1、1专题 05 平面解析几何1【2019 年高考浙江卷】渐近线方程为 xy=0 的双曲线的离心率是A B12C D2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，则 ，所以双曲线的0xyab2cab离心率 .故选 C.2cea【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 ，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双ab曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2 【2019 年高考全国卷文数 】双曲线 C： 的一条渐近线的倾斜角为 130，则 C21(0,)xyab的离心率为A2sin40 B2cos40C D1sin50 1c
2、os50【答案】D【解析】由已知可得 ，tan130,tanbb，2 2222si50sincos5011t5coscea 故选 D【名师点睛】对于双曲线： ，有 ；210,xyabb21cbea对于椭圆 ，有 ，防止记混210xyab2ce23 【2019 年高考全国卷文数 】已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两12,01,F()， (点若 ， ，则 C 的方程为22|AFB1|AA B1xy213xyC D243254【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ，2FBn21,3AnBFAn由椭圆的定义有 1124,aa在 中，由余弦定理推论得 1AFB2
3、219cos3n在 中，由余弦定理得 ，解得 12244n2n所求椭圆方程为 ，故选 B2243,31,anabac213xy法二：由已知可设 ，则 ，2FBn21,3AnBFAn由椭圆的定义有 1 24aa在 和 中，由余弦定理得 ，12AF 12B2 221cos49FnnB又 互补， ，两式消去 ，,2121coscos0AF2121scosABF,得 ，解得 所求椭22361n3n2243,3,anaba3圆方程为 ，故选 B213xy【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养4 【2019 年高考全国卷文
4、数】若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=213xypA2 B3C4 D8【答案】D【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以2(0)ypx(,0)2p231xyp，解得 ，故选 D23()p8【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，从而解出 ，或者利用检验排除的方法，如pp时，抛物线焦点为（1，0） ，椭圆焦点为（2，0） ，排除 A，同样可排除 B，C，从而得到选 D2p5【2019 年高考全国卷文数】设 F 为双曲线 C： （a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点
5、，21xy以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P，Q 两点若|PQ|=| OF|，则 C 的离心率为A B2 3C2 D 5【答案】A【解析】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，PQxAPQx又 ， 为以 为直径的圆的半径，|OFc|,2cOF ， ，|2A,P4又 点在圆 上， ，即 P22xya224ca22,ccea，故选 Ae【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来解答本题时，准确画图，由
6、图形对称性得出 P点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 的关系，可求双曲线的离心率6【2019 年高考全国卷文数】已知 F 是双曲线 C： 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原2145xy点，若 ，则 的面积为=OPFPA B32 2C D7 9【答案】B【解析】设点 ，则 0,Pxy20145y又 ， 53OF209x由得 ，即 ，209y0y5，015322OPFSy故选 B【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设 ，0,Pxy由 ，再结合双曲线方程可解出 ，利用三角形面积公式可求出结果.=PF0y7【2019 年高考北京卷文数】已知双曲线 （
7、a0）的离心率是 ，则 a=21x5A B46C2 D12【答案】D【解析】双曲线的离心率 ， ，5cea21a ，解得 ，215a12故选 D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中 a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8【2019 年高考天津卷文数】已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线24yx的两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且 （O 为原点），则双21(0,)xyab |4|F曲线的离心率为A B2 3C2 D 5【答案】D【解析】抛物线 的准线 的方程为 ，24yxl1x双曲线的渐近线方程为 ，ba6则有
8、 ，(1,)(,)bABa ， ， ，242ba .25cae故选 D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出 AB 的长度.解答时，只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.4ABOF,abc9【2019 年高考北京卷文数】设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_【答案】2(1)4xy【解析】抛物线 y2=4x 中，2p=4，p=2，焦点 F（1,0） ，准线 l 的方程为 x=1，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为( x1)2+y2=22，即为 .2(1)4xy【名师点睛】本题可
9、采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.10 【2019 年高考全国卷文数】设 为椭圆 C: 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象12F，2360限若 为等腰三角形，则 M 的坐标为_.12MF【答案】 3,5【解析】由已知可得 ，222236,0,16,4abcabc， 128Fc24F设点 的坐标为 ，则 ，M00,xyy121204MFSy又 ，解得 ，122048415,45FS 057，解得 （ 舍去） ，2201536x03x0的坐标为 M3,【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养解答
10、本题时，根据椭圆的定义分别求出 ，设出12MF、的坐标，结合三角形面积可求出 的坐标.M11 【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该xOy2(0)yxb双曲线的渐近线方程是 .【答案】 2yx【解析】由已知得 ，解得 或 ，2431b2b因为 ，所以 .0b因为 ，所以双曲线的渐近线方程为 .1ayx【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 密切相关，事实上，标准方程中化 1 为 0，即得渐近线方程.,ab12 【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 中，P 是曲
11、线 上的一个动点，则点 PxOy4()yx到直线 x+y=0 的距离的最小值是 .【答案】4【解析】当直线 x+y=0 平移到与曲线 相切位置时，切点 Q 即为点 P，此时到直线 x+y=0 的距4yx离最小.由 ，得 ， ，即切点 ，241yx2()x舍 32y(2,3)则切点 Q 到直线 x+y=0 的距离为 ，241故答案为 48【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.13 【2019 年高考浙江卷】已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆 C 相切于C(0,)mr230xy点 ，
12、则 =_， =_(2,1)Amr【答案】 ， 5【解析】由题意可知 ，把 代入直线 AC 的方程得 ，11:(2)2ACkyx(0,)m2m此时 .|45r【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线 的斜率，进一步得AC到其方程，将 代入后求得 ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的(0,)m结合，特别是要注意应用圆的几何性质.14 【2019 年高考浙江卷】已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段2195xyFPx的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是_PFOF【答案】 15【解析】方法 1：如图，设 F1
13、 为椭圆右焦点.由题意可知 ，|=|2OFMc由中位线定理可得 ，设 ，可得 ，2|4PM(,)Pxy2()16xy与方程 联立，可解得 （舍） ，2195xy321,又点 在椭圆上且在 轴的上方，求得 ，所以 .Px315,2P152PFk9方法 2：（焦半径公式应用）由题意可知 ，| 2OF=M|c由中位线定理可得 ，即 ，12|4PF34ppaex从而可求得 ，所以 .35,2152PFk【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程
14、联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.15 【2019 年高考全国卷文数 】已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB =4，M 过点 A，B 且与直线x+2=0 相切（1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MA MP为定值？并说明理由【答案】 （1） 的半径 或 ；（2）存在，理由见解析.=r6【解析】 （1）因为 过点 ，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线 上，,B +=0xy且 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 上，故可设 .,AByx(, )a因为 与直线x+2=0相
15、切，所以 的半径为 .MA|2|r由已知得 ，又 ，故可得 ，解得 或 .|=224()a=0a4故 的半径 或 .Ar610（2）存在定点 ，使得 为定值.(1,0)P|MAP理由如下：设 ，由已知得 的半径为 .(, )Mxy=|+2,|rxO由于 ，故可得 ，化简得M的轨迹方程为 .OA24()xy24yx因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，所以 .2:4Cy1,0)P1x|=+1MP因为 ，所以存在满足条件的定点P.|=|+2(=rx【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根
16、据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.16【2019 年高考全国卷文数】已知 是椭圆 的两个焦点，P 为 C 上一12,F2:1(0)xyCab点，O 为坐标原点（1）若 为等边三角形，求 C 的离心率；2PF（2）如果存在点 P，使得 ，且 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围12F12P【答案】 （1） ；（2） ，a 的取值范围为 .34b4,)【解析】 （1）连结 ，由 为等边三角形可知在 中， ， ，12O 12F 1290P2Fc，于是 ，故 的离心率是 .13PFc122(31)aPFcC3cea（2）由题意可知，满足条件的点 存在当且仅当 ，
17、，(,)xy|216y1yxc，即 ，21xyab|6cy，2，21xyab11由及 得 ，又由知 ，故 22abc42by216yc4b由得 ，所以 ，从而 故 .22x2c223,a42a当 ， 时，存在满足条件的点P4ba所以 ， 的取值范围为 42,)【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.17【2019 年高考全国卷文数】已知曲线 C：y= ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，2x12切点分别为 A，B（1）证明：直线 AB 过定点；（2）若以 E(0， )为圆心的圆与
18、直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程52【答案】（1）见详解；（2） 或 .2254xy225xy【解析】（1）设 ，则 1,DtA21由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故 yx1x1yxt整理得 12 +=0.t设 ，同理可得 ,Bxy2 +=0txy故直线AB的方程为 1所以直线AB过定点 (0,)2（2）由（1）得直线AB的方程为 12ytx12由 ，可得 21ytx210xt于是 .21212, 1xtyt设M为线段AB的中点，则 ,Mt由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 解得t=0或EAB2,tAB(1, )t20t1t当 =0时， =2，所求圆的方程为 ；t|
19、2254xy当 时， ，所求圆的方程为 1t|2EM22【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.18【2019 年高考北京卷文数】已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 2:1xyCab(1,0)(0,1)A（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 O 为原点，直线 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点:()lykxtM，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|ON|=2，求证：直线 l 经过定点【答案】 （1） ；（2）见解析.21y【解析】 （1）由题意得，b 2=1，c=1所以a
20、 2=b2+c2=2所以椭圆C的方程为 21xy（2）设P（x 1， y1） ，Q（x 2， y2） ，则直线AP的方程为 113令y=0，得点M的横坐标 1Mxy又 ，从而 1kxt1|Okxt同理， 2|1Nt由 得 2,ykxt22(1)40kxt则 ， 1224tx12所以 12|1xOMNktt22 211| |()()kxtxt22 2| |4()(111tkt tkt|t又 ，|2OMN所以 1|t解得t=0，所以直线 l经过定点（0，0） 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立
21、得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题19【2019 年高考天津卷文数】设椭圆 的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B.已21(0)xyab14知 （O 为原点） .3|2|AB（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点 F 且斜率为 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，34圆心 C 在直线 x=4 上，且 ，求椭圆的方程.OCAP【答案】 （1） ；（2） .216y【解析】 （1）设椭圆的半焦距为 c，由已知有 ，又由 ，消去 得32ab22abcb，解得 .223ac12a所以，椭圆的离心率为
22、.（2）由（1）知， ，故椭圆方程为 .2,3acb2143xyc由题意， ，则直线 的方程为 ，(, 0)Fl()y点 P 的坐标满足 消去 并化简，得到 ，解得 .21,43(),xycy2276130xc123,7cx代入到 的方程，解得 .l129,14yc因为点 在 轴上方，所以 .Px3,P由圆心 在直线 上，可设 .C4(4, )Ct因为 ，且由（1）知 ，故 ，解得 .OAP (2 ,0)Ac32ct2t因为圆 与 轴相切，所以圆的半径长为 2，Cx15又由圆 与 相切，得 ，可得 .Cl23(4)1c=2c所以，椭圆的方程为 .26xy【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程
23、和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.20【2019 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: 的焦点为21(0)xyabF1（1、0），F 2（1，0）过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2: 交于224ya点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连结 BF2 交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1= 52（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标【答案】 （1） ；（2） .2143xy3(1,)2E
24、【解析】 （1）设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1(1，0)，F 2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1.又因为 DF1= ，AF 2x 轴，5所以 DF2= ，21253()DF16因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2.由 b2=a2c2，得 b2=3.因此，椭圆 C 的标准方程为 .2143xy（2）解法一：由（1）知，椭圆 C： ，a=2，2143xy因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F2 的方程( x1) 2+y2=16，解得 y=4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4).又 F1(1，0) ，所以直线 AF1：y=2x+2.由
25、 ，得 ，2()6yx250解得 或 .1将 代入 ，得 ，5x2yx125y因此 .又 F2(1，0)，所以直线 BF2： .1(,)B3(1)4yx由 ，得 ，解得 或 .2143()xy276130x1x37又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 .将 代入 ，得 .1x(1)4yx2y因此 .3(,)2E17解法二：由（1）知，椭圆 C： .如图，连结 EF1.2143xy因为 BF2=2a，EF 1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而BF 1E=B.因为 F2A=F2B，所以A =B，所以A= BF 1E，从而 EF1F 2A.因为 AF2x 轴，所以 EF1 x 轴.因
26、为 F1(1，0)，由 ，得 .243y32又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 .y因此 .3(1,)【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.1821【2019 年高考浙江卷】如图，已知点 为抛物线 的焦点，过点 F 的直线交抛物(10)F，2(0)ypx线于 A、 B 两点，点 C 在抛物线上，使得 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 QABC在点 F 的右侧记 的面积分别为 ,GQ 12,S（1）求 p 的值及抛物线的准线方程；（2）求 的
27、最小值及此时点 G 的坐标12S【答案】（1）p=2，准线方程为x=1；（2）最小值为 ，此时G（2，0）31【解析】（1）由题意得 ，即p=2.12所以，抛物线的准线方程为x=1.（2）设 ，重心 .令 ，则 .,ABcyxCy,Gxy2,0At2Axt由于直线AB过F ，故直线AB方程为 ，代入 ，得21t24，2140tyy故 ，即 ，所以 .2Bt2Bt21,t19又由于 及重心G在x 轴上，故 ，得11,33GABcGABcxxyy20cty.242,0tCtt所以，直线AC方程为 ，得 .2ytxt21,Qt由于Q在焦点F的右侧，故 .从而2.42 4221 422 1| 31|1
28、|ActtGyS tttt t 令 ，则m0，t.122 113234 244S m当 时， 取得最小值 ，此时G （2，0）3m12S【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.22 【辽宁省丹东市 2019 届高三总复习质量测试数学（二） 】经过点 作圆(3,0)M243xy的切线 ，则 的方程为0lA B 或3xy3xyxC D 或0【答案】C【解析】 ，所以圆心坐标为 ，半径为 ，2 22430(1)()8xyxy(1,2)2当过点 的切线存在斜率 ，切线方程为 ，圆心到它的距离为3,0Mk330kxyk，所以有 ，即
29、切线方程为 ，2211k当过点 的切线不存在斜率时，即 ，显然圆心到它的距离为 ，所以 不是圆3,03x23x20的切线.因此切线方程为 ，故本题选 C.30xy【名师点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线，所以只有一条.解答本题时，设直线 存在斜率 ，点斜式设出方程，利用圆心到直线 的距离等于半径求出斜率 ，再讨论直线 不存lk l kl在斜率时，是否能和圆相切，如果能，写出直线方程，综合求出切线方程.23 【广东省深圳市深圳外国语学校 2019 届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知椭圆21xyab的离心率为 ，椭圆上一点 到两焦点距离之和为 12，则椭圆短轴长为(0
30、)ab53PA8 B6C5 D4【答案】A【解析】椭圆 的离心率： ，210xyab53cea椭圆上一点 到两焦点距离之和为 ，即 ，可得： ， ，P21625c，23604bac则椭圆短轴长为 .8b本题正确选项为 A.【名师点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题解答本题时，利用椭圆的定义以及离心率，求出 ，然后求解椭圆短轴长即可,ac24 【山东省德州市 2019 届高三第二次练习数学试题】已知椭圆 （ab0）与双曲线21xy（a0，b0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为21xyA B3x3yxC D2y221【答案】A【解析】依题意椭圆 与双曲线 即21(0)xyab2
31、1(0,)xyabb的焦点相同，可得： ，即 ，21(0,)xyab2223ab= ，可得 ，3ba32a双曲线的渐近线方程为： ，23bxya故选 A【名师点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题解答本题时，由题意可得 ，即 ，代入双曲线的渐近221abb23ab=线方程可得答案.25 【江西省新八校 2019 届高三第二次联考数学试题】如图，过抛物线 的焦点 的直线2(0)ypxF交抛物线于点 ，交其准线于点 ，若 ，且 ，则 为l,ABC4BF6AA B949222C D918【答案】B【解析】设准线与 轴交于点 ，作 垂直于准线，
32、垂足为 .xPBHH由 ，得： ，4BCF45BHCPF由抛物线定义可知： ，设直线 的倾斜角为 ，l由抛物线焦半径公式可得： ，解得： ，41cos5pBPF1cos4，解得： ，46131cosppAF92p本题正确选项为 B.【名师点睛】本题考查抛物线的定义和几何性质的应用，关键是能够利用焦半径公式中的倾斜角构造出方程，从而使问题得以解决.26 【福建省厦门市厦门外国语学校 2019 届高三最后一模数学试题】双曲线 的焦点是 ，若双曲线M12,F上存在点 ，使 是有一个内角为 的等腰三角形，则 的离心率是_.MP12F23【答案】32【解析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为
33、 与 或 与 ，2PF112F不妨设等腰三角形的腰为 与 ，且点 在第一象限，2PF1P23故 ，等腰 有一内角为 ，即 ，2|PFc12PF23213PF由余弦定理可得， ，12ccc|() os2由双曲线的定义可得， ，即 ，1PFa2|3(31)a解得： .32e【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.解答本题时，根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为 与 或 与2PF11，不妨设等腰三角形的腰为 与 ，故可得到 的值，再根据等腰三角形的内角为 ，12F2PF12PF23求出 的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.P2
34、7 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学试题】已知椭圆 的21(0)xyCab：左顶点为 ，离心率为 (20)M，2（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，当 取得最大值时，求 的面积()N， MABMAB【答案】 （1） ；（2） .214xy36【解析】 （1）由题意可得： ， ，得 ，则 .a2cc22bac所以椭圆 .2:14xyC（2）当直线 与 轴重合时，不妨取 ，此时 ；l (2,0)(,AB0MAB当直线 与 轴不重合时，设直线 的方程为： ， ，xl1xty12(,)(,)xy联立 得 ，214ty2()30tyt2
35、4显然 ， ， .12ty213yt所以 1212()MABx12(3)tyty212()92()tt2369t29t.215t当 时， 取最大值 .此时直线 方程为 ，0tMAB152l1x不妨取 ，所以 .6(1,)(,)26AB又 ，所以 的面积 .3N1322S【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题.（1）由左顶点 M 坐标可得 a=2，再由 可得 c，进而求得椭圆方程 .ea（2）设 l 的直线方程为 ，和椭圆方程联立 ，可得 ，由1xty214xty2()30tyt于 ，可用 t 表示出两个交点的纵坐标 和 ，进而得到 关于
36、t 的一元二次方12y12yMAB程，得到 取最大值时 t 的值，求出直线方程，而后计算出 的面积.MAB 28 【黑龙江省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知抛物线25的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为 ，且2:0Cypx F4yPCQ.QFP（1）求 的值；（2）已知点 为 上一点， ， 是 上异于点 的两点，且满足直线 和直线 的,2TtCMNCTTMN斜率之和为 ，证明直线 恒过定点，并求出定点的坐标83【答案】 （1）4；（2）证明过程见解析，直线 恒过定点 .1,【解析】 （1）设 ，由抛物线定义知 ，0,Qx02QFp
37、x又 ， ，2FP 所以 ，解得 ，0px02px将点 代入抛物线方程，解得 .,42Q4（2）由（1）知， 的方程为 ，C28yx所以点 坐标为 ，T1,设直线 的方程为 ，点 ， ，MNxmyn1,Mxy2,Nxy由 得 ， .28xyn28026430mn所以 ， ，1212yn所以12212 18MTNkyx12128+34yy，6438mn26解得 ，1nm所以直线 的方程为 ，恒过定点 MN1()xmy1,【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.（1）设 点坐标，根据抛物线的定义得到 点横坐标，然后代入抛物线方程，得到 的值；QQp（2） ， ，直线和曲线联立，得到 ，然后表示出 ，化简整1,xy2,xy12,yMTNk理，得到 和 的关系，从而得到直线 恒过的定点.mnMN
