1、山东省泰安市 2016 年中考数学试卷（含解析）一、 （本大题共 20 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1计算（2） 0+9（ 3）的结果是（ ） A1 B2 C3 D4【分析】根据零指数幂和有理数的除法法则计算即可【解答】解：原式=1+（3）= 2，故选：B【点评】本题考查的是零指数幂和有理数的除法运算，掌握任何不为 0 的数的零次幂为 1、灵活运用有理数的除法法则是解题的关键2下列计算正确的是（ ）A 2=4a2 Cm 3m2=m6 Da 6a2=a4【分析】直接利用同底数幂的乘除法运算
2、法则以及结合积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案【解答】解：A、 （a 2） 3=a6，故此选项错误；B、 （2a） 2=4a2，故此选项错误；C、m 3m2=m5，故此选项错误；D、a 6a2=a4，正确故选：D【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算法则以及积的乘方运算法则和幂的乘方运算等知识，正确掌握相关法则是解题关键3下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是（ ）A B C D1【分析】由共有 4 种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有 3 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：共有 4 种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有 3 种情况，任取一个
3、是中心对称图形的概率是： 故选 C【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比4化简： 的结果为（ ）A B C Da 【分析】先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的加法即可【解答】解：原式= = = ，故选：C【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键5如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为（ ）A90 B120 C135 D150【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，
4、利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角【解答】解：圆锥的底面半径为 3，圆锥的底面周长为 6，圆锥的高是 6 ，圆锥的母线长为 =9，设扇形的圆心角为 n， =6，解得 n=120答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为 120故选 B【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解6国家统计局的相关数据显示，2015 年我国国民生产总值（GDP）约为 67.67 万亿元，将这个数据用科学记数法表示为（ ）A6.76710 13 元 B6.76710 12 元
5、C6.76710 12 元 D6.767 1014 元【分析】首先把 5.3 万亿化为 53000 亿，再用科学记数法表示 53000，科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：67.67 万亿元=6.76710 13 元，故选：A【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值7如图，
6、在ABCD 中，AB=6，BC=8 ，C 的平分线交 AD 于 E，交 BA 的延长线于 F，则 AE+AF 的值等于（ ）A2 B3 C4 D6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出F=FCB ，证出 BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BFAB=2，AE=AD DE=2，即可得出结果【解答】解：四边形 AB CD 是平行四边形，ABCD，AD=BC=8，CD=AB=6，F=DCF，C 平分线为 CF，FCB=DCF，F=FCB，BF=BC=8，同理：DE=CD=6 ，AF=BFAB=2，AE=ADDE=2，AE+AF=4；故选：C【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形
7、的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键8如图，四个实数 m，n，p ，q 在数轴上对应的点分别为 M，N，P，Q，若 n+q=0，则 m，n，p，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）Ap Bq Cm Dn【分析】根据 n+q=0 可以得到 n、q 的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决【解答】解：n+q=0，n 和 q 互为相反数，0 在线段 NQ 的中点处，绝对值最大的点 P 表示的数 p，故选 A【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答9一元二次方程（x+1） 22（x1） 2
8、=7 的根的情况是（ ）A无实数根 B有一正根一负根C有两个正根 D有两个负根【分析】直接去括号，进而合并同类项，求出方程的根即可【解答】解：（x+1 ） 22（x1） 2=7，x2+2x+12（x 22x+1）=7 ，整理得：x 2+6x8=0，则 x26x+8=0，（x4） （ x2）=0，解得：x 1=4，x 2=2，故方程有两个正根故选：C【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确利用完全平方公式计算是解题关键10如图，点 A、B、C 是圆 O 上的三点，且四边形 ABCO 是平行四边形，OFOC 交圆 O 于点 F，则BAF 等于（ ）A12.5 B15 C20 D22.5【分析
9、】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到AOB 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到BOF=AOF=30 ，根据圆周角定理计算即可【解答】解：连接 OB，四边形 ABCO 是平行四边形，OC=AB，又 OA=OB=OC，OA=OB=AB，AOB 为等边三角形，OFOC，OCAB，OFAB，BOF=AOF=30，由圆周角定理得BAF= BOF=15，故选：B【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键11某学校将为初一学生开设 ABCDEF 共 6 门选修课
10、，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课” 调查，将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）选修课 A B C D E F人数 40 60 100根据图表提供的信息，下列结论错误的是（ ）A这次被调查的学生人数为 400 人B扇形统计图中 E 部分扇形的圆心角为 72C被调查的学生中喜欢选修课 E、F 的人数分别为 80， 70D喜欢选修课 C 的人数最少【分析】通过计算得出选项 A、B、C 正确，选项 D 错误，即可得出结论【解答】解：被调查的学生人数为 6015%=400（人） ，选项 A 正确；扇形统计图中 D 的圆心角为 360=90， 360=36，360（17.5%+15%+12.
11、5%）=162，扇形统计图中 E 的圆心角=3601629036=72，选项 B 正确；400 =80（人） ，40017.5%=70（人） ，选项 C 正确；12.5%10%，喜欢选修课 A 的人数最少，选项 D 错误；故选：D【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据12二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 y=ax+b 的图象大致是（ ）A B C D【分析】由 y=ax2+bx+c 的图象判断出 a0，b0，于是得到一次函数 y=ax+b 的图象经过一，二，四象限，即可得到
12、结论【解答】解：y=ax 2+bx+c 的图象的开口向上，a0，对称轴在 y 轴的左侧，b 0，一次函数 y=ax+b 的图象经过一，二，三象限故选 A【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断 a、b 的取值范围13某机加工车间共有 26 名工人，现要加工 2100 个 A 零件，1200 个 B 零件，已知每人每天加工 A 零件30 个或 B 零件 20 个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排 x 人加工 A 零件，由题意列方程得（ ）A = B =C = D 30= 20【分析】直接利用现要加工
13、 2100 个 A 零件，1200 个 B 零件，同时完成两种零件的加工任务，进而得出等式即可【解答】解：设安排 x 人加工 A 零件，由题意列方程得：= 故选：A【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出加工两种零件所用的时间是解题关键14当 x 满足 时，方程 x22x5=0 的根是（ ）A1 B 1 C1 D1+【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定 x 的值【解答】解： ，解得：2x6，方程 x22x5=0，x=1 ，2 x 6，x=1+ 故选 D【点评】本题考查解一元一次不等式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握不等式组以及一元二次方程的解法是解题
14、的关键，属于中考常考题型15在2， 1， 0，1，2 这五个数中任取两数 m，n，则二次函数 y=（xm ） 2+n 的顶点在坐标轴上的概率为（ ）A B C D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：2，1，0，1，2 这五个数中任取两数 m，n，一共有 20 种可能，其中取到 0 的有 8 种可能，顶点在坐标轴上的概率为 = 故选 A【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型16如图，轮船沿正南方向以 30 海里/时的速度匀速航行
15、，在 M 处观测到灯塔 P 在西偏南 68方向上，航行 2 小时后到达 N 处，观测灯塔 P 在西偏南 46方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到 sin68=0.9272，sin46=0.7193，sin22=0.3746，sin44=0.6947）（ ）A22.48 B41.68 C43.16 D55.63【分析】过点 P 作 PAMN 于点 A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为 PA 的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点 P 作 PAMN 于点 A，MN=302=60（海里） ，MNC=90， CPN
16、=46，MNP=MNC+CPN=136，BMP=68，PMN=90BMP=22，MPN=180PMNPNM=22，PMN=MPN，MN=PN=60（海里） ，CNP=46，PNA=44，PA=PNsinPNA=600.694741.68（海里）故选：B【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键17如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，B=30 ，CE 平分ACB 交O 于 E，交 AB 于点 D，连接 AE，则 SADE：S CDB 的值等于（ ）A1： B1： C1：2 D2：3【分析】由 AB 是 O 的直径，得到 ACB=90，根据已知条件得到 ，根据三角
17、形的角平分线定理得到 = ，求出 AD= AB，BD= AB，过 C 作 CEAB 于 E，连接 OE，由 CE 平分ACB 交O 于 E，得到 OEAB，求出 OE= AB，CE= AB，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：AB 是O 的直径，ACB=90，B=30， ，CE 平分ACB 交 O 于 E， = ，AD= AB，BD= AB，过 C 作 CEAB 于 E，连接 OE，CE 平分ACB 交 O 于 E， = ，OEAB，OE= AB，CE= AB，SADE：S CDB=（ ADOE）：（ BDCE）=（ ）：（ ）=2：3故选 D【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的角平
18、分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键18如图，在PAB 中，PA=PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM=BK，BN=AK，若MKN=44，则P 的度数为（ ）A44 B66 C88 D92【分析】根据等腰三角形的性质得到A= B，证明AMK BKN，得到 AMK=BKN，根据三角形的外角的性质求出A= MKN=44，根据三角形内角和定理计算即可【解答】解：PA=PB ，A=B，在AMK 和 BKN 中，AMKBKN，AMK=BKN，MKB=MKN+NKB=A+AMK，A=MKN=44，P=180AB=92，故选：D【点评】本题考查的
19、是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键19当 1x4 时，mx40，则 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm1 Cm4 Dm 4【分析】设 y=mx4，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可【解答】解：设 y=mx4，由题意得，当 x=1 时，y0，即 m40，解得 m4，当 x=4 时，y0，即 4m4 0，解得，m1，则 m 的取值范围是 m1，故选：B【点评】本题考查的是含字母系数的一元一次不等式的解法，正确利用函数思想、数形结合思想是解题的关键20如图，正ABC 的边长为 4，点 P
20、 为 BC 边上的任意一点（不与点 B、C 重合） ，且APD=60 ，PD交 AB 于点 D设 BP=x，BD=y，则 y 关 于 x 的函数图象大致是（ ）A B CD【分析】由ABC 是正三角形，APD=60，可证得BPDCAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案【解答】解：ABC 是正三角形，B=C=60，BPD+APD=C+CAP， APD=60，BPD=CAP，BPDCAP，BP：AC=BD：PC，正 ABC 的边长为 4，BP=x，BD=y，x： 4=y：（4x） ，y= x2+x故选 C【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质注意证得BPD
21、CAP 是关键二、填空题（本大题共 4 小题，满分 12 分.只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分， ）21将抛物线 y=2（x 1） 2+2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，那么得到的抛物线的表达式为 y=2（x+2） 22 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求得即可【解答】解：抛物线 y=2（x1） 2+2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位得到 y=2（x1+3）2+24=2（x+2） 22故得到抛物线的解析式为 y=2（x+2） 22故答案为：y=2（x+2 ） 22【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减 ”直接代入函数解析
22、式求得平移后的函数解析式22如图，半径为 3 的O 与 RtAOB 的斜边 AB 切于点 D，交 OB 于点 C，连接 CD 交直线 OA 于点E，若B=30，则线段 AE 的长为 【分析】要求 AE 的长，只要求出 OA 和 OE 的长即可，要求 OA 的长可以根据B=30和 OB 的长求得，OE 可以根据 OCE 和 OC 的长求得【解答】解：连接 OD，如右图所示，由已知可得，BOA=90，OD=OC=3，B=30， ODB=90，BO=2OD=6，BOD=60 ，ODC=OCD=60，AO=BOtan30= ，COE=90，OC=3，OE=OCtan60= ，AE=OEOA= ，故答案
23、为： 【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件23如图，矩形 ABCD 中，已知 AB=6，BC=8 ，BD 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则BOF的面积为 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出 BD，证明BOF BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出 BF，根据勾股定理求出 OF，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，A=90，又 AB=6，AD=BC=8 ，BD= =10，EF 是 BD 的垂直平分线，OB=OD=5，BOF=90，又 C=90，BOFBCD， = ，即 = ，解得，BF= ，则 OF=
24、 = ，则BOF 的面积= OFOB= ，故答案为： 【点评】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键24如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y =x+2 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 A1，点 A2，A 3，在直线 l上，点 B1，B 2，B 3，在 x 轴的正半轴上，若 A1OB1，A 2B1B2，A 3B2B3，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在 x 轴上，则第 n 个等腰直角三角形 AnBn1Bn 顶点 Bn 的横坐标为 2 n+12 【分析】先求出 B1、B 2、B 3的坐标，探究规律
25、后，即可根据规律解决问题【解答】解：由题意得 OA=OA1=2，OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4， B2A3=B2B3=8，B1（2，0） ，B 2（6，0） ，B 3（14，0），2=222， 6=232，14=2 42，Bn 的横坐标为 2n+12故答案为 2n+12【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型三、解答题（共 5 小题，满分 48 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）25如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，点 C 的坐标为（0，
26、3） ，点 A在 x 轴的负半轴上，点 D、M 分别在边 AB、OA 上，且 AD=2DB，AM=2MO，一次函数 y=kx+b 的图象过点 D 和 M，反比例函数 y= 的图象经过点 D，与 BC 的交点为 N（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点 P 在直线 DM 上，且使 OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等，求点 P 的坐标【分析】 （1）由正方形 OABC 的顶点 C 坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据 AD=2DB，求出 AD的长，确定出 D 坐标，代入反比例解析式求出 m 的值，再由 AM=2MO，确定出 MO 的长，即 M 坐标，将 M 与 D 坐标代入一
27、次函数解析式求出 k 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）把 y=3 代入反比例解析式求出 x 的值，确定出 N 坐标，得到 NC 的长，设 P（x，y） ，根据OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等，求出 y 的值，进而得到 x 的值，确定出 P 坐标即可【解答】解：（1）正方形 OABC 的顶点 C（0，3） ，OA=AB=BC=OC=3， OAB=B=BCO=90，AD=2DB，AD= AB=2，D（ 3， 2） ，把 D 坐标代入 y= 得：m= 6，反比例解析式为 y= ，AM=2MO，MO= OA=1，即 M（1，0 ） ，把 M 与 D 坐标代入 y=kx+b 中
28、得： ，解得：k=b= 1，则直线 DM 解析式为 y=x1；（2）把 y=3 代入 y= 得：x= 2，N（ 2， 3） ，即 NC=2，设 P（x，y） ，OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等， （OM+NC ） OC= OM|y|，即 |y|=9，解得：y=9，当 y=9 时，x=10，当 y=9 时，x=8，则 P 坐标为（10，9）或（8，9） 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键26某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推
29、动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买 10 个乒乓球，乒乓球的单价为 2 元/个，若购买 20 副直拍球拍和 15 副横拍球拍花费 9000 元；购买 10 副横拍球拍比购买 5 副直拍球拍多花费 1600 元（1）求两种球拍每副各多少元？（2）若学校购买两种球拍共 40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的 3 倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用【分析】 （1）设直拍球拍每副 x 元，横拍球每副 y 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买直拍球拍 m 副，根据题意列出不等式，解不等式求出 m 的范围
30、，根据题意列出费用关于 m 的一次函数，根据一次函数的性质解答即可【解答】解：（1）设直拍球拍每副 x 元，横拍球每副 y 元，由题意得，解得， ，答：直拍球拍每副 220 元，横拍球每副 260 元；（2）设购买直拍球拍 m 副，则购买横拍球（ 40m）副，由题意得，m 3（40m） ，解得，m30，设买 40 副球拍所需的费用为 w，则 w=（ 220+20）m+（260+20） （40m）=40m+11200，400 ，w 随 m 的增大而减小，当 m=30 时，w 取最大值，最大值为 4030+11200=10000（元） 答：购买直拍球拍 30 副，则购买横拍球 10 副时，费用最少
31、【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等 式解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键27如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分 BCD，ACAB，E 是 BC 的中点，AD AE（1）求证：AC 2=CDBC；（2）过 E 作 EGAB，并延长 EG 至点 K，使 EK=EB若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点，点 F 为 AC 的中点，求证：FH GH；若 B=30，求证：四边形 AKEC 是菱形【分析】 （1）欲证明 AC2=CDBC，只需推知ACD BCA 即可；（2）连接 AH构建直角AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜
32、边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：FHG=CAB=90 ，即 FHGH；利用“在直角三角形中， 30 度角所对的直角边等于斜边的一半”、 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形 AKEC 的四条边都相等，则四边形 AKEC 是菱形【解答】证明：（1）AC 平分 BCD，DCA=ACB又 ACAB，ADAE，DAC+CAE=90， CAE+EAB=90，DAC=EAB又 E 是 BC 的中点，AE=BE，EAB=ABC，DAC=ABC，ACDBCA， = ，AC2=CDBC；（2）证明：连接 AHADC=BAC=90，点 H、D 关于 AC 对称，AHBCEGAB，AE=BE，点
33、 G 是 AB 的中点，HG=AG，GAH=GHA点 F 为 AC 的中点，AF=FH，HAF=FHA，FHG=AHF+AHG=FAH+HAG=CAB=90，FHGH；EKAB，ACAB，EKAC，又B=30，AC= BC=EB=EC又 EK=EB，EK=AC，即 AK=KE=EC=CA，四边形 AKEC 是菱形【点评】本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质， “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、 “在直角三角形中，30 度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大28如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（2，9
34、） ，与 y 轴交于点 A（0，5） ，与x 轴交于点 E、B（1）求二次函数 y=ax2+bx+c 的表达式；（2）过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点（点 P 在 AC 上方） ，作 PD 平行与 y 轴交 AB 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点 M 在抛物线上，点 N 在其对称轴上，使得以 A、E 、N、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点 M、N 的坐标【分析】 （1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线 AB 解析式，设出点 P 坐标（x，x 2+
35、4x+5） ，建立函数关系式 S 四边形 APCD=2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出HMNAOE，求出 M 点的横坐标，从而求出点 M，N 的坐标【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x2） 2+9，抛物线与 y 轴交于点 A（0， 5） ，4a+9=5，a=1，y=（x2） 2+9=x2+4x+5，（2）当 y=0 时， x2+4x+5=0，x1=1，x 2=5，E（ 1，0） ，B（5，0） ，设直线 AB 的解析式为 y=mx+n，A（ 0， 5） ，B（5，0） ，m=1，n=5，直线 AB 的解析式为 y=x+5；设 P（x，x 2+4x+5） ，D（ x，
36、 x+5） ，PD=x2+4x+5+x5=x2+5x，AC=4，S 四边形 APCD= ACPD=2（x 2+5x）=2x 2+10x，当 x= = 时，S 四边形 APCD 最大 = ，（3）如图，过 M 作 MH 垂直于对称轴，垂足为 H，MNAE，MN=AE ，HMNAOE，HM=OE=1，M 点的横坐标为 x=3 或 x=1，当 x=1 时，M 点纵坐标为 8，当 x=3 时，M 点纵坐标为 8，M 点的坐标为 M1（1，8）或 M2（3，8） ，A（ 0， 5） ，E（1，0） ，直线 AE 解析式为 y=5x+5，MNAE，MN 的解析式为 y=5x+b，点 N 在抛物线对称轴 x
37、=2 上，N（ 2， 10+b） ，AE2=OA2+0E2=26MN=AEMN2=AE2，MN2=（21） 2+8（10+b ） 2=1+（b+2） 2M 点的坐标为 M1（1，8）或 M2（3，8） ，点 M1，M 2 关于抛物线对称轴 x=2 对称，点 N 在抛物线对称轴上，M1N=M2N，1+（b+2） 2=26，b=3，或 b=7，10+b=13 或 10+b=3当 M 点的坐标为（ 1，8）时， N 点坐标为（2，13） ，当 M 点的坐标为（3，8）时，N 点坐标为（2，3） ，【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判
38、定，解本题的关键是建立函数关系式求极值29 （1）已知：ABC 是等腰三角形，其底边是 BC，点 D 在线段 AB 上，E 是直线 BC 上一点，且DEC=DCE，若 A=60（如图 ） 求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点 D 在线段 AB 上”改为“点 D 在线段 AB 的延长线上”，其它条件不变（如图） ，（1）的结论是否成立，并说明理由；（3）若将（1）中的“若A=60”改为“若A=90 ”，其它条件不变，则 的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）【分析】 （1）作 DFBC 交 AC 于 F，由平行线的性质得出 ADF=ABC，AFD= ACB，FDC=DCE，证明AB
39、C 是等边三角形，得出ABC=ACB=60，证出ADF 是等边三角形，DFC=120，得出AD=DF，由已知条件得出 FDC=DEC，ED=CD，由 AAS 证明 DBECFD，得出 EB=DF，即可得出结论；（2）作 DFBC 交 AC 的延长线于 F，同（ 1）证出DBE CFD，得出 EB=DF，即可得出结论；（3）作 DFBC 交 AC 于 F，同（1）得：DBECFD ，得出 EB=DF，证出ADF 是等腰直角三角形，得出 DF= AD，即可得出结果【解答】 （1）证明：作 DFBC 交 AC 于 F，如图 1 所示：则ADF= ABC，AFD= ACB， FDC=DCE，ABC 是
40、等腰三角形， A=60，ABC 是等边三角形，ABC=ACB=60，DBE=120， ADF=AFD=60=A，ADF 是等边三角形， DFC=120，AD=DF，DEC=DCE，FDC=DEC，ED=CD，在DBE 和CFD 中， ，DBECFD（AAS） ，EB=DF，EB=AD；（2）解：EB=AD 成立；理由如下：作 DFBC 交 AC 的延长 线于 F，如图 2 所示：同（1）得：AD=DF ， FDC=ECD，FDC= DEC，ED=CD ，又DBE=DFC=60，在 DBE 和 CFD 中， ，DBECFD（AAS） ，EB=DF，EB=AD；（3）解： = ；理由如下：作 DFBC 交 AC 于 F，如图 3 所示：同（1）得：DBECFD（AAS ） ，EB=DF，ABC 是等腰直角三角形，DFBC，ADF 是等腰直角三角形，DF= AD， = ， = 【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键
