1、2019 年山东省泰安市东平县中考数学一模试卷一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）1（4 分）计算 的值等于（ ）A1 B C D2（4 分）下列计算正确的是（ ）A2x 22xy4 x3y4 B3x 2y5xy 22x 2yCx 1 x2 x 1 D（3a 2）（3a+2）9a 243（4 分）桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积 27 809 平方公里将 27 809 用科学记数法表示应为（ ）A0.278 0910 5 B27.80910 3C2.780 910 3 D2.780 9 1044（4 分）如图是一个由 4 个相同的
2、正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A B.C. D.5（4 分）已知抛物线 yx 2+2xm 1 与 x 轴没有交点，则函数 y 的大致图象是（ ）A BC D6（4 分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有 6，7，8，9 四个数字，这些小球除数字外都相同甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为 m，再由乙猜这个小球上的数字，记为 n如果 m，n 满足|mn| 1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“ 心领神会”的概率是（ ）A B C D7（4 分）关于 x 的方程 的解为非正数，且关于 x 的不等式组 无解，那么满足条件的所有整数 a
3、 的和是（ ）A19 B15 C13 D98（4 分）甲数的 2 倍比乙数大 3，甲数的 3 倍比乙数的 2 倍小 1，若设甲数为 x，乙数为y，则根据题意可列出的方程组为（ ）A BC D9（4 分）如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点 B，AC 交 O 于点 D，若ACB 50，则BOD 等于（ ）A40 B50 C60 D8010（4 分）下列命题错误的是（ ）A平分弦的直径垂直于弦B三角形一定有外接圆和内切圆C等弧对等弦D经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11（4 分）二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb 20；3b+2c0 ； 4a
4、+c2b；m （am+b）+ba（m1），其中结论正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D412（4 分）如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a 的值为（ ）A B1 C2 D二、填空题（每小题 4 分，共 2 分）13（4 分）已知一组数据： ，10，x，15，7，2 3 的平均数为 10，则这组数据的中位数为 14（4 分）在 RtABC 中，C90，AB 2，BC ，则 sin 15（4 分）一次函数 ykx3k+1 的图象必经过一个定点，该定点的坐标是 16（4 分）如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得tan BA1C1，tanBA 2C ，tan BA 3C ，按此
5、规律，写出 tanBA nC （用含 n 的代数式表示）17（4 分）已知 x，y 为实数，y ，则 x6y 的值 18（4 分）如图，圆锥的母线长为 10cm，高为 8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 cm （结果用 表示）三、解答题19（8 分）先化简，再求值： ，其中 a 是方程2x 2x+30 的解20（10 分）如图，一次函数 yax+b 的图象与反比例函数 y 的图象交于 C，D 两点，与 x，y 轴交于 B，A 两点，CEx 轴于点 E，且 tanABO ，OB4，OE1（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式（2）求OCD 的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的
6、值大于反比例函数的值时，自变量 x 的取值范围21（10 分）在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市八年级部分同学 1 分钟跳绳的次数，将抽查结果进行统计，并绘制两个不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共抽查了多少名学生？（2）请补全频数分布直方图空缺部分，直接写出扇形统计图中跳绳次数范围135x155 所在扇形的圆心角度数（3）若本次抽查中，跳绳次数在 125 次以上（含 125 次）为优秀，请你估计全市 8000名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀？22（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，PQ
7、 垂直平分 BE，分别交AD、BE、BC 于点 P、O、 Q，连接 BP、EQ（1）求证：四边形 BPEQ 是菱形；（2）若 AB12，F 为 AB 的中点，OF+OB18，求 PQ 的长23（10 分）A，B 两地相距 1200 米，甲、乙两人分别从 A，B 两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的 2 倍，已知乙到达 A 地 15 分钟后甲到达 B 地（1）求甲每分钟走多少米？（2）两人出发多少分钟后恰好相距 240 米24（14 分）如图 1，抛物线 y （x2） 2+n与 x 轴交于点 A（m 2，0）和B（2m+3，0）（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，连结 BC（1）
8、求 m、n 的值；（2）如图 2，点 N 为抛物线上的一动点，且位于直线 BC 上方，连接 CN、BN求NBC 面积的最大值；（3）如图 3，点 M、P 分别为线段 BC 和线段 OB 上的动点，连接 PM、PC ，是否存在这样的点 P，使PCM 为等腰三角形，PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由25（14 分）已知正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O（1）如图 1，E，G 分别是 OB，OC 上的点，CE 与 DG 的延长线相交于点 F若DFCE，求证：OEOG；（2）如图 2，H 是 BC 上的点，过点 H 作 EHBC ，交线段
9、OB 于点 E，连结 DH 交 CE于点 F，交 OC 于点 G若 OEOG，求证： ODG OCE；当 AB1 时，求 HC 的长2019 年山东省泰安市东平县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）1（4 分）计算 的值等于（ ）A1 B C D【分析】直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案【解答】解：原式（ ） 6（ ） 4（ ） 4（ ） 2（ ） 2故选：C【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键2（4 分）下列计算正确的是（ ）A2x 22xy4 x3y4 B3x 2y5xy 22x
10、2yCx 1 x2 x 1 D（3a 2）（3a+2）9a 24【分析】根据整式的乘法、合并同类项、整式的除法以及平方差公式判断即可【解答】解：A、2x 22xy4 x3y，错误；B、不是同类项不能合并，错误；C、x 1 x2 x，错误；D、（3a2）（3a+2）9a 24，正确；故选：D【点评】此题考查整式的乘法、合并同类项、整式的除法以及平方差公式，关键是根据法则解答3（4 分）桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积 27 809 平方公里将 27 809 用科学记数法表示应为（ ）A0.278 0910 5 B27.80910 3C2.
11、780 910 3 D2.780 9 104【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：27 8092.780 910 4故选 D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（4 分）如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A B.C.
12、 D.【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解：该立体图形主视图的第 1 列有 1 个正方形、第 2 列有 1 个正方形、第 3 列有 2 个正方形，故选：C【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图5（4 分）已知抛物线 yx 2+2xm 1 与 x 轴没有交点，则函数 y 的大致图象是（ ）A BC D【分析】由题意可求 m2 ，即可求解【解答】解：抛物线 yx 2+2xm 1 与 x 轴没有交点，44（m1）0m2函数 y 的图象在第二、第四象限，故选：B【点评】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围
13、是本题的关键6（4 分）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有 6，7，8，9 四个数字，这些小球除数字外都相同甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为 m，再由乙猜这个小球上的数字，记为 n如果 m，n 满足|mn| 1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“ 心领神会”的概率是（ ）A B C D【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有 16 种等可能结果，其中满足|mn|1 的有 10 种结果，两人“心领神会”的概率是 ，故选
14、：B【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比7（4 分）关于 x 的方程 的解为非正数，且关于 x 的不等式组 无解，那么满足条件的所有整数 a 的和是（ ）A19 B15 C13 D9【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非正数求出 a 的范围，再根据不等式组无解求出 a 的范围，确定出满足题意整数 a 的值，求出之和即可【解答】解：分式方程去分母得：axx12，整理得：（a1）x3，由分式方程的解为非正数，得到 0
15、，且 1，解得：a1 且 a2，不等式组整理得： ，由不等式组无解，得到 4，解得：a6，满足题意 a 的范围为6a1，且 a2，即整数 a 的值为5，4，3，1，0，则满足条件的所有整数 a 的和是13，故选：C【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键8（4 分）甲数的 2 倍比乙数大 3，甲数的 3 倍比乙数的 2 倍小 1，若设甲数为 x，乙数为y，则根据题意可列出的方程组为（ ）A BC D【分析】根据甲数的 2 倍比乙数大 3 可得 2xy+3，甲数的 3 倍比乙数的 2 倍小 1 可得3x2y1，联立两个方程即可【解答】解：设甲数为 x，
16、乙数为 y，根据题意得：，故选：C【点评】此题主要考查了二元一次方程组，关键是找出题目中的等量关系，列出方程9（4 分）如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点 B，AC 交 O 于点 D，若ACB 50，则BOD 等于（ ）A40 B50 C60 D80【分析】根据切线的性质得到ABC90，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可【解答】解：BC 是O 的切线，ABC90，A90ACB40，由圆周角定理得，BOD2 A80，故选：D【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键10（4 分）下列命题错误的是（ ）A平分弦的直径垂直于弦
17、B三角形一定有外接圆和内切圆C等弧对等弦D经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【分析】根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可【解答】解：A、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题；B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题；C、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题；D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题；故选：C【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答，难度不大11（4 分）二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb 20；3b+2c0 ； 4a+c2b；m （am+b）+ba（m1），
18、其中结论正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b24ac0，可判断；根据对称轴是x1，可得 x2、0 时，y 的值相等，所以 4a2b+c0，可判断；根据 1，得出 b2a，再根据 a+b+c0，可得 b+b+c0，所以 3b+2c0，可判断； x1 时该二次函数取得最大值，据此可判断【解答】解：图象与 x 轴有两个交点，方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根，b 24ac0，4acb 20，正确； 1，b2a，a+b+c0， b+b+c0， 3b+2c0，是正确；当 x2 时，y 0，4a2b+c0，4a+c2b，错误；由图象可知 x1 时
19、该二次函数取得最大值，ab+cam 2+bm+c（m 1）m（am+b）ab故 正确正确的有三个，故选：C【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结合的思想解答12（4 分）如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a 的值为（ ）A B1 C2 D【分析】作 B 关于 x 轴的对称点 C，连结 CN，作平行四边形 PNCD，因为 AB、PN 为定值 所以 PA+BN 最小即可 因为 BNCN PD 所以只要 AP+PD 最小 作直线 AD 交 x轴于 Q，当 P 与 Q 重合时，AP+PDAD 最小【解答】解：作 B 关于 x 轴的对称点 C，连结 CN，作平
20、行四边形 PNCDAB、PN 为定值PA+BN 最小即可BNCNPD只要 AP+PD 最小作直线 AD 交 x 轴于 Q，当 P 与 Q 重合时，AP+PDAD 最小A（1，3）、B（4，1），C（4，1），D（2，1）直线 AD 为：y4x+7 当 y0 时，x ，Q 为（ ，0 ）P、Q 重合a ，故选：A【点评】本题考查轴对称最短问题，平行四边形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平行四边形，利用对称解决最短问题，属于中考常考题型二、填空题（每小题 4 分，共 2 分）13（4 分）已知一组数据： ，10，x，15，7，2 3 的平均数为 10，则这组数据的中位数为 9 【
21、分析】根据平均数的计算公式先求出 x 的值，再根据中位数的定义求解即可【解答】解： ，10，x，15，7，2 3 的平均数为 10，（ +10+x+15+7+23）610，解得：x8，把这些数从小到大排列为：7，2 3，8，10， ，15，则中位数是 9；故答案为：9【点评】此题主要考查了中位数的确定方法以及平均数的求法，根据将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）找出中位数是易错点14（4 分）在 RtABC 中，C90，AB 2，BC ，则 sin 【分析】根据A 的正弦求出A60，再根据 30的正弦值求解即可【解答】解：sinA ，A60，sin sin30 故答案
22、为： 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记 30、45、60角的三角函数值是解题的关键15（4 分）一次函数 ykx3k+1 的图象必经过一个定点，该定点的坐标是 （3，1） 【分析】把一次函数解析式转化为 yk（x 3）+1，可知点（ 3，1）在直线上，且与系数无关【解答】解：根据题意可把直线解析式化为：yk（x 3 ）+1，故函数一定过点（3，1）故答案为：（3，1）【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是把一次函数进行整理变形16（4 分）如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得tan BA1C1，tanBA 2C ，tan BA 3C ，按此规律
23、，写出 tanBA nC （用含 n 的代数式表示）【分析】作 CHBA 4 于 H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A 4H，根据正切的概念求出 tanBA 4C，总结规律解答【解答】解：作 CHBA 4 于 H，由勾股定理得，BA 4 ，A 4C ，BA 4C 的面积42 ， CH ，解得，CH ，则 A4H ，tanBA 4C ，11 21+1，32 22+1，73 23+1，tanBA nC ，故答案为： ，【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键17（4 分）已知 x，y 为实数，y
24、，则 x6y 的值 2 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列不等式求出 x 的值，再求出 y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解【解答】解：由题意得， ，解得 x3，y ，x6y36 3+12故答案为：2【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义18（4 分）如图，圆锥的母线长为 10cm，高为 8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 12 cm （结果用 表示）【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解【解答】解：设底面圆的半径为 rcm，由勾股定理得：r 6，2r26 12，故答案为：12【点评】此题考查了
25、圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般三、解答题19（8 分）先化简，再求值： ，其中 a 是方程2x 2x+30 的解【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再根据 a 是方程2x 2x+30 的解，可以求得 a 的值，再将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入的 a 的值必须使得原分式有意义【解答】解： ，由2x 2x+3 0，得 x1 ，x 21，当 a1 时，原分式无意义，当 a 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法20（10 分）如图，一次函数
26、yax+b 的图象与反比例函数 y 的图象交于 C，D 两点，与 x，y 轴交于 B，A 两点，CEx 轴于点 E，且 tanABO ，OB4，OE1（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式（2）求OCD 的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量 x 的取值范围【分析】（1）根据已知条件求出 A、B、C 点坐标，用待定系数法求出直线 AB 和反比例函数的解析式；（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点 D 的坐标，从而根据三角形面积公式求解；（3）根据函数的图象和交点坐标即可求解【解答】解：（1）OB4 ，OE 1，BE1+45CEx 轴于点 E
27、，tanABO ，OA2，CE2.5点 A 的坐标为（0，2）、点 B 的坐标为 C（4，0）、点 C 的坐标为（1，2.5）一次函数 yax +b 的图象与 x，y 轴交于 B，A 两点， ，解得 直线 AB 的解析式为 y x+2反比例函数 y 的图象过 C，2.5 ，k2.5该反比例函数的解析式为 y ；（2）联立反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式可得 ，解得点 D 的坐标为（5， ），则BOD 的面积 4 1，BOC 的面积4 5，OCD 的面积为 1+56；（3）由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时 x 的取值范围：x1 或0x5【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交
28、点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点21（10 分）在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市八年级部分同学 1 分钟跳绳的次数，将抽查结果进行统计，并绘制两个不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共抽查了多少名学生？（2）请补全频数分布直方图空缺部分，直接写出扇形统计图中跳绳次数范围135x155 所在扇形的圆心角度数（3）若本次抽查中，跳绳次数在 125 次以上（含 125 次）为优秀，请你估计全市 8000名八年级学生中有多少名学生的成
29、绩为优秀？【分析】（1）根据前两组共占 12%解答；（2）求出跳绳次数范围在 135x155 的人数所占总人数的百分比，即可解答；（3）用样本估计总体【解答】解：（1）抽查的总人数：（8+16）12% 200（人）；（2）范围是 115x145 的人数是：20081671601629（人），则跳绳次数范围 135x155 所在扇形的圆心角度数是：360 81；（3）优秀的比例是： 100%52.5%，则估计全市 8000 名八年级学生中有多少名学生的成绩为优秀人数是：800052.5%4200（人）；【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，两图结合是解题的关键22（12
30、分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，PQ 垂直平分 BE，分别交AD、BE、BC 于点 P、O、 Q，连接 BP、EQ（1）求证：四边形 BPEQ 是菱形；（2）若 AB12，F 为 AB 的中点，OF+OB18，求 PQ 的长【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明 PBPE，由 ASA 证明BOQ EOP，得出 PEQB，证出四边形 ABGE 是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；（2）根据三角形中位线的性质可得 AE+BE2OF+2OB 36，设 AEx，则BE36x，在 RtABE 中，根据勾股定理可得 122+x2（36x） 2，BE20，得到OB BE1
31、0，设 PEy，则 AP16y，BP PEy，在 RtABP 中，根据勾股定理得出方程，解得 y ，在 RtBOP 中，根据勾股定理求出 PO 的长，由 PQ2PO即可求解【解答】（1）证明：PQ 垂直平分 BE，PBPE，OBOE，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，PEOQBO，在BOQ 与 EOP 中， ，BOQ EOP（ASA），PEQB ，又ADBC，四边形 BPEQ 是平行四边形，又QBQE ，四边形 BPEQ 是菱形；（2）解：O，F 分别为 PQ，AB 的中点，AE+BE2OF+2 OB36，设 AEx，则 BE36x，在 Rt ABE 中，12 2+x2（36x） 2，解得
32、x16，BE36x20，OB BE10，设 PEy，则 AP16y，BPPEy，在 Rt ABP 中，12 2+（16y） 2y 2，解得 y ，在 Rt BOP 中，PO ，PQ2PO 15【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度23（10 分）A，B 两地相距 1200 米，甲、乙两人分别从 A，B 两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的 2 倍，已知乙到达 A 地 15 分钟后甲到达 B 地（1）求甲每分钟走多少米？（2）两人出发多少分钟后恰好相距 240 米【分析】（1）设甲每分钟走 x 米，则
33、乙每分钟走 2x 米，根据时间路程速度结合乙比甲少用 15 分钟，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设两人出发 y 分钟后恰好相距 480 米，根据路程速度时间结合两人相距 240米，即可得出关于 y 的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）设甲每分钟走 x 米，则乙每分钟走 2x 米，根据题意得： 15，解得：x40，经检验，x40 是原分式方程的解，且符合题意答：甲每分钟走 40 米（2）设两人出发 y 分钟后恰好相距 240 米，根据题意得：|120040y 80y|240，解得：y 18，y 212答：两人出发 8 或 12 分钟后恰好相
34、距 240 米【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程24（14 分）如图 1，抛物线 y （x2） 2+n与 x 轴交于点 A（m 2，0）和B（2m+3，0）（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，连结 BC（1）求 m、n 的值；（2）如图 2，点 N 为抛物线上的一动点，且位于直线 BC 上方，连接 CN、BN求NBC 面积的最大值；（3）如图 3，点 M、P 分别为线段 BC 和线段 OB 上的动点，连接 PM、PC ，是否存在这样的点 P，使PCM 为等腰三角形，
35、PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用抛物线的解析式确定对称轴为直线 x2，再利用对称性得到2（m2）2m+32，解方程可得 m 的值，从而得到 A（1，0），B（5，0），然后把 A 点坐标代入 y （x2） 2+n可求出 n 的值；（2）作 NDy 轴交 BC 于 D，如图 2，利用抛物线解析式确定 C（0，3），再利用待定系数法求出直线 BC 的解析式为 y x+3，设 N（x， x2+ x+3），则 D（x，x+3），根据三角形面积公式，利用 SNBC S NDC +SNDB 可得 SBCN x2+ x，然后利用二次函数的性质求
36、解；（3）先利用勾股定理计算出 BC ，再分类讨论：当PMB90，则PMC90，PMC 为等腰直角三角形，MPMC，设 PMt，则 CMt，MBt，证明 BMP BOC ，利用相似比可求出 BP 的长，再计算 OP 后可得到 P 点坐标；当MPB90，则 MPMC，设 PMt，则 CMt，MB t，证明BMP BCO，利用相似比可求出 BP 的长，再计算 OP 后可得到 P 点坐标【解答】解：（1）抛物线的解析式为 y （x2） 2+n （x2） 2 n，抛物线的对称轴为直线 x2，点 A 和点 B 为对称点，2（m2）2m+32，解得 m1，A（1，0），B（5，0），把 A（1，0）代入
37、y （x2） 2+n得 9+n0，解得 n9；（2）作 NDy 轴交 BC 于 D，如图 2，抛物线解析式为 y （x2） 29 x2+ x+3，当 x0 时，y3，则 C（0，3），设直线 BC 的解析式为 ykx +b，把 B（5，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y x+3，设 N（x ， x2+ x+3），则 D（x， x+3），ND x2+ x+3（ x+3） x2+3x，S NBC S NDC +SNDB 5ND x2+ x （x ） 2+ ，当 x 时，NBC 面积最大，最大值为 ；（3）存在B（5，0），C（0，3），BC ，当PMB 90 ，则PMC
38、90，PMC 为等腰直角三角形， MPMC，设 PMt，则 CMt，MB t ，MBP OBC ，BMP BOC ， ，即 ，解得 t ，BP ，OPOB BP5 ，此时 P 点坐标为（ ，0）；当MPB 90 ，则 MPMC ，设 PMt，则 CMt，MB t ，MBP CBO ，BMP BCO ， ，即 ，解得 t ，BP ，OPOB BP5 ，此时 P 点坐标为（ ，0）；综上所述，P 点坐标为（ ，0）或（ ，0）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形的性质；掌握相似三角形的判定，能运用相似比
39、计算线段的长或表示线段之间的关系；学会运用分类讨论的思想解决数学问题25（14 分）已知正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O（1）如图 1，E，G 分别是 OB，OC 上的点，CE 与 DG 的延长线相交于点 F若DFCE，求证：OEOG；（2）如图 2，H 是 BC 上的点，过点 H 作 EHBC ，交线段 OB 于点 E，连结 DH 交 CE于点 F，交 OC 于点 G若 OEOG，求证： ODG OCE；当 AB1 时，求 HC 的长【分析】（1）欲证明 OEOG，只要证明DOGCOE（ASA）即可；（2） 欲证明 ODGOCE ，只要证明ODGOCE 即可；设 CHx，
40、由CHEDCH，可得 ，即 HC2EHCD，由此构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图 1 中，四边形 ABCD 是正方形，ACBD，ODOC，DOGCOE90，OEC+OCE90，DFCE，OEC+ODG90，ODGOCE，DOGCOE（ASA ），OEOG （2） 证明：如图 2 中，AC，BD 为对角线，ODOC，OGOE ， DOGCOE 90，ODGOCE，ODGOCE解：设 CHx，四边形 ABCD 是正方形，AB1，BH1x，DBCBDCACB 45，EHBC，BEHEBH45，EHBH 1x ，ODGOCE，BDCODGACB OCE，HDCECH，EHBC，EHCHCD90，CHEDCH， ，HC 2EHCD，x 2（1x）1，解得 x 或 （舍弃），HC 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
