1、2019 年山东省威海市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）（3+i） 2，则| z|（ ）A B C D82 （5 分）已知集合 ，则 AB（ ）A1，2 B0，2 C 1，4 D0 ，43 （5 分）设 xR，则“2 x8”是“|x| 3”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，M 为其终边上一点，则 cos
2、2（ ）A B C D5 （5 分）若 x，y 满足约束条件 则 z3xy 的最大值为（ ）A2 B1 C0 D16 （5 分）函数 的图象可由 ycos2x 的图象经过怎样的变换得到（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位7 （5 分）已知抛物线 y28x 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于 A，B 两点， F 为抛物线的焦点，若FAB 的面积等于 ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B C2 D8 （5 分）已知圆（x2） 2+y21 上的点到直线 的最短距离为 ，则 b 的值为（ ）第
3、2 页（共 21 页）A2 或 2 B C D9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A6 B8 C D10 （5 分）已知函数 f（x ）lnx+ln （ax）的图象关于直线 x1 对称，则函数 f（x）的值域为（ ）A （0，2） B0，+） C （，2 D （，011 （5 分）在ABC 中，AC3，向量 在向量 的投影的数量为2，S ABC 3，则BC（ ）A5 B C D12 （5 分）已知函数 f（x ）的定义域为 R， ，对任意的 xR 满足 f'（x）4x，当 0，2 时
4、，不等式 f（sin ）+cos2 0 的解集为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 （1，3） ， （x，2） ，若向量 + 与 垂直，则 x 14 （5 分）从 1，2，3，4 中选取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被 3 整除的概率为 15 （5 分）在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABC90 ，AA 12，设其外接球的球心为O，已知三棱锥 OABC 的体积为 1，则球 O 表面积的最小值为 16 （5 分）
5、“克拉茨猜想”又称“3n+1 猜想” ，是德国数学家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到 1已知正整数 m 经过 6 次运算后得到 1则 m 的值为 第 3 页（共 21 页）三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知a n是递增的等比数列，a 548，4a 2， 3a3，2a 4 成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）设数列b n
6、满足 b1a 2，b n+1b n+an，求数列b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，ABC 为等边三角形，PA 2AB2，ACCD，tanDPC （）证明：BC平面 PAD；（）点 M 为 PB 上一点，且 ，试判断点 M 的位置19 （12 分）蔬菜批发市场销售某种蔬菜，在一个销售周期内，每售出 1 吨该蔬菜获利 500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损 100 元统计该蔬菜以往 100 个销售周期的市场需求量，绘制右图所示频率分布直方图（）求 a 的值，并求 100 个销售周期的平均市场需求量（以各组的区间中点值代表该组的数值
7、）：（）若经销商在下个销售周期购进了 190 吨该蔬菜，设 T 为该销售周期的利润（单位：元） ，X 为该销售周期的市场需求量（单位：吨） 求 T 与 X 的函数解析式，并估计销售的利润不少于 86000 元的概率第 4 页（共 21 页）20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，设椭圆 的左焦点为 F1，短轴的两个端点分别为 A，B，且AF 1B60，点 在 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l：y kx+m（k0）与椭圆 C 和圆 O 分别相切于 P，Q 两点，当OPQ面积取得最大值时，求直线 l 的方程21 （12 分）已知函数 （）证明：f（x ）e 2xe；（）若直线 ya
8、x +b（a0）为函数 f（x）的切线，求 的最小值请考生在第 2223 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为，且曲线 C1 与 C2 恰有一个公共点（）求曲线 C1 的极坐标方程；（）已知曲 C1 上两点，A， B 满足 ，求AOB 面积的最大值23已知正实数 a，b 满足 a+b2（）求证： ；（）若对任意正实数 a，b，不等式|x +1|x3| ab 恒成立，求实数 x 的取值范围第 5 页
9、（共 21 页）2019 年山东省威海市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+i）（3+i） 2，则| z|（ ）A B C D8【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解【解答】解：由 z（1+ i）（3+i） 2，得 z ，|z| | | 故选：C【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题2 （5 分）已知集合 ，则 AB（ ）A1，2 B0，2 C 1，4 D0 ，4【分析】先分别求出
10、集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 ，Ay|1y 2，Bx|0x4，ABx|0 x20，2故选：B【点评】本题考查集合的运算及关系，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题3 （5 分）设 xR，则“2 x8”是“|x| 3”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由 2x8 得 x3，由“|x| 3”得 x3 或 x3，即“2 x 8”是 “|x|3”的充分不必要条件，故选：A第 6 页（共 21 页）【点评】本题主要考查充分条
11、件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键4 （5 分）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，M 为其终边上一点，则 cos2（ ）A B C D【分析】易得 OM 的长度，利用二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义即可求解【解答】解：M ，OM sin cos212sin 212（ ） 2 故选：D【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题5 （5 分）若 x，y 满足约束条件 则 z3xy 的最大值为（ ）A2 B1 C0 D1【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用
12、数形结合即可的得到结论【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图：第 7 页（共 21 页）z3x y，得 y3xz，平移直线 y3x z，由图象可知当直线 y3xz 经过点 B（1，1）时，直线 y3xz 的截距最大，此时 z 最大，z max3112即 z 的最大值是 2故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键6 （5 分）函数 的图象可由 ycos2x 的图象经过怎样的变换得到（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【分析】利用诱导公式化简函数 的解析式为 yco
13、s2x ，再根据函数 yAsin （ x+）的图象变换规律得出结论【解答】解：函数 cos （2x+ ） cos（ 2x）cos2x ，故把 ycos2 x 的图向右平移 个单位可得函数 ycos2x 的图象，故选：D【点评】题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题第 8 页（共 21 页）7 （5 分）已知抛物线 y28x 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于 A，B 两点， F 为抛物线的焦点，若FAB 的面积等于 ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B C2 D【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，利用三角形的面积转化求解即可【
14、解答】解：抛物线 y28x 的准线：x 2，双曲线 的两条渐近线 y x，抛物线 y28x 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于 A，B两点，可得|AB| ，FAB 的面积等于 ，F 为抛物线的焦点（2，0）可得： 8 ，可得 b ，所以 b23a 2c 2a 2，可得 e 2故选：C【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查8 （5 分）已知圆（x2） 2+y21 上的点到直线 的最短距离为 ，则 b 的值为（ ）A2 或 2 B C D【分析】设圆的半径为 r，则 r1，设圆（x2） 2+y21 圆心到直线 的距离为 d，圆（x2） 2+y21 上的点到
15、直线 的最短距离为 ，所以dr 列方程求解即可得到 b【解答】解：依题意，设圆的半径为 r，则 r1，设直线 到圆（x2）2+y21 圆心的距离为 d，圆（x2） 2+y21 上的点到直线 的最短距离为 ，所以 dr 即 1 ，解得 b2 或 b4 第 9 页（共 21 页）故选：D【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆上的点到直线的最小距离，点到直线的距离公式等属于中档题9 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A6 B8 C D【分析】根据三视图知该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积【解
16、答】解：根据三视图知，该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥 PABCD，且长方体的长、宽、高分别为 4、2、3，如图所示；结合图中数据，计算该四棱锥的体积为：V 四棱锥 PABCD V 三棱锥 CBDP +V 三棱锥DABP 423+ 4328故选：B【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题10 （5 分）已知函数 f（x ）lnx+ln （ax）的图象关于直线 x1 对称，则函数 f（x）的值域为（ ）A （0，2） B0，+） C （，2 D （，0第 10 页（共 21 页）【分析】根据题意，分析可得 f（ax ）f（x） ，即可得函数 f（x ）的图象关于直
17、线x 对称，据此可得 a 的值，进而可得 f（x）lnx+ln （2x）ln（2xx 2） ，设t2xx 2，则 ylnt，由换元法分析可得答案【解答】解：根据题意，对于函数 f（x ）lnx+ln （ax） ，有 f（ax） ln（ax ）+ln a（ax ） lnx+ln（ax）f（x） ，则函数 f（x）的图象关于直线 x 对称，若函数 f（x） lnx+ln（ax）的图象关于直线 x1 对称，则有 1，则 a2，则 f（x）lnx+ ln（2x ） ln（2xx 2） ，其定义域为（0，2） ，设 t2xx 2，则 ylnt，又由 t（x 1） 2+1，0x2，则有 0t1，则 yln
18、t0，即函数 f（x）的值域为（ ，0 ；故选：D【点评】本题考查函数的对称性，涉及换元法求函数的值域，关键是求出 a 的值，属于基础题11 （5 分）在ABC 中，AC3，向量 在向量 的投影的数量为2，S ABC 3，则BC（ ）A5 B C D【分析】由向量的投影和三角形的面积公式，可得 A，|AB| ，再由余弦定理可得所求值【解答】解：AC3，向量 在向量 的投影的数量为2，S ABC 3，可得|AB|cosA2， |AB|AC|sinA3，即|AB |sinA2，即 tanA 1，内角 A135，| AB| 2 ，|BC|2 |AB|2+|AC|22|AB| AC|cos
19、A8+922 3（ ）29，即|BC | ，故选：C第 11 页（共 21 页）【点评】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查向量的投影的定义，以及化简运算能力，属于基础题12 （5 分）已知函数 f（x ）的定义域为 R， ，对任意的 xR 满足 f'（x）4x，当 0，2 时，不等式 f（sin ）+cos2 0 的解集为（ ）A B C D【分析】令 g（x）f（x）+12x 2，求导可得 g（x）单调递增，且 g（ ）0，故不等式 f（sin ） +cos20 的解集为 g（sin ）0 的解集【解答】解：令 g（x）f（x）+12x 2，则 g（x）f（x
20、）4x0，故 g（x）在 R 上单调递增，又 g（ ）f（ ）+12 +1 0，g（x）0 的解集为 x ，cos212sin 2，故不等式 f（sin ）+cos2 0 等价于 f（sin ）+12sin 20，即 g（sin ）0，sin ，又 0，2， 故选：A【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 （1，3） ， （x，2） ，若向量 + 与 垂直，则 x 16 【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 x【解
21、答】解： ； 与 垂直； ；第 12 页（共 21 页）x16故答案为：16【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算14 （5 分）从 1，2，3，4 中选取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被 3 整除的概率为 【分析】列举出从 1，2，3，4 中选取两个不同数字组成的全部两位数，数出能被 3 整除的两位数的个数，相除即可【解答】解：从 1，2，3，4 中选取两个不同数字组成所有两位数为：12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43 共 12 个基本事件，其中能被 3 整除的有：12，21，24，42 共 4
22、个基本事件，所以这个两位数能被 3 整除的概率为 P 故答案为： 【点评】考查古典概型的概率计算，属于基础题15 （5 分）在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABC90 ，AA 12，设其外接球的球心为O，已知三棱锥 OABC 的体积为 1，则球 O 表面积的最小值为 16 【分析】设 ABa，BCb，球的半径为 r连接 AC1A 1CO ，取 AC 的中点 D，连接 BD，则 O 到三棱柱六个顶点的距离相等，即 O 为三棱柱外接球的球心OD ，三棱锥 OABC 的体积为 1，即 ，即 ，表示出 r，根据基本不等式可得 r 的最小值，从而得到球的表面积的最小值【解答】解：如图，
23、因为三棱柱 ABCA 1B1C1 是直三棱柱，且ABC 90，设 ABa，BC b，球的半径为 r连接 AC1A 1CO，取 AC 的中点 D，连接 BD，则 O 到三棱柱六个顶点的距离相等，即 O 为三棱柱外接球的球心OD ，又因为三棱锥 OABC 的体积为 1，即 ，即 ，所以 r 2，当且仅当 ab 时等号成立，第 13 页（共 21 页）所以球 O 表面积的最小值为 S4r 216故填：16【点评】本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等属于中档题16 （5 分） “克拉茨猜想”又称“3n+1 猜想” ，是德国数学家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家大会上公布的一个猜
24、想：任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到 1已知正整数 m 经过 6 次运算后得到 1则 m 的值为 64 、10 、1、8 【分析】根据题意，利用正整数 m 经过 6 次运算后得到 1，结合变化的规则，进行逐项逆推即可得答案【解答】解：根据题意，正整数 m 经过 6 次运算后得到 1，则正整数 m 经过 5 次运算后得到 2，经过 4 次运算后得到 4，经过 3 次运算后得到 8 或者 1，分 2 种情况讨论：，当经过 3 次运算后得到 8 时，经过 2 次运算后得到 16，则经过 1 次运算后
25、得到 32或 5，则 m 的值为 64 或 10，当经过 3 次运算后得到 1 时，经过 2 次运算后得到 2，则经过 1 次运算后得到 4，则 m 的值为 1 或 8；综合可得：m 的值可能为 64、10、1、8故答案为：64、10、1、8【点评】本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是第 14 页（共 21 页）解决本题的关键三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知a n是递增的等比数列，a 548，4a 2， 3a3，2a 4 成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）设数列b n满足 b1a
26、 2，b n+1b n+an，求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （）利用已知条件求出数列的通项公式（）利用叠加法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和【解答】解：（）设首项为 a1，公比为 q 的递增的等比数列，a548，4a 2，3a 3，2a 4 成等差数列故： ，解得：q2 或 1（舍去） ，整理得：a 13，所以： ，（）数列b n满足 b1a 2，b n+1b n+an，所以：b 16则：b n（b nb n1 ）+（b n1 b n2 ）+ （b 2b 1）+ b1，a n1 +an2 +a2+a1+b1， ，32 n1 +3所以：S nb 1+b2+bn 【点评】本题考查
27、的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列通项公式的求法中的应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，ABC 为等边三角形，PA 2AB2，ACCD，tanDPC 第 15 页（共 21 页）（）证明：BC平面 PAD；（）点 M 为 PB 上一点，且 ，试判断点 M 的位置【分析】 （）由已知可证 PACD，利用线面垂直的判定定理可证 CD平面 PAC，由tanDPC ，可求DAC60，又BCA60，利用线面平行的判断定理可证 BC平面 PAD（）因为点 M 在 PB 上，设 ，利
28、用三棱锥的体积公式可求 ，即可解得 ，从而可求点 M 是线段 PB 靠近点 P 的三等分点【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）证明：因为 PA平面 ABCD，所以 PACD，又 ACCD，CAPAA，所以 CD平面 PAC，2 分所以 RtPCD 中，tanDPC ，因为，ABC 为等边三角形，PA2AB2，可得：PC ，可得 CD ，可得：tanDAC ，可得：DAC60，又BCA60，所以在平面 ABCD 中，BCAD ，AD 平面 PAD，BC平面 PAD，所以 BC平面 PAD6 分（）因为点 M 在 PB 上，设 ，所以 VMPCD VBPCD V PBCD ，9 分第 16
29、页（共 21 页）解得： ，11 分所以点 M 是线段 PB 靠近点 P 的三等分点12 分【点评】本题主要考查了空间线面关系，几何体的体积等知识，考查数形结合，化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，属于中档题19 （12 分）蔬菜批发市场销售某种蔬菜，在一个销售周期内，每售出 1 吨该蔬菜获利 500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损 100 元统计该蔬菜以往 100 个销售周期的市场需求量，绘制右图所示频率分布直方图（）求 a 的值，并求 100 个销售周期的平均市场需求量（以各组的区间中点值代表该组的数值）：（）若经销商在下个销售周期购进了 190 吨该
30、蔬菜，设 T 为该销售周期的利润（单位：元） ，X 为该销售周期的市场需求量（单位：吨） 求 T 与 X 的函数解析式，并估计销售的利润不少于 86000 元的概率【分析】 （）根据频率和为 1，得到 a，然后以每个小长方形中点为代表值，加权平均即可得到平均时长需求量（）T 与 X 的函数解析式为 T （XN） 当第 17 页（共 21 页）X190，T5001909500086000，当 X190，600X1900086000，所以X175，销售的利润不少于 86000 元的概率可求【解答】解：（）10（0.004+0012+0.022+0.024+0.028+a）1，解得 a0.01，16
31、00.1+1700.24+1800.28+1900.22+2000.12+2100.04181.4（）由题意得，当 X190，T50019095000，所以 T 与 X 的函数解析式为 T （XN） 设销售利润不少于 86000 元的时间记为 A当 X190，T5001909500086000，当 X190，600X1900086000，所以 X175，所以 P（A ）P （X175）10.10.240.66【点评】本题考查了频率分布直方图，利用频率分布直方图估计平均值，属于中档题20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，设椭圆 的左焦点为 F1，短轴的两个端点分别为 A，B，且AF 1B6
32、0，点 在 C 上（）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l：y kx+m（k0）与椭圆 C 和圆 O 分别相切于 P，Q 两点，当OPQ面积取得最大值时，求直线 l 的方程【分析】 （）由AF 1B60，可得 a2b，由点 在 C 上，可得 +1，解得 b21，a 24，即可求出椭圆方程，（）联立 ，根据判别式求出 4k2+1m 2，即可求出点 P 的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出【解答】解：（）由AF 1B60，可得 a2b，由点 在 C 上，可得 + 1，b 21，a 24，第 18 页（共 21 页）椭圆 C 的方程为 +y21 ，（）联立
33、，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m240，直线 l 与椭圆相切，16（4k 2+1m 2 ）0 ，即 4k2+1m 2，设 P（x 1，y 1） ，可得 x1 ，则 y1 ，|OP |2 + 4又直线 l 与圆 O 相切，可得|OQ| ，则|OQ |2 4|PQ | ，S OPQ |PQ|OP| ，当且仅当 k1 时取等号，此时 m21+4 5，则 m ，故直线 l 的方程为 yx+ 或 yx 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 （）证明：f（x ）e 2xe；（）若直线
34、yax +b（a0）为函数 f（x）的切线，求 的最小值【分析】 （）由题意可得 f（ x）e 2xe 即为 lnxe 2x2+ex+10，x0，令 g（x）lnxe 2x2+ex+1，求得导数和单调性、可得最值，即可得证；第 19 页（共 21 页）（）求得 f（x ）的导数，设出切点，可得 a，以及切线方程，令 x0，可得 b，令h（x 0） ，求得导数和单调性、可得最小值，即可得到所求【解答】解：（）证明：f（x ）e 2xe 即为 lnxe 2x2+ex+10，x0，令 g（x）lnxe 2x2+ex+1， g（x ） 2e 2x+e ，当 0x 时，g（x ）0，g（x ）递增；当
35、x 时，g（x ）0，g（x）递减，则 g（x）g（ ）0，可得 f（x）e 2xe 成立；（）f（x） ，设切点为（x 0，f（x 0） ） ，则 a ，f（x ）在 xx 0 处的切线方程为 yf （x 0）f（x 0） （xx 0） ，即 y （xx 0） ，令 x0，可得 b ， ，令 h（x 0） ，由 a0 可得 0x 01，h（x 0） ，当 0x 0 时，h（x 0）0，h（x 0）递减；当 x 01 时，h（x 0）0，h（x 0）递增，由 0x 01，可得 h（x 0）h（ ） ，可得 的最小值为 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查方程思想和构
36、造函数法，考查化简运算能力，属于中档题请考生在第 2223 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为第 20 页（共 21 页），且曲线 C1 与 C2 恰有一个公共点（）求曲线 C1 的极坐标方程；（）已知曲 C1 上两点，A， B 满足 ，求AOB 面积的最大值【分析】 （）消参可得 C1 的普通方程，再根据互化公式可得 C1 的极坐标方程（）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角
37、函数的性质可得最大值【解答】解：（）曲线 C2 的极坐标方程为 sin（+ ）3，可得 C2 的直角坐标方程为： x+ 60，即曲线 C2 为直线曲线 C1 是圆心为（2，0） ，半径为 |r|的圆因为圆 C1 与直线 C2 恰有一个公共点，可得|r| 2，圆 C1 的普通方程为 x2+y24x0，所以 C1 的极坐标方程为 4cos（）由题意可设 A（ 1，） ，B（ 2，+ ） ， （ 10， 20） ，SAOB |OA|OB|sin 124 coscos（+ ）4（cos 2sincos）4（ ）2+2 cos（2 + ） ，所以AOB 面积的最大值为 2+2 【点评】本题考查了简单曲线
38、的极坐标方程，属中档题23已知正实数 a，b 满足 a+b2（）求证： ；（）若对任意正实数 a，b，不等式|x +1|x3| ab 恒成立，求实数 x 的取值范围【分析】 （）根据题意，利用完全平方公式和基本不等式，即可证明；（）利用基本不等式得出 ab1，把问题转化为|x +1|x3|1 恒成立，再利用分段讨论法求出不等式的解集【解答】 （）证明：正实数 a，b 满足 a+b2，则 2（a+b）+2+2 6+2（a+b）+212， ；第 21 页（共 21 页）（）解：对任意正实数 a，b，有 a+b2 ，所以 2 2，即 ab1，当且仅当ab 时取“” ；所以对任意 a、bR +，不等式|x+1| x3|ab 恒成立，即|x +1|x3|1 恒成立；若 x1，则不等式化为x1（3x ）1，即4 1，不等式无解；若1x3，则不等式化为 x+1（3x ）1，解得 x3；若 x3，则不等式化为 x+1（x 3）1，即 41，不等式恒成立；综上，实数 x 的取值范围是 ，+） 【点评】本题考查了基本不等式应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题
