1、2019 年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）（3+i） 2，则| z|（ ）A B C D82 （5 分）已知集合 ，则 AB（ ）A1，2 B0，2 C 1，4 D0 ，43 （5 分）如图所示茎叶图中数据的平均数为 89，则 x 的值为（ ）A6 B7 C8 D94 （5 分）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，M 为其终边上一点，则 cos2（ ）A B C D5
2、 （5 分）若 x，y 满足约束条件 则 z3xy 的最大值为（ ）A2 B1 C0 D16 （5 分）函数 的图象可由 y2cos2x 的图象如何变换得到（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位7 （5 分）若 P 为ABC 所在的平面内一点，且 ，则ABC的形状为（ ）A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形8 （5 分）已知函数 f（x ）lnx+ln （ax）的图象关于直线 x1 对称，则函数 f（x）的值域为（ ）第 2 页（共 23 页）A （0，2） B0，+） C （，2
3、D （，09 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A6 B8 C D10 （5 分）在ABC 中，AC3，向量 在向量 的投影的数量为2，S ABC 3，则BC（ ）A5 B C D11 （5 分）已知函数 f（x ）的定义域为 R， ，对任意的 xR 满足 f'（x）4x，当 0，2 时，不等式 f（sin ）+cos2 0 的解集为（ ）A B C D12 （5 分）设 F1，F 2 为双曲线 的左右焦点，点 P（x 0，2a）为双曲线上的一点，若PF 1F2 的重心和内心的连线与
4、x 轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）在 的展开式中，x 4 的系数是 14 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）上的一点 M 到 x 轴的距离为 4，到焦点的距离为5，则 p 15 （5 分）在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABC90 ，AA 12，设其外接球的球心为O，已知三棱锥 OABC 的体积为 1，则球 O 表面积的最小值为 16 （5 分） “克拉茨猜想”又称“3n+1 猜想” ，是德国数学
5、家洛萨克拉茨在 1950 年世界第 3 页（共 23 页）数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到 1已知正整数 m 经过 6 次运算后得到 1则 m 的值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知a n是递增的等比数列，a 548，4a 2， 3a3，2a 4 成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）设数列b n满足 b1a 2，b n+1b n+an，求数列b
6、 n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，ABC 为等边三角形，PA 2AB2，ACCD，PD 与平面 PAC 所成角的正切值为 （）证明：BC平面 PAD；（）若 M 是 BP 的中点，求二面角 PCDM 的余弦值19 （12 分）某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响） ，已知该蔬菜每售出 1 吨获利 500 元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损 100 元现统计甲、乙两市场以往 100 个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如表：甲市场需求量（吨） 8 9 10频数 30 40 30乙市场需求量（吨） 8
7、 9 10频数 20 50 30以市场需求量的频率代替需求量的概率设批发商在下个销售周期购进 n 吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以 X（单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润（）当 n19 时，求 T 与 X 的函数解析式，并估计销售利润不少于 8900 元的概率；第 4 页（共 23 页）（）以销售利润的期望为决策依据，判断 n17 与 n18 应选用哪一个20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，设椭圆 的左焦点为 F1，短轴的两个端点分别为 A，B，且AF 1B60，点 在 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l：y kx+
8、m（k0）与椭圆 C 和圆 O 分别相切于 P，Q 两点，当OPQ面积取得最大值时，求直线 l 的方程21 （12 分）已知函数 （）讨论函数 f（x ）的单调性；（）证明：当 m0，1）时，函数 有最大值设 g（x）的最大值为 h（m） ，求函数 h（m ）的值域请考生在第 2223 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为，且曲线 C1 与 C2 恰有一个公共点（）求曲线 C1 的极坐标方程；（）
9、已知曲 C1 上两点，A， B 满足 ，求AOB 面积的最大值23已知正实数 a，b 满足 a+b2（）求证： ；（）若对任意正实数 a，b，不等式|x +1|x3| ab 恒成立，求实数 x 的取值范围第 5 页（共 23 页）2019 年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）（3+i） 2，则| z|（ ）A B C D8【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解【解答】解：由 z（1+ i）（3+i
10、） 2，得 z ，|z| | | 故选：C【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题2 （5 分）已知集合 ，则 AB（ ）A1，2 B0，2 C 1，4 D0 ，4【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 ，Ay|1y 2，Bx|0x4，ABx|0 x20，2故选：B【点评】本题考查集合的运算及关系，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题3 （5 分）如图所示茎叶图中数据的平均数为 89，则 x 的值为（ ）A6 B7 C8 D9【分析】根据茎叶图中数据计算平均数即可【解答】解：根据茎叶图中数据，
11、计算平均数为第 6 页（共 23 页）（86+80+x+90+91+91）89，解得 x7故选：B【点评】本题考查了利用茎叶图中数据计算平均数的应用问题，是基础题4 （5 分）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，M 为其终边上一点，则 cos2（ ）A B C D【分析】易得 OM 的长度，利用二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义即可求解【解答】解：M ，OM sin cos212sin 212（ ） 2 故选：D【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题5 （5 分）若 x，y 满足约束条件 则 z3xy 的最
12、大值为（ ）A2 B1 C0 D1【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图：第 7 页（共 23 页）z3x y，得 y3xz，平移直线 y3x z，由图象可知当直线 y3xz 经过点 B（1，1）时，直线 y3xz 的截距最大，此时 z 最大，z max3112即 z 的最大值是 2故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键6 （5 分）函数 的图象可由 y2cos2x 的图象如何变换得到（ ）A向左平移 个单位
13、B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果【解答】解：函数 2 ，把函数的图象向左平移个单位，得到：y2sin（2x+ ）2cos2 x 的图象，故：要得到 y2sin（ ）的图象，只需将 y2cos2x 的图象向右平移 个单位即可故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型第 8 页（共 23 页）7 （5 分）若 P 为ABC 所在的平面内一点，且 ，则ABC的形状为（ ）A等边三角形 B等腰三角形C直
14、角三角形 D等腰直角三角形【分析】由已知可得| | |，根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，可判断【解答】 ，解： ，| | | |y 根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以 为邻边所作的平行四边形的对角线相等即 ABCD 为矩形，C则ABC 的形状为直角三角形故选：C【点评】本题主要考查了向量加法及减法的平行四边形法则的简单应用，属于基础试题8 （5 分）已知函数 f（x ）lnx+ln （ax）的图象关于直线 x1 对称，则函数 f（x）的值域为（ ）A （0，2） B0，+） C （，2 D （，0【分析】根据题意，分析可得 f（
15、ax ）f（x） ，即可得函数 f（x ）的图象关于直线x 对称，据此可得 a 的值，进而可得 f（x）lnx+ln （2x）ln（2xx 2） ，设t2xx 2，则 ylnt，由换元法分析可得答案【解答】解：根据题意，对于函数 f（x ）lnx+ln （ax） ，有 f（ax） ln（ax ）+ln a（ax ） lnx+ln（ax）f（x） ，则函数 f（x）的图象关于直线 x 对称，若函数 f（x） lnx+ln（ax）的图象关于直线 x1 对称，则有 1，则 a2，则 f（x）lnx+ ln（2x ） ln（2xx 2） ，其定义域为（0，2） ，设 t2xx 2，则 ylnt，又由
16、t（x 1） 2+1，0x2，则有 0t1，则 ylnt0，第 9 页（共 23 页）即函数 f（x）的值域为（ ，0 ；故选：D【点评】本题考查函数的对称性，涉及换元法求函数的值域，关键是求出 a 的值，属于基础题9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A6 B8 C D【分析】根据三视图知该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥 PABCD，且长方体的长、宽、高分别为 4、2、3，如图所示；结合图中数据，计算该四棱锥的体积为：V 四棱
17、锥 PABCD V 三棱锥 CBDP +V 三棱锥DABP 423+ 4328故选：B【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题10 （5 分）在ABC 中，AC3，向量 在向量 的投影的数量为2，S ABC 3，则BC（ ）第 10 页（共 23 页）A5 B C D【分析】由向量的投影和三角形的面积公式，可得 A，|AB| ，再由余弦定理可得所求值【解答】解：AC3，向量 在向量 的投影的数量为2，S ABC 3，可得|AB|cosA2， |AB|AC|sinA3，即|AB |sinA2，即 tanA 1，内角 A135，| AB| 2 ，|BC|2 |AB|
18、2+|AC|22|AB| AC|cosA8+922 3（ ）29，即|BC | ，故选：C【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查向量的投影的定义，以及化简运算能力，属于基础题11 （5 分）已知函数 f（x ）的定义域为 R， ，对任意的 xR 满足 f'（x）4x，当 0，2 时，不等式 f（sin ）+cos2 0 的解集为（ ）A B C D【分析】令 g（x）f（x）+12x 2，求导可得 g（x）单调递增，且 g（ ）0，故不等式 f（sin ） +cos20 的解集为 g（sin ）0 的解集【解答】解：令 g（x）f（x）+12x 2，则 g（
19、x）f（x）4x0，故 g（x）在 R 上单调递增，又 g（ ）f（ ）+12 +1 0，g（x）0 的解集为 x ，cos212sin 2，故不等式 f（sin ）+cos2 0 等价于 f（sin ）+12sin 20，即 g（sin ）0，sin ，又 0，2，第 11 页（共 23 页） 故选：A【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题12 （5 分）设 F1，F 2 为双曲线 的左右焦点，点 P（x 0，2a）为双曲线上的一点，若PF 1F2 的重心和内心的连线与 x 轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）A
20、B C D【分析】根据双曲线的定义和切线长定理可得内心的横坐标，从而可得重心的横坐标，再根据重心的坐标公式可得 x03a，再将 P 的坐标代入双曲线可得【解答】解：如图设 P 在第一象限，内切圆的圆心为 I，内切圆与 PF1，PF 2，F 1F2 分别切与点 E，F，G，根据圆的切线的性质得：PEPF，F 1EF 1G，F 2FF 2G，根据双曲线的定义知：PF 1PF 22a，即（PE +F1E）（PFF 2F）2a，F 1GF 2G2a，又 F1G+F2G2c ，联立解得 F1Ga+ c，F 2Gca，G（a，0） ，内心 I 的横坐标为 a，PF 1F2 的重心和内心的连线与 x 轴垂直
21、，PF 1F2 的重心的横坐标为 a，由三角形的重心坐标公式可得 a ，解得 x03a，P（3a.2a） ，将 P 的坐标代入双曲线可得： 1，即 9 1，化简得 3a22c 2，所以离心率 e 故选：A第 12 页（共 23 页）【点评】本题考查了双曲线的性质，属难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）在 的展开式中，x 4 的系数是 80 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 4，求出 r 的值，即可求得 x4的系数【解答】解：在 的展开式的通项公式为 Tr+1 25r ，令5 4，可得 r2，可得 x4 的系数是 2380，故答案
22、为：80【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）上的一点 M 到 x 轴的距离为 4，到焦点的距离为5，则 p 2 或 8 【分析】画出图形，利用抛物线的性质转化求解即可【解答】解：抛物线 y22px（p0）上的一点 M 到 x 轴的距离为 4，到焦点的距离为5，如图：可得|FQ|3，所以 p5|FQ|，所以 P2 或 8故答案为：2 或 8第 13 页（共 23 页）【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查15 （5 分）在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABC90 ，AA 12
23、，设其外接球的球心为O，已知三棱锥 OABC 的体积为 1，则球 O 表面积的最小值为 16 【分析】设 ABa，BCb，球的半径为 r连接 AC1A 1CO ，取 AC 的中点 D，连接 BD，则 O 到三棱柱六个顶点的距离相等，即 O 为三棱柱外接球的球心OD ，三棱锥 OABC 的体积为 1，即 ，即 ，表示出 r，根据基本不等式可得 r 的最小值，从而得到球的表面积的最小值【解答】解：如图，因为三棱柱 ABCA 1B1C1 是直三棱柱，且ABC 90，设 ABa，BC b，球的半径为 r连接 AC1A 1CO，取 AC 的中点 D，连接 BD，则 O 到三棱柱六个顶点的距离
24、相等，即 O 为三棱柱外接球的球心OD ，又因为三棱锥 OABC 的体积为 1，即 ，即 ，所以 r 2，当且仅当 ab 时等号成立，所以球 O 表面积的最小值为 S4r 216故填：16第 14 页（共 23 页）【点评】本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等属于中档题16 （5 分） “克拉茨猜想”又称“3n+1 猜想” ，是德国数学家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到 1已知正整数 m 经过 6 次运算后得到 1则
25、 m 的值为 64 、10 、1、8 【分析】根据题意，利用正整数 m 经过 6 次运算后得到 1，结合变化的规则，进行逐项逆推即可得答案【解答】解：根据题意，正整数 m 经过 6 次运算后得到 1，则正整数 m 经过 5 次运算后得到 2，经过 4 次运算后得到 4，经过 3 次运算后得到 8 或者 1，分 2 种情况讨论：，当经过 3 次运算后得到 8 时，经过 2 次运算后得到 16，则经过 1 次运算后得到 32或 5，则 m 的值为 64 或 10，当经过 3 次运算后得到 1 时，经过 2 次运算后得到 2，则经过 1 次运算后得到 4，则 m 的值为 1 或 8；综合可得：m 的
26、值可能为 64、10、1、8故答案为：64、10、1、8【点评】本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 15 页（共 23 页）17 （12 分）已知a n是递增的等比数列，a 548，4a 2， 3a3，2a 4 成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）设数列b n满足 b1a 2，b n+1b n+an，求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （）利用已知条件求出数列的通项公式（）利用叠加法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和【解答】解：（）设首项为 a
27、1，公比为 q 的递增的等比数列，a548，4a 2，3a 3，2a 4 成等差数列故： ，解得：q2 或 1（舍去） ，整理得：a 13，所以： ，（）数列b n满足 b1a 2，b n+1b n+an，所以：b 16则：b n（b nb n1 ）+（b n1 b n2 ）+ （b 2b 1）+ b1，a n1 +an2 +a2+a1+b1， ，32 n1 +3所以：S nb 1+b2+bn 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列通项公式的求法中的应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中
28、，已知 PA平面 ABCD，ABC 为等边三角形，PA 2AB2，ACCD，PD 与平面 PAC 所成角的正切值为 （）证明：BC平面 PAD；（）若 M 是 BP 的中点，求二面角 PCDM 的余弦值第 16 页（共 23 页）【分析】 （）推导出 PACD，CD平面 PAC，DPC 为 PD 与平面 PAC 所成角，由此能证明 BC平面 PAD（）设 BC 的中点为 N，连结 AN，则 ANBC ，分别以 AN，AD ，AP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向时法能求出二面角 PCDM 的余弦值【解答】证明：（）PA平面 ABCD，PACD，又 ACCD，CAPAA，CD平面
29、PAC，DPC 为 PD 与平面 PAC 所成角，在 Rt PAC 中，tanDPC ，在 Rt PAC 中，PC ，CD ，在 Rt ACD 中， AD2，CAD60，BCA60，在底面 ABCD 中，BC AD，AD 平面 PAD，BC平面 PAD，BC平面 PAD解：（）设 BC 的中点为 N，连结 AN，则 ANBC ，由（）知 BCAD，ANAD ，分别以 AN，AD，AP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 P（0，0，2） ，C（ ， ，0） ，D（0，2，0） ，M（ ， ，1） ，则 （ ， ，0） ， （0，2，2） ， （ ） ，设平面 PCD 的法向量为 （x，
30、y，z） ，则 ，令 y1， （ ） ，设平面 CDM 的法向量为 （ x，y，z） ，则 ，令 y1，得 （ ） ，第 17 页（共 23 页）设二面角 PCDM 的平面角为 ，则 cos 故二面角 PCDM 的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题19 （12 分）某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响） ，已知该蔬菜每售出 1 吨获利 500 元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损 100 元现统计甲、乙两市场以往 100 个销售周期该蔬菜
31、的市场需求量的频数分布，如表：甲市场需求量（吨） 8 9 10频数 30 40 30乙市场需求量（吨） 8 9 10频数 20 50 30以市场需求量的频率代替需求量的概率设批发商在下个销售周期购进 n 吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以 X（单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润（）当 n19 时，求 T 与 X 的函数解析式，并估计销售利润不少于 8900 元的概率；第 18 页（共 23 页）（）以销售利润的期望为决策依据，判断 n17 与 n18 应选用哪一个【分析】 （）先分 2 段求出 T 与 X 的函数关系式，再利用函数的解析
32、式求得概率；（）计算两个期望比较大小，作出决策【解答】解：（）由题意可知，当 X19，T500199500；当 X19，T500X（19X）100600X1900，所以 T 与 X 的函数解析式为 T ，由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为 8，9，10 的概率分别为 0.3，0.4，0.3；乙市场需求量为 8，9，10 的概率分别为 0.2，0.5，0.3，设销售的利润不少于 8900 元的事件记为 A，当 X19，T5001995008900，当 X19，600X19008900，解得 X18，由题意可知，P（X16）0.30.20.06；P（X17）0.30.5+0.40.20.23
33、；所以 P（A ）P （X18）10.060.230.71（）当 n17 时，E（T）（500161100）0.06+500170.948464；当 n18 时，E（T）（500162100）0.06+（500171100）0.23+185000.718790；因为 84648790，所以应选 n18【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，设椭圆 的左焦点为 F1，短轴的两个端点分别为 A，B，且AF 1B60，点 在 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l：y kx+m（k0）与椭圆 C 和圆 O 分别相切于 P，Q 两点，当O
34、PQ面积取得最大值时，求直线 l 的方程【分析】 （）由AF 1B60，可得 a2b，由点 在 C 上，可得 +1，解得 b21，a 24，即可求出椭圆方程，第 19 页（共 23 页）（）联立 ，根据判别式求出 4k2+1m 2，即可求出点 P 的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出【解答】解：（）由AF 1B60，可得 a2b，由点 在 C 上，可得 + 1，b 21，a 24，椭圆 C 的方程为 +y21 ，（）联立 ，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m240，直线 l 与椭圆相切，16（4k 2+1m 2 ）0 ，即 4k2+1m 2，
35、设 P（x 1，y 1） ，可得 x1 ，则 y1 ，|OP |2 + 4又直线 l 与圆 O 相切，可得|OQ| ，则|OQ |2 4|PQ | ，S OPQ |PQ|OP| ，当且仅当 k1 时取等号，此时 m21+4 5，则 m ，故直线 l 的方程为 yx+ 或 yx 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式与基第 20 页（共 23 页）本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 （）讨论函数 f（x ）的单调性；（）证明：当 m0，1）时，函数 有最大值设 g（x）的最大值为 h（m） ，求函数 h（m ）的值域【分析】
36、（）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调的关系即可求出，（）先求导，g（x） ，由（）可知当 a1 时，构造函数，再根据导数和函数最值的关系即可证明【解答】解：（）f（x ） e2x+2 e2x e2x，x1，令 h（x）2x 2+（2a2）x +a1，4（a 21） ，当1a1 时，0，则 h（x）0，即 f（x）0，f（x）在（ 1，+）上单调递递减，当 a1 或 a1 时，此时0，设 h（x）0 的两根为 x1，x 2，且 x1x 2，则 x1 ，x 2 ，若 a1，可知 x11x 2，则 x（x 2，+） ，f （x）0，x（1，x 2） ，f（x ）0，若 a1，可知1x 1x 2
37、，则 x（1，x 1） ， （x 2，+ ） ，f（x）0，x（x 1，x 2） ，f（x）0，综上所述，当 a1 时，f（ x）在（ ，+）上单调递减，在（1，）上单调递增，当 a1 时，f（x ）在（1， ） ， （ ，+）上单调递减，在第 21 页（共 23 页）（ ， ）上单调递增，证明：（） ，g（x） ，由（）可知当 a1 时，f（ x） e2x 在（0，+ ）单调递减，且 f（0）1，f（1）0，对任意 m0，1） ，存在唯一 xm（0，1 ，使 f（x m）m， （反之对任意 xm（0，1存在唯一 m0，1） ，f（x m）m ） ，当 x（0，x m）时，f（x）m ，此时
38、g（x）0，函数 g（x ）在（0，x m）上单调递增，当 x（x m，+ ）时，f（x）m ，此时 g（x）0，函数 g（x ）在（x m，+）上单调递减，当 xx m 时，g（x）取得最大值，即最大值 h（m）g（x m） 令 p（x） e2x，p（x） e2x0， （0x1） ，p（x）在（0，1 上单调递减，p（1）h（m）p（0） ，即 e 2h（m ）2，h（m）的值域为e 2， 2） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第 2223 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第
39、一题计分.作答时请写清题号.第 22 页（共 23 页）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为，且曲线 C1 与 C2 恰有一个公共点（）求曲线 C1 的极坐标方程；（）已知曲 C1 上两点，A， B 满足 ，求AOB 面积的最大值【分析】 （）消参可得 C1 的普通方程，再根据互化公式可得 C1 的极坐标方程（）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值【解答】解：（）曲线 C2 的极坐标方程为 sin（+ ）3，可得 C2 的直角
40、坐标方程为： x+ 60，即曲线 C2 为直线曲线 C1 是圆心为（2，0） ，半径为 |r|的圆因为圆 C1 与直线 C2 恰有一个公共点，可得|r| 2，圆 C1 的普通方程为 x2+y24x0，所以 C1 的极坐标方程为 4cos（）由题意可设 A（ 1，） ，B（ 2，+ ） ， （ 10， 20） ，SAOB |OA|OB|sin 124 coscos（+ ）4（cos 2sincos）4（ ）2+2 cos（2 + ） ，所以AOB 面积的最大值为 2+2 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23已知正实数 a，b 满足 a+b2（）求证： ；（）若对任意正实数 a，b
41、，不等式|x +1|x3| ab 恒成立，求实数 x 的取值范围【分析】 （）根据题意，利用完全平方公式和基本不等式，即可证明；（）利用基本不等式得出 ab1，把问题转化为|x +1|x3|1 恒成立，再利用分段讨论法求出不等式的解集【解答】 （）证明：正实数 a，b 满足 a+b2，第 23 页（共 23 页）则 2（a+b）+2+2 6+2（a+b）+212， ；（）解：对任意正实数 a，b，有 a+b2 ，所以 2 2，即 ab1，当且仅当ab 时取“” ；所以对任意 a、bR +，不等式|x+1| x3|ab 恒成立，即|x +1|x3|1 恒成立；若 x1，则不等式化为x1（3x ）1，即4 1，不等式无解；若1x3，则不等式化为 x+1（3x ）1，解得 x3；若 x3，则不等式化为 x+1（x 3）1，即 41，不等式恒成立；综上，实数 x 的取值范围是 ，+） 【点评】本题考查了基本不等式应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题
