1、2019 年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。1 （5 分）已知集合 Mx |log2x2，N1，0，1， 2，则 MN（ ）A 1，0，1，2 B1，1，2 C0 ，1，2 D1 ，22 （5 分）若复数 z ，则其虚部为（ ）Ai B2i C2 D23 （5 分）等差数列a n满足 4a3+a113a 510，则 a4（ ）A5 B0 C5 D104 （5 分）过抛物线 x24y 的焦点
2、 F 作直线交抛物线于 P1（x 1、y 1） ，P 2（x 2、y 2）两点，若 y1+y26，则| P1P2|的值为（ ）A5 B6 C8 D105 （5 分）将多项式 a6x6+a5x5+a1x+a0 分解因式得（x2） （x+2） 5，则 a5（ ）A8 B10 C12 D16 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为（ ）A16 B6416 C64 D647 （5 分）曲线 y2xlnx 在 xe 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A B Ce
3、 2 D2e 28 （5 分）函数 f（x ）sinxcos（x+ ）的图象的一条对称轴方程是（ ）Ax Bx Cx Dx 9 （5 分）已知在区间0，上，函数 y3sin 与函数 y 的图象交于点 P，设点 P 在 x 轴上的射影为 P'，P的横坐标为 x0，则 tanx0 的值为（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D10 （5 分）四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976 年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每
4、一个区域总可以用 1，2，3，4 四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线围成的各区域上分别标有数字 1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域 A 和区域 B 标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A B C D11 （5 分）设双曲线 C： l （a0，b0）的右焦点为 F，O 为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点使得四边形 OPFQ 为矩形，则其离心率为（ ）A B2 C D12 （5 分）已知 M|f（）0 ，N |g（）0，若存在
5、M，N，使得| |n，则称函数 f（x）与 g（x ）互为“n 度零点函数 “，若 f（x）3 2x 1 与g（x）x 2ae x 互为“1 度零点函数“，则实数 a 的取值范围为（ ）A （ ， B （ ， C ， ） D ， ）第 3 页（共 25 页）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。13 （5 分）已知向量 （1，2） ， （1，m ） ，若 （ ） ，则 m 14 （5 分）岳阳市某高中文学社计划招入女生 x 人，男生 y 人，若 x，y 满足
6、约束条件，则该社团今年计划招入学生人数最多为 15 （5 分）已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，面积为 S，且a2+b2c 24 S，c1，则该三角形的外接圆面积为 16 （5 分）正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 P、Q 、R 分别在棱 AB、B 1C1、DD 1 上，且AP PB、B 1QQC 1、D 1R RD，其中 0，若平面 PQR 与线段 AC1 的交点为 N，则 三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第 17-21 题为必做题，第 22-23 为选做题，共 70 分。解答应写出文
7、字说明、证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡上对应题号指定框内。17 （12 分）已知数列a n，a 13，且 nan+1a nna n（）求数列a n的通项公式；（）记 Sn 为数列a n的前 n 项和，求数列 的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直，ABE60，G 为BE 的中点（）求证：AG平面 ADF；（）若 AB BC，求二面角 DCAG 的余弦值19 （12 分）已知椭圆 C： 的上顶点为 A，以 A 为圆心，椭圆的长第 4 页（共 25 页）半轴为半径的圆与 y 轴的交点分别为 、 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设不经过
8、点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，且 ，试探究直线 l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由20 （12 分）当当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初中毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施某市 2018 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分某学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到
9、每段人数的频率分布直方图（如图），且规定计分规则如表：每分钟跳绳个数 155，165） 165，175） 175，185） 185， +）得分 17 18 19 20（1）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率；（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N（， 2） ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 S2169（各组数据用中点值代替）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10 个，现利用所得正态
10、分布模型：（）预估全年级恰好有 2000 名学生时，正式测试每分钟跳 182 个以上的人数；（结果四舍五入到整数）（）若在全年级所有学生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 195 个以上的人数为 ，求随机变量 的分布列和期望附：若随机变量 X 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（ X+）0.6826，P（2X +2）0.9544，P（3X +3）0.9974第 5 页（共 25 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）（ax 2+x+a）e x （a R） （）若 a0，求函数 f（x）的单调区间；（）若对任意的 a0，f（ x）bln （x+1）在 x0，+）上恒成立，求实数 b
11、的取值范围请考生在 22,23 两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（且两种坐标系取相同的长度单位） 曲线 C 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，若|AB |16，求角 的取值范围选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知关于 x 的函数 f（x）|x +1|+
12、|xm|（1）若 f（x） 3 对所有的 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围；（2）若关于 x 的不等式 f（m）2m x 2x 的解集非空，求实数 m 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。1 （5 分）已知集合 Mx |log2x2，N1，0，1， 2，则 MN（ ）A 1，0，1，2 B1，1，2 C0 ，1，2 D1 ，2【分析】先分别求出集合
13、 M， N，由此能求出 MN 【解答】解：集合 Mx |log2x2x|0x4，N1，0，1，2，MN1 ， 2故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）若复数 z ，则其虚部为（ ）Ai B2i C2 D2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z ，z 的虚部为 2故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）等差数列a n满足 4a3+a113a 510，则 a4（ ）A5 B0 C5 D10【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：
14、设等差数列a n的公差为 d，4a 3+a113a 510，4（a 1+2d）+（a 1+10d） 3（a 1+4d）10，化为：a 1+3d5则 a45故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 7 页（共 25 页）4 （5 分）过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P1（x 1、y 1） ，P 2（x 2、y 2）两点，若 y1+y26，则| P1P2|的值为（ ）A5 B6 C8 D10【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而可设出直线方程，然后联立直线与抛物线消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，根据韦达定理得到
15、两根之和与两根之积，再由两点间的距离公式表示出|P 1P2|，将得到的两根之和与两根之积即可得到答案【解答】解：x 24y 的焦点为（0，1） ，设过焦点（0，1）的直线为 ykx +1则令 kx+1 ，即 x24kx40由韦达定理得 x1+x24k ，x 1x24y1kx 1+1，y 2kx 2+1所以 y1+y2k（x 1+x2）+2 4 k2+26，所以 k21所以|AB| x1x 2| 8故选：C【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和两点间的距离公式的应用，直线与圆锥曲线是高考的重点，每年必考，要着重复习5 （5 分）将多项式 a6x6+a5x5+a1x+a0 分解因式得（x2） （x
16、+2） 5，则 a5（ ）A8 B10 C12 D1【分析】把（x+2） 5 按照二项式定理展开（x2） （x +2） 5 的展开式中 x5 的系数【解答】解：由题意可得（x2） （x+2） 5（x 2） （x 5+10x4+40x3+80x2+80x+32）a 6x6+a5x5+a1x+a0，故 a51028，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题6 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为（ ）第 8 页（共 25 页）A16
17、B6416 C64 D64【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知：几何体是棱长为 4 的正方体去掉一个半径为 4 的 圆柱的几何体，如图：几何体的体积为： 6416故选：B【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键7 （5 分）曲线 y2xlnx 在 xe 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A B Ce 2 D2e 2【分析】欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点（e，2e）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 xe 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的
18、斜率从而问题解决【解答】解：y2xlnx，y'2（ 1lnx+x ）2+2lnx，y'（e） 4，切线方程为 y2e 4（x e） ，此直线与 x 轴、y 轴交点分别为（ e，0）和（0，2e） ，切线与坐标轴围成的三角形面积是 S e2e e2故选：B第 9 页（共 25 页）【点评】此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题8 （5 分）函数 f（x ）sinxcos（x+ ）的图象的一条对称轴方程是（ ）Ax Bx Cx Dx 【分析】利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性进行求解即可【解答】解：f（x
19、）sinx cos（x+ ）sinx （ cosx sinx） sinxcosx sin2x sin2x sin2x cos2x （ sin2x+ cos2x） sin（2x+ ） 由 2x+ +k，得 x + ，k Z，当 k0 时，x ，即函数的对称轴为 x ，故选：B【点评】本题主要考查三角函数的对称性，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键9 （5 分）已知在区间0，上，函数 y3sin 与函数 y 的图象交于点 P，设点 P 在 x 轴上的射影为 P'，P的横坐标为 x0，则 tanx0 的值为（ ）A B C D【分析】由 结合平方关系求得 sinx，c
20、osx 的值，则答案可求【解答】解：过 P 作 PP'x 轴于点 P'，直线 PP'与 y tanx 的图象交于点 P0，线段 P'P0 的长即为点 P'点的纵坐标的值即 tanx0 的值，且其中的 x 满足 ，则 2sinx+9cosx7，又 sin2x+cos2x1，且 x0， ，解得 sinx ，cos x ，第 10 页（共 25 页）线段 P'P0 的长为 tanx0 ，故选：B【点评】本题考查三角函数的图象、函数值的求法，考查计算能力，数形结合思想，是中档题10 （5 分）四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976 年被美国数学家阿佩尔
21、与哈肯证明，称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 1，2，3，4 四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线围成的各区域上分别标有数字 1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域 A 和区域 B 标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A B C D【分析】当区域 A 标记的数字是 2，区域 B 标记的数字是 1 时，恰好取在标记为 1 的
22、区域的概率所有可能值最大【解答】解：当区域 A 标记的数字是 2，区域 B 标记的数字是 1 时，恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值最大，此时所在的小方格个数 n5630，标记为 1 的区域中小方格的个数 m10，恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中，最大的是 P 故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11 （5 分）设双曲线 C： l （a0，b0）的右焦点为 F，O 为坐标原点，若双第 11 页（共 25 页）曲线及其渐近线上各存在一点使得四边形 OPFQ 为矩形，则其离心率为（ ）A B2 C D【分析】设双曲
23、线的一条渐近线方程为 bxay0，求得 F 到渐近线的距离，可得矩形的另一条边，求得 QF 的方程，代入双曲线方程求得 Q 的坐标，由 |QF|a，化简可得所求离心率的值【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为 bxay0，由 F（c ，0）到渐近线的距离为 d b，可得|OP| a，即有|QF|a，由 QF：bxaybc 0，联立双曲线方程可得Q（ ， ） ，即有（ c） 2+（ ） 2a 2，由 b2c 2a 2，化为 c23a 2，即 c a，则 e 故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查联立方程求交点，以及化简运算能力，属于中档题12 （5 分）
24、已知 M|f（）0 ，N |g（）0，若存在 M，N，使得| |n，则称函数 f（x）与 g（x ）互为“n 度零点函数 “，若 f（x）3 2x 1 与第 12 页（共 25 页）g（x）x 2ae x 互为“1 度零点函数“，则实数 a 的取值范围为（ ）A （ ， B （ ， C ， ） D ， ）【分析】由 f（x ）3 2x 1 0，解得 x2，由 g（x）x 2ae x0，解得 x2ae x，设其解为 x0，由 f（x）3 2x 1 与 g（x）x 2ae x 互为“1 度零点函数“，得1x 03，设 h（x ） ，则 ，x （1，3） ，当 1x2 时，h（x）0，h
25、（x ）是增函数，当 2x 3 时，h（x）0，h（x ）是减函数，由此能求出实数 a 的取值范围【解答】解：由 f（x ）3 2x 10，解得 x2，由 g（x）x 2ae x0，解得 x2ae x，设其解为 x0，f（x）3 2 x1 与 g（x ）x 2ae x 互为“1 度零点函数“，|x 02|1，解得 1x 03， ，a ，设 h（x） ，则 ，x（1，3） ，当 1x2 时，h（x ）0，h（x ）是增函数，当 2x3 时，h（x ）0，h（x ）是减函数，h（x） maxh（2） ，h（1） ，h（3） ，实数 a 的取值范围为（ ， 故选：B【点评】本题考查实数取值范围的求法
26、，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。13 （5 分）已知向量 （1，2） ， （1，m ） ，若 （ ） ，则 m 3 【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数量第 13 页（共 25 页）积的坐标运算即可求出 m【解答】解： ； ； ；m3故答案为：3【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积和减法的坐标运算14 （5 分）岳阳市某高中文学社计划招入女生 x 人，男生 y 人，若 x，y 满足约束条
27、件，则该社团今年计划招入学生人数最多为 13 【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名，且 x 和 y 须满足约束条件 ，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令 zx+y，则题意求解在可行域内使得 z 取得最大【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名，且 x 和 y 须满足，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令 zx+yy x+z 则题意转化为，在可行域内任意去 x，y 且为整数使得目标函数代表的斜率为定值1，截距最大时的直线为过（6，7）时使得目标函数取得最大值为：z13故答案为：13第 14 页（共 25 页）【点评
28、】此题考查了线性规划的应用，还考查了学生的数形结合的求解问题的思想15 （5 分）已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，面积为 S，且a2+b2c 24 S，c1，则该三角形的外接圆面积为 【分析】由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得 tanC，结合范围 C（0，） ，可求 C，利用正弦定理可求ABC 外接圆的半径，即可求ABC外接圆的面积【解答】解：a 2+b2c 24 S，c1，4 absinC2abcosC，可得：tanC ，C（0， ） ，C ，则ABC 外接圆的半径 R 1则ABC 外接圆的面积 SR 2故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式
29、，正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题16 （5 分）正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 P、Q 、R 分别在棱 AB、B 1C1、DD 1 上，且AP PB、B 1QQC 1、D 1R RD，其中 0，若平面 PQR 与线段 AC1 的交点为 N，第 15 页（共 25 页）则 【分析】以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，利用向量法能求出 的值【解答】解：以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 1，则 P（1， ，0） ，Q （1 ，1，1） ，R（0，0，1 ） ，A（1
30、，0，0） ，C 1（0，1，1） ， （1， ，0） ， （1 ，1，1） ， （0，0，1 ） ，（1，1，1） ，设 a （a+bb ，a +b，b+cc ） ，则 （a+bb 1，a +b，b+ cc ） ，A，N，C 1 三点共线，b +1aba +bb+cc ，N平面 PQR，a+b+ c1，代入 可得： a12 ，b2 2，c2 2 2， a +b 故答案为： 【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第 17-21 题为必做题，第 22-23 为选做题，共 70 分。解答应写
31、出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡上对应题号指定框内。第 16 页（共 25 页）17 （12 分）已知数列a n，a 13，且 nan+1a nna n（）求数列a n的通项公式；（）记 Sn 为数列a n的前 n 项和，求数列 的前 n 项和 Tn【分析】 （）由题意可得 ，运用数列的恒等式：a na 1 ，计算可得所求通项公式；（）由等差数列前 n 项和公式得 ，可得 ，再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和【解答】解：（）由 nan+1a nna n，得 nan+1（n+1）a n，即 ，可得 ana 1 3 3n，则 an3n；（）由等差数列前 n 项和公式得 ，所
32、以 ，数列 的前 n 项和前 n 项和 Tn （1 + + ） （1 ） 【点评】本题考查累乘法求数列的通项公式，考查等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题18 （12 分）如图，矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直，ABE60，G 为BE 的中点（）求证：AG平面 ADF；（）若 AB BC，求二面角 DCAG 的余弦值第 17 页（共 25 页）【分析】 （）由已知矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直，得 ADAB，由面面垂直的性质可得 AD平面 ABEF，进一步得到 ADAG，再由已知证得 AGAF，则 AG平面 ADF；
33、（）由（）可知 AD，AF，AG 两两垂直，以 A 为原点，AG 为 x 轴，AF 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 ACD 与平面 ACG 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 DCAG 的余弦值【解答】 （）证明：矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直，ADAB，矩形 ABCD菱形 ABEFAB，AD平面 ABEF，AG平面 ABEF，AD AG ，菱形 ABEF 中，ABE 60，G 为 BE 的中点AG BE，即 AGAFADAFA，AG平面 ADF；（）解：由（）可知 AD，AF，AG 两两垂直，以 A 为原点，AG 为 x 轴
34、，AF 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 ，故 A（0，0，0） ， ，D （0，0，1） ， ，则 ， ， ，设平面 ACD 的法向量 ，由 ，取 ，得 ，设平面 ACG 的法向量 ，由 ，取 y22，得 ，设二面角 DCAG 的平面角为 ，则 ，由图可知 为钝角，二面角 DCAG 的余弦值为 第 18 页（共 25 页）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题19 （12 分）已知椭圆 C： 的上顶点为 A，以 A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与 y 轴的交点分别为 、 （1）求椭圆 C 的方程；（
35、2）设不经过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，且 ，试探究直线 l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由【分析】 （1）根据题意可得可得 ，解得 ，即可得到 a，b，进而得到椭圆方程；（2）解法 1：由 得 ，可知 PA 的斜率存在且不为 0，设直线lPA： ykx +1，则 ，把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，求出点 P，Q 的坐标，即可求出，解法 2，设 l 的方程为 ykx+m （m1） ，又设点 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） ，把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系由向量的数量积的坐标表示，即
36、可得出 m与 k 的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案【解答】解：（1）依题意知点 A 的坐标为（0，b） ，则以点 A 圆心，以 a 为半径的圆的方程为：x 2+（y b） 2a 2，令 x0 得 yba，由圆 A 与 y 轴的交点分别为 、可得 ，解得 ，第 19 页（共 25 页）故所求椭圆 C 的方程为 （2）解法 1：由 得 ，可知 PA 的斜率存在且不为 0，设直线 lPA：ykx+1 则，将代入椭圆方程并整理得（1+3 k2）x 2+6kx0，可得 ，则 ，类似地可得 ，由直线方程的两点式可得：直线 l 的方程为 ，即直线 l 过定点，该定点的坐标为 ，解法 2：若直线
37、l 垂直于 x 轴，则 AP 不垂直于 AQ，不合题意，可知 l 的斜率存在，又 l 不过点（0，1） ，设 l 的方程为 ykx +m（m1） ，又设点 P（x 1， y1） 、Q（x 2， y2） ，则 ，由 得 x1x2+y1y2（y 1+y2）+10，由 ，消去 y 得（3k 2+1）x 2+6kmx+3m230，12（3k 2m 2+1） ，当 0 即 3k2m 2+10 时， ，又 ，y 1+y2k （x 1+x2）+2m ，于是有 ，将代入得整理得： ，满足0，这时直线 l 的方程为 ，直线 l 过定点【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联第
38、 20 页（共 25 页）立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题20 （12 分）当当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初中毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施某市 2018 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分某学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到每
39、段人数的频率分布直方图（如图），且规定计分规则如表：每分钟跳绳个数 155，165） 165，175） 175，185） 185， +）得分 17 18 19 20（1）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率；（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N（， 2） ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 S2169（各组数据用中点值代替）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10 个，现利用所得正态分
40、布模型：（）预估全年级恰好有 2000 名学生时，正式测试每分钟跳 182 个以上的人数；（结果四舍五入到整数）（）若在全年级所有学生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 195 个以上的人数为 ，求随机变量 的分布列和期望附：若随机变量 X 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（ X+）0.6826，P（2X +2）0.9544，P（3X +3）0.9974第 21 页（共 25 页）【分析】 （）两人得分之和不大于 35 分，判断类型，然后求解概率（）利用频率分布直方图真假求解平均数，推出正式测试时，185， 13 ， 172 （）P（182）1 0.8413，推出人数 （）由正态分布
41、模型，全年级所有学生中任取 1 人，每分钟跳绳个数 195 以上的概率为 0.5，得到 B（3，0.5）求出 的分布列，然后求解期望即可【解答】 （12 分）解：（）两人得分之和不大于 35 分，即两人得分均为 17 分，或两人中 1 人 17 分，1人 18 分，（3 分）（） 1600.06+1700.12+1800.34+190 0.30+2000.1+2100.08185（个）（5 分）又 2169，13，所以正式测试时，185，13，172（）P（182）1 0.8413，0.841320001682.61683 （人）（7 分）（）由正态分布模型，全年级所有学生中任取 1 人，每分
42、钟跳绳个数 195 以上的概率为 0.5，即 B（3，0.5） ，P（0） ，P（1），P（2） ，P（3）， 的分布列为 0 1 2 3P 0.125 0.375 0.375 0.125E（）30.51.5 （12 分）【点评】本题考查正态分布的应用，频率分布直方图的应用，期望的求法，考查转化思想以及计算能力第 22 页（共 25 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）（ax 2+x+a）e x （a R） （）若 a0，求函数 f（x）的单调区间；（）若对任意的 a0，f（ x）bln （x+1）在 x0，+）上恒成立，求实数 b 的取值范围【分析】 （）求出函数的导数，
43、通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出 g（x）的最大值，等价于 bln（x+1）g（a） maxg（0） ，即xex bln（x+1） ，对 x0，+）恒成立，求出函数的导数，通过讨论 b 的范围结合函数的单调性确定 b 的范围即可【解答】解：（）由题意，f'（x ）（2ax+1）e x （ax 2+x+a）ex e x ax2+（12a）x+a1 e x （x1） （ax +1a） （2 分）（）当 a0 时，f'（x ）e x （x1） ，令 f'（x） 0，得 x1；f' （x ）0，得x1，所以 f（x）在（ ，1）单调递增， （1，+
44、）单调递减；（3 分）（）当 a0 时， ，令 f'（x ）0，得 ；f' （x ）0，得或 x1，所以 f（x）在 单调递增， ， （1，+）单调递减，（5 分）（）令 g（a）e x （x 2+1）a+xe x ，a（，0 ，当 x0，+ ）时，e x （x 2+1）0，g（a）单调递增，则 ，（6 分）则 g（a）bln（x +1）对a（，0恒成立等价于 bln（x+1）g（a） maxg（0） ，即 xex bln（x +1） ，对 x0，+）恒成立（7分）（）当 b0 时，x （0，+） ，bln（x +1）0，xe x 0，此时 xex bln（x+1） ，第 23
45、 页（共 25 页）不合题意，舍去（8 分）（）当 b0 时，令 h（x）bln（x+1）xe x ，x 0， +） ，则 ，其中（x+1）e x0，x0，+） ，令 p（x）be x+x21，x 0，+ ） ，则 p（x ）在区间0 ， +）上单调递增，当 b 1 时， p（x）p（0）b10，所以对x 0，+） ，h'（x）0，则 h（x）在0 ，+ ）上单调递增，故对任意 x0，+） ，h（x ）h（0）0，即不等式 bln（x +1）xe x 在0，+）上恒成立，满足题意（10 分）当 0 b1 时，由 p（0）b10，p（1）be0 及 p（x）在区间0，+）上单调递增，所以存在唯一的 x0（0，1）使得 p（x 0）0，且 x（0，x 0）时，p（x 0）0从而 x（0，x 0）时，h'（x）0，所以 h（x）在区间（0，x 0）上单调递减，则 x（0，x 0）时，h（x）h（0）0，即 bln（x+1）xe x ，不符合题意综上所述，b1（12 分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题请考生在 22,23 两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做
