1、2019 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Mx |x|3 ，N x|1og3x1，则 MN 等于（ ）A Bx|0x3 C x|x3 D x|3x32 （5 分）已知 i 为虚部单位，若（ 1+i）z1i，则 （ ）Ai Bi C1+i D1i3 （5 分）若 cos（ +） ，且 （ ，） ，则 sin（2 ）（ ）A B C D4 （5 分）已知抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，直线 y （x2）与 C 交于 A，B（A 在x 轴上方）两
2、点，若 m ，则实数 m 的值为（ ）A B3 C2 D5 （5 分）下列四个命题：样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；某校高三一级部和二级部的人数分别是 m，n，本次期末考试两级部数学平均分分别是 a，b，则这两个级部的数学平均分为 ；某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查，现将 800 名学生从 001 到 800进行编号，已知从 497512 这 16 个数中取得的学生编号是 503，则初始在第 1 小组001016 中随机抽到的学生编号是 007其中命题正确的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个6 （5
3、分）正四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则异面直线 EF 与 CD 所成的角为（ ）A B C D7 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+） 的部分图象如图所示，若 ，且 f（x 1）f（x 2） （x 1x 2） ，则 f（x 1+x2）（ ）A1 B C D8 （5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则（ + ）的最小值是（ ）A2 B C D19 （5 分）设函数 f（x ）xcosxsinx 的图象上的点（x 0，y 0）处的切线的斜率为 k，若kg（x 0） ，则函数 g（x）的大致图象为（ ）ABCD10 （5
4、分）已知 F1、F 2 分别是双曲线 C： 1 的左、右焦点，若 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为（ ）A2 B C3 D11 （5 分）数列a n满足 a11，对任意 nN*的都有 an+11+a n+n，则 +（ ）A B2 C D12 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f（x） ，若 f（x）+f （x ）1，f（0）2018，则不等式 exf（x）e x+2017（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A （，0）（0，+） B （，0）（2017，+）C （2017，+） D （0，+ ）
5、二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13 （5 分）已知函数 f（x ） ，则不等式 f（f （1） ） 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 的取值范围为 15 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 16 （5 分）在ABC 中，已知 c2，若 sin2A+sin2BsinAsinBsin 2C，则 a+b 的取值范围 三、解答题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据
6、要求作答17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Snn 2+2n，等比数列 bn满足 b2a 1，b 3a 4（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）求数列a nbn的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABACAA 12， ，D，E 分别是 BC，CC 1 的中点（1）证明：平面 ADB1平面 ADE；（2）求三棱锥 DAB 1E 的高19 （12 分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在50，100 内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表百分制 85 分及以上 70 分到
7、84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 A B C D规定：A，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60）60，70） ，70，80） ，80 ，90）90，00的分组作出频率分布直方图如图1 所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示（1）求 n 和频率分布直方图中的 x，y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到 0.1） ；（3）在选取的样本中，从 A，D 两个等级的学生中随机抽取 2 名学生进行
8、调研，求至少有一名学生是 A 等级的概率20 （12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，右焦点 F2 到直线l1：3x +4y0 的距离为 （）求椭圆 C 的方程；（）过椭圆右焦点 F2 斜率为 k（k 0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线 AE，AF 分别交直线 x3 于点 M，N ，线段 MN 的中点为 P，记直线PF2 的斜率为 k，求证：k k为定值21 （12 分）设函数 f（x ） alnxa R（1）求函数 yf（x）的单调区间和极值（2）若函数 f（x ）在区间（1，e 2内恰有两个零点，求 a 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22
9、 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 2 sin（1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（1， ） ，求| PA|+|PB|的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|+|x+1|+2（1）求不等式 f（x ）6 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x）a 2a2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围2019 年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）参
10、考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Mx |x|3 ，N x|1og3x1，则 MN 等于（ ）A Bx|0x3 C x|x3 D x|3x3【分析】化简集合 M、N，根据交集的定义写出 MN 【解答】解：集合 Mx |x|3 x|3x 3 ，Nx|1og 3x1x|0x 3，则 MN x|0x 3故选：B【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2 （5 分）已知 i 为虚部单位，若（ 1+i）z1i，则 （ ）Ai Bi C1+i D1i【分析】求出 z，从而求出其共
11、轭复数即可【解答】解：若（1+i）z 1i ，则 z i，则 i，故选：A【点评】本题考查了复数的运算，考查共轭复数，是一道常规题3 （5 分）若 cos（ +） ，且 （ ，） ，则 sin（2 ）（ ）A B C D【分析】由题意利用诱导公式求得 sin，再利用同角三角函数的基本关系求得 cos，再利用二倍角的正弦公式求得要求式子的值【解答】解：cos（ +）sin ，且 （ ，） ，即 sin ，cos ，则 sin（ 2） sin22sin cos ，故选：D【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题4 （5 分）已知抛物线 C：y 28x 的焦
12、点为 F，直线 y （x2）与 C 交于 A，B（A 在x 轴上方）两点，若 m ，则实数 m 的值为（ ）A B3 C2 D【分析】作出抛物线的准线，设 A、B 在 l 上的射影分别是 A1、B 1，过 B 作 BMAA 1于 M由抛物线的定义结合题中的数据，可算出 RtABM 中，得 cosBAE ，即可求解【解答】解：设 A、B 在 l 上的射影分别是 A1、B 1，过 B 作 BMAA 1 于 M由抛物线的定义可得出 RtABM 中，得BAM 60，cos60 ，解得 m3故选：B【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的转化思想，是中档题5 （5 分）下
13、列四个命题：样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；某校高三一级部和二级部的人数分别是 m，n，本次期末考试两级部数学平均分分别是 a，b，则这两个级部的数学平均分为 ；某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查，现将 800 名学生从 001 到 800进行编号，已知从 497512 这 16 个数中取得的学生编号是 503，则初始在第 1 小组001016 中随机抽到的学生编号是 007其中命题正确的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】 根据样本方差的定义进行判断，根据平均数的定义进行判断，根据系统抽样的定义
14、求出样本间隔，解方程即可【解答】解：样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；正确某校高三一级部和二级部的人数分别是 m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是 a、b，则这两个级部的数学平均分为 ；故错误某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查，则样本间隔为 8005016，已知从 497512 这 16 个数中取得的学生编号是 503，则设在初始在第 1 小组 00l 016 中随机抽到的学生编号是 x则 5031631+x，得 x7，在第 1 小组 1l6 中随机抽到的学生编号是 007 号，故正确，故正确的是 ，故选：C【点评
15、】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大6 （5 分）正四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则异面直线 EF 与 CD 所成的角为（ ）A B C D【分析】取 BD 中点 O，连结 EO、FO ，则 OFCD，OEAB，且 OFOE ，从而EFO 是异面直线 EF 与 CD 所成的角，由此能求出异面直线 EF 与 CD 所成的角【解答】解：取 BD 中点 O，连结 EO、FO ，设正四面体的棱长为 a，则 OFCD，OEAB ，且 OFOE ，EFO 是异面直线 EF 与 CD 所成的角，取 CD 中点 G，连结 BG、AG，则 AGCD
16、，BGCD，BGAG G ，CD平面 ABG，AB 平面 ABG，CDAB，OFOE ，EFO 异面直线 EF 与 CD 所成的角为 故选：B【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+） 的部分图象如图所示，若 ，且 f（x 1）f（x 2） （x 1x 2） ，则 f（x 1+x2）（ ）A1 B C D【分析】由图象可得 A1，由周期公式可得 2，代入点（ ，0）可得 值，进而可得 f（x）sin（2x + ） ，再由题意可得 x1+x2 ，代入计算可
17、得【解答】解：由图象可得 A1， ，解得 2，f（x）sin（2x +） ，代入点（ ，0）可得 sin（ +）0 +k，k ，kZ又| ， ，f（x）sin（2x + ） ，sin（2 + ）1，即图中点的坐标为（ ，1） ，又 ，且 f（x 1）f（x 2） （x 1x 2） ，x 1+x2 2 ，f（x 1+x2）sin （2 + ） ，故选：D【点评】本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题8 （5 分）已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则（ + ）的最小值是（ ）A2 B C D1【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公
18、式进行计算即可【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，则 A（0， ） ，B（1，0） ，C （1，0） ，设 P（x ，y） ，则 （x， y） ， （1x，y） ， （1x，y） ，则 （ + ）2x 22 y+2y22x 2+（y ） 2 当 x0，y 时，取得最小值 2（ ） ，故选：B【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键9 （5 分）设函数 f（x ）xcosxsinx 的图象上的点（x 0，y 0）处的切线的斜率为 k，若kg（x 0） ，则函数 g（x）的大致图象为（ ）ABCD【分析】求出函数的导数，得到函
19、数的解析式，然后判断函数的图象即可【解答】解：函数 yx cosx sinx，可得 yxsin x，在点（x 0，y 0）处的切线的斜率为 k，若 kg（x 0）x 0sinx0，函数 k 是偶函数，排除A，D，当 x0 时，k 0，显然 C 不正确，B 正确；故选：B【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的图象，考查计算能力10 （5 分）已知 F1、F 2 分别是双曲线 C： 1 的左、右焦点，若 F2 关于渐近线的对称点恰落在以 F1 为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为（ ）A2 B C3 D【分析】求出 F2 到渐近线的距离，利用 F2 关于渐近线的对称点恰落在
20、以 F1 为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，F 1（c，0） ，F 2（c ，0） ，一条渐近线方程为 ，则 F2 到渐近线的距离为 b设 F2 关于渐近线的对称点为 M，F 2M 与渐近线交于 A，| MF2|2b，A 为 F2M 的中点又 0 是 F1F2 的中点，OA F 1M，F 1MF2 为直角，MF 1F2 为直角三角形，由勾股定理得 4c2c 2+4b23c 24（c 2a 2） ，c 24 a2，c2a，e2故选：A【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题11 （5 分）数列a
21、n满足 a11，对任意 nN*的都有 an+11+a n+n，则 +（ ）A B2 C D【分析】根据题意，将 an+11+ an+n 变形可得 an+1a n n+1，进而可得an（a na n1 ）+（a n1 a n2 ）+ （a 2a 1）+a 1n+（n1）+ +1，变形可得 ；据此由数列求和的方法分析可得答案【解答】解：根据题意，数列a n满足对任意 nN*的都有 an+11+a n+n，则an+1a nn+1，则 an（a na n1 ）+（a n1 a n2 ）+ （a 2a 1）+a 1n+（n1）+ +1，则 ；则 + 2（1 ）+（ ）+（ ）2（1 ） ；故选：C【点评
22、】本题考查数列的递推公式和数列的求和，关键是求出数列的通项公式，属于综合题12 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f（x） ，若 f（x）+f （x ）1，f（0）2018，则不等式 exf（x）e x+2017（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A （，0）（0，+） B （，0）（2017，+）C （2017，+） D （0，+ ）【分析】构造函数 g（x）e xf（x）e x，通过求导及已知不等式可得出 g（x）为递增函数，再将原不等式化为 g（x）g（0）可解得【解答】解：令 g（x）e xf（x）e x，则 g（x）e xf（x）+e xf（x ）e
23、 xe x（f（x）+f（x）1） ，f（x）+f（x ）1，f（x）+f（x ）10，g（x）0，g（x ）在 R 上为单调递增函数，g（0）f（0）12018 12017原不等式可化为 g（x）g（0） ，根据 g（x）的单调性得 x0故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13 （5 分）已知函数 f（x ） ，则不等式 f（f （1） ） 16 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（1）4，进而计算 f（4）的值可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ） ，则 f（1）16+9 4，则 f（f（1
24、） ）2 416；故 f（f（1） ）16；故答案为：16【点评】本题考查分段函数函数值的计算，关键是分析分段函数解析式的形式，属于基础题14 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 的取值范围为 （ ， 【分析】实数 x，y 满足 ，表示一个三角形区域（包含边界） ，三角形的三个顶点的坐标分别为 A（0，1） ，B（1，2） ，C （0，2） ， 的几何意义是点（x，y）与 P（2，0）连线的斜率，由此可求结论【解答】解：实数 x，y 满足 ，表示一个三角形区域（包含边界） ，三角形的三个顶点的坐标分别为 A（ ，1） ，B（3，1） ，C（ ， ） ，的几何意义是点（x，y ）与 P（2，
25、0）连线的斜率，由于 PC 的斜率为 ，PB 的斜率为： 所以 则 的取值范围为：（ ， 故答案为：（ ， 【点评】本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义15 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知几何体的后侧面与底面垂直，高为 ，结合直观图判定外接球的球心在后侧面的高 SO 上，利用球心到 A、S 的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面 SAC 与底面垂直，高SO 为 ，如图：
26、其中 OAOB OC1，SO平面 ABC，其外接球的球心在 SO 上，设球心为 M，OMx，则 xx ，外接球的半径 R ，几何体的外接球的表面积 S4 故答案为：【点评】本题考查三视图复原几何体形状的判断，几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与计算能力16 （5 分）在ABC 中，已知 c2，若 sin2A+sin2BsinAsinBsin 2C，则 a+b 的取值范围 （2，4 【分析】sin 2A+sin2Bsin AsinBsin 2C，由余弦定理可得：a 2+b2abc 2，再利用余弦定理可得 C由正弦定理可得： ，解出 a，b 代入 a+b，利用和差公式、三角函数的单调性与
27、值域即可得出【解答】解：sin 2A+sin2BsinAsin Bsin 2C，由余弦定理可得：a 2+b2abc 2，可得 cosC ，C （0，） ，C 由正弦定理可得： ，a sinA，b sinB，B A则 a+b sinA+ sinB sinA+ sin（ A）4sin ，A ， ，sin ，a+b（2，4故答案为：（2，4【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要
28、求作答17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Snn 2+2n，等比数列 bn满足 b2a 1，b 3a 4（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）求数列a nbn的前 n 项和 Tn【分析】 （1）由数列的递推式：n1 时，a 1S 1；n2 时，a nS nS n1 ，化简整理可得a n的通项公式；再由等比数列的通项公式，计算可得所求b n的通项公式；（2）求得 anbn（2n+1）3 n1 ，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和【解答】解：（1）S nn 2+2n，可得 a1S 13；n2 时，a nS nS n1 n 2+2n（n1） 22（n1）
29、2n+1；上式对 n1 也成立，可得 an2n+1，nN*，等比数列b n的公比设为 q，b 2a 13，b 3a 49，可得 q 3，则 bn3 n1 ；（2）a nbn（2n+1）3 n1 ，可得前 n 项和 Tn33 0+531+（2n+1）3 n1 ，3Tn33+53 2+（2n+1）3 n，两式相减可得2T n3+2 （3 1+32+3n1 ）（2n+1）3 n3+2 （2n+1）3 n，化简可得 Tnn3 n【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题18 （12 分）如图，直三棱
30、柱 ABCA 1B1C1 中，ABACAA 12， ，D，E 分别是 BC，CC 1 的中点（1）证明：平面 ADB1平面 ADE；（2）求三棱锥 DAB 1E 的高【分析】 （1）由已知得： ，RtB 1BDRtDCE，可得B1DDE，ADBC，B 1D平面 ADE，可得平面 ADB1平面 ADE；（2）设三棱锥 DAB 1E 的高为 h，由 ，得：，h1【解答】解：（1）由已知得：所以 RtB 1BDRtDCE所以BB 1D CDE，所以 B1DDE又因为 ABAC ，D 是 BC 的中点，所以 ADBC所以 AD平面 BCC1B1，所以 ADB 1D而 ADDE D ，所以 B1D平面
31、ADE又 B1D平面 ADB1，所以平面 ADB1平面 ADE；（2）设三棱锥 DAB 1E 的高为 h，因为，所以 ，由 ，得： ，所以 ，所以 ，由 ，得： ，所以 h1【点评】本题考查了空间线面位置关系，等体积法球高，属于中档题19 （12 分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在50，100 内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表百分制 85 分及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下等级 A B C D规定：A，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取
32、了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60）60，70） ，70，80） ，80 ，90）90，00的分组作出频率分布直方图如图1 所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示（1）求 n 和频率分布直方图中的 x，y 的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到 0.1） ；（3）在选取的样本中，从 A，D 两个等级的学生中随机抽取 2 名学生进行调研，求至少有一名学生是 A 等级的概率【分析】 （1）由题意求出样本容量，再计算 x、y 的值，用频率估计概率值；（2）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即
33、可；（3）由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（1）由题意知，样本容量 n 50，x 0.004，y 0.018；因为成绩是合格等级人数为：（10.1）5045 人，抽取的 50 人中成绩是合格等级的概率为 P ，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为 ；（2）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为 70+ 1073.9；（3）由茎叶图知，A 等级的学生有 3 人，D 等级的学生有 0.1505 人，记 A 等级的学生为 A、B 、C，D 等级的学生为 d、e、f 、g、h，从这 8 人中随机抽取 2 人，基本事件是：AB、AC、Ad 、Ae 、Af、
34、Ag 、Ah、BC 、Bd、Be 、Bf 、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf 、Cg 、Ch、de、df 、dg、dh、ef 、eg、eh、fg、fh 、gh 共 28 个；至少有一名是 A 等级的基本事件是：概率AB、AC、Ad 、Ae 、Af、Ag 、Ah、BC 、Bd、Be 、Bf 、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf 、Cg 、Ch 共 18 个；故所求的概率为 P 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题20 （12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，右焦点 F2 到直线l1：3x +4y0 的距离为 （）求椭圆 C 的方程；（）过椭圆右焦点 F
35、2 斜率为 k（k 0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线 AE，AF 分别交直线 x3 于点 M，N ，线段 MN 的中点为 P，记直线PF2 的斜率为 k，求证：k k为定值【分析】 （）由椭圆的离心率等于 ，结合右焦点 F2 到直线 l1：3x+4y0 的距离为联立方程组求解 a，c 的值，进一步求得 b 的值，则椭圆 C 的方程可求；（）设过点 F2（1，0）的直线 l 方程为：yk（x1） ，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求得 E，F 两点的横坐标的和与积，写出 AE 和 AF 的方程，取 x3 求得点 M和点 P 的坐标，由两点求斜率公式求得直
36、线 PF2 的斜率为 k，代入 kk整理为定值【解答】 （）解：由题意得 ， ，c1，a2，所求椭圆方程为 ；（）设过点 F2（1，0）的直线 l 方程为：yk（x1） ，再设点 E（x 1， y1） ，点 F（x 2，y 2） ，将直线 l 方程 yk（x1）代入椭圆 ，整理得：（4k 2+3）x 28k 2x+4k2120点 P 在椭圆内，直线 l 和椭圆都相交， 0 恒成立，且 ，直线 AE 的方程为： ，直线 AF 的方程为： 令 x3，得点 ， ，点 P 的坐标 ，直线 PF2 的斜率为 ，将 代入上式，得：kk为定值 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，
37、直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题21 （12 分）设函数 f（x ） alnxa R（1）求函数 yf（x）的单调区间和极值（2）若函数 f（x ）在区间（1，e 2内恰有两个零点，求 a 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间和极值即可；（2）通过讨论 a 的范围，若满足 f（x ）在区间（1，e 2内恰有两个零点，需满足，解出即可【解答】解：（1）由 f（x ） alnx，得 f（x ）x （x0） ，当 a 0
38、时， f（x ）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，函数无极大值，也无极小值；当 a 0 时，由 f（x ） 0，得 x 或 x （舍去） 于是，当 x 变化时，f（x）与 f（x ）的变化情况如下表：x （0， ） （ ，+ ）f（x） 0 +f（x） 递减 递增所以函数 f（x）的单调递减区间是（0， ） ，单调递增区间是（ ，+） 函数 f（x）在 x 处取得极小值 f（ ） ，无极大值综上可知，当 a0 时，函数 f（x ）的单调递增区间为（0，+） ，函数既无极大值也无极小值；当 a0 时，函数 f（x ）的单调递减区间是（0， ） ，单调递增区间为（ ，+） ，函数 f（x）
39、有极小值 ，无极大值（2）当 a0 时，由（1）知函数 f（x ）在区间（0，+）上单调递增，故函数 f（x）在区间（ 1，e 2上至多有一个零点，不合题意当 a0 时，由（1）知，当 x（0， ）时，函数 f（x）单调递减；当 x（ ，+）时，函数 f（x）单调递增，所以函数 f（x）在（ 0，+）上的最小值为 f（ ） 若函数 f（x）在区间（ 1，e 2内恰有两个零点，则需满足 ，即 整理得 ，所以 ea 故所求 a 的取值范围为（e， 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐
40、标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 2 sin（1）求圆 C 的直角坐标方程；（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（1， ） ，求| PA|+|PB|的值【分析】 （1）圆 C 的方程 l 转化为 ，由此能求出圆 C 的直角坐标方程（2）将直线 l 的参数方程为 代入 5，得 ，由此能求出|PA|+|PB|【解答】解：（1）圆 C 的方程为 2 sin，即 ，圆 C 的直角坐标方程为 x2+y22 y，即 x2+（y ） 25（
41、2）将直线 l 的参数方程为 （t 为参数）代入 5，得：（1+ t） 2+（ t） 25，即 ，2+160，设 t1，t 2 是上述方程的根，则 t1+t2 ，t 1t24，点 P 的坐标为（1， ） ，|PA|+|PB|t 1t 2| 3 【点评】本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|+|x+1|+2（1）求不等式 f（x ）6 的解集；（2）若关于 x 的不等式 f（x）a 2a2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）由题
42、意不等式 f（x ）6 可化为 或 或 ，求出不等式 f（x ）6 的解集即可；（2）求出函数 f（x ）的最小值，把不等式 f（x）a 2a2 在 R 上恒成立，化为a2a24，求出解集即可【解答】解：（1）函数 f（x）|x1|+| x+1|+2 ，不等式 f（x） 6 可化为：或 或 ，解得 x2 或 x2，不等式 f（x） 6 的解集为 x|x2 或 x2；（2）f（x） |x1|+|x+1|+2| （x1）（x+1）|+24，若关于 x 的不等式 f（x）a 2a2 在 R 上恒成立，则 a2a24，即 a2a60，解得2a3，实数 a 的取值范围是2a3【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题
