1、2019 年山东省泰安市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的优题速享1 （5 分）若集合 Ax|3 2x1，Bx|4x3x 20 ，则 AB（ ）A （1，2 B C0 ，1） D （1，+）2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数 的实部与虚部相等，则 a 的值为（ ）A2 B C D23 （5 分）函数 的最小正周期为（ ）A4 B C2 D4 （5 分）为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以
2、下结论：甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定其中所有正确结论的编号为（ ）A B C D5 （5 分）根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0得到的回归方程为 若 a7.9，则 x 每增加 1 个单位，y 就（ ）A增加 1.4 个单位 B减少 1.4 个单位C增加 1.2 个单位 D减少 1.2 个单位第 2 页（共 26 页）6 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 则 z2
3、x+y 的取值范围是（ ）A2，4 B4，6 C2 ，6 D （，27 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 S12，则输出的 S（ ）A8 B18 C5 D68 （5 分）某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积是（ ）A8 B C12 D489 （5 分）设函数 f（x ）为函数 f（x）x sinx 的导函数，则函数 f（x ）的图象大致为（ ）第 3 页（共 26 页）ABCD10 （5 分）设双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是双曲线上一点，点 P 到坐标原点 O 的距
4、离等于双曲线焦距的一半，且 |PF1|+|PF2|4a，则双曲线的离心率是（ ）第 4 页（共 26 页）A B C D11 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）f（x）ax+a，若 g（x）恰有 1 个零点，则 a 的取值范围是（ ）A1，0 1，+ ） B （，10 ，1C1，1 D （， 1 1，+）12 （5 分）若函数 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）A B Ca1 D1a3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）如图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 为棱 AA1 上任
5、意一点，则四棱锥 PBDD 1B1 的体积为 14 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 B 15 （5 分）如图，在ABC 中， ，P 是 BN 上一点，若 ，则实数t 的值为 16 （5 分）抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A（1，0） ，当取得最小值时，直线 AP 的方程为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须
6、作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答第 5 页（共 26 页）17 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 2+a521，a 1，a 3，a 9 依次成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PDA90，PDC120，ADBC ，BCD90，ABD 是等边三角形，E 是 PA 的中点， （1）求证：ADBE ；（2）求三棱锥 PABD 的体积19 （12 分）某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取 18 名男性居民，12 名女性居民对他们参加体育锻炼的情况
7、进行问卷调查现按参加体育锻炼的情况将居民分成 3 类：甲类（不参加体育锻炼） ，乙类（参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过 5 个小时） ，丙类（参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过 5 个小时） ，调查结果如表：甲类 乙类 丙类男性居民 3 12 3女性居民 6 3 3（1）根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有 90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关？男性居民 女性居民 总计不参加体育锻炼参加体育锻炼第 6 页（共 26 页）总计（2）从抽出的女性居民中再随机抽取 2 人进一步了解情况，求所抽取的 2 人中乙类，丙类各有 1 人的概率附：P（K 2k 0
8、） 0.10 0.05 0.01k0 2.706 3.841 6.63520 （12 分）已知椭圆 的右顶点为 A，左焦点为 F1，离心率，过点 A 的直线与椭圆交于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1，若（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过圆 E：x 2+y24 上任意一点 P 作圆 E 的切线 l，l 与椭圆交于 M，N 两点，以MN 为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）（xm）lnx （m 0） （1）若函数 f（x ）存在极小值点，求 m 的取值范围；（2）当 m0 时，证明：f（x）e x1请考
9、生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 ，以坐标原点 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2（sin+cos） （1）求曲线 C 的普通方程；（2）过点 P（1，0）作直线 l 的垂线交曲线 C 于 M，N 两点，求 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |（aR ） （1）当 a4 时，解不等式 f（x ）8|x1| ；（2）若不等式 f（x ）8+|2x1|有解，求 a 的取值范围第 7 页（共
10、 26 页）2019 年山东省泰安市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的优题速享1 （5 分）若集合 Ax|3 2x1，Bx|4x3x 20 ，则 AB（ ）A （1，2 B C0 ，1） D （1，+）【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax|32x1x|x1，B x|4x3x 2 0x|0 ，ABx|1 x （1， 故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）已知
11、i 为虚数单位，若复数 的实部与虚部相等，则 a 的值为（ ）A2 B C D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得 a 值【解答】解： 的实部与虚部相等，4a2a+2，即 a 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）函数 的最小正周期为（ ）A4 B C2 D【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论【解答】解：函数 sin2x+ sin（2x + ）+ 的最小正第 8 页（共 26 页）周期为 ，故选：D【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函
12、数的周期性，属于基础题4 （5 分）为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定其中所有正确结论的编号为（ ）A B C D【分析】根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得【解答】解：甲的中位数为 29，乙的中位数为 30，故不正确；甲的平均数为 29，乙的平均数为 30，故正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故正确
13、，不正确故选：C【点评】本题考查了茎叶图，属基础题5 （5 分）根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0得到的回归方程为 若 a7.9，则 x 每增加 1 个单位，y 就（ ）A增加 1.4 个单位 B减少 1.4 个单位C增加 1.2 个单位 D减少 1.2 个单位【分析】首先，根据所给数据，计算样本中心点（5，0.9） ，然后，将改点代入回归方程，得到 b1.4，从而得到答案【解答】解：设变量 x，y 的平均值为： ， ，第 9 页（共 26 页） 5，0.9，样本中心点（5，0.9） ，0.95b+7.9b1.4，x 每增加 1 个单
14、位，y 就减少 1.4故选：B【点评】本题重点考查了回归直线方程的特征、回归直线方程中回归系数的意义等知识，属于中档题6 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 则 z2x+y 的取值范围是（ ）A2，4 B4，6 C2 ，6 D （，2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（2，2） ，B（0，2） ，化目标函数 z2x+y 为 y2x +z，由图可知，当直线 y2x +z 过 B 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小
15、值为 2；当直线 y2x +z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 6z 的取值范围是2，6故选：C第 10 页（共 26 页）【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 S12，则输出的 S（ ）A8 B18 C5 D6【分析】关键框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S 的值【解答】解：模拟程序的运行，可得S12，n1执行循环体，S10，n2不满足条件 S+n0，执行循环体，S6，n3不满足条件 S+n0，执行循环体，S0，n4不满足条件 S+n0，执行循环体
16、，S8，n5第 11 页（共 26 页）满足条件 S+n0，退出循环，输出 S 的值为8故选：A【点评】本题考查了循环结构的程序框图，关键框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题8 （5 分）某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积是（ ）A8 B C12 D48【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，侧棱长为 2，然后利用分割补形法求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，侧棱长为 2把该三
17、棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为 该三棱柱外接球的半径为： 则球 O 的表面积是：4 12故选：C【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题9 （5 分）设函数 f（x ）为函数 f（x）x sinx 的导函数，则函数 f（x ）的图象大致为（ ）第 12 页（共 26 页）ABCD【分析】求出函数 f（x ）的导数 f（x） ，结合函数的奇偶性，定义域，单调性的性质进行判断【解答】解：f'（x ）sinx+xcosx，所以 f'（x）为奇函数，故 C 错误，又 f'（ ），第 13 页（共 26 页）只有 B 符合
18、，故选：B【点评】本题主要考查函数导数的性质，以及函数图象的判断，求函数的导数，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键10 （5 分）设双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是双曲线上一点，点 P 到坐标原点 O 的距离等于双曲线焦距的一半，且 |PF1|+|PF2|4a，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【分析】由题意可得 PF1PF 2，可设 P 为双曲线右支上一点，可得|PF 1| PF2|2a，结合条件和勾股定理、以及离心率公式，计算可得所求值【解答】解：点 P 到坐标原点 O 的距离等于双曲线焦距的一半，可得 PF1PF 2，可设 P 为双曲线右支上一点，可得|
19、PF 1| PF2|2a，又|PF 1|+|PF2|4a，解得|PF 1|3a，| PF2|a，可得|PF 1|2+|PF2|2|F 1F2|2，即为 9a2+a24c 2，可得 e 故选：D【点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查直角三角形的判断和勾股定理的运用，以及方程思想和化简能力，属于中档题11 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）f（x）ax+a，若 g（x）恰有 1 个零点，则 a 的取值范围是（ ）A1，0 1，+ ） B （，10 ，1C1，1 D （， 1 1，+）【分析】根据条件先判断 x1 是函数 g（x）的一个零点，等价于当 x1
20、时，函数第 14 页（共 26 页）f（x）a（x1） ，没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由 g（x）f（x）ax+a0 得 f（x）a（x1） ，f（1）13+2 0，g（1）f（1）a+a0，即 x1 是 g（x）的一个零点，若 g（x）恰有 1 个零点，则当 x1 时，函数 f（x）a（x1） ，没有其他根，即 a ，没有根，当 x1 时，设 h（x ） x2，此时函数 h（x）为增函数，则 h（1）1，即此时 h（x）1，当 x1 时，h（x ） ，h（x ） 0，此时 h（x）为减函数，此时 h（x）0，且 h（1）1，即 0h（x）1，作出函数 h（
21、x）的图象如图：则要使 a ，没有根，则 a1 或1a0，即实数 a 的取值范围是1， 01，+） ，故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度第 15 页（共 26 页）12 （5 分）若函数 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）A B Ca1 D1a3【分析】化简函数 f（x ）并求导数，利用导数判断函数单调递增时，导数大于或等于0，再求得 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x ） （cos x+sinx） （cosxsinx4a）+（4a3）x （cos 2xsin 2x）2a（cosx+sin
22、x）+（4a3）x， cos2x2a（cosx +sinx）+（4a3）x，f（x） sin2x2a（ sinx+cosx）+（4a3） ，设 tsinx cosx sin（x ） ，则 x0， 时，x ， ，t1，1 ，且 sin2x1t 2，f（x）化为 g（t）（1t 2）+2at+（4a3）t 2+2at+4a4；由题意知 g（t）t 2+2at+4a40 恒成立，其中 t1，1；当a1，即 a1 时，g（t）在1，1上单调递增，g（t）的最小值为 g（1） 12a+4a40，解得 a ；当1a1，即1a1 时，g（t）在1，1内先减后增，g（t）的最小值为 g（a） a22a 2+4
23、a40，解得 a2，不合题意；当a1，即 a1 时，g（t）在1，1上单调递减，g（t）的最小值为 g（1） 1+2a+4a40，解得 a ，不合题意；综上所述，实数 a 的取值范围的 a 故选：A【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性应用问题，也考查了转化法与分类讨论思想，是难题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）如图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 为棱 AA1 上任意一点，第 16 页（共 26 页）则四棱锥 PBDD 1B1 的体积为 【分析】四棱锥 PAA 1C1C 的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱
24、锥的体积【解答】解： V 正方体 ， 故答案为： 【点评】本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基本知识的考查14 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 B 【分析】由正弦定理化简已知等式可得 a2+c2c 2ac ，利用余弦定理可求 cosA ，结合范围 A（0，） ，可得 A 的值【解答】解：在ABC 中，由 ，及正弦定理得：，整理可得：a 2+c2c 2ac ，所以，cosB ，所以，由 A（0，） ，可得：A 故答案为： 第 17 页（共 26 页）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用
25、，考查了计算能力和转化思想，属于基础题15 （5 分）如图，在ABC 中， ，P 是 BN 上一点，若 ，则实数t 的值为 【分析】结合已知及向量的基本定理可得 ，结合已知，可求 m，t【解答】解：由题意及图， ，又 ， ， ，又 ， ，解得 ， 故答案为： 【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题16 （5 分）抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A（1，0） ，当取得最小值时，直线 AP 的方程为 x+y+10 或 xy+10 【分析】设 P 点的坐标为（4t 2，4t） ，根据点与点的距离公式，可得（ ） 21 ，再
26、根据基本不等式求出 t 的值，即可求出直线AP 的方程【解答】解：设 P 点的坐标为（4t 2，4t） ，F（1，0） ，A（1，0）|PF| 2（ 4t21） 2+16t216t 4+8t2+1第 18 页（共 26 页）|PA|2（ 4t2+1） 2+16t216t 4+24t2+1（ ） 2 1 1 11 ，当且仅当 16t2 ，即 t 时取等号，此时点 P 坐标为（1，2）或（1，2） ，此时直线 AP 的方程为 y（x +1） ，即 x+y+10 或 x y+10，故答案为：x+y +10 或 xy+1 0，【点评】本题考察了抛物线的定义，转化为基本不等式求解，属于中档题三、解答题：
27、共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）已知公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 2+a521，a 1，a 3，a 9 依次成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 Tn【分析】 （1）设公差为 d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得 （ ） ，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）公差 d 不为 0 的等差
28、数列a n的前 n 项和为 Sn，a2+a521，可得 2a1+5d21，a1，a 3，a 9 依次成等比数列，可得 a32a 1a9，即（a 1+2d） 2a 1（a 1+8d） ，解得 a1d3，则 an3n；（2）S n n（n+1） ， （ ） ，可得前 n 项和 Tn （1 + + ）第 19 页（共 26 页） （1 ） 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PDA90，PDC120，ADBC ，BCD90，ABD 是等边三角形，E 是 PA 的中点
29、， （1）求证：ADBE ；（2）求三棱锥 PABD 的体积【分析】 （1）取 AD 中点 F，连接 BF，EF，结合已知证得 ADEF，又ABC 是正三角形，得 ADBF ，由线面垂直的判定可得 AD平面 BEF，进一步得到 ADBE；（2）由 ADBC，BCD90，得 ADCD，再由 ADPD，得 AD平面 PCD，可得平面 ABCD平面 PCD，过点 P 作 PHCD，交 CD 的延长线于点 H，则 PH平面ABCD，求解直角三角形 PDH 得 PH ，再由棱锥体积公式求三棱锥 PABD 的体积【解答】 （1）证明：取 AD 中点 F，连接 BF，EF，E，F 分别为 AP，AD 的中点
30、，ADPD ，ADEF，又ABC 是正三角形，ADBF，BFEFF，AD平面 BEF，又 BE平面 BEF，ADBE；（2）解：ADBC，BCD90，ADCD，又 ADPD ，PDCD D，第 20 页（共 26 页）AD平面 PCD，又 AD平面 ABCD，平面 ABCD平面 PCD，过点 P 作 PH CD，交 CD 的延长线于点 H，则 PH平面 ABCD，在直角三角形 PDH 中，PDH60，PD2，PH ， 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面间位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19 （12 分）某社区为了解居民参加体育锻炼情
31、况，随机抽取 18 名男性居民，12 名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查现按参加体育锻炼的情况将居民分成 3 类：甲类（不参加体育锻炼） ，乙类（参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过 5 个小时） ，丙类（参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过 5 个小时） ，调查结果如表：甲类 乙类 丙类男性居民 3 12 3女性居民 6 3 3（1）根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有 90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关？男性居民 女性居民 总计不参加体育锻炼参加体育锻炼第 21 页（共 26 页）总计（2）从抽出的女性居民中再随机抽取 2 人进一步了解
32、情况，求所抽取的 2 人中乙类，丙类各有 1 人的概率附：P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.01k0 2.706 3.841 6.635【分析】 （1）根据表中数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；【解答】解：（1）根据表中的统计数据，填写列联表如下；男性居民 女性居民 总计不参加体育锻炼 3 6 9参加体育锻炼 15 6 21总计 18 12 30计算 K2 3.812.706，所以有 90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关；（2）记三名乙类女性居民为 A、B、C ，三名丙类居民为 d、e、f，从抽出的 6 名女性居民中
33、随机抽取 2 人，基本事件为AB、AC、Ad 、Ae 、Af、BC、Bd、Be 、Bf 、Cd 、Ce、Cf、de、df、ef 共 15 个；抽出的两人中乙类、丙类各 1 人的基本事件为 Ad、Ae、Af、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf共 9 种，所以所抽取的 2 人中乙类，丙类各有 1 人的概率为 P 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题20 （12 分）已知椭圆 的右顶点为 A，左焦点为 F1，离心率，过点 A 的直线与椭圆交于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1，若第 22 页（共 26 页）（1）求椭圆 C 的
34、标准方程；（2）过圆 E：x 2+y24 上任意一点 P 作圆 E 的切线 l，l 与椭圆交于 M，N 两点，以MN 为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由【分析】 （1）由三角形面积可得 b2（1+ ）3+ ，根据离心率可得 bc，结合隐含条件求出 a，b，c 的最值，则椭圆方程可求；（2）当切线的斜率不存在时，直接解出验证；当切线的斜率存在时，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2， y2） 设切线的方程为：ykx+m ，由圆心到直线的距离可得 m22（1+k 2） 把切线方程代入椭圆方程可得：（1+2k 2）x 2+4kmx+2m2120，利用根与系数的关系即
35、可证明 0，结论得证【解答】解：（1）e ，a c，bc ，设 B（c，y 0）代入椭圆方程，可得 |y0| b，S |y0|F1A| b2（1+ ） ， b2（1+ ）3+ ，b 26，a 212，椭圆 C 的标准方程为 + 1（2）：当切线 l 的斜率不存在时，以 MN 为直径的圆的圆心分别为（2，0） ， （2，0） ，MN4 时，以 MN 为直径的圆的标准方程为（x+2） 2+y24， （x2） 2+y24，易得两圆相切且切点为坐标原点，以 MN 为直径的圆过坐标原点，当切线 l 的斜率存在时，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） 设切线的方程为：ykx+m，则 d 2，即
36、 m24（1+k 2） 由 ，消 y 整理可得：（1+2k 2）x 2+4kmx+2m2120，第 23 页（共 26 页）x 1+x2 ，x 1x2 y1y2（kx 1+m） （kx 2+m）k 2x1x2+km（x 1+x2）+ m2 x 1x2+y1y2x 1x2+（kx 1+m） （kx 2+m）（1+ k2）x 1x2+km（x 1+x2）+m 2 +m2 0OM ON以 MN 为直径的圆过定点原点 O（0，0） 综上所述 MN 为直径的圆恒过坐标原点【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切及其直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考
37、查了推理能力与计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）（xm）lnx （m 0） （1）若函数 f（x ）存在极小值点，求 m 的取值范围；（2）当 m0 时，证明：f（x）e x1【分析】 （1）求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系进行讨论求解即可（2）求函数的导数，讨论 x 的取值范围，结合函数单调性和最值之间的关系进行证明即可【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+） ，f（x） +lnx1 +lnx，当 m0 时，f（x）0 得 x ，当 x（0， ）时， f'（x ） 0，当 x（ ，+）时，f'（x）0，x 是函数 f（x）的极小值点，满足题
38、意当 m0 吋，令 g（x ）f（x） ，g'（x） + ，令 g（x）0，解得 xm ，当 x（0，m ）时，g（x）0 当 x（m，+）时，g'（x）0第 24 页（共 26 页）g（x） ming（m ）2+ln（m ） ，若 g（m ）0，即 me 2 时，f'（x）g（x）0 恒成立，f（x）在（0 ，+）上单调递增，无极值点，不满足题意若 g（m）2+ln（m）0，即e 2 m 0 时，g（1m）1 +ln（ 1m）0g（m）g（1m）0，又 g（x）在（m ，+ ）上单调递增， g（x）在（m ，+）上恰有一个零点x1，当 x（m，x 1）时，f'
39、（x）g（x ）0，当 e（x 1，+）时，f' （x ） g（x ）0，x 1 是 f（x）的极小值点，满足题意，综上，e 2 m 0（2）当 m0 时，f（x）xlnx ，当 x（0，1，e x10，xlnx0，f（x）e x 1，当 x（1，+ ）时 ，令 h（x）e xxlnx 1，h'（x） exlnx1，令 （ x）h（x） ，则 （x）e x ，'（x）在（1，+）上是増函数， '（x）（1）e10，（x ）在（ 1，+）上单调递增，h（x）（x）（1） e10，h（x）在（1，+）上单调递增，h（x）h（1）e 10，x1 时，xlnxe x1
40、成立，综上 f（x）e x1【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数的极值，单调性和导数之间的关系，转化为导数问题，以及构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 ，以坐标原点 O第 25 页（共 26 页）为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2（sin+cos） （1）求曲线 C 的普通方程；（2）过点 P（1，0）作直线 l 的垂线交曲线 C
41、于 M，N 两点，求 的值【分析】 （1）由题意知 22sin+2cos，所以曲线 C 的普通方程为：x2+y22x2y0；（2）先求出直线 MN 的参数方程，再根据参数的几何意义可得【解答】解（1）由题意知 22sin+2cos，所以曲线 C 的普通方程为：x2+y22x2y0（2）直线 l 的斜率为 ， 直线 MN 的斜率为： ，直线 MN 的参数方程为： （t 为参数） ，代入曲线 C 的直角坐标方程得 t2t10，设 M，N 对应的参数为 t1，t 2，则 t1+t21，t 1t21， + |t 1t 2| 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已
42、知函数 f（x ）|2x a |（aR ） （1）当 a4 时，解不等式 f（x ）8|x1| ；（2）若不等式 f（x ）8+|2x1|有解，求 a 的取值范围【分析】 （1）a4 时，分 3 段去绝对值解不等式组再相并；（2）原不等式有解，即不等式|2x a|2x1| 8 有解，再构造函数利用绝对值不等式的性质求出最大值代入可解得【解答】解：（1）a4 时，不等式 f（x ）8|x1|2x4|+|x1|8或 或 ，解得1x ，第 26 页（共 26 页）综上，不等式的解集为（1， ） （2）原不等式有解，即不等式|2x a|2x1| 8 有解，令 g（x）|2xa| |2x 1|，|2 xa| |2x1|2 xa 2x+1|a1|，g（x） max|a1| ，|a 1|8，解得 a9 或 a 7a 的取值范围是 a9 或 a7【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
