1、2019 年河南省南阳市南召县中考数学二模试卷一、选择题（每小题 3 分；共 30 分）1 （3 分）在实数3， ，0， 中，最小的实数是（ ）A3 B C0 D2 （3 分）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约 28.3 亿吨的有机物28.3 亿吨用科学记数法表示为（ ）A28.310 7 B2.8310 8 C0.28310 10 D2.8310 93 （3 分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）ABCD4 （3 分）如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体将正方体移走后，所得几何体（ ）A主视图改变，左视图改变B俯视
2、图不变，左视图不变C俯视图改变，左视图改变第 2 页（共 35 页）D主视图改变，左视图不变5 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x20 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak Bk Ck 且 k1 Dk 且 k16 （3 分）如图，在ABC 中，AD 平分BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点 A、D 为圆心，以大于 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F；第三步，连接 DE、DF若 BD6，AF 4，CD 3，则 CF 的长是（ ）A2 B4 C6 D87 （3 分）甲、
3、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的 3 个扇形）做游戏游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘甲获胜的概率是（ ）A B C D8 （3 分）在反比例函数 y 图象上有两点 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，x10x 2，y 1 y2，则 m 的取值范围是（ ）第 3 页（共 35 页）Am Bm Cm Dm 9 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，A（2，0） ，B（2，0） ，C（2，2） ，将 AB 绕点 A 旋转，使点 B 落在
4、边 CD 上的点 E 处，则点 E 的坐标为（ ）A B C （1，2） D10 （3 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合） ，连接 AP，作射线 PD，使 APD60，PD 交 AC 于点 D，已知 ABa，设CDy， BPx，则 y 与 x 函数关系的大致图象是（ ）A BC D二、填空题（每小题 3 分；共 15 分）11 （3 分）计算：2 1 + 12 （3 分）如图，直线 m n，RtABC 的顶点 A 在直线 n 上，C 90，若125，275，则B
5、 第 4 页（共 35 页）13 （3 分）已知关于 x 的不等式组 的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围是 14 （3 分）如图，在边长为 6 的菱形 OABC 中，AOC60，以顶点 O 为圆心、对角线 OB 的长为半径作弧，与射线 OA，OC 分别交于点 D，E，则图中阴影部分的面积为 15 （3 分）如图，在ABCD 中，B60，AB6，BC12点 E 是 BC 上一动点，将ABE 沿直线 AE 折叠，得到AFE，则当 AF 与ABCD 的边垂直时，BE 的长为 三、解答题
6、（8+9+9+9+9+10+10+1175 分）16 （8 分）先化简，再求值： ，其中 a 17 （9 分）为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续 30 天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：空气污染指数（） 30 40 70 80 90 110 120 140天数（t） 1 2 3 5 7 6 4
7、2说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定： 50 时，空气质量为优；51100 时，空气质量为良；101150 时，空气质量为轻度污染；151 200 时，空气质量为第 5 页（共 35 页）中度污染，根据上述信息，解答下列问题：（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数 ，中位数 ；（2）请补全空气质量天数条形统计图；（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在 100 以下适合做户外运动请根据以上信息，估计该市居民一年（以 365 天计）中有多少天适合做户外运动？18 （9 分
8、）如图，AB 为O 的直径，C 为半圆上一动点，过点 C 作O 的切线 l，过点 B作 BD l，垂足为 D，BD 与 O 交于点 E，连接 OC，CE，AE，AE 交 OC 于点 F（1）求证：CDEEFC；（2）若 AB4，连接 AC当 AC 时，四边形 OBEC 为菱形；当 AC 时，四边形 EDCF 为正方形19 （9 分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、 CD、EF 表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢 AB 上且长度均
9、为300cm，AB 的倾斜角为 30，BECA 50cm ，支撑角钢 CD、EF 与地面接触点分别为D、F， CD 垂直于地面，FE AB 于点 E点 A 到地面的垂直距离为 50cm，求支撑角钢CD 和 EF 的长度各是多少 （结果保留根号）第 6 页（共 35 页）20 （9 分）如图，一次函数 ykx+b 和反比例函数 的图象相交于 A（2，4） 、B（1 ，n）两点，一次函数的图象交 x 轴于点 D（1）直接写出一次函数与反比例函数的解析式（2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集（3）过点 A 作直线 ACx 轴，垂足为点 C，过点 B 的直线交 x 轴于点 E，交直线 AC于点
10、F，若ECFACD，求点 E 的坐标21 （10 分）某校九年级组织有奖知识竞赛，派小明去购买 A、B 两种品牌的钢笔作为奖品已知一支 A 品牌钢笔的价格比一支 B 品牌钢笔的价格的多 5 元，且买 100 元 A 品牌钢笔与买 50 元 B 品牌钢笔数目相同（1）求 A、B 两种品牌钢笔的单价分别为多少元？（2）根据活动的设奖情况，决定购买 A、B 两种品牌的钢笔共 100 支，如果设购买 A品牌钢笔的数量为 n 支，购买这两种品牌的钢笔共花费 y 元直接写出 y（元）关于 n（支）的函数关系式；如果所购买 A 品牌钢笔的数量不少于 B 品牌钢笔数量的 ，请你帮助小明计算如何购买，才能使所花
11、费的钱最少？此时花费是多少？22 （10 分）问题背景如图（1） ，在四边形 ABCD 中，B+D 180，ABAD ，BAD，以点 A 为顶第 7 页（共 35 页）点作一个角，角的两边分别交 BC，CD 于点 E，F ，且EAF ，连接 EF，试探究：线段 BE，DF ，EF 之间的数量关系（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当BADBD 90 时”如图（2） ，小明很快写出了：BE，DF ，EF 之间的数量关系为 （2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段 BE，DF，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若
12、不成立，请说明理由（3）解决问题如图（3） ，在ABC 中，BAC90，ABAC 4，点 D，E 均在边 BC 上，且DAE45，若 BD ，请直接写出 DE 的长23 （11 分）如图，抛物线 yx 2+6x5 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左边） ，与y 轴交于点 C点 P 是抛物线上一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 H，交直线BC 于点 E（1）求点 A，B，C 的坐标；（2）连接 CP，当 CP 平分OCB 时，求点 P 的坐标；（3）平面直角坐标系内是否存在点 Q，使得以点 P，E，B，Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在
13、，说明理由第 8 页（共 35 页）第 9 页（共 35 页）2019 年河南省南阳市南召县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分；共 30 分）1 （3 分）在实数3， ，0， 中，最小的实数是（ ）A3 B C0 D【分析】依据正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数进行判断即可【解答】解：在实数3， ，0， 中，3 0 ，最小的实数是：3故选：A【点评】本题主要考查的是比较实数的大小，掌握比较两个实数大小的法则是解题的关键2 （3 分）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约 28.3 亿吨的有机物28.3 亿吨用科学记数法表示为（ ）A28.3
14、10 7 B2.8310 8 C0.28310 10 D2.8310 9【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：28.3 亿28.310 82.8310 9故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（
15、 ）A第 10 页（共 35 页）BCD【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出【解答】解：A、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误故选：B【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称
16、图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合4 （3 分）如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体将正方体移走后，所得几何体（ ）A主视图改变，左视图改变第 11 页（共 35 页）B俯视图不变，左视图不变C俯视图改变，左视图改变D主视图改变，左视图不变【分析】分别得到将正方体移走前后的三视图，依此即可作出判断【解答】解：将正方体移走前的主视图正方形的个数为 1，2，1；正方体移走后的主视图正方形的个数为 1，2；发生改变将正方体 移走前的左视图正方形的个数为 2，1，1；正方体移走后的左视图
17、正方形的个数为 2，1，1；没有发生改变将正方体 移走前的俯视图正方形的个数为 1，3，1；正方体移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变故选：D【点评】考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键5 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x20 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak Bk Ck 且 k1 Dk 且 k1【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x20 有
18、两个不相等的实数根， ，解得：k 且 k1故选：C【点评】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键6 （3 分）如图，在ABC 中，AD 平分BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点 A、D 为圆心，以大于 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F；第 12 页（共 35 页）第三步，连接 DE、DF若 BD6，AF 4，CD 3，则 CF 的长是（ ）A2 B4 C6 D8【分析】由作法得 EF 垂直平分 AD，根据垂直平分线的性质得到EAED ，FAFD，EF
19、 AD ，再证明四边形 AEDF 为菱形得到 DFAE，然后根据平行线分线段成比例定理可计算出 CF【解答】解：由作法得 EF 垂直平分 AD，EAED ，FAFD，EF AD ，AD 平分BAC，AEF 为等腰三角形，AEAF，AEDE DFAF，四边形 AEDF 为菱形，DFAE， ，即 ，CF2故选：A【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握 5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 7 （3 分）甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的 3 个扇形）做游戏游戏规则：转动两个转盘各一次
20、，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘甲获胜的概率是（ ）第 13 页（共 35 页）A B C D【分析】首先画出树状图，然后计算出数字之和为偶数的情况有 5 种，进而可得答案【解答】解：如图所示：数字之和为偶数的情况有 5 种，因此甲获胜的概率为 ，故选：C【点评】此题主要考查了画树状图和概率，关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比8 （3 分）在反比例函数 y 图象上有两点 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，x10x 2，y 1 y2，则 m 的取值范围是（ ）Am Bm
21、Cm Dm 【分析】首先根据当 x10x 2 时，有 y1y 2 则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断 13m 的取值范围【解答】解：x 10x 2 时，y 1y 2，反比例函数图象在第一，三象限，13m0，解得：m 故选：B【点评】本题主要考查反比例函数的性质，关键是根据题意判断出图象所在象限9 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，A（2，0） ，B（2，0） ，C（2，2） ，将 AB 绕点 A 旋转，第 14 页（共 35 页）使点 B 落在边 CD 上的点 E 处，则点 E 的坐标为（ ）A B C （1，2） D【分析】由矩形的性质可得 AB4CD，BC2AD ，由
22、旋转的性质可得 AE4，由勾股定理可求 DE2 ，即可求点 E 的坐标【解答】解：矩形 ABCD 中，A（2，0） ，B（2，0） ，C（2，2） ，AB4CD，BC2AD将 AB 绕点 A 旋转，使点 B 落在边 CD 上AEAB4DE 2点 E 坐标为（2 2，2）故选：D【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求 DE 的长是本题的关键10 （3 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合） ，连接 AP，作射线 PD，使 APD60，PD 交 AC 于点 D，已知 ABa，设CDy， BPx，则 y 与 x 函数关系的大致图象是（
23、; ）A B第 15 页（共 35 页）C D【分析】根据等边三角形的性质可得出BC60，由等角的补角相等可得出BAP CPD，进而即可证出ABPPCD，根据相似三角形的性质即可得出y x2+x，对照四个选项即可得出结论【解答】解：ABC 为等边三角形，BC60，BCABa，PC axAPD60，B 60，BAP +APB120， APB+CPD120，BAP CPD，ABP PCD， ，即 ，y x2+x故选：C【点评】本题考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出 y x2+x 是解题的关键二、填空题（每小题 3 分；共 15 分）11 （3 分
24、）计算：2 1 + 【分析】分别根据负整数指数幂的运算法则、算术平方根的定义分别计算出各数，再根据有理数的加法法则进行计算即可【解答】解：原式 +2第 16 页（共 35 页） 故答案为： 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键12 （3 分）如图，直线 m n，RtABC 的顶点 A 在直线 n 上，C 90，若125，275，则B 40 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得32，再求出BAC，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解【解答】解：mn，3275，BAC31752550，C90，B90BAC905040故
25、答案为：40【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键13 （3 分）已知关于 x 的不等式组 的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围是 3a2 【分析】将 a 看做已知数，求出不等式组的解集，根据解集中整数解有 5 个，即可确定出 a 的范围第 17 页（共 35 页）【解答】解：不等式组解得：ax2，不等式组的整数解有 5 个为 2，1，0，1，2，3a2故答案为：3a2【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键14 （3 分）如图，在边长为 6 的菱形 OABC 中，AOC60，以顶点 O 为圆心、对角线 OB 的长为半径作
26、弧，与射线 OA，OC 分别交于点 D，E，则图中阴影部分的面积为 1818 【分析】连接 AC，根据菱形的性质得到 COH 30，根据直角三角形的性质、勾股定理求出 CH、OH，根据菱形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案【解答】解：连接 AC，交 OB 于 H，四边形 OABC 为菱形，COH AOC30，AC2CH，OB 2OH，CH3，OH 3 ，阴影部分的面积 6 61818 ，故答案为：1818 【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式 S 是解题的关键15 （3 分）如图，在ABCD 中，B60，AB6，BC12点 E 是 BC 上一动点，将ABE 沿直
27、线 AE 折叠，得到AFE，则当 AF 与ABCD 的边垂直时，BE 的长为 第 18 页（共 35 页）【分析】分两种情况：AFAB 和 AFBC，再通过勾股方定理列出方程求解【解答】解：当 AFBC 时，如图 1，则EGF90，设 BEEFx ，在 Rt ABG 中，B60，AB6，BG 3，AG AB3 ，AF AB6，EGBG BE3x ，FG AFAG63 ，EF 2EG 2GF 2， ，解得，x126 ，即 BE126 ；当 AFAB 时，如图 2，过 E 作 EGAB 于点 G，设 BGx，则EGBGtan60 x，EAG BAF45，AGEG x，AG+ BGAB，第 19 页
28、（共 35 页） x+x6，解得，x3 3，BE 6 6，综上，BE126 或 6 6故答案为：126 或 6 6【点评】本题是几何图形的折叠问题，主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，关键是构造直角三角形，根据勾股定理列出方程三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+1175 分）16 （8 分）先化简，再求值： ，其中 a 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式a原式 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型17 （9 分）为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力
29、，空气质量明显改善，现收集了该市连续 30 天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：空气污染指数（） 30 40 70 80 90 110 120 140天数（t） 1 2 3 5 7 6 4 2说明：环境空气质量指数（AQI）技术规定： 50 时，空气质量为优；51100 时，空气质量为良；101150 时，空气质量为轻度污染；151 200 时，空气质量为第 20 页（
30、共 35 页）中度污染，根据上述信息，解答下列问题：（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数 90 ，中位数 90 ；（2）请补全空气质量天数条形统计图；（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在 100 以下适合做户外运动请根据以上信息，估计该市居民一年（以 365 天计）中有多少天适合做户外运动？【分析】 （1）根据众数的定义就可以得出这组数据的众数为 90，由 30 各数据中排在第15 和第 16 两个数的平均数就可以得出中位数为 90；（2）根据统计表的数据分别计算出，优、良及轻度污染的时间即可；（3）由条形统计图分别计算出优
31、、良及轻度污染的百分比及圆心角的度数即可；（4）先求出 30 天中空气污染指数在 100 以下的比值，再由这个比值乘以 365 天就可以求出结论【解答】解：（1）在这组数据中 90 出现的次数最多 7 次，故这组数据的众数为 90；在这组数据中排在最中间的两个数是 90，90，这两个数的平均数是 90，所以这组数据的中位数是 90；故答案为：90，90（2）由题意，得轻度污染的天数为：3031512 天第 21 页（共 35 页）（3）由题意，得优所占的圆心角的度数为：33036036，良所占的圆心角的度数为：1530360180，轻度污染所占的圆心角的度数为：1230360144（4）该市居
32、民一年（以 365 天计）中有适合做户外运动的天数为：1830365219天【点评】本题是一道数据分析试题，考查了中位数，众数的运用，条形统计，扇形统计图的运用，样本数据估计总体数据的运用，解答时根据图表数据求解是关键18 （9 分）如图，AB 为O 的直径，C 为半圆上一动点，过点 C 作O 的切线 l，过点 B作 BD l，垂足为 D，BD 与 O 交于点 E，连接 OC，CE，AE，AE 交 OC 于点 F（1）求证：CDEEFC；（2）若 AB4，连接 AC当 AC 2 时，四边形 OBEC 为菱形；当 AC 2 时，四边形 EDCF 为正方形【分析】 （1）根据三个角是
33、直角的四边形是矩形，首先证明四边形 CFED 是矩形，由此即可解决问题（2） 当 AC2 时，四边形 OCEB 是菱形连接 OE，只要证明EOB，COE 都是等边三角形即可解决问题第 22 页（共 35 页）当四边形 DEFC 是正方形时，可以证明 AE 是O 是直径，由此即可解决问题【解答】 （1）证明：如图，BDCD，CDE90，AB 是直径，AEB 90，CD 是切线，FCD90，四边形 CFED 矩形，CFDE，EF CD ，在CDE 和EFC 中，CDEEFC（2）解： 当 AC2 时，四边形 OCEB 是菱形理由：连接 OEACOAOC2，ACO 是等边三角形，CAOAOC60，第
34、 23 页（共 35 页）AFO90，EAB 30，AEB 90，B60，OEOB ，OEB 是等边三角形，EOB60，COE180606060，COOE，COE 是等边三角形，CECOOBEB，四边形 OCEB 是菱形故答案为 2当四边形 DEFC 是正方形时，CFFE，CEFFCE45，OCAE ， ，CAECEA45，ACE90，AE 是O 的直径， ，AOC 是等腰直角三角形，AC OA2 AC2 时，四边形 DEFC 是正方形故答案为 2 【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、等边三角第 24 页（共 35 页）形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解
35、题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型19 （9 分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、 CD、EF 表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢 AB 上且长度均为300cm，AB 的倾斜角为 30，BECA 50cm ，支撑角钢 CD、EF 与地面接触点分别为D、F， CD 垂直于地面，FE AB 于点 E点 A 到地面的垂直距离为 50cm，求支撑角钢CD 和 EF 的长度各是多少 （结果保留根号）【分析】延长 BA 交 FD 延长线于点 G、作 AHDG，根据题意得出AB3
36、00cm、BEAC50cm、AH50cm、AGH 30，先求得AG2AH100cm、CG150cm，继而由 CD CG 可得答案；由EGABBE+AG350 根据 EFEG tanEGF 可得答案【解答】解：如图所示，延长 BA 交 FD 延长线于点 G，过点 A 作 AHDG 于点 H，由题意知，AB300cm、BEAC 50cm 、AH50cm、AGH 30，在 Rt AGH 中，AG2AH100cm，CGAC+AG150cm ，则 CD CG75cm ；EGABBE+AG30050+100350（cm） ，第 25 页（共 35 页）在 RtEFG 中，EF EGtanEGF350tan
37、30350 （cm） ，所以支撑角钢 CD 的长为 75cm，EF 的长为 cm【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中20 （9 分）如图，一次函数 ykx+b 和反比例函数 的图象相交于 A（2，4） 、B（1 ，n）两点，一次函数的图象交 x 轴于点 D（1）直接写出一次函数与反比例函数的解析式（2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集（3）过点 A 作直线 ACx 轴，垂足为点 C，过点 B 的直线交 x 轴于点 E，交直线 AC于点 F，若ECFACD，求点 E 的坐标【分析】 （1）把点 A 坐标代入反比例
38、函数 表达式得：m8，求出点 B（1，8） ，把点 A、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）由图象函数交点即可求解；（3）证明ECFEMB，而ECFACD，则ACDEBM，即： ，即可求解【解答】解：（1）把点 A 坐标代入反比例函数 表达式得：m8，则点 B（1，8） ，将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式得： ，解得： ，故一次函数与反比例函数的解析式分别为：y 、y4x4；（2）由图象可以看出不等式 的解集为：x1 或 0x2；（3）过点 B 作 BMx 轴于点 M，第 26 页（共 35 页）由点 A、B 的坐标可知：AC4，OC2，OM 1，BM8，由 y4x4，当 y0
39、 时，x1，故 OD1，CD1，ACx 轴，BMx 轴，ECFEMB，而ECFACD，ACDEBM， ，即： ，故：EM32，OE 31 或 33，就点 E 坐标为（31，0）或（33，0） 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似的知识，综合性强，难度适中21 （10 分）某校九年级组织有奖知识竞赛，派小明去购买 A、B 两种品牌的钢笔作为奖品已知一支 A 品牌钢笔的价格比一支 B 品牌钢笔的价格的多 5 元，且买 100 元 A 品牌钢笔与买 50 元 B 品牌钢笔数目相同（1）求 A、B 两种品牌钢笔的单价分别为多少元？（2）根据活动的设奖情况，决定购买 A、B
40、 两种品牌的钢笔共 100 支，如果设购买 A品牌钢笔的数量为 n 支，购买这两种品牌的钢笔共花费 y 元直接写出 y（元）关于 n（支）的函数关系式；如果所购买 A 品牌钢笔的数量不少于 B 品牌钢笔数量的 ，请你帮助小明计算如何购买，才能使所花费的钱最少？此时花费是多少？【分析】 （1）根据题意可以列出相应的分式方程，注意分式方程要检验，从而可以解答本题；（2） 根据题意可以写出 y（元）关于 n（支）的函数关系式；根据所购买 A 品牌钢笔的数量不少于 B 品牌钢笔数量的 和中函数关系式可以解第 27 页（共 35 页）答本题【解答】解：（1）设一支 B 品牌钢笔的价格为 x 元，则一支
41、A 品牌钢笔的价格为（5+x）元，解得，x5，经检验，x5 是原方程的解，当 x5 时，x+510，答：一支 A、B 品牌的钢笔价格分别为 10 元和 5 元；（2） 由题意可得，y10n+（100n）55n+500，即 y（元）关于 n（支）的函数关系式 y5n+500；由题意可得，n ，解得，n25，y5n+500，当 n25 时，y 取得最小值，此时，y625，100n75，答：购买 A 品牌钢笔 25 支，B 品牌钢笔 75 支，花钱最少此时的花费为 625 元【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次方程的应用，不等式应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性
42、质和不等式的性质解答22 （10 分）问题背景如图（1） ，在四边形 ABCD 中，B+D 180，ABAD ，BAD，以点 A 为顶点作一个角，角的两边分别交 BC，CD 于点 E，F ，且EAF ，连接 EF，试探究：线段 BE，DF ，EF 之间的数量关系第 28 页（共 35 页）（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当BADBD 90 时”如图（2） ，小明很快写出了：BE，DF ，EF 之间的数量关系为 BE+DFEF （2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段 BE，DF，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由
43、（3）解决问题如图（3） ，在ABC 中，BAC90，ABAC 4，点 D，E 均在边 BC 上，且DAE45，若 BD ，请直接写出 DE 的长【分析】 （1）将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90，得到ADG，据此知AEAG ，BEDG，BAEDAG 证AFEAFG 得 EFFG ，从而得出答案；（2）将ABE 绕点 A 逆时针旋转 得到ADH，知ABE ADH，BAEDAH，AEAH，BEDH，证 AEFAHF 得EFFH DF+ DHDF +BE；（3）将AEC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到AEB，连接 DE据此知BEEC，AEAE，CABE，EACEAB ，由 ABAC 4 知AB
44、C+ABE 90，即EBD90，从而得 EB 2+BD2ED 2易证AEDAED 得 DEDE，根据 DE2BD 2+EC2 可得答案【解答】解：（1）BE+DF EF，如图 1，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90，得到ADG，第 29 页（共 35 页）ADCBADG 90，FDG 180 ，即点 F，D ，G 共线由旋转可得 AEAG ，BEDG，BAEDAG BAE +DAFBADEAF904545，DAG +DAF 45，EAF FAG，AFE AFG（SAS） ，EFFG 又FGDG +DFBE+DF，BE+DFEF ，故答案为：BE+DFEF （2）成立证明：如图 2，将ABE
45、绕点 A 逆时针旋转 得到ADH，可得ABE ADH，BAEDAH，AEAH，BEDH B+ADC180，ADH +ADC180，点 C，D，H 在同一直线上第 30 页（共 35 页）BAD， EAF ，BAE +FAD ，DAH +FAD ，FAHEAF，又AFAF，AEF AHF（SAS） ，EFFH DF+ DHDF +BE；（3）DE ，如图 3，将AEC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到AEB，连接 DE可得 BEEC ，AE AE，CABE，EACEAB ，在 Rt ABC 中，ABAC 4，ABCACB45，BC 4 ，ABC+ ABE 90，即EBD90，EB 2+BD2ED 2易证AED AED，DEDE ，DE 2BD 2+EC2，即 DE2 ，解得 【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的有关性质等知识点
