1、2019 年湖南省娄底市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知全集 U1，2，3，4，5，A2 ，3，4，B3 ，5，则下列结论正确的是（ ）ABA B UA1 ，5 CAB3 DA B2，4，52 （5 分）已知 i 为虚数单位， z（1+i ）3i，则在复平面上复数 z 对应的点位于（ ）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限3 （5 分）某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红 4 种颜色中任意挑选 2 种颜色，则所选颜色中含有白
2、色的概率是（ ）A B C D4 （5 分）下列判断正确的是（ ）A “45”是“tan1”的充分不必要条件B命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1”C命题“ xR，2 x0”的否定是“ x0R，2 0”D若命题“pq”为假命题，则命题 p，q 都是假命题5 （5 分）已知公差 d0 的等差数列a n满足 a11，且 a2，a 42，a 6 成等比数列，若正整数 m，n 满足 mn10 ，则 ama n（ ）A10 B20 C30 D5 或 406 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著数书九章中提出的求多项式值的秦九韶算法，
3、至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入 n，x 的值分别为 3， ，则输出 v 的值为（ ）第 2 页（共 23 页）A17 B11.5 C10 D77 （5 分）已知实数 x，y 满足 则 z2x +y 的最小值为（ ）A0 B5 C2 D18 （5 分）函数 f（x ） 的部分图象大致是（ ）A BC D9 （5 分）将函数 f（x ） sin2x+cos2x 的图象向右平移 ，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标长度不变）得到函数 g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数 g（x）
4、的最大值为 +1B函数 g（x）的最小正周期为 C函数 g（x）在区间 ， 上单调递增第 3 页（共 23 页）D函数 g（x）的图象关于直线 x 对称10 （5 分）已知直线 ykx1 与抛物线 x28y 相切，则双曲线：x 2k 2y21 的离心率等于（ ）A B C D11 （5 分）如图，平面四边形 ABCD 中，E，F 是 AD，BD 中点，AB ADCD 2，BD 2 ，BDC90，将ABD 沿对角线 BD 折起至AD，使平面 ABD平面 BCD，则四面体 ABCD 中，下列结论不正确的是（ ）AEF平面 ABCB异面直线 CD 与 AB 所成的角为 90
5、C异面直线 EF 与 AC 所成的角为 60D直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 3012 （5 分）已知函数 f（x ）lnx +a 在 x1，e上有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）A ，1） B ，1） C ，1 D 1，e）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知平面向量 与 的夹角为 45， （1，1） ，| |1，则| 2 | 14 （5 分）已知点 A（2，0） ，B（0，4） ，O 为坐标原点，则AOB 外接圆的标准方程是 15 （5 分）已知数列a n
6、的前 n 项和 Sn2a n1（n N*） ，设 bn1+log 2an，则数列的前 n 项和 Tn 16 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积等于 第 4 页（共 23 页）三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题，共60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且sinAsinB
7、cosB+sin2BcosA2 sinCcosB（1）求 tanB 的值；（2）若 b2，ABC 的面积为 ，求 a+c 的值18 （12 分）如图，ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，EB平面 ABCD，FD 平面 ABCD，EB 2FD4（1）求证：EFAC；（2）求几何体 EFABCD 的体积19 （12 分）有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：摄氏温度 5 4 7 10 15 23 30 36热饮杯数 162 128 115 135 89 71 63 37（1）从散点图可以发现，各点散布在从
8、左上角到右下角的区域里因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少统计中常用相关系数 r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱统计学认为，对于变量 x、y，如果r1，0.75，那么负相关很强；如果 r0.75，1 ，那么正相关很强；如果第 5 页（共 23 页）r（0.75，0.300.30， 0.75） ，那么相关性一般；如果 r0.25，0.25 ，那么相关性较弱请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱（2） （）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；（）记x 为不超过 x 的最大整数，如1.5 1，4.95对于（）中求出的线性
9、回归方程 y x+ ，将 y x+ 视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系已知气温 x 与当天热饮每杯的销售利润 f（x）的关系是 f（x ）2 +3（x7，38） ）（单位：元） ，请问当气温 x 为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？【参考公式】b ， r，【参考数据】 （x i ） 21340， （y i ） 2111， （x i ） （y i ）3953， 15， 100，36 21296，37 2136920 （12 分）如图，椭圆 C： + 1 的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆交于A，B 两点，直线 n：x4 与 x 轴相交于点 E，点 M 在直线 n 上，且满足 BMx
10、 轴（1）当直线 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）证明：直线 AM 经过线段 EF 的中点第 6 页（共 23 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）e x，g（x）ax 2+x+1（a0） （1）设 F（x） ，讨论函数 F（x ）的单调性；（2）若 0a ，证明：f（ x）g（x）在（0，+）上恒成立（二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程
11、为 （t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为 4sin （+ ） （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求MON 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +1|+2|xa| （1）设 a1，求不等式 f（ x）7 的解集；（2）已知 a1，且 f（x ）的最小值等于 3，求实数 a 的值第 7 页（共 23 页）2019 年湖南省娄底市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知
12、全集 U1，2，3，4，5，A2 ，3，4，B3 ，5，则下列结论正确的是（ ）ABA B UA1 ，5 CAB3 DA B2，4，5【分析】由题知集合 A 与集合 B 互相没有包含关系，AB3，AB2，3，4，5，UA1，5 【解答】解：全集 U1，2，3，4，5，A2 ，3，4，B3 ，5，由题知集合 A 与集合 B 互相没有包含关系，AB3 ，AB2，3，4，5， UA1，5故选：B【点评】本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，是基础题2 （5 分）已知 i 为虚数单位， z（1+i ）3i，则在复平面上复数 z 对应的点位于（ &n
13、bsp;）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z（1+ i）3i ，得 z ，在复平面上复数 z 对应的点的坐标为（1，2） ，位于第四象限，故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红 4 种颜色中任意挑选 2 种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是（ ）A B C D【分析】从黄、白、蓝、红 4 种颜色中任意选 2 种颜色，利用列举法能求出所选颜色中第 8 页（共 23 页）含有白色的
14、概率【解答】解：从黄、白、蓝、红 4 种颜色中任意选 2 种颜色的所有基本事件有：黄白，黄蓝，黄红，白蓝，白红，蓝红，共 6 种其中包含白色的有 3 种，所选颜色中含有白色的概率为 p 故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）下列判断正确的是（ ）A “45”是“tan1”的充分不必要条件B命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1”C命题“ xR，2 x0”的否定是“ x0R，2 0”D若命题“pq”为假命题，则命题 p，q 都是假命题【分析】利用充要条件判断 A 的正误；四种命题的真假判断 B
15、 的正误，命题的否定判断C 的正误；复合命题的真假判断 D 的正误【解答】解：由否命题的概念知 B 错；关于 A 选项，前者应是后者的既不充分也不必要条件；关于 D 选项，p 与 q 至少有一个为假命题；C 选项，满足命题的否定形式，所以 C 正确故选：C【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查5 （5 分）已知公差 d0 的等差数列a n满足 a11，且 a2，a 42，a 6 成等比数列，若正整数 m，n 满足 mn10 ，则 ama n（ ）A10 B20 C30 D5 或 40【分析】由已知利用等差数列的通项公式结合等比数列的性质列式求解 d，再由等差数列的
16、通项公式求解【解答】解：由题知 ，a n为等差数列，（3d1） 2（1+d） （1+5d） ，d0，解得 d3，第 9 页（共 23 页）从而 ama n（mn）d30，故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，是基础题6 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著数书九章中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入 n，x 的值分别为 3， ，则输出 v 的值为（ ）A17 B11.5 C10 D7【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量 v 的值，模拟程序的运
17、行过程，可得答案【解答】解：由程序框图，可得：n3，x ，v 2v4，n2v7，n1v11.5n0此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出 v 的值为 11.5故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答，属于基础题7 （5 分）已知实数 x，y 满足 则 z2x +y 的最小值为（ ）第 10 页（共 23 页）A0 B5 C2 D1【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，然后求解即可【解答】解：由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，易知在（0，1）处目标函数取到最小值，最小值为 1，故选：D【点评】本题
18、考查线性规划的简单应用，求出目标函数的最优解的解题的关键8 （5 分）函数 f（x ） 的部分图象大致是（ ）A BC D【分析】判断函数为减函数排除 C，D，再由 f（ ）0 得答案【解答】解：由题知，f（x ）的定义域为（，0）（0，+） ，且 f（x）f（x） ，f（x）是奇函数，排除 C 和 D，将 x 代入 f（x ） ，得 f（）0，故选：A【点评】本题考查函数的图象及图象变换，考查函数奇偶性的性质及其应用，是基础题9 （5 分）将函数 f（x ） sin2x+cos2x 的图象向右平移 ，再把所有点的横坐标伸长第 11 页（共 23 页）到原来的 2 倍（纵坐标长度不
19、变）得到函数 g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数 g（x）的最大值为 +1B函数 g（x）的最小正周期为 C函数 g（x）在区间 ， 上单调递增D函数 g（x）的图象关于直线 x 对称【分析】利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式，根函数 yAsin（x+）的图象变换可求 g（x）2sin（x ） ，利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】解：f（x ） sin2x+cos2x，化简得 f（x） 2sin（2x + ） ，将函数 f（x） sin2x+cos2x 的图象向右平移 ，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标长度不变）得到函数 g（x）的图象，g（x）
20、2sin（x ） ，由三角函数性质知：g（x）的最大值为 2，最小正周期为 2，对称轴为x +k， kZ，单调增区间为： +2k， +2k） ，k Z故选：C【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于基础题10 （5 分）已知直线 ykx1 与抛物线 x28y 相切，则双曲线：x 2k 2y21 的离心率等于（ ）A B C D【分析】联立直线与抛物线方程，利用直线与抛物线相切，求出 k，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：由 得 x28kx+80，第 12 页（共 23 页）因为直
21、线与曲线相切，所以64k 2320，k 2 ，所以双曲线：x 2 y21 的离心率等于 ，故选：C【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力11 （5 分）如图，平面四边形 ABCD 中，E，F 是 AD，BD 中点，AB ADCD 2，BD 2 ，BDC90，将ABD 沿对角线 BD 折起至AD，使平面 ABD平面 BCD，则四面体 ABCD 中，下列结论不正确的是（ ）AEF平面 ABCB异面直线 CD 与 AB 所成的角为 90C异面直线 EF 与 AC 所成的角为 60D直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 30【分析】运用线面平行的判定
22、定理可判断 A；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断 B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断 C；由线面角的求法，可判断 D【解答】解：A：因为 E，F 分别为 AD 和 BD 两边中点，所以 EFAB，即 EF平面 ABC，EF平面 ABC，A 正确；B：因为平面 ABD 平面 BCD，交线为 BD，且 CDBD，所以 CD平面 ABD，即 CDAB，故 B 正确；C：取 CD 边中点 M，连接 EM，FM，则 EMAC，所以FEM 为异面直线 EF 与 AC 所成角，又 EF1，EM A'C ，FM BC ，即FEM90，故 C 错误；D：连接 A'F，可得
23、 A'FBD，由面面垂直的性质定理可得 A'F平面 BCD，连接 CF，可得A'CF 为 A'C 与平面 BCD 所成角，由 sinA'CF ，则直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 30，故 D 正确故选：C第 13 页（共 23 页）【点评】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题12 （5 分）已知函数 f（x ）lnx +a 在 x1，e上有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）A ，1） B ，1） C ，1 D 1，e）【分析】求出函数的导数 f （x ） + ，x 1，e通过
24、当 a1 时，当ae 时，当e a1 时，判断导函数的符号，得到函数的单调性然后转化求解 a的范围即可【解答】解：f（x ） + ，x 1，e当 a1 时，f（x ）0，f（x）在1，e上单调递增，不合题意当 ae 时，f（x）0，f（x ）在1 ，e 上单调递减，也不合题意当ea1 时，则 x1， a）时，f（x）0，f （x）在1，a）上单调递减，x（a，e时，f（x ）0，f （x）在（a，e上单调递增，又 f（1）0，所以 f（x）在 x1，e 上有两个零点，只需 f（e ）1 +a0 即可，解得a1综上，a 的取值范围是： ，1） 故选：A【点评】本题考查函数的导数的应用，导函数的符
25、号以及函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知平面向量 与 的夹角为 45， （1，1） ，| |1，则| 2 | 【分析】利用已知条件，通过向量的数量积的运算法则化简求解即可【解答】解：平面向量 与 的夹角为 45， （1，1） ，| |1，第 14 页（共 23 页）则| 2 | 故答案为： 【点评】本题考查向量的模以及向量的数量积的运算法则的应用，考查计算能力14 （5 分）已知点 A（2，0） ，B（0，4） ，O 为坐标原点，则AOB 外接圆的标准方程是 （x1） 2+（y2） 25 【分
26、析】由题知 OAOB，可得圆心为 AB 的中点，半径为 |AB|，从而写出它的标准方程【解答】解：由题知 OAOB，故ABO 外接圆的圆心为 AB 的中点（1，2） ，半径为 |AB| ，所以ABO 外接圆的标准方程为（x1） 2+（y 2） 2 5故答案为：（x1） 2+（y2） 25【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于中档题15 （5 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn2a n1（n N*） ，设 bn1+log 2an，则数列的前 n 项和 Tn 【分析】令 n1，a 11；n2 时，a nS nS n1 ，推出 an2a n
27、1 ，然后求解通项公式，化简数列 的通项公式，求解数列的和即可【解答】解：令 n1，a 11；n2 时，a nS nS n1 2a n2a n1 ，整理得：a n2a n1 ，所以 an2 n1 ，b n1+log 22n1 n，Tn + + 1 故答案为： 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力16 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球 O 的第 15 页（共 23 页）球面上，则球 O 的表面积等于 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，判断几何体的外接球的球心的位置，转化求解球的半径，即可得到球的表面
28、积【解答】解：由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，平面 SAB平面 ABCD，r1 为SAB 外接圆半径，r 2 为矩形 ABCD 外接圆半径，LAB可得 R2 ，计算得，R 2 +54 ，所以 S4R 2 故答案为： 【点评】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，考查转化思想以及计算能力三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题，共60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且sinAsinBcosB+sin2B
29、cosA2 sinCcosB（1）求 tanB 的值；（2）若 b2，ABC 的面积为 ，求 a+c 的值【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合 sin C0，可求 tanB 的第 16 页（共 23 页）值（2）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，cosB 的值，利用三角形的面积公式可求ac 的值，进而根据余弦定理可求 a+c 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）原等式化简得 sin B（sin Acos B+cos Asin B） 2 sin Ccos B，sin Bsin（A+B）2 sin Ccos B，sin Bsin C 2 si
30、n Ccos B，（3 分）0C ，sin C0，tan B2 ， （5 分）（2）tan B 2 ，且 0B ，B 为锐角，且 2 ，sin B ，cos B ，S acsin B ，ac3，（9 分）由余弦定理得：a+c2 （12 分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，EB平面 ABCD，FD 平面 ABCD，EB 2FD4（1）求证：EFAC；（2）求几何体 EFABCD 的体积【分析】 （1）连接 DB，由面面垂直的性质可
31、得 EBFD，设 DBACO，由 ABCD 为菱形，得到 ACDB，结合线面垂直的判定可得 AC平面 EFDB，从而得到 ACEF；（2）由已知可得 EFDB 为直角梯形，求出其面积，再由 AC平面 EFDB，代入棱锥体第 17 页（共 23 页）积公式求解【解答】 （1）证明：连接 DB，DF 平面 ABCD，EB 平面 ABCD，EBFD ，则 E，F，D，B 四点共面，且 ACEB，设 DBACO，ABCD 为菱形， ACDB又 DBEBB，AC平面 EFDB，EF 平面 EFDB，ACEF；（2）解：EBFD ，EBBD，EFDB 为直角梯形，在菱形 ABCD 中，DAB 60，AB
32、2，BD 2，AOCO ，梯形 EFDB 的面积 S 6，AC平面 EFDB，V EFABCDV CEFDB +VAEFDB SAO+ SCO4 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19 （12 分）有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：摄氏温度 5 4 7 10 15 23 30 36热饮杯数 162 128 115 135 89 71 63 37（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里因此，气温与当
33、天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少统计中常用相关系数 r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱统计学认为，对于变量 x、y，如果r1，0.75，那么负相关很强；如果 r0.75，1 ，那么正相关很强；如果r（0.75，0.300.30， 0.75） ，那么相关性一般；如果 r0.25，0.25 ，那么相关性较弱请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱（2） （）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；（）记x 为不超过 x 的最大整数，如1.5 1，4.95对于（）中求出的线第 18 页（共 23 页）性回归方程 y x+ ，将 y x+
34、 视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系已知气温 x 与当天热饮每杯的销售利润 f（x）的关系是 f（x ）2 +3（x7，38） ）（单位：元） ，请问当气温 x 为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？【参考公式】b ， r，【参考数据】 （x i ） 21340， （y i ） 2111， （x i ） （y i ）3953， 15， 100，36 21296，37 21369【分析】 （1）计算相关系数 r 的值，即可判断气温与当天热饮销售杯数的相关性；（2） （）计算回归系数 、 ，写出线性回归方程；（）由题意知气温 x 与 y 的关系式，写出函数 g（x ）的解析式，即它的最大值即可【
35、解答】解：（1）因为相关系数r ，（2 分）且 0.96第 19 页（共 23 页）所以气温与当天热饮销售杯数的负相关很强（4 分）（2） （）因为回归系数 2.95，100+2.9515144.25，所以气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程为 y2.95x+144.25；（7 分）（）由题意可知气温 x 与当天热饮销售杯数 y 的关系为 y3x+144，设气温为 x 时，则当天销售的热饮利润总额为 g（x）（3x+144） （2 3） ，其中（x7，38 ） ） ，即 g（x） ；（10 分）易知 g（7）495，g（8）600，g（23）525；故当气温 x8 时，当天的热饮销售利润总额最
36、大，且最大为 600 元（12 分）【点评】本题考查了线性回归方程与分段函数应用问题，也考查了相关系数的应用问题，是中档题20 （12 分）如图，椭圆 C： + 1 的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆交于A，B 两点，直线 n：x4 与 x 轴相交于点 E，点 M 在直线 n 上，且满足 BMx 轴（1）当直线 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）证明：直线 AM 经过线段 EF 的中点【分析】 （1）由题意求出点 A，M 的坐标，即可求出直线 AM 的方程，（2）设直线 l 的方程为 xmy+1，与椭圆联立，根据韦达定理和向量的运算即可证明A，N，M 三点共线，可得直
37、线 AM 经过线段 EF 的中点【解答】解：（1）由 c 1，第 20 页（共 23 页）F（1，0） ，直线 l 与 x 轴垂直，x1，由 得 或A（1， ） ，M（4， ）直线 AM 的方程为 yx + 证明（2）设直线 l 的方程为 xmy +1，由 得 3（my+1 ） 2+4y212，即（3m 2+4）y 2+6my90，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2 ，y 1y2 ，EF 的中点 N（ ，0） ，点 M（4，y 2） ， （x 1 ，y 1）（my 1 ，y 1） ， （ ，y 2） ，my 1y2 （y 1+y2） 0A，N，M 三点共线，直线
38、 AM 经过线段 EF 的中点【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程涉及了直线与椭圆的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）e x，g（x）ax 2+x+1（a0） （1）设 F（x） ，讨论函数 F（x ）的单调性；（2）若 0a ，证明：f（ x）g（x）在（0，+）上恒成立【分析】 （1）F（x ） ，F（x ）第 21 页（共 23 页） 对 a 分类讨论即可得出单调性（2）由 0a ，可得 ax2+x+1 x2+x+1设 h（x）e x x2x1，利用导数研究其单调性即可证明结论在（0，+）上恒成立【解答】解：（1）F（x ） ，F（x ） （
39、1 分）若 a ，F （x） 0，F（x）在 R 上单调递减 （2 分）若 a ，则 0，当 x0，或 x 时，F （x）0，当 0x 时，F（x）0，F（x ）在（ ，0）或（ ，+）上单调递减，在（0， ）上单调递增若 0 a ，则 0，当 x ，或 x0 时，F（x）0，当 x 0 时，F（x）0F（x ）在（ ， ） ， （0，+）上单调递减，在（ ，0）上单调递增 （6分）（2）证明：0a ，ax 2+x+1 x2+x+1 （7 分）设 h（x）e x x2x 1，则 h（x）e xx1设 p（x）h（x ）e xx1，则 p（x）e x1，在（0，+）上，p（x）0恒成立h（x）在
40、（0，+）上单调递增 （9 分）又h（0）0，x（0，+）时，h（x）0，所以 h（x）在（0，+）上单调递增，h（x）h（0）0，e x x2x 10，e x x2+x+1，所以 ex x2+x+1ax 2+x+1，第 22 页（共 23 页）所以 f（x）g （x）在（0，+）上恒成立 （12 分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题（二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标
41、系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为 4sin （+ ） （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求MON 的面积【分析】 （1）消去参数 t 可得直线 l 的普通方程，两边同乘 后利用两角和的正弦公式以及互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程；（2）由点到直线 l 的距离求得三角形的高，再根据面积公式可得【解答】解（1）由 消去参数 t 得 x+y4，直线 l 的普通方程为x+y40 （2 分）由 4sin（
42、+ ）2sin +2 cos 得， 22 sin +2 cos ，即 x2+y22y+2 x，曲线 C 的直角坐标方程是圆：（ x ） 2+（y 1） 24 （5 分）（2）原点 O 到直线 l 的距离 d 2 （7 分）直线 l 过圆 C 的圆心（ ，1） ，|MN| 2r 4，所以MON 的面积 S |MN|d4 （10 分）【点评】本题搞差了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +1|+2|xa| （1）设 a1，求不等式 f（ x）7 的解集；（2）已知 a1，且 f（x ）的最小值等于 3，求实数 a 的值第 23 页（共 23 页）【分析】 （1）利用分段讨论的方法求解不等式；（2）先确定函数的解析式，然后根据函数的单调性求出最小值，建立方程求解【解答】解：（1）a1 时，f（x ）|x+1|+2|x1| （1 分）当 x1 时，f（x）7 即为3x+17，解得2x1当1x1 时，x +37，解得1x 1当 x1 时，3x17，解得 1x （4 分）综上，f（x） 7 的解集为 （5 分）（2）a1，f（x ） （7 分）由 yf（x）的图象知 f（x ） minf（a）a+13，a2故实数 a 的值为 2【点评】本题考查含有两个绝对值不等式的解法以及分段函数的最值问题，属于中档题目
