆相切（1 ）直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；（2 ）几何法：圆心到直线的距离等于半径，即 ；dr（3 ）代数法： ，方程组有一组不同的解.02.直线与圆相交及弦长（1 ）直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；（2 ）几何法：圆心到直线的 距离小于半径，即 ；dr（3 ）代数法： ，方程组有两组不同的解.03.圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为
2、 、 ，圆心距为 ，半 径分别为 、 ( ).1C212dCRr(1)两圆相离：无公共点； ，方程组无解.dRr(2)两圆外切：有一个公共点； ，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点； ，方程组有两组不同的解.r(4)两圆内切：有一公共点； ，方程组有一组不同的解.d(5)两圆内含：无公共点； ，方程组无解. 特别地， 时，为两个同心圆.0R0d4.直线、圆的位置关系的综合应用设两圆的圆心分别为 、 ，圆心距为 ，半径分别为 、 ( ).1C212dCRr(1)两圆相离：无公共点； ，方程组无解.dr(2)两圆外切：有一个公共点； ，方程组有一组不同的解.dRr(3)两圆相交：有
3、两个公共点； ，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点； ，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点； ，方程组无解. 特别地， 时，为两个同心圆0dr0d5.直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要考查：(1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；来源:Z.xx.k.Com(2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；(3)利用相切或相交求圆的切线或弦长核心能力必练来源:Z_xx_k.Com一、选择题1 (2018 广东江门 4 月模拟,3) 已知三条直线 l1:4x+y=1,l2:x-y=0,l3:2x-my=3,若 l1 关于 l2 对称的直线与 l3
4、 垂直,则实数 m 的值是 ( ) A.-8 B.- C.8 D.122 (2018 河南顶级名校 第二次联考,6)已知 m,n,a,bR,且满足 3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为 ( )22()(anbA. B. C.1 D. 3123 (2018 河北五个一联盟联考,3)已知直线 l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m= 2”是 l1 平行于l2 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4 (2018 湖北四地七校 3 月联考 ,8)若圆 O1:x2+y2=5 与圆 O2:(x+m)2+y2=20
5、 相交于 A,B 两点, 且两圆在点 A 处的切线互相垂直, 则线段 AB 的长度是 ( ) A.3 B.4 C.2 D.8 5 (2018 山西太原五中 4 月模拟 ,8)已知 kR,点 P(a,b)是直线 x+y=2k 与圆 x2+y2=k2-2k+3 的公共点,则 ab 的最大值为 ( ) A.15 B.9 C.1 D.- 536以 为圆心，且与两直线 与 同时相切的圆的标准方程)1,(a042yx062yx为（ ）A B5)()(22yx 5)1()(22C D1 yx7直线 截圆 ： 的弦长为 4，则 （ ）0axyC240xyaA B C D2338圆 与圆 的公切线有且仅有（ 2
6、1:61C2:1xy）A 条 B 条 C. 条 D 条349已知圆 2:8150xy，直线 上至少存在一点 P，使得以点 为2ykx圆心，半径为 的圆与圆 有公共点，则 的最小 值是（ ）1CA. B. C. D.434355310设点 ， ，若直线 与线段 （包括端点）有公共点，则(,)A(0,)B1axbyAB的最小值为 ( )2baA. B. C. D.11413211已知定点 ， ，如果动点 满足 ，则点 的轨迹所包,0M,NP2MNP围的图形面积等于（ ）A B C D1091429103912如果直线 和函数 的图象恒过同一70,axbyblog0,1mfxx个定点，且该定点始终落
7、在圆 的内部或圆上，那么 的取值范22115xya ba围是（ ）A B C. D34,340,4,330,413若圆 上有四个不同的点到直线 的2:210Cxyxy:lxyc距离为 2，则 的取值范围是（ ）cA. B. C. D.2,2,2,2,14已知圆 ： 截直线 所得线段的长度为 ，则圆M0()xya0xy2与圆 ： 的位置关系是（ ）N22(1)()1A内切 B相交 C外切 D相离15已知平面上两点 ，若圆 上存在点 ，,0,0Aaa22341xyP使得 ，则 的取值范围是（ ）9PA B C. D3,63,74,60,716设 是定义在 上的增函数，且对于任意的 都有 恒成立，f
8、xRx1fxf如 果实数 满足不等式组 那么 的取值范围,mn2238,fmfn 2mn是（ ）A. B. C. D. 3,79,2513,499,4二、填空题17圆 内切于圆 ，则 221:(0)Cxym2:6810Cxym18若曲线 与曲线 相交于 两点，且25220xymR,AB两曲线在 处的切线互相垂直，则 的值是_A19已知圆 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为2:810Cxykx圆心，1 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的取值范围为_.20已知集合 ，若 有两个不同元素，2,9,AxBybAB则实数 的取值范围是_b21 过原点作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则线段268
9、0xy PQ的长为 PQ22若曲线 与曲线 有四个不同的交点，则21:C2:210Cyax实数 的取值范围是 a三、解答题23已知圆 .2:430Cxy（1 ）若不经过坐标原点的直线 与圆 相切，且直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线lCl的方程；来源:Z.xx.k.Coml（2 ）设点 在圆 上 ，求点 到直线 距离的最大值与最小值.PCP50xy24已知直线 ，半径 为 2 的圆 与 相切，圆心 在 轴上且在直线:4310lxylCx的右上方l（1 ）求圆的方程；（2 ）若直线过点 且与圆 交于 ， 两点（ 在 轴上方 ， 在 轴下方） ，问(1,0)MCABxBx在 轴正半轴上是否存在定
10、点 ，使得 轴平分 ？若存在，请求出点 的坐标；xNxNN若不存在，请说明理由25已知圆 的圆心 在 轴上，半径为 1，直线 被圆 所截的弦长为41:32lyxM，且圆心 在直线 的下方3Ml（1 ）求圆 的方程；（2 ）设 ，若圆 是 的内切圆，求 的面0,652AtBttABC ABC积 的最大值和最小值S26已知圆 ，过原点的直线 与其交于不同的两点 .2:430Cxyl ,（1 ）求直线 斜率 的取值范围；lk（2 ）求线段 的中点 的轨迹 的方程；ABP（3 ）若直线 与曲线 只有一个公共点，求 的取值范围.:4myaxa27.如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 及其上一点Oy2:1
11、460Mxyy.(2,4)A（1 ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；NxN6xN（2 ）设平行于 的直线 与圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程；OAlM,BCOAl（3 ）设点 满足：圆 上存在两点 和 ，使得 ，求实数 的取值(,0)TtMPQTAPQt范围.直线与圆跟踪知识梳理考纲解读：直线与圆、圆与圆的位置关系:1能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想考点梳理：1.直线与圆相切（1 ）直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共
12、点；（2 ）几何法：圆心到直线的距离等于半径，即 ；dr（3 ）代数法： ，方程组有一组不同的解.02.直线与圆相交及弦长（1 ）直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；（2 ）几何法：圆心到直线的 距离小于半径，即 ；dr（3 ）代数法： ，方程组有两组不同的解.03.圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为 、 ，圆心距为 ，半 径分别为 、 ( ).1C212dCRr(1)两圆相离：无公共点； ，方程组无解.dRr(2)两圆外切：有一个公共点； ，方程组有一组不同的解.dRr(3)两圆相交：有两 个公共点； ，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点； ，方程组有一组不同的解.(5)两圆内
13、含：无公共点； ，方程组无解. 特别地， 时，为两个同心圆.0dr0d4.直线、圆的位置关系的综合应用设两圆的圆心分别为 、 ，圆心距为 ，半径分别为 、 ( ).1C212CRr(1)两圆相离：无公共点； ，方程组无解.dRr(2)两圆外切：有一个公共点； ，方程组有 一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点； ，方程组有两组不同的解.r(4)两圆内切：有一公共点； ，方 程组有一组不同的解.d(5)两圆内含：无公共点； ，方程组无解. 特别地， 时，为两个同心圆.0R0d5.直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要考查：(1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；(2)利
14、用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；(3)利用相切或相交求圆的切线或弦长核心能力必练一、选择题1 (2018 广东江门 4 月模拟,3) 已知三条直线 l1:4x+y=1,l2:x-y=0,l3:2x-my=3,若 l1 关于 l2 对称的直线与 l3 垂直,则实数 m 的值是 ( ) A.-8 B.- C.8 D.12【答案】D【解析】易知直线 l1:4x+y=1 关于直线 l2:x-y=0 对称的直线方程为 x+4y=1,又 l3:2x-my=3,故由题意得 12+4(-m)=0,m= ,故选 D.2 (2018 河南顶级名校第二次联考,6)已知 m,n,a,bR,且满足 3m+4n
15、=6,3a+4b=1,则的最小值为 ( )22()(anbA. B. C.1 D. 来源:312【答案】C3 (2018 河北五个一联盟联考,3)已知直线 l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是 l1 平行于l2 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当 m=2 时, 直线 l1:2x-2y+1=0,直线 l2:x-y-1=0,此时直线 l1 与 l2 平行,所以充分性成立;当 l1l 2 时,-m(m-1)+2=0,即 m2-m-2=0,m=2 或 m=-1,经检验 m=-1 时,直
16、线 l1 与直线 l2 重合,故 l1l 2 时,m=2,故必要性成立. 综上,“m=2”是 l1 平行于 l2 的充分必要条件,故选 C. 4 (2018 湖北四地七校 3 月联考 ,8)若圆 O1:x2+y2=5 与圆 O2:(x+m)2+y2=20 相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直, 则线段 AB 的长度是 ( ) A.3 B.4 C.2 D.8 【答案】B5 (2018 山西太原五中 4 月模拟 ,8)已知 kR,点 P(a,b)是直线 x+y=2k 与圆 x2+y2=k2-2k+3 的公共点,则 ab 的最大值为 ( ) A.15 B.9 C.1 D.- 53【
17、答案】B【解析】由题意得,原点到直线 x+y=2k 的距离 d= ,且 k2-2k+30,解得-2k233k 1,因为 2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以当 k=-3 时,ab 取得最大值 9.故选 B.6以 为圆心，且与两直线 与 同时相切的圆的标准方)1,( 04yx06yx程为（ ）A B5)()(22yx 5)1()(22C D1 yx【答案】A7直线 截圆 ： 的弦长为 4，则 （ ）50axyC2410xyaA B C D233【答案】C【解析】 可化为 ，则圆心为 ，半径2410xy22()(1)4xy(2,1)C为 ，要使直
18、线 截圆 的弦长为 ，则直线必r5a: 04过圆心，即 ，解得 ，故选 C228圆 与圆 的公切线有且仅有（ 1:610Cxy2:41xy）A 条 B 条 C. 条 D 条23【答案】C【解析】 可化为 ，则圆心 ，半径为2610xy22139xy（ ） （ ） 1,3C（ ）， 可化为 ，则圆心 ，半13r4 4（ ） （ ） 2（ ）径 ， ，两圆外切，圆22212 12135Cr与圆 的公切线有且仅有160:xy2 0:Cxy条故选 C.39已知圆 2:815x，直线 上至少存在一点 P，使得以点 为2k圆心，半径为 的圆与圆 有公共点，则 的最小值是（ ）1A. B. C. D.434
19、3553【答案】A10设点 ， ，若直线 与线段 （包括端点）有公共点，则(1,)(0,)B1axbyAB的最小值为 ( )2baA. B. C. D.1432【答案】C【解析】由题意知点 位于直线 的两侧，或位于直线 上，于是BA、 1axby1axby或 作出可行域（图略） ，则1ab0,010,ab的最小值应为原点到直线 的距离，于是 ，21ba2min12所以 .2min1ab11已知定点 ， ，如果动点 满足 ，则点 的轨迹所包3,0M2,NP2MNP围的图形面积等于（ ）A B C D1091491039【答案】A【解析】设 ，由 得 ，化简得,Pxy2MPN224xyxy，即 ，
20、所以所求图形的面积 ，故237x021039 109S选 A.12如果直线 和函数 的图象恒过同一70,axbyb1log0,1mfxx个定点，且该定点始终落在圆 的内部或圆上，那么 的取值范2215xya ba围是（ ）A B C. D 34,340,4,330,4【答案】A【解析】函数 的图象恒过定点 ，将点 代入1log,1mfxx1,1，可得 ，由于 始终落在所给圆的内部或圆上，所以 ，7axby7ab1, 25ab由 得 或 这说明点 在以 和 为端点的线段上运动，2,53,4,ab3,4,所以 的取值范围是 .故选 A.ba,13若圆 上有四个不同的点到直线 的2:210Cxyxy
21、:0lxyc距离为 2，则 的取值范围是（ ）cA. B. C. D.,2,2,【答案】D【解析】依题意得，圆的圆心为 ，半径为 ，要使圆上有 个不同的点到直线的,44距离为 2，则需圆心到直线的距离小于 2，即 ，解得 .2cd2c14已知圆 ： 截直线 所得线段的长度为 ，则M20()xya0xy圆 与圆 ： 的位置关系是（ ）N2(1)()1A内切 B相交 C外切 D相离【答案】B15已知平面上两点 ，若圆 上存在点 ，,0,0Aaa22341xyP使得 ，则 的取值范围是（ ）9PBA B C. D3,63,74,60,7【答案】C【解析】由 ，可得圆心 ，半径 .设 ，则22:41x
22、y（ ） （ ） 3,C（ ） 1r,Pmn（ ）， . ， ， ,APamn（ ） ,BPan（ ） 90APB B，即 ， ，又 的最大值2)(0（ ） 22mO2aO是 ，最小值是 ， 的取值范围是 故选 C516OCr 514Cr4,616设 是定义在 上的增函数，且对于任意的 都有 恒成立，fxRx10fxf如果实数 满足不等式组 那么 的取值范围,mn226380,fmfn 2mn是（ ）A. B. C. D. 3,79,2513,499,4【答案】C二、填空题17圆 内切于圆 ，则 221:(0)xym2:6810Cxym【答案】【解析】由 ，得圆心 .圆 的方程变形为22(0)
23、xymr1),0(2C，则圆心 ， 圆 内切于圆 ，36)4()3(64,322C12.又 .mC|21 ,5|2118若曲线 与曲线 相交于 两点，且xy220xymxR,AB两曲线在 处的切线互相垂直，则 的值是_ _A【答案】 5【解析】由已知可得圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径1C1(0,)15r2C2(,0)m， 2r221|rm19已知圆 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为:85xyykx圆心，1 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的取值范 围为_.C【答案】 4,0320已知集合 ，若 有两个不同元素，2,9,AxyxByxbAB则实数 的取值范围是_b【答案】 3,
24、2【解析】如图，集合 是以 为圆心，3 为半径的上半圆上的点集（包括与 轴的交点）.AOx当直线 过点 时， ；当直线 与半圆相切时， ，因此yxb0,byxb32b的取值范围是 b221 过原点作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则线段26820xyPQ的长为 PQ【答案】 4【解析】圆的标准方程为 ，设圆心为 ，则 ，圆的半54322yx4,3E5O径为 ，所以 ，所以55OP.4sin2,2sin OPEQE22若曲线 与曲线 有四个不同的交点，则21:0Cxy2:210Cyax实数 的取值范围是 a【答案】 ,2【解析】由 ，得 ，由 ，得 或0xy12yx210yaxy，因为直线 和
25、圆 有两个交点 ， ，所以1ay 21:C， ,需满足直线 和圆 有两个交点，且焦点不是 ，2x2xy，则 ，得 且 ，即 得取值范 围0,212a0a12a是 ,三、解答题23已知圆 .2:430Cxy（1 ）若不经过坐标原点的直线 与圆 相切，且直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线lCl的方程；l（2 ）设点 在圆 上，求点 到直线 距离的最大值与最小值.PCP50xy【答案】 （1） 或 （2） 和10xy33224已知直线 ，半径为 2 的圆 与 相切，圆心 在 轴上且在直线:4l Clx的右上方来源:l（1 ）求圆的方程；（2 ）若直线过点 且与圆 交于 ， 两点（ 在 轴上方， 在
26、 轴下方） ，问(1,0)MABxBx在 轴正半轴上是否存在定点 ，使得 轴平分 ？若存在，请求出点 的坐标；xNxNN若不存在，请说明理由【答案】 （1） （2）见解析 24xy【解析】 （1）设圆心 （ ） ，则 ，解得 或 （舍取） ，(,0)Ca5|410|2a0a5所以圆 的方程为 2xy25已知圆 的圆心 在 轴上，半径为 1，直线 被圆 所截的弦长为M41:32lyxM，且圆心 在直线 的下方3l（1 ）求圆 的方程；（2 ）设 ，若圆 是 的内切圆，求 的面0,652AtBttABC ABC积 的最大值和最小值S【答案】 （1） （2）最大值为 ，最小值为21xy152274【
27、解析】 （1）设圆心 ，由已知得 到 的距离为,0Ma:8630lxy， 来源:223 ，又 在 的下方， ， 22816al830a835,1a故圆 的方程为 M21xy26已知圆 ，过原点的直线 与其交于不同的两点 .2:430Cl ,AB（1 ）求直线 斜率 的取值范围；lk（2 ）求线段 的中点 的轨迹 的方程；ABP（3 ）若直线 与曲线 只有一个公共点，求 的取值范围.:4myaxa【答案】(1) （2） （3） 或3k2302xyx158a383a【解析】 （1）由 得 .直线 的方程为 ，240xy21xylykx直线 与圆 交于不同的两点 ， ， .lC,AB2k3（2 ）设
28、点 ，点 为线段 的中点,Pxy而曲线 是圆心为 ，半径 的圆， ，2,01rCPO （ 且 ） ，化简得 ，CPOkxx020xy由 得 ，243,0y3,2y是不同的两点，且点 满足，,AB,因此 的轨迹 的方程为 .P2302xyx27.如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 及其上一点xOy2:1460Mxyy.(2,4)A（1 ）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；NxN6xN（2 ）设平行于 的直线 与圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程；OAlM,BCOAl（3 ）设点 满足：圆 上存在两点 和 ，使得 ，求实数 的取值(,0)Tt PQTPQt范围
29、.【答案】 （1） （2 ） 或 （3 ）1)()6(22yx 05yx0152yx,2【解析】圆 的标准方程为 ，所以圆心为 ，半径为 5. M)7()6(22yx )7,6(M（2 ）因为直线 ，所以直线 的斜率为 .lOA l40设直线 的方程为 ，即 ，则圆心 到直线 的距离lmxy2yxl675.5d因为 ，而 24BCOA22,BCMd所以 ，解得 或 .52m51m故直线 的方程为 或 .l0yx02yx（3 ）设 .),(),(21QP因为 ，所以 TPAtT,0,4221,4xty因为点 在圆 上，所以 ，将代入，得QM25)7()6(22yx.5)3()4(121ytx于是点 既在圆 上，又在圆 上，从而圆,P 25)3()4(2ytx与圆 有公共点，所以2)7()6(2yx 2t，解得 .因此实数 的取5)3(6452t 11tt值范围是 .1,
