1、2019 年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 Ax|3 2x1，Bx|4x3x 20 ，则 AB（ ）A （1，2 B C0 ，1） D （1，+）2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数 的实部与虚部相等，则 a 的值为（ ）A2 B C D23 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1+a36，S 10100，则 a5（ ）A8 B9 C10 D114 （5 分）为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状
2、态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定其中所有正确结论的编号为（ ）A B C D5 （5 分）根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0得到的回归方程为 若 a7.9，则 x 每增加 1 个单位，y 就（ ）A增加 1.4 个单位 B减少 1.4 个单位C增加 1.2 个单位 D减少 1.2 个单位第 2 页（共
3、 26 页）6 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 则 z2x+y 的取值范围是（ ）A2，4 B4，6 C2 ，6 D （，27 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 S12，则输出的 S（ ）A8 B18 C5 D68 （5 分）已知数列a n的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a11，a 22，a 3+a47，a 5+a613，则 a7+a8（ ）A4 B19 C20 D239 （5 分）设双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是双曲线上一点，点 P 到坐标原点 O 的距离等于双曲线焦距的一半，且 |PF1|+|PF2|4
4、a，则双曲线的离心率是（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）f（x）ax+a，若 g（x）恰有 1 个零点，则 a 的取值范围是（ ）A1，0 1，+ ） B （，10 ，1第 3 页（共 26 页）C1，1 D （， 1 1，+）11 （5 分）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q ，M ， N，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与 PRQ 所在平面平行的是（ ）A BC D12 （5 分）若函数 在 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）A B Ca1 D1a3二、填空题：本题共 4 小题
5、，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）如图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 为棱 AA1 上任意一点，则四棱锥 PBDD 1B1 的体积为 14 （5 分）某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有 种15 （5 分）抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A（1，0） ，当取得最小值时，直线 AP 的方程为 16 （5 分）如图，在ABC 中， 为 CD
6、上一点，且满足的面积为 ，则 的最小值为 第 4 页（共 26 页）三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x ）的单调递增区间；（2）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为，求 a 的值18 （12 分）如图，正方形 ABCD 边长为 a，平面 ABCD平面CED， （1）证明：AEEC；（2）求二面角 ADEB 的余弦值19 （12 分）某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取
7、18 名男性居民，12 名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查现按参加体育锻炼的情况将居民分成 3 类：甲类（不参加体育锻炼） ，乙类（参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过 5 个小时） ，丙类（参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过 5 个小时） ，调查结果如下表：甲类 乙类 丙类男性居民 3 12 3女性居民 6 3 3（1）根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有 90%的把握认为参加体育第 5 页（共 26 页）锻炼与否与性别有关？男性居民 女性居民 总计不参加体育锻炼参加体育锻炼总计（2）从抽出的女性居民中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 X
8、为抽取的这 3 名女性居民中甲类和丙类人数差的绝对值，求 X 的数学期望附：P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.01k0 2.706 3.841 6.63520 （12 分）已知椭圆 的右顶点为 A，左焦点为 F1，离心率，过点 A 的直线与椭圆交于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1，若（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过圆 E：x 2+y24 上任意一点 P 作圆 E 的切线 l，l 与椭圆交于 M，N 两点，以MN 为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）（xm）lnx （m 0） （1）若函数
9、 f（x ）存在极小值点，求 m 的取值范围；（2）证明：f（x +m）e x+cosx1请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 ，以坐标原点 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2（sin+cos） （1）求曲线 C 的普通方程；（2）过点 P（1，0）作直线 l 的垂线交曲线 C 于 M，N 两点，求 的值选修 4-5：不等式选讲第 6 页（共 26 页）23已知函数 f（x ）|2x a |（aR ） （1）当 a
10、4 时，解不等式 f（x ）8|x1| ；（2）若不等式 f（x ）8+|2x1|有解，求 a 的取值范围第 7 页（共 26 页）2019 年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 Ax|3 2x1，Bx|4x3x 20 ，则 AB（ ）A （1，2 B C0 ，1） D （1，+）【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax|32x1x|x1，B x|4x3x 2 0x|0 ，ABx|1 x （1， 故选：
11、B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数 的实部与虚部相等，则 a 的值为（ ）A2 B C D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得 a 值【解答】解： 的实部与虚部相等，4a2a+2，即 a 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1+a36，S 10100，则 a5（ ）A8 B9 C10 D11【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解
12、答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 1+a36，S 10100，2a 1+2d6，10a 1+ d100，第 8 页（共 26 页）联立解得：a 11，d2则 a51+249故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （5 分）为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定其中所有正确结论的
13、编号为（ ）A B C D【分析】根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得【解答】解：甲的中位数为 29，乙的中位数为 30，故不正确；甲的平均数为 29，乙的平均数为 30，故正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故正确，不正确故选：C【点评】本题考查了茎叶图，属基础题5 （5 分）根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0得到的回归方程为 若 a7.9，则 x 每增加 1 个单位，y 就（ ）A增加 1.4 个单位 B减少 1.4 个单位C增加 1.2 个单位 D减少 1.2 个单位【分析】首先，根据所给数据，
14、计算样本中心点（5，0.9） ，然后，将改点代入回归方程，第 9 页（共 26 页）得到 b1.4，从而得到答案【解答】解：设变量 x，y 的平均值为： ， ， 5，0.9，样本中心点（5，0.9） ，0.95b+7.9b1.4，x 每增加 1 个单位，y 就减少 1.4故选：B【点评】本题重点考查了回归直线方程的特征、回归直线方程中回归系数的意义等知识，属于中档题6 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 则 z2x+y 的取值范围是（ ）A2，4 B4，6 C2 ，6 D （，2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的
15、坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（2，2） ，B（0，2） ，化目标函数 z2x+y 为 y2x +z，由图可知，当直线 y2x +z 过 B 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 2；当直线 y2x +z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 6z 的取值范围是2，6故选：C第 10 页（共 26 页）【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 S12，则输出的 S（ ）A8 B18 C5 D6【分析】关键框图的流程
16、依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S 的值【解答】解：模拟程序的运行，可得S12，n1执行循环体，S10，n2不满足条件 S+n0，执行循环体，S6，n3不满足条件 S+n0，执行循环体，S0，n4不满足条件 S+n0，执行循环体，S8，n5第 11 页（共 26 页）满足条件 S+n0，退出循环，输出 S 的值为8故选：A【点评】本题考查了循环结构的程序框图，关键框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题8 （5 分）已知数列a n的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a11，a 22，a 3+a47，a 5+a613，则 a7+a8（
17、 ）A4 B19 C20 D23【分析】设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q，由通项公式可得 d，q 的方程组，解方程可得 d，q，进而得到所求和【解答】解：数列a n的奇数项依次成公差为 d 的等差数列，偶数项依次成公比为 q 的等比数列，a11，a 22，a 3+a47，a 5+a613，可得 1+d+2q7，1+2 d+2q213，解得 dq2，则 a7+a81+32+2 2323 ，故选：D【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题9 （5 分）设双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 是双曲线上一点，点 P 到坐
18、标原点 O 的距离等于双曲线焦距的一半，且 |PF1|+|PF2|4a，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【分析】由题意可得 PF1PF 2，可设 P 为双曲线右支上一点，可得|PF 1| PF2|2a，结合条件和勾股定理、以及离心率公式，计算可得所求值【解答】解：点 P 到坐标原点 O 的距离等于双曲线焦距的一半，可得 PF1PF 2，可设 P 为双曲线右支上一点，可得|PF 1| PF2|2a，第 12 页（共 26 页）又|PF 1|+|PF2|4a，解得|PF 1|3a，| PF2|a，可得|PF 1|2+|PF2|2|F 1F2|2，即为 9a2+a24c 2，可得
19、e 故选：D【点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查直角三角形的判断和勾股定理的运用，以及方程思想和化简能力，属于中档题10 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）f（x）ax+a，若 g（x）恰有 1 个零点，则 a 的取值范围是（ ）A1，0 1，+ ） B （，10 ，1C1，1 D （， 1 1，+）【分析】根据条件先判断 x1 是函数 g（x）的一个零点，等价于当 x1 时，函数f（x）a（x1） ，没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由 g（x）f（x）ax+a0 得 f（x）a（x1） ，f（1）13+2 0，g（1
20、）f（1）a+a0，即 x1 是 g（x）的一个零点，若 g（x）恰有 1 个零点，则当 x1 时，函数 f（x）a（x1） ，没有其他根，即 a ，没有根，当 x1 时，设 h（x ） x2，此时函数 h（x）为增函数，则 h（1）1，即此时 h（x）1，当 x1 时，h（x ） ，h（x ） 0，此时 h（x）为减函数，此时 h（x）0，且 h（1）1，即 0h（x）1，作出函数 h（x）的图象如图：第 13 页（共 26 页）则要使 a ，没有根，则 a1 或1a0，即实数 a 的取值范围是1， 01，+） ，故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解
21、决本题的关键综合性较强，有一定的难度11 （5 分）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q ，M ， N，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与 PRQ 所在平面平行的是（ ）A BC D【分析】利用平面的基本性质作出经过 P、Q 、R 三点的平面，然后判断选项的正误即可【解答】解：由题意可知经过 P、Q 、R 三点的平面如图：红色线的图形，可知 N 在经过 P、Q、R 三点的平面上，所以 B、C 错误；MC1 与 QE 是相交直线，所以 A 不正确；故选：D第 14 页（共 26 页）【点评】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识
22、的考查12 （5 分）若函数 在 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）A B Ca1 D1a3【分析】利用导函数的性质研究原函的单调性即可得答案【解答】解：函数 ，则 f（x） sin2x2a（cosxsin x）+4a3函数 f（x）在 上单调递增，可得 f（0） 0，且 f（ ）0，即 ，解得：a 实数 a 的取值范围为 故选：A【点评】本题考查了导函数研究原函数的单调性的运用能力，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）如图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 为棱 AA1 上任意一点，则四棱锥 PB
23、DD 1B1 的体积为 第 15 页（共 26 页）【分析】四棱锥 PAA 1C1C 的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积【解答】解： V 正方体 ， 故答案为： 【点评】本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基本知识的考查14 （5 分）某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有 60 种【分析】分两种情况：在一个城市投资两个项目，在另一城市投资 1 个项目；有三个城市各获得一个投资的项目，从而可得结论【解答】解：分两种情况在一个城市投资两个项目，在另一城市投资 1 个项目，
24、将项目分成 2 个与 1 个，有 3种；在 4 个城市当中，选择两个城市作为投资对象，有 4312 种，这种情况有：31236 种有三个城市各获得一个投资的项目，选择没有获得投资项目的城市，4 种；安排项目与城市对应，有 3216 种这种情况有，4624 种综合两种情况，有 36+2460 种方案设置投资项目故答案为：60【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题15 （5 分）抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A（1，0） ，当取得最小值时，直线 AP 的方程为 x+y+10 或 xy+10 【分析】设 P 点的坐标为（4t 2
25、，4t） ，根据点与点的距离公式，可得（ ） 21 ，再根据基本不等式求出 t 的值，即可求出直线第 16 页（共 26 页）AP 的方程【解答】解：设 P 点的坐标为（4t 2，4t） ，F（1，0） ，A（1，0）|PF| 2（ 4t21） 2+16t216t 4+8t2+1|PA|2（ 4t2+1） 2+16t216t 4+24t2+1（ ） 2 1 1 11 ，当且仅当 16t2 ，即 t 时取等号，此时点 P 坐标为（1，2）或（1，2） ，此时直线 AP 的方程为 y（x +1） ，即 x+y+10 或 x y+10，故答案为：x+y +10 或 xy+1 0，【点评】本题考察了抛
26、物线的定义，转化为基本不等式求解，属于中档题16 （5 分）如图，在ABC 中， 为 CD 上一点，且满足的面积为 ，则 的最小值为 【分析】如图所示，建立直角坐标系设|AO|t 0，A（ t，0） 由CAB ，可得|AC | t，由 ABC 的面积 S 2t|AB|sin 2 ，解得|AB|设 +（1） +（1） ，与 m + 比较，可得：m，再利用数量积运算性质、基本不等式的性质即可得出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系设|AO |t0，A（t，0） CAB ，|AC| t，C （0， t） ， （t ， t） 由ABC 的面积 S 2t|AB|sin 2 ，解
27、得| AB| 第 17 页（共 26 页） （ ，0） 设 +（1） +（1） ，与 m + 比较，可得：m ， ，解得 m + （t， t）+ （ ，0）（ + ， ） | | ，当且仅当 t2 时取等号，故答案为： 【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、数量积运算性质、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）已知函数 （1）求函数 f（x ）的单调递增区间；
28、（2）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为，求 a 的值【分析】 （1）利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可（2）根据 f（A） ，求出 A 的值，结合向量数量积的定义求出 b，利用余弦定理进行计算即可第 18 页（共 26 页）【解答】解：（1）f（x ）cos x（ cosx+ sinx） cos2x+ sinxcosx + sin2x （ cos2x+ sin2x） sin（ 2x+ ） ，由 2k 2x+ 2k+ ，k Z，得 k xk+ ，k Z，即函数 f（x）的单调递增区间为k ，k+ ，kZ（2）f（A） sin（2A+ ） ，则
29、sin（2A+ ）1，即0A， 2A+ ，2A+ ，得 A ， 2bcos 2b ，即 b ，则 a24+ 22 ，即 a 【点评】本题主要考查平面向量与三角函数的综合应用，利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式进行化简，结合向量数量积，余弦定理建立方程是解决本题的关键18 （12 分）如图，正方形 ABCD 边长为 a，平面 ABCD平面CED， （1）证明：AEEC；（2）求二面角 ADEB 的余弦值第 19 页（共 26 页）【分析】 （1）推导出 AD平面 CDE，从而 ADEC ，再由 CEDE，得 CE平面ADE，由此能证明 CEAE （2）以 D 为原点，建立空间直角坐标系 Dxy
30、z，由此能求出二面角 ADEB 的余弦值【解答】证明：（1）平面 ABCD平面 CDE，平面 ABCD平面 CDECD，ADCD，AD面 ABCD，AD平面 CDE，又 EC平面 CDE，ADEC，CEDE，ADDE D，AD ，DE平面 ADE，CE平面 ADE，又 AE平面 ADE，CEAE解：（2）如图，以 D 为原点，建立空间直角坐标系 D xyz，则 D（0，0，0） ，B（a，a， 0） ，C（0，a，0） ，在直角CDE 中，EC ， DCa，E（0， ， ） ，（0， ） ，由（1）知 是平面 ADE 的法向量，（a，a，0） ， （0， ） ，设 （x，y，z）是平面 BDE
31、 的一个法向量，则 ，取 x1，得 （1，1， ） ，cos ， 二面角 ADEB 的余弦值为 第 20 页（共 26 页）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取 18 名男性居民，12 名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查现按参加体育锻炼的情况将居民分成 3 类：甲类（不参加体育锻炼） ，乙类（参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过 5 个小时） ，丙类（参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼
32、的时间超过 5 个小时） ，调查结果如下表：甲类 乙类 丙类男性居民 3 12 3女性居民 6 3 3（1）根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有 90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关？男性居民 女性居民 总计不参加体育锻炼参加体育锻炼总计（2）从抽出的女性居民中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 X 为抽取的这 3 名女性居民中甲类和丙类人数差的绝对值，求 X 的数学期望附：P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.01k0 2.706 3.841 6.635【分析】 （1）计算 k2 观测值，与 2.706 比较大小得出结论；第 21 页（共 26 页）（2）求出 X
33、的所有可能的情况对应的概率，得出分布列，再计算数学期望【解答】解：（1）二联表如下：男性居民 女性居民 总计不参加体育锻炼 3 6 9参加体育锻炼 15 6 21总计 18 12 30K2 3.812.706，有 90%的把握认为参加体育锻炼与性别有关（2）X 的所有可能取值有 0，1，2，3，且 P（X0） + ，P（X1） ，P（X2） ，P（X3） X 的分布列为：X 0 1 2 3P E（X）0 +1 +2 +3 【点评】本题考查了独立性检验，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题20 （12 分）已
34、知椭圆 的右顶点为 A，左焦点为 F1，离心率，过点 A 的直线与椭圆交于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1，若（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过圆 E：x 2+y24 上任意一点 P 作圆 E 的切线 l，l 与椭圆交于 M，N 两点，以第 22 页（共 26 页）MN 为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由【分析】 （1）由三角形面积可得 b2（1+ ）3+ ，根据离心率可得 bc，结合隐含条件求出 a，b，c 的最值，则椭圆方程可求；（2）当切线的斜率不存在时，直接解出验证；当切线的斜率存在时，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，
35、 y2） 设切线的方程为：ykx+m ，由圆心到直线的距离可得 m22（1+k 2） 把切线方程代入椭圆方程可得：（1+2k 2）x 2+4kmx+2m2120，利用根与系数的关系即可证明 0，结论得证【解答】解：（1）e ，a c，bc ，设 B（c，y 0）代入椭圆方程，可得 |y0| b，S |y0|F1A| b2（1+ ） ， b2（1+ ）3+ ，b 26，a 212，椭圆 C 的标准方程为 + 1（2）：当切线 l 的斜率不存在时，以 MN 为直径的圆的圆心分别为（2，0） ， （2，0） ，MN4 时，以 MN 为直径的圆的标准方程为（x+2） 2+y24， （x2） 2+y24
36、，易得两圆相切且切点为坐标原点，以 MN 为直径的圆过坐标原点，当切线 l 的斜率存在时，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） 设切线的方程为：ykx+m，则 d 2，即 m24（1+k 2） 由 ，消 y 整理可得：（1+2k 2）x 2+4kmx+2m2120，x 1+x2 ，x 1x2 第 23 页（共 26 页）y1y2（kx 1+m） （kx 2+m）k 2x1x2+km（x 1+x2）+ m2 x 1x2+y1y2x 1x2+（kx 1+m） （kx 2+m）（1+ k2）x 1x2+km（x 1+x2）+m 2 +m2 0OM ON以 MN 为直径的圆过定点原点 O（
37、0，0） 综上所述 MN 为直径的圆恒过坐标原点【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切及其直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）（xm）lnx （m 0） （1）若函数 f（x ）存在极小值点，求 m 的取值范围；（2）证明：f（x +m）e x+cosx1【分析】 （1）求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系进行讨论求解即可（2）求函数的导数，讨论 x 的取值范围，结合函数单调性和最值之间的关系进行证明即可【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+） ，f（x） +
38、lnx1 +lnx，当 m0 时，f（x）0 得 x ，当 x（0， ）时， f'（x ） 0，当 x（ ，+）时，f'（x）0，x 是函数 f（x）的极小值点，满足题意当 m0 吋，令 g（x ）f（x） ，g'（x） + ，令 g（x）0，解得 xm ，当 x（0，m ）时，g（x）0 当 x（m，+）时，g'（x）0g（x） ming（m ）2+ln（m ） ，若 g（m ）0，即 me 2 时，f'（x）g（x）0 恒成立，第 24 页（共 26 页）f（x）在（0 ，+）上单调递增，无极值点，不满足题意若 g（m）2+ln（m）0，即e 2 m
39、 0 时，g（1m）1 +ln（ 1m）0g（m）g（1m）0，又 g（x）在（m ，+ ）上单调递增， g（x）在（m ，+）上恰有一个零点x1，当 x（m，x 1）时，f'（x）g（x ）0，当 e（x 1，+）时，f' （x ） g（x ）0，x 1 是 f（x）的极小值点，满足题意，综上，e 2 m 0（2）当 m0 时，f（x+m） xln（x+m ）xlnx ，若 xlnxe x+cosx1 成立，则 f（x+m ）e x+cosx1 必成立，若 x（0，1，则 ex+cosx10，xlnx 0，xlnxe x+cosx1 成立，f（x+m）e x+cosx1 成立
40、若 x1，令 h（x）e x+cosxxlnx 1，h'（x） exsinx lnx 1，令 （x ）h （x） ，' （x ） ex cosx，x1， （x）e x cos x0，（x ）在（ 1，+）上单调递增（x） （1）e sin1 10，即 h（x）0，h（x）在（1，+）上单调递增，h（x）h（1）e +cos110，x1 时，xlnxe x+cos11 成立，x1 时，f（ x+m）e x+cosx1 成立【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数的极值，单调性和导数之间的关系，转化为导数问题，以及构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，
41、有一定的难度请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清第 25 页（共 26 页）题号选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 ，以坐标原点 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2（sin+cos） （1）求曲线 C 的普通方程；（2）过点 P（1，0）作直线 l 的垂线交曲线 C 于 M，N 两点，求 的值【分析】 （1）由题意知 22sin+2cos，所以曲线 C 的普通方程为：x2+y22x2y0；（2）先求出直线 MN 的参数方程，再根据参数的几何意义可得【解
42、答】解（1）由题意知 22sin+2cos，所以曲线 C 的普通方程为：x2+y22x2y0（2）直线 l 的斜率为 ， 直线 MN 的斜率为： ，直线 MN 的参数方程为： （t 为参数） ，代入曲线 C 的直角坐标方程得 t2t10，设 M，N 对应的参数为 t1，t 2，则 t1+t21，t 1t21， + |t 1t 2| 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |（aR ） （1）当 a4 时，解不等式 f（x ）8|x1| ；（2）若不等式 f（x ）8+|2x1|有解，求 a 的取值范围【分析】 （1）a4 时，分 3 段去绝对值解不等式组再相并；（2）原不等式有解，即不等式|2x a|2x1| 8 有解，再构造函数利用绝对值不等式的性质求出最大值代入可解得【解答】解：（1）a4 时，不等式 f（x ）8|x1|2x4|+|x1|8第 26 页（共 26 页）或 或 ，解得1x ，综上，不等式的解集为（1， ） （2）原不等式有解，即不等式|2x a|2x1| 8 有解，令 g（x）|2xa| |2x 1|，|2 xa| |2x1|2 xa 2x+1|a1|，g（x） max|a1| ，|a 1|8，解得 a9 或 a 7a 的取值范围是 a9 或 a7【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
