1、2019 年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| 2x1，Bx|x 2x 20，则 AB（ ）A （1，1） B （2，2） C （1，2） D （1，2）2 （5 分） “a2”是“复数 z （a R）为纯虚数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）已知平面向量 ， 满足 ，且（ ） （ ）4，则向量 ，的夹角为（ ）A B C D4 （5 分）函数 f（x ）xsinx +l
2、n|x|在区间 2 ，0）（0，2上的大致图象为（ ）ABC第 2 页（共 29 页）D5 （5 分） （x1） 7（x +1） 3 的展开式中 x 的系数是（ ）A10 B4 C10 D46 （5 分）已知数列a n满足 a11， ，若，则数列a n的通项 an（ ）A B C D7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为（ ）A1 B C D8 （5 分）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷（gu）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的
3、晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的如表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中 115.1 寸表示 115 寸 1 分（1 寸10 分） 节气 冬至 小寒（大雪） 大寒（小雪） 立春（立冬） 雨水（霜降）晷影长（寸） 135 125 115.1 105.2 95.3节气 惊蛰（寒露） 春分（秋分） 清明（白露） 谷雨（处暑） 立夏（立秋）第 3 页（共 29 页）晷影长（寸） 85.4 75.5 66.5 55.6 45.7节气 小满（大暑） 芒种（小暑） 夏至晷影长（寸） 35.8 25.9 16.0已知易经中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，春分晷影长为 72.4 寸，那么易经中所记
4、录的夏至的晷影长应为（ ）A14.8 寸 B15.8 寸 C16.0 寸 D18.4 寸9 （5 分）已知抛物线 C：y 28x 与直线 yk（x +2） （k 0）相交于 A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若| FA|2|FB |，则 AB 的中点的横坐标为（ ）A B3 C5 D610 （5 分）已知函数 ，若 f（2）4，且函数 f（x ）存在最小值，则实数 a 的取值范围为（ ）A B （1，2 C D11 （5 分）已知三棱锥 O ABC 的底面ABC 的顶点都在球 O 的表面上，且 AB6， ，且三棱锥 OABC 的体积为 ，则球 O 的体
5、积为（ ）A B C D12 （5 分）已知数列 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为a1，b 1，且 a1+b15， ，设 ，则数列c n的前 100 项和等于（ ）A4950 B5250 C5350 D10300二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分13 （5 分）电视台组织中学生知识竞赛，共设有 5 个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观” “依法治国理念” “中国戏剧” “创新能力” 某参赛队从中任选2 个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是 14 （5 分）已知实数 x，y 满足条件 ，则
6、x+y 的最大值为 第 4 页（共 29 页）15 （5 分）直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 B，C两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若 OC 平分 AOB，则该双曲线的离心率为 16 （5 分）函数 f（x ） ax2（4a+1 ）x +4a+3ex 在 x 2 处取得极大值，则实数 a 的取值范围为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求解答 （一）必考题：共 60 分17 （
7、12 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，（1）求A 的大小；（2）若 ，求ABC 的面积 S18 （12 分）如图，在圆柱 W 中，点 O1、O 2 分别为上、下底面的圆心，平面 MNFE 是轴截面，点 H 在上底面圆周上（异于 N、F） ，点 G 为下底面圆弧 ME 的中点，点 H 与点G 在平面 MNFE 的同侧，圆柱 W 的底面半径为 1，高为 2（1）若平面 FNH平面 NHG，证明：NGFH；（2）若直线 NH 与平面 NFG 所成线面角 的正弦值等于 ，证明：平面 NHG 与平面 MNFE 所成锐二面角的平面角大于 19 （12 分）已知 O 为坐标原
8、点，点 ，动点N 满足 ，点 P 为线段 NF1 的中点抛物线 C：x 22my （m0）上第 5 页（共 29 页）点 A 的纵坐标为 ， （1）求动点 P 的轨迹曲线 W 的标准方程及抛物线 C 的标准方程；（2）若抛物线 C 的准线上一点 Q 满足 OPOQ，试判断 是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由20 （12 分） “爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本 ”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入 x（亿元）与科技改造直接收益 y
9、（亿元）的数据统计如下：x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66当 0x17 时，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型： ；模型：14.4；当 x17 时，确定 y 与 x 满足的线性回归方程为： （1）根据下列表格中的数据，比较当 0x17 时模型、的相关指数 R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为 17亿元时的直接收益回归模型 模型 模型回归方程 14.4182.4 79.2（附：刻画回归效果的相关指数 R21 ， 4.1 ）（2）为鼓
10、励科技创新，当科技改造的投入不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴收益 10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的大小；第 6 页（共 29 页）（附：用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式 ；a ）（3）科技改造后， “东方红”款汽车发动机的热效率 X 大幅提高，X 服从正态分布N（0.52，0.01 2） ，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过 50%但不超过 53%，不予奖励；若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%，每台发动机奖励 2 万元；若发动机的热效率超过 53%，每台发动机奖励 5 万元求每台发动机获得奖励
11、的数学期望（附：随机变量 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（ +）0.6826，P（2+2）0.9544 ）21 （12 分）已知函数 f（x ）（x 2+a）e kx，e 2.718为自然对数的底数（1）若 k1，aR，判断函数 f（x）在（0，+）上的单调性；（2）令 a0，k1，若 0m 2e，求证：方程 f（x ） m（x+1）lnx0 无实根（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）已知平面直角坐标系 xOy，直线 l 过点 ，且倾斜角为 ，以 O 为极点，x 轴的
12、非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为（1）求直线 l 的参数方程和圆 C 的标准方程；（2）设直线 l 与圆 C 交于 M、N 两点，若 ，求直线 l 的倾斜角的 值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 a0，b0，c0，函数 f（x）|ax |+|x+b|+c（1）当 abc2 时，求不等式 f（x）8 的解集；（2）若函数 f（x ）的最小值为 1，证明： 第 7 页（共 29 页）第 8 页（共 29 页）2019 年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
13、要求的1 （5 分）已知集合 Ax| 2x1，Bx|x 2x 20，则 AB（ ）A （1，1） B （2，2） C （1，2） D （1，2）【分析】利用不等式的解法化简 B，再利用交集的运算性质即可得出【解答】解：Bx| x2x 2 0 x|1x 2 ，则 ABx |1x1（1，1） ，故选：A【点评】本题考查了不等式的解法、交集的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2 （5 分） “a2”是“复数 z （a R）为纯虚数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解
14、：复数 z a2+（a+2）i（a R）为纯虚数，则 a20，a+20“a2”是“复数 z （a R）为纯虚数”的充要条件故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）已知平面向量 ， 满足 ，且（ ） （ ）4，则向量 ，的夹角为（ ）A B C D【分析】根据向量数量积和夹角公式可得第 9 页（共 29 页）【解答】解：（ + ）（ 2 ）4， 2 2 24， 92443，cos ， ，又 ， 0， ， 故选：D【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题4 （5 分）函数 f（x ）xsinx +ln|x
15、|在区间 2 ，0）（0，2上的大致图象为（ ）ABCD【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数 f（x ）为偶函数，据此可以排除第 10 页（共 29 页）A、D；又由 x0 时，xsinx +lnx0，分析可得答案【解答】解：根据题意，f（ x）xsinx +ln|x|，其定义域为x|x0，有 f（x）（ x）sin（ x）+ ln|（x）| xsinx +ln|x|f（x） ，即函数 f（x）为偶函数，在区间2，0）（0，2上关于 y 轴对称，排除 A、D；又由 x0 时，x sinx+lnx0，排除 C；故选：B【点评】本题考查函数图象的判断，此类题目一般用排除法分析5
16、（5 分） （x1） 7（x +1） 3 的展开式中 x 的系数是（ ）A10 B4 C10 D4【分析】利用二项式定理、排列组合知识直接求解【解答】解：（x1） 7（x +1） 3 的展开式含 x 的项是：+ 4x（x1） 7（x +1） 3 的展开式中 x 的系数是 4故选：B【点评】本题考查殿开式中 x 的系数的求法，考查二项式定理、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6 （5 分）已知数列a n满足 a11， ，若，则数列a n的通项 an（ ）A B C D【分析】由 ，可得： 2 ，利用等差数列的通项公式可得 2 n再利用累加求和与等比数列的求和
17、公式即可得出【解答】解：由 ，可得： 2 ，312，第 11 页（共 29 页）数列 是等比数列，首项为 2，公比为 2 2 n + + + 2 n1 +2n2 +2+12 n1a n 故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式、累加求和与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为（ ）A1 B C D【分析】直接利用几何体的三视图转换为四棱锥，进一步利用线面的夹角求出结果【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：根据三视图中的线段的长度，整理得：AB2 ，BE AEDE
18、 2，第 12 页（共 29 页）利用勾股定理，解得：CE ，进一步求出 AC ，所以：直线 AC 和下底面的夹角最小，故选：C【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，线面的夹角的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型8 （5 分）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷（gu）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的如表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中 115.1 寸表示 115 寸 1 分（1 寸10 分） 节气 冬至 小寒（大雪） 大寒（小雪） 立春（立冬） 雨水
19、（霜降）晷影长（寸） 135 125 115.1 105.2 95.3节气 惊蛰（寒露） 春分（秋分） 清明（白露） 谷雨（处暑） 立夏（立秋）晷影长（寸） 85.4 75.5 66.5 55.6 45.7节气 小满（大暑） 芒种（小暑） 夏至晷影长（寸） 35.8 25.9 16.0已知易经中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，春分晷影长为 72.4 寸，那么易经中所记录的夏至的晷影长应为（ ）A14.8 寸 B15.8 寸 C16.0 寸 D18.4 寸【分析】设晷影长为等差数列a n，公差为 d，a 1130.0 ，a 772.4，利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设
20、晷影长为等差数列a n，公差为 d，a 1 130.0，a 772.4，则 130.0+6d72.4，解得 d9.6a 13130.09.61214.8易经中所记录的惊蛰的晷影长是 14.8 寸第 13 页（共 29 页）故选：A【点评】本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （5 分）已知抛物线 C：y 28x 与直线 yk（x +2） （k 0）相交于 A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若| FA|2|FB |，则 AB 的中点的横坐标为（ ）A B3 C5 D6【分析】据题意，设 AB 的中点为 G，根据直线方程可知直线
21、恒过定点，据此过 A、B分别作 AMl 于 M，BNl 于 N，根据|FA| 2|FB|，推断出|AM|2| BN|，点 B 为 AP 的中点、连接 OB，进而分析可得 |OB|BF| ，进而求得点 B 的横坐标，则点 B 的坐标可得，又由 B 为 P、A 的中点，可得 A 的横坐标，进而由中点坐标公式分析可得答案【解答】解：根据题意，设 AB 的中点为 G，抛物线 C：y 2 8x 的准线为 l：x 2，焦点为（2，0） ，直线 yk（x+2）恒过定点 P（2，0）如图过 A、B 分别作 AMl 于 M，BNl 于 N，由|FA| 2|FB|，则 |AM|2|BN |，点 B 为 AP 的中
22、点、连接 OB，则|OB| |AF|，又由|FA|2| FB|，则|OB|BF |，点 B 的横坐标为 1，B 为 P、A 的中点，则 A 的横坐标为 4，故 AB 的中点 G 的横坐标为 ；故选：A【点评】本题考查抛物线的标准方程及其性质，注意抛物线的几何性质、定义的应用，属于基础题第 14 页（共 29 页）10 （5 分）已知函数 ，若 f（2）4，且函数 f（x ）存在最小值，则实数 a 的取值范围为（ ）A B （1，2 C D【分析】先得 m2，然后根据题意得 x3 时，f（x）必为增函数且 f（3）2解不等式可得【解答】解：f（2）2m+84，解得 m2，f （x）
23、，当 x3 时，f（ x）2x+8 是递减函数，f （x）f（3）2，此段无最小值，所以当 x3 时，f（x）必存在最小值，所以 f（x ）log a x 必为3，+）上的递增函数，所以 a1，且 f（3）2，log a 32，解得 a 综上得 a 故选：D【点评】本题考查了函数的最值及其几何意义，属中档题11 （5 分）已知三棱锥 O ABC 的底面ABC 的顶点都在球 O 的表面上，且 AB6， ，且三棱锥 OABC 的体积为 ，则球 O 的体积为（ ）A B C D【分析】由 OAOBOCR，且ABC 为 AC 斜边的直角三角形，O 在底面 ABC 的射影为斜边 AC 的中点
24、 M，有棱锥的体积公式，可得 OM，由勾股定理可得球的半径，运用球的体积公式计算可得【解答】解：由 O 为球心， OAOBOCR，可得 O 在底面 ABC 的射影为ABC 的外心，AB6， ， ，可得ABC 为 AC 斜边的直角三角形，O 在底面 ABC 的射影为斜边 AC 的中点 M，可得 OM ABBC OM12 4 ，解得 OM2，R2OM 2+AM24+12 16，即 R4，第 15 页（共 29 页）球 O 的体积为 R3 64 故选：D【点评】本题考查球的截面性质和体积的计算，考查点在平面上的射影，考查化简计算能力，属于基础题12 （5 分）已知数列 都是公差为 1 的等差数列，其
25、首项分别为a1，b 1，且 a1+b15， ，设 ，则数列c n的前 100 项和等于（ ）A4950 B5250 C5350 D10300【分析】根据 a1+b15，a 1，b 1N*，故可知 a1，b 1 有 3 和 2，4 和 1 两种可能，又知数列a n， bn都是公差为 1 的等差数列，即可求出 ，再根据等差数列的求和公式即可求出数列a bn的前 100 项和【解答】解：a 1+b15，a 1，b 1N*，a 1b 1，a 1，b 1N*（nN *） ，a 1，b 1 有 3 和 2，4 和 1 两种可能，当 a1，b 1 为 4 和 1 的时， 4，前 100 和为 4
26、+5+102+1035350；当 a1，b 1 为 3 和 2 的时， 4，前 100 项和为 4+5+102+1035350；故数列a 的前 100 项和等于 5350，故选：C【点评】本题主要考查数列求和和等差数列的性质的知识点，解答本题的关键是对a1+b15 进行两种可能分类，是中档题二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分13 （5 分）电视台组织中学生知识竞赛，共设有 5 个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观” “依法治国理念” “中国戏剧” “创新能力” 某参赛队从中任选第 16 页（共 29 页）2 个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是 &
27、nbsp; 【分析】直接利用古典概型问题解决实际问题，利用组合数求出结果【解答】解：由于知识竞赛有五个板块，所以共有 5 种结果，某参赛队从中任选 2 个主题作答，选中的结果为 2 种，则“中华诗词”主题被选中的概率为 P（A） 故答案为：【点评】本题考查的知识要点：古典概型问题的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型14 （5 分）已知实数 x，y 满足条件 ，则 x+y 的最大值为 3 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 zx +y 得 yx +z，平移直线
28、 yx +z，由图象可知当直线 yx +z 经过点 A 时，直线 yx+z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 A（1，2） ，代入目标函数 zx+y 得 z1+23即目标函数 zx+y 的最大值为 3故答案为：3第 17 页（共 29 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键15 （5 分）直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 B，C两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若 OC 平分 AOB，则该双曲线的离心率为 【分析】根据对称性和角平分线性质可得AOC60，进而
29、可求出 C 点坐标，代入双曲线方程得出 a，b 的关系，从而可计算双曲线的离心率【解答】解：OC 平分AOB，AOCCOB，由双曲线的对称性可知BOyCOy ，AOC2COy，AOC60，故直线 OC 的方程为 y x，令 x b 可得 xb，即 C（b， b） ，代入双曲线方程可得 31，即 2，b2a，c a，e 故答案为： 第 18 页（共 29 页）【点评】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题16 （5 分）函数 f（x ） ax2（4a+1 ）x +4a+3ex 在 x 2 处取得极大值，则实数 a 的取值范围为 （， ） 【分析】求得 f（x ）的导数，注意
30、分解因式，讨论a0，a ，a ，0a ，a0，由极小值的定义，即可得到所求 a 的范围【解答】解：f（x ）的导数为 f（x）ax 2（2a+1）x+2e x（x2） （ax1）e x，若 a0 则 x2 时，f（x）0，f（x ）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x2 处 f（x）取得极大值，满足题意；若 a ，则 f（x ） （x2） 2ex0，f（x ）递增，无极值；若 a ，则 2，f（x ）在（ ，2）递减；在（2，+） ， （， ）递增，可得 f（x）在 x2 处取得极小值；不满足题意当 0a ，则 2，f（x）在（2， ）递减；在（ ，+） ， （，2）递增，可得 f（x）在
31、x2 处取得极大值，满足题意；若 a0，则 2，f（x ）在（ ，2）递增；在（2，+） ， （， ）递减，可得 f（x）在 x2 处取得极大值，满足题意综上可得，a 的范围是：（， ） 故答案为：（， ） 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求解答 （一）必考题：共 60 分第 19 页（共 29 页）17 （12 分）已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，（1）
32、求A 的大小；（2）若 ，求ABC 的面积 S【分析】 （1）由 ，利用正弦定理可得 ，整理再利用余弦定理即可得出（2）由 ， ，利用余弦定理可得 b，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（1）因为所以由正弦定理得 （2 分）整理得 b2+c2a 2bc ，所以 （5 分）因为 0A，所以 （6 分）（2）因为 ，所以由余弦定理 a2b 2+c22bccosA得解得 b4 或 b16（舍） （10 分）所以 （12 分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图，在圆柱 W 中，点 O1、O 2 分别为上、下底面的
33、圆心，平面 MNFE 是轴截面，点 H 在上底面圆周上（异于 N、F） ，点 G 为下底面圆弧 ME 的中点，点 H 与点G 在平面 MNFE 的同侧，圆柱 W 的底面半径为 1，高为 2（1）若平面 FNH平面 NHG，证明：NGFH；（2）若直线 NH 与平面 NFG 所成线面角 的正弦值等于 ，证明：平面 NHG 与平第 20 页（共 29 页）面 MNFE 所成锐二面角的平面角大于 【分析】 （1）若平面 FNH平面 NHG，因为平面 FNH平面 NHGNH，FH NH，所以 FH平面 NHG，又知道 NG平面 NHG，所以得证（2）以 O2 为坐标原点，分别以 O2G，O 2E，O
34、2O1 为 x、 y、z 轴建立空间坐标系O2xyz ，根据直线 NH 与平面 NFG 所成线面角 的正弦值等于 ，得到 H 点坐标，再将证明平面 NHG 与平面 MNFE 所成锐二面角的平面角大于 转化成证明平面NHG 与平面 MNFE 所成锐二面角的余弦值小于 来解决【解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）由题知：面 FNH面 NHG，面 FNH面 NHGNH因为 NHFH，FH平面 FHN所以 FH平面 NHG所以 FHNG（2）以点 O2 为坐标原点，分别以 O2G，O 2E，O 2O1 为 x、y、z 轴建立空间坐标系O2xyz ，所以 N（0，1，2） ，G（1，0，0） ，F
35、（0，1，2） ，设 H（m，n，2） ，则 m2+n2 1（m，n+1，0）设平面 NFG 的法向量 ，因为 ，所以 ，第 21 页（共 29 页）所以 ，即法向量 因此所以 2m23n+3，解得 ，所以点 设面 NHG 的法向量 ；因为 ，所以 ，所以 ，即法向量 因为面 MNFE 的法向量 ，所以所以面 NHG 与面 MNFE 所成锐二面角的平面角大于 【点评】本题考查了平面与平面垂直的性质，直线与平面垂直的定义，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，用坐标法解决空间角的问题是较为常用的方法，本题属于难题19 （12 分）已知 O 为坐标原点，点 ，动点N 满足 ，点 P 为线段 NF
36、1 的中点抛物线 C：x 22my （m0）上点 A 的纵坐标为 ， （1）求动点 P 的轨迹曲线 W 的标准方程及抛物线 C 的标准方程；（2）若抛物线 C 的准线上一点 Q 满足 OPOQ，试判断 是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由第 22 页（共 29 页）【分析】 （1）由题知|PF 1|+|PF2| 2 | F1F2|，判断动点 P 的轨迹 W是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面向量数量积运算和点 A 在抛物线上求出抛物线 C 的标准方程；（2）设出点 P 的坐标，再表示出点 N 和 Q 的坐标，根据题意求出 的值，即可判断结果是否成立【解答】解：（1）由题知|PF 2
37、| ，|PF 1| ；|PF 1|+|PF2| 2 |F 1F2|2 ，因此动点 P 的轨迹 W 是以 F1，F 2 为焦点的椭圆，且 2a2 ，2c2 ，b1，曲线 W 的标准方程为： +y21；又由题知：点 A 的纵坐标为 ， ； ，x A2 ；又点 A（2 ， ）在抛物线 x22my（m0）上，122m ，解得 m ；所以抛物线 C 的标准方程为 y（2）设 P（x P，y P） ，则 N（2x P+ ，2y P） ，Q （t ， ） ；由题知 OPOQ， ，即 ； + ；第 23 页（共 29 页）由 + 1， 1 ， 1； 为定值，且定值为 1【点评】本题考查了圆锥曲线的定义与性质的
38、应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题20 （12 分） “爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本 ”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入 x（亿元）与科技改造直接收益 y（亿元）的数据统计如下：x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 66当 0x17 时，建立了 y 与 x 的两个回归模型：模型： ；模型：14.4；当 x17 时，确定 y 与
39、x 满足的线性回归方程为： （1）根据下列表格中的数据，比较当 0x17 时模型、的相关指数 R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为 17亿元时的直接收益回归模型 模型 模型回归方程 14.4182.4 79.2（附：刻画回归效果的相关指数 R21 ， 4.1 ）（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴收益 10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入 17 亿元与 20 亿元时公司实际收益的大小；第 24 页（共 29 页）（附：用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式 ；a ）（3）科技改造后， “东方红”
40、款汽车发动机的热效率 X 大幅提高，X 服从正态分布N（0.52，0.01 2） ，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过 50%但不超过 53%，不予奖励；若发动机的热效率超过 50%但不超过 53%，每台发动机奖励 2 万元；若发动机的热效率超过 53%，每台发动机奖励 5 万元求每台发动机获得奖励的数学期望（附：随机变量 服从正态分布 N（， 2） ，则 P（ +）0.6826，P（2+2）0.9544 ）【分析】 （1）由表格中的数据，结合刻画回归效果的相关指数，可得结论；（2）求得样本中心点，可得当 x17 亿元时，y 与 x 满足的线性回归方程，令 x20，可得所
41、求大小；（3）由正态分布的计算公式，以及数学期望公式，可得所求值【解答】解：（1）由表格中的数据，有 182.479.2，即，所以模型 的 R2 小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好所以当 x17 亿元时，科技改造直接收益的预测值为（亿元） ；（2）由已知可得： ，所以 ， ，所以 ，所以 ，所以当 x17 亿元时，y 与 x 满足的线性回归方程为： ，第 25 页（共 29 页）所以当 x20 亿元时，科技改造直接收益的预测值 ，所以当 x20 亿元时，实际收益的预测值为 69.3+1079.3 亿元72.93 亿元，所以技改造投入 20 亿元时，公司的实际收益的更大；（3）因为 P（0
42、.520.02X0.52+0.02）0.9544，所以 ， ，因为 P（0.520.1X0.52+0.1）0.6826，所以 ，所以 P（0.50X0.53）0.97720.15870.8185，设每台发动机获得的奖励为 Y（万元） ，则 Y 的分布列为：Y 0 2 5P 0.0228 0.8185 0.1587所以每台发动机获得奖励的数学期望为 E（Y）00.0228+20.8185+5 0.15872.4305（万元） 【点评】本题考查线性回归方程的求法和运用，考查离散型随机变量的数学期望，考查化简运算能力，属于基础题21 （12 分）已知函数 f（x ）（x 2+a）e kx，e 2.7
43、18为自然对数的底数（1）若 k1，aR，判断函数 f（x）在（0，+）上的单调性；（2）令 a0，k1，若 0m 2e，求证：方程 f（x ） m（x+1）lnx0 无实根【分析】 （1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）方程 f（x ）m（x +1）lnx0，转化为 x2exm （x+1）lnxx 2（x+1）m（x+1）lnx （x+1） （x 2mlnx） ，构造函数 h（x ）x 2mlnx，利用导数和函数的最值的关系即可证明【解答】解：（1）由已知 k1，所以 ，所以 ，若 a 1，在 R 上恒有 u（x）（x 1） 2+1a0第 26 页（共 29
44、页）所以 ，所以 f（x ）在（0，+）上为单调递减；若 a 1，u（ x）（x1） 2+1a 图象与 x 轴有两个不同交点，设 u（x）（x 1） 2+1a0 的两根分别为 ，（） 若 0a1，0x 11，x 21，所以当 0xx 1 时，u（x ） 0；当 x1xx 2，时，u（ x）0；当 xx 2 时，u（x）0，所以，此时 f（x ）在（0，x 1）上和（x 2，+）上分别单调递减；在（x 1，x 2）上单调递增；（）若 a0，所以，x（0， x2）上总有 u（x）0；在当 xx 2 上，u（ x）0所以此时 f（x）在（ 0，x 2）上单调增，在（x 2，+）上单调减综上：若 a1
45、，f（x ）在（0，+）上为单调递减；若 0a1，f（x ）在（0，x 1）上和（x 2，+）上分别单调递减；在（x 1，x 2）上单调递增；若 a0，f（x）在（ 0，x 2）上单调增，在（x 2，+）上单调减证明：（2）由题知 a0，k1，所以 f（x）x 2ex，令 g（x）e x（x +1） ，对任意实数 x0，g'（x ）e x10 恒成立，所以 g（x）e x（x +1）g（0）0，即 exx+10，则 x2ex m（x+1 ）lnx x 2（x+1）m（x+1）lnx（x+1） （x 2mlnx） ，令 h（x）x 2mlnx所以 ，因为 0m2e，所以所以 时，h
46、9;（x）0， ； 时，h'（x）0，所以 h（x）x 2mlnx 在（ 0，+）上有最小值，第 27 页（共 29 页）所以 ，因为 ，所以 ，所以所以 ，即 0m 2e 时，对任意 x0，h（x ）x 2mlnx0，所以 x2exm（ x+1）lnx 0，所以方程 f（x） m（x +1）lnx0 无实根【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、函数的零点、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）已知平面直角坐标系 xOy，直线 l 过点 ，且倾斜角为 ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为（1）求直线 l 的参数方程和圆 C 的标准方程；（2）设直线 l 与圆 C 交于 M、N 两点，若 ，求直线 l 的倾斜角的 值【分析】 （1）根据直线参数方程的几何意义得出参数方程，根据极坐标与直角坐标的关系化简得出圆的标准方程；（2）把直线 l 的参数方程代入圆的标准方程，根据参
