1、2019 年山东省潍坊市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| 2x3，函数 f（x）ln（1x）的定义域为集合 B，则AB （ ）A2，1 B2，1） C1 ，3 D （1，32 （5 分）若复数 z1，z 2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 11+i，则 （ ）Ai Bi C1 D13 （5 分）已知等差数列a n的前 5 项和为 15，a 66，则 a2019（ ）A2017 B2018 C2019 D20204 （
2、5 分）已知命题 p：“x R，x 20” ，则p 是（ ）AxR，x 20 Bx R，x 20 C xR，x 20 DxR，x 205 （5 分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的，而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以淮冷庐杂识写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余在 18 世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部七巧新谱若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（ ）A B C D6 （5 分）已知某几何体的俯视
3、图是如图所示的边长为 1 的正方形，正视图与侧视图都是边长为 1 的正三角形，则此几何体的体积是（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D7 （5 分）如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）Ay2 xx 2 1 By2xsinxC D8 （5 分）函数 ysin（2x+ ）的图象可由函数 y sin2xcos2x 的图象（ ）A向右平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变得到B向右平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变得到C向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到
4、原来的 横坐标不变得到D向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 横坐标不变得到9 （5 分）在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，点 P 是边 AB 上一点，且BP2PA，则（ ）A B C D110 （5 分）一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为 2，则该四面体外接球的表面积为（ ）A6 B12 C32 D48第 3 页（共 25 页）11 （5 分）已知 P 为双曲线 C： （a0，b0）上一点，F 1，F 2 为双曲线 C的左、右焦点，若|PF 1| |F1F2|，且直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为（
5、 ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x ）2 x1 ，g（x ） （aR） ，若对任意x11，+ ） ，总存在 x2R，使 f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （， ） B （ ，+）C （， ）1，2 D （1， ，2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）焦点在 x 轴上，短轴长等于 16，离心率等于 的椭圆的标准方程为 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zx2y 的最大值为 15 （5 分）设数列a n满足 a12a23
6、a3nan2 n，则 an 16 （5 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD，其中边 DA 在 x 轴上，点 D 与坐标原点重合，若正方形沿 x 轴正向滚动，即先以 A 为中心顺时针旋转，当 B 落在 x 轴上时，再以 B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形 ABCD 的某个顶点落在 x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转，设顶点 C（x ，y）滚动时形成的曲线为 yf（x） ，则 f（2019） 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 颢为
7、诜老颢.老生根据善求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中， （1）求 cosBAC；第 4 页（共 25 页）（2）若D45 o，BAD90，求 CD18 （12 分）如图，四棱锥 MABCD 中，MB平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，AB MB，E、F 分别为 MA、MC 的中点（1）求证：平面 BEF平面 MAD；（2）若 BC2AB ，求三棱锥 EABF 的体积19 （12 分）某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检测分数不小于 70 时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各
8、 100 件进行检测，其结果如表：质量指标检测分数 50，60 ） 60，70 ） 70，80 ） 80，90 ） 90，IOO甲班组生产的产品件数 7 18 40 29 6乙班组生产的产品件数 8 12 40 32 8（1）根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；（2）根据以上数据，完成下面的 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关？甲班组 乙班组 合计合格品次品合计（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取 4 件产品，从乙班组生产第 5 页（共 25 页）的产品中抽取 5 件产品，记事件 A：从上面 4 件甲班组生产
9、的产品中随机抽取 2 件，且都是合格品；事件 B：从上面 5 件乙班组生产的产品中随机抽取 2 件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大附：P（K 2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82820 （12 分）已知抛物线 C： x24y 的焦点为 F，直线：ykx +b（k 0）交抛物线 C 于A、B 两点，| AF|+|BF|4，M（0，3） （1）若 AB 的中点为 T，直线 MT 的斜率为 k'，证明 kk'为定值；（2）求ABM 面积的最大值21 （12 分）已知函数 f（x ）xe xalnx （无理
10、数 e2.718） （1）若 f（x）在（ 0，1）单调递减，求实数 a 的取值范围：（2）当 a1 时，设 g（x）x（f （x）xe x）x 3+x2b，若函数 g（x）存在零点，求实数 b 的最大值（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 M 的极坐标为，直线 l 的极坐标方程为 （1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；（2）若 N 是曲线 C 上的动点，P 为线段
11、 MN 的中点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值第 6 页（共 25 页）选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|ax 2|，不等式 f（x）4 的解集为x |2x6 （1）求实数 a 的值；（2）设 g（x）f（x）+f（ x+3） ，若存在 xR，使 g（x）tx2 成立，求实数 t 的取值范围第 7 页（共 25 页）2019 年山东省潍坊市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| 2x3，函数 f（x）ln（1x）的定义域为集
12、合 B，则AB （ ）A2，1 B2，1） C1 ，3 D （1，3【分析】可求出集合 B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx| x1；AB2，1） 故选：B【点评】考查描述法、区间的定义，函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，交集的运算2 （5 分）若复数 z1，z 2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 11+i，则 （ ）Ai Bi C1 D1【分析】由已知求得 z2，把 z1，z 2 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z 1，z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且 z11+i，z 21+i， 故选：B【点评】本题考查复数代数形
13、式的乘除运算，是基础的计算题3 （5 分）已知等差数列a n的前 5 项和为 15，a 66，则 a2019（ ）A2017 B2018 C2019 D2020【分析】由前 5 项和为 15，可以得到 a33，又知道 a66，故可求 a1 和 d，进而得到a2019第 8 页（共 25 页）【解答】解：等差数列a n的前 5 项和为 15，即 15 5a 3，所以 a33，又因为 a66，所以 a6a 33d3，所以 d1，所以 a2019a 3+（20193）d3+20162019故选：C【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和公式，等差数列的通项公式，属于基础题4 （5 分）已
14、知命题 p：“x R，x 20” ，则p 是（ ）AxR，x 20 Bx R，x 20 C xR，x 20 DxR，x 20【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：“” ； ：“”即可，据此分析选项可得答案【解答】解：命题：x R，x 20 的否定是：xR， x20故选：D【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是” ，而不是“都不是” 特称命题的否定是全称命题， “存在”对应“任意” 5 （5 分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的，而这七块板可拼成许多图形，例如
15、：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以淮冷庐杂识写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余在 18 世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部七巧新谱若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（ ）A B C D【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可第 9 页（共 25 页）【解答】解：阴影部分对应的图形为 6 平行四边形，设正方形的边长为 4，则平行四边形的底面长为 2，平行四边形的高为 1，则阴影部分的面积 S212，则大正方形的面积 S4416，则
16、阴影部分的概率 P ，故选：C【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，设出对应边长求出对应面积是解决本题的关键6 （5 分）已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 1 的正方形，正视图与侧视图都是边长为 1 的正三角形，则此几何体的体积是（ ）A B C D【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的正四棱锥，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为 1 正方形，斜高为 1 四棱锥，且四棱锥的高为 的正四棱锥它的体积为 V 12 故选：D【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础
17、题目7 （5 分）如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）第 10 页（共 25 页）Ay2 xx 2 1 By2xsinxC D【分析】根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的变化趋势即可选择【解答】解：根据函数定义域为 R，可知 C 不符合，根据函数图象可知，该函数为非奇非偶函数，故 B 不符合，当 x时，函数值趋向于，故 A 不符合，对于 D：y（x 22x）e x，当 y0 时，解得 x0 或 x2，当 x+时，y+，当x时，y0，故 D 符合故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题8 （5 分）函数 ysin（2x+ ）的图象可由函数 y sin2xc
18、os2x 的图象（ ）A向右平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变得到B向右平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变得到C向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 横坐标不变得到D向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 横坐标不变得到【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把函数 y sin2xcos2 x2sin（2x ） 的图象向左平移 个单位，第 11 页（共 25 页）可得 y2sin （ 2x
19、+ ） 的图象；再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变得到函数ysin（ 2x+ ）的图象，故选：D【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题9 （5 分）在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，点 P 是边 AB 上一点，且BP2PA，则（ ）A B C D1【分析】利用向量关系，求出 ，然后求解向量的数量积即可【解答】解：在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，点 P 是边 AB 上一点，且 BP2PA，可得 ，所以 （ ） 11cos60 故选：C【点评】本题考查向量的数量积的应用，平面向量的基本定理以及平行四边
20、形法则的应用，是基本知识的考查10 （5 分）一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为 2，则该四面体外接球的表面积为（ ）A6 B12 C32 D48【分析】作出图形，易知最大斜边即为外接球直径，容易求解【解答】解：如图，四面体 ABCD 中，第 12 页（共 25 页）ABDABCBCDACD90，ABBCCD2，可得 BD2 ，AD2 ，AD 中点 O 即为外接球球心，故球 O 半径为 ，其表面积为 12，故选：B【点评】此题考查了四面体外接球，难度不大11 （5 分）已知 P 为双曲线 C： （a0，b0）上一点，F 1，F 2 为双曲线 C的左、右焦点，若|PF 1|
21、|F1F2|，且直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为（ ）A B C D【分析】设直线 PF2 与圆 x2+y2a 2 相切于点 M，取 PF2 的中点 N，连接 NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF 2|4b，再由双曲线的定义和 a，b，c 的关系，计算即可得到渐近线方程【解答】解：设直线 PF2 与圆 x2+y2a 2 相切于点 M，则|OM| a，OMPF 2，取 PF2 的中点 N，连接 NF2，由于|PF 1| F1F2|2c，则 NF1PF 2，|NP| |NF 2|，由|NF 1|2|OM|2
22、a，则|NP | 2b，即有|PF 2|4b，由双曲线的定义可得|PF 2|PF 1|2a，即 4b2c2a，即 2bc +a，4b24ab+a 2b 2+a2，4（ca）c+a，即 3b4a，则 第 13 页（共 25 页）则 C 的渐近线方程为： 故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法中位线定理和双曲线的定义是解题的关键12 （5 分）已知函数 f（x ）2 x1 ，g（x ） （aR） ，若对任意x11，+ ） ，总存在 x2R，使 f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （， ） B （ ，+）C （， ）1，2 D （1，
23、，2【分析】求出两个函数的值域，结合对任意 x11，+） ，总存在 x2R，使 f（x 1）g（x 2） ，等价为 f（x）的值域是 g（x）值域的子集，利用数形结合进行转化求解即可【解答】解：对任意 x1，+） ，则 f（x）2 x1 2 01，即函数 f（x 1）的值域为1，+ ） ，若对任意 x11，+ ） ，总存在 x2R，使 f（x 1）g（x 2） ，设函数 g（x）的值域为 A，则满足1，+ ）A，即可，当 x0 时，函数 g（x ）x 2+2a 为减函数，则此时 g（x ）2a，当 x0 时，g（x ）acosx +22| a|，2+|a|，第 14 页（共 25 页）当 2a
24、1 时， （红色曲线） ，即 a 时，满足条件1 ，+）A，当 a 时，此时 2a1，要使1 ，+）A 成立，则此时当 x0 时，g（x ）acosx+2 2a，2+a，此时满足（蓝色曲线） ，即 ，得 1a2，综上 a 或 1a2，故选：C【点评】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的 值域，转化为 f（x）的值域是g（x）值域的子集，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）焦点在 x 轴上，短轴长等于 16，离心率等于 的椭圆的标准方程为 【分析】利用已知条件求出 a，b，然后求解椭圆方程【解答】解：焦点在 x 轴上，短轴
25、长等于 16，离心率等于 ，可得：b8， ，即 1 解得 a10，所求的椭圆方程为： 第 15 页（共 25 页）故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，是基本知识的考查14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zx2y 的最大值为 10 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由 x，y 满足约束条件 ，作出可行域如图：由 可得 A（2，4） 化目标函数 zx2y 为直线方程的斜截式 y x 由图可知，当直线 y x 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 最大，为z2
26、2（4）10故答案为：10【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15 （5 分）设数列a n满足 a12a23a3nan2 n，则 an 【分析】根据题意，可得 a12a23a3（n1）a n1 2 n1 ，两者相除，可得数列an的通项公式【解答】解：a 12a23a3nan2 n，n2 时，a 12a23a3（n1）a n1 2 n1 第 16 页（共 25 页） 可得 nan2，a n （n2）又 a11 也满足上式，数列a n的通项为 an ；故答案为： 【点评】本题考查数列递推式，求解数列的通项公式，是基本知识的考查16 （5
27、 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD，其中边 DA 在 x 轴上，点 D 与坐标原点重合，若正方形沿 x 轴正向滚动，即先以 A 为中心顺时针旋转，当 B 落在 x 轴上时，再以 B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形 ABCD 的某个顶点落在 x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转，设顶点 C（x ，y）滚动时形成的曲线为 yf（x） ，则 f（2019） 0 【分析】根据正方形的运动关系，分布求出当 x0，1，2，3，4 时对应的函数值 f（x） ，得到 f（x）具备周期性，周期为 4，利用周期性进行求解即可【解答】解：正方形的边长为 1，正方形的对角线 AC ，则由正方形的滚动轨
28、迹得到 x0 时，C 位于（0，1）点，即 f（0）1，当 x1 时，C 位于（1， ）点，即 f（1） ，当 x2 时，C 位于（2，1）点，即 f（2）1，当 x3 时，C 位于（3，0）点，即 f（3）0，当 x4 时，C 位于（4，1）点，即 f（4）1，则 f（x+4）f（x ） ，即 f（x）具备周期性，周期为 4，则 f（2019）f（5044+3）f（3）0，故答案为：0【点评】本题主要考查函数值的计算，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键第 17 页（共 25 页）三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题
29、为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 颢为诜老颢.老生根据善求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中， （1）求 cosBAC；（2）若D45 o，BAD90，求 CD【分析】 （1）在ABC 中，由余弦定理即可计算得解 cosBAC 的值（2）由已知可求 sinDAC cosBAC ，在ACD 中，由正弦定理即可解得CD 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）在ABC 中，由余弦定理可得：cosBAC 5 分（2）因为DAC90BAC，所以 sinDACcosBAC ，7 分所以在ACD 中，由正弦定理可得： ，9 分可得：
30、，解得：CD512 分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）如图，四棱锥 MABCD 中，MB平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，AB MB，E、F 分别为 MA、MC 的中点（1）求证：平面 BEF平面 MAD；（2）若 BC2AB ，求三棱锥 EABF 的体积第 18 页（共 25 页）【分析】 （1）证明 AD平面 MAB 得出 ADBE，由 ABBM 得出 BEMA，故 BE平面 MAD，于是平面 BEF 平面 MAD；（2）根据 VE ABFV FABE 计算棱锥的体积【解答】 （1）证明：MB平面 A
31、BCD，AD平面 ABCD，MBAD ，四边形 ABCD 是矩形，ADAB，又 AB平面 MAB，MB 平面 MAB，AB MBB，AD平面 MAB，又 BE平面 MAB，ADBEABMB，E 是 MA 的中点，BEMA，又 AD平面 MAD，MA 平面 MAD，AD MAA ，BE平面 MAD，又 BE平面 BEF，平面 BEF平面 MAD（2）由（1）知 AD平面 MAB，又 ADBC ，BC平面 MAB，F 是 MC 的中点，F 到平面 MAB 的距离 d BC ，E 是 MA 的中点， S ABE ，V EABF V FABE 【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档
32、题19 （12 分）某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检测分数不小于 70 时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各 100 件进行检测，其结果如表：第 19 页（共 25 页）质量指标检测分数 50，60 ） 60，70 ） 70，80 ） 80，90 ） 90，IOO甲班组生产的产品件数 7 18 40 29 6乙班组生产的产品件数 8 12 40 32 8（1）根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；（2）根据以上数据，完成下面的 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有
33、关？甲班组 乙班组 合计合格品次品合计（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取 4 件产品，从乙班组生产的产品中抽取 5 件产品，记事件 A：从上面 4 件甲班组生产的产品中随机抽取 2 件，且都是合格品；事件 B：从上面 5 件乙班组生产的产品中随机抽取 2 件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大附：P（K 2k） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【分析】 （1）根据表中数据，分别计算甲、乙班组生产该种产品的不合格率；（2）根据题意填写 22 列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）根据分层抽样原理
34、，利用列举法分别求出事件 A、事件 B 的概率，比较即可【解答】解：（1）根据表中数据，计算甲班组生产该产品的不合格率为 25%，乙班组生产该种产品的不合格率为 20%；（2）根据题意填写 22 列联表如下，甲班组 乙班组 合计合格品 75 80 155次品 25 20 45合计 100 100 200第 20 页（共 25 页）计算 K2 0.7173.841，所以没有 95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关；（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取 4 件产品，从乙班组生产的产品中抽取 5 件产品，其中甲、乙班组抽取的产品中均含有 1 件次品，设甲的这 4 件产品
35、分别为a、b、c、D，其中 a、b、c 为合格品，D 为次品，从中任取 2 件，则所有可能的情况为ab、ac、aD、bc、bD、cd 共 6 种，事件 A 包含 3 种，所以 P（A） ；设 5 件乙班组产品分别为 e、f 、g、h、M ，其中 e、f、g、h 为合格品，M 为次品，从中随机抽取 2 件，基本事件为 ef、eg、eh 、eM、fg 、fh、fM、gh、gM 、hM 共 10 种不同取法，事件 B 包含 4 种，所以 P（B） 由 P（A）P（ B）知，事件 A 发生的可能性大些【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率应用问题，是中档题2
36、0 （12 分）已知抛物线 C： x24y 的焦点为 F，直线：ykx +b（k 0）交抛物线 C 于A、B 两点，| AF|+|BF|4，M（0，3） （1）若 AB 的中点为 T，直线 MT 的斜率为 k'，证明 kk'为定值；（2）求ABM 面积的最大值【分析】 （1）由抛物线与直线方程组成方程组，消去 y 得关于 x 的方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义，第 21 页（共 25 页）求出 AB 的中点坐标 T 以及直线 MT 的斜率，计算 kk'的值；（2）利用弦长公式计算|AB|的值，求出点 M 到直线 l 的距离 d，计算ABM 的面积，求出最大值即可【
37、解答】 （1）证明：由抛物线 C：x 24y 与直线：ykx+b 的方程组成方程组 ，消去 y 得，x 24kx4b0，则16k 2+16b0，即 k2+b0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由根与系数的关系知，x 1+x24k ，x 1x24b，由|AF|+|BF|4，根据抛物线的定义知， （y 1+1）+ （y 2+1） 4，即 y1+y22，所以 AB 的中点坐标为 T（2k，1） ，又 M（0，3） ，所以直线 MT 的斜率为 k' ，所以 kk'1 为定值；（2）解：由（1）知 4x 1x216（k 2+b） ，|AB| |x1x 2|4 ，设点
38、M 到直线 l 的距离为 d，则 d，由（1）知 y1+y2kx 1+b+kx2+bk（x 1+x2）+2b4k 2+2b2，即 2k2+b1，即 b12k 2，由16k 2+16b0，得 0k 21；所以 SABM |AB|d 4 4 ，令 tk 2，0t1，f（t）（1+t） 2（1t）1+tt 2t 3，0t 1，f（t）12t3t 2（t+1） （3t +1） ，第 22 页（共 25 页）0t 时，f（t）0，f（t）为增函数；t1 时，f（t）0，f（t）为减函数；所以当 t 时，f（t）取得最大值为 f（x） maxf （ ） ，所以ABM 面积的最大值为 4 【点评】本题考查了
39、直线与抛物线方程的综合应用问题，也考查了弦长公式与三角形面积的计算问题，是难题21 （12 分）已知函数 f（x ）xe xalnx （无理数 e2.718） （1）若 f（x）在（ 0，1）单调递减，求实数 a 的取值范围：（2）当 a1 时，设 g（x）x（f （x）xe x）x 3+x2b，若函数 g（x）存在零点，求实数 b 的最大值【分析】 （1）f（x ） 由题意可得：f（x）0，x（0，1）恒成立即（x 2+x） exa0，也就是 a（x 2+x）e x 在 x（0，1）恒成立设 h（x）（x 2+x）e x，利用倒导数研究其单调性即可得出（2）当 a1 时，f（x ）xe x+
40、lnxg（x ）xlnxx 3+x2b，由题意：问题等价于方程 bxlnxx 3+x2，在（0，+ ）上有解先证明：lnx x1，设 u（x ）lnxx+1，x（0，+） 利用研究其单调性即可证明结论可得bxlnxx 3+x2x（x1）x 3+x2x （x 22x+1）0【解答】解：（1）f（x ）（x+1）e x 由题意可得：f（x）0，x（0，1 ）恒成立即（x 2+x）e xa0，也就是 a（x 2+x）e x 在 x（0，1）恒成立设 h（x）（x 2+x）e x，则 h（x ）（x 2+3x+1）e x当 x（0，1）时， x2+3x+10h（x）0 在 x（0，1）单调递增h（x）
41、h（1）2e 故 a2e （2）当 a1 时，f（x ）xe x+lnxg（x ）xlnxx 3+x2b，由题意：问题等价于方程 bxlnxx 3+x2，在（0，+ ）上有解先证明：lnxx 1，设 u（x）lnxx+1，x （0，+ ） u（x） 1 第 23 页（共 25 页）可得 x1 时，函数 u（x ）取得极大值，u（x ）u（1 ）0因此 lnxx1，bxlnxx 3+x2x（x1）x 3+x2x （x 22x+1）0当 x1 时取等号实数 b 的最大值为 0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属
42、于难题（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 M 的极坐标为，直线 l 的极坐标方程为 （1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；（2）若 N 是曲线 C 上的动点，P 为线段 MN 的中点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值【分析】 （1）由直线 l 的极坐标方程为 ，得sincos+40，把 xcos，ysin 代入可得直线 l 的直角坐标方程直接将曲线 C 的参数
43、方程消去参数 ，可得曲线 C 的普通方程；（2）设 N（ ，sin） ，0，2） ，化点 M 的极坐标（ ， ）化为直角坐标（2，2） ，利用中点坐标公式求得 P（ ， ） ，再由点到直线的距离公式求解【解答】解：（1）直线 l 的极坐标方程为 ，即sincos+40，由 xcos ，ysin ，可得直线 l 的直角坐标方程为 xy40将曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）消去参数 ，得曲线 C 的普通方程为 ；（2）设 N（ ，sin） ，0，2） ，第 24 页（共 25 页）点 M 的极坐标（ ， ）化为直角坐标（2，2） ，则 P（ ， ） ，点 P 到直线 l 的距离 d 当 时，点
44、 M 到直线 l 的距离的最大值为 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|ax 2|，不等式 f（x）4 的解集为x |2x6 （1）求实数 a 的值；（2）设 g（x）f（x）+f（ x+3） ，若存在 xR，使 g（x）tx2 成立，求实数 t 的取值范围【分析】 （1）解 f（x ）4 得解集与已知解集相等可列方程解得；（2）问题转化为 yg（x ）的图象有一部分在直线 ytx +2 的下方，作出图象，根据斜率可得【解答】解：（1）由|ax 2|4 得4ax24，即2ax6，当 a0 时， x ，所以 ，解得 a1；当 a0 时， x ，所以 ，无解，所以实数 a 的值为 1（2）由已知 g（x）f（x）+f（x +3）| x+1|+|x2| ，不等式 g（x）tx 2，即 g（x ）tx+2，由题意知 yg（x ）的图象有一部分在直线 ytx+2 的下方，作出对应图象：第 25 页（共 25 页）由图可知，当 t0 时，tk EM；当 t0 时，t k FM，又因为 kEM1，k FM ，所以 t1，或 t ，即 t（，1 ，+） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
