1、第 1 页（共 26 页）2019 年人教版九年级上24.1.2 垂直于弦的直径同步练习卷一选择题（共 12 小题）1如图，在半径为 5cm 的O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB 的长是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm2如图，AB，BC 是O 的两条弦， AOBC ，垂足为 D，若O 的半径为 5，BC8，则AB 的长为（ ）A8 B10 C D3过O 内一点 P 的最长弦长为 10cm，最短弦长为 8cm，那么 OP 的长为（ ）A9 B C6 D34如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，OC5cm，CD8cm，则 AE（ ）A8cm B5c
2、m C3cm D2cm5如图，四边形 ABCD 内接于圆，则该圆的圆心可以这样确定（ ）第 2 页（共 26 页）A线段 AC，BD 的交点即是圆心B线段 BD 的中点即是圆心CA 与B 的角平分线交点即是圆心D线段 AD，AB 的垂直平分线的交点即是圆心6已知如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，CD6，AE1，则O 的直径为（ ）A6 B8 C10 D127如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径为（ ）A cm B9 cm C cm D cm8如图，已知O 的半径为 10，弦 AB12，M 是 AB 上任意一点，则线段 OM 的长可能是
3、（ ）A5 B7 C9 D119一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB10，水面宽 AB16，则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是（ ）A4 B5 C6 D6第 3 页（共 26 页）10 九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED1 寸） ，锯道长 1 尺（AB 1 尺10 寸） ”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：
4、圆柱形木材的直径 AC 是（ ）A13 寸 B20 寸 C26 寸 D28 寸11如图，圆弧形桥拱的跨度 AB12 米，拱高 CD4 米，则拱桥的半径为（ ）A6.5 米 B9 米 C13 米 D15 米12如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的 ） ，点 O 是这段弧的圆心，C 是 上一点，OCAB，垂足为 D， AB160m ，CD40m，则这段弯路的半径是（ ）A60m B80m C100m D120m二填空题（共 4 小题）13在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5 为半径的O 与直线 ykx+2k+3（k0）交于 A，B 两点，则弦 AB 长的最小值是 14如图，半圆 O 的直径 A
5、B8，半径 OCAB，D 为弧 AC 上一点，DEOC，DFOA，垂足分别为 E、F，则 EF 的长 第 4 页（共 26 页）15如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，P 与 x 轴交于O，A 两点，点 A 的坐标为（ 6，0） ，P 的半径为 ，则点 P 的坐标为 16如图，将半径为 2 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为 三解答题（共 7 小题）17如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE2，EB6，DEB30，求弦 CD长18如图，AB 是O 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，AEBF，请找出线段OE
6、与 OF 的数量关系，并给予证明19已知 AB 为O 的弦，C、D 在 AB 上，且 ACCD DB，求证：AOCDOB第 5 页（共 26 页）20如图，O 的半径 OB 5cm，AB 是 O 的弦，点 C 是 AB 延长线上一点，且OCA30，OC8cm，求 AB 的长21已知如图（1） ，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于 H，OEAC 于 E，猜想 OE 与 BD的数量关系是 探索：若： AB 不是 O 的直径，其他的条件不变 如图（2）则（1）中的结论是否成立？如果成立，请给予证明，不成立，请说明理由若： AB，CD 的位置关系不变，但其交点在O 外 如图（3），则上述结论还成立
7、吗？请说明你的判断依据22 “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD 为 O 的直径，弦 ABCD 于点 E，CE1 寸，AB10 寸，则直径 CD 的长为多少？23如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点 A，B，C第 6 页（共 26 页）（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设ABC 是等腰三角形，底边 BC8cm，腰 AB5cm，求圆片的半径 R第 7 页（共 26 页）参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1如图，在半
8、径为 5cm 的O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB 的长是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm【分析】连结 OA易知在 RtAOC 中OAr 5cm， OC3cm，根据勾股定理可知AC4cm所以 AB2AC8cm【解答】解：连接 OA，OCAB ，AB2AC，在 Rt OAC 中， AC 4（cm） ，AB8cm故选：C【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理本题难度较低，主要考查学生对圆的知识点的学习2如图，AB，BC 是O 的两条弦， AOBC ，垂足为 D，若O 的半径为 5，BC8，则AB 的长为（ ）第 8 页（共 26 页）A8 B10 C D【分析】
9、根据垂径定理求出 BD，根据勾股定理求出 OD，求出 AD，再根据勾股定理求出 AB 即可【解答】解：连接 OB，AOBC，AO 过 O，BC 8，BDCD4，BDO90，由勾股定理得：OD 3，ADOA +OD5+38，在 Rt ADB 中，由勾股定理得：AB 4 ，故选：D【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出 BD 长是解此题的关键3过O 内一点 P 的最长弦长为 10cm，最短弦长为 8cm，那么 OP 的长为（ ）A9 B C6 D3【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是 10cm；最短弦即是过点 P 且垂直于过点 P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得 CP
10、 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得 OP 的长【解答】解：如图所示，CDAB 于点 P根据题意，得AB10cm，CD8cm CDAB ，第 9 页（共 26 页）CP CD4cm根据勾股定理，得 OP 3（cm） 故选：D【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦4如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，OC5cm，CD8cm，则 AE（ ）A8cm B5cm C3cm D2cm【分析】根据垂径定理可得出 CE 的长度，在 RtOCE 中，利用勾股定理可得出 OE 的长度，再利用 AEAO +OE 即可得出 AE 的长度【解答】解：弦 CDA
11、B 于点 E，CD8cm，CE CD4cm在 Rt OCE 中， OC5cm，CE 4cm，OE 3cm ，AEAO +OE5+38cm故选：A【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出 OE 的长度是解题的关键5如图，四边形 ABCD 内接于圆，则该圆的圆心可以这样确定（ ）A线段 AC，BD 的交点即是圆心B线段 BD 的中点即是圆心第 10 页（共 26 页）CA 与B 的角平分线交点即是圆心D线段 AD，AB 的垂直平分线的交点即是圆心【分析】根据四边形 ABCD 的外接圆的圆心，就是ABD 的外接圆的圆心，即可判断【解答】解：因为四边形 ABCD 的外接圆的
12、圆心，就是ABD 的外接圆的圆心，所以线段 AD、AB 的垂直平分线的交点，是ABD 外接圆的圆心，即为四边形 ABCD外接圆的圆心故选：D【点评】本题考查三角形外接圆、四边形外接圆等知识，解题的关键是记住三角形外接圆的圆心是三角形两边的垂直平分线的交点，属于中考常考题型6已知如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，CD6，AE1，则O 的直径为（ ）A6 B8 C10 D12【分析】连接 OC，根据题意 OEOC 1，CE3，结合勾股定理，可求出 OC 的长度，即可求出直径的长度【解答】解：连接 OC，弦 CDAB 于 E，CD6，AE1，OEOC1，CE3，OC 2（OC1） 2+
13、32，OC5，AB10故选：C第 11 页（共 26 页）【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接 OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半径 OC 的长度7如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径为（ ）A cm B9 cm C cm D cm【分析】连接 OA、OB、OE，证 RtADORtBCO，推出 ODOC，设 ADa，则OD a，由勾股定理求出 OAOB OE a，求出 EFFC 4cm ，在OFE 中由勾股定理求出 a，即可求出答案【解答】解：连接 OA、OB 、OE ，四边形 ABCD 是正方形，ADBC，ADO BC
14、O90，在 RtADO 和 RtBCO 中 ，RtADORtBCO，ODOC，四边形 ABCD 是正方形，ADDC，设 ADacm，则 ODOC DC AD acm，第 12 页（共 26 页）在AOD 中，由勾股定理得：OA OBOE acm，小正方形 EFCG 的面积为 16cm2，EFFC4cm，在OFE 中，由勾股定理得： 4 2+ ，解得：a4（舍去） ，a8，a4 （cm） ，故选：C【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想8如图，已知O 的半径为 10，弦 AB12，M 是 AB 上任意一点，则线段 OM
15、 的长可能是（ ）A5 B7 C9 D11【分析】由题意知，OM 的最大值是 10，弦 AB 的弦心距是 OM 的最小值，利用垂径定理和勾股定理，可求出 OM 的最小值为 8，因而答案中只有 9 符合条件【解答】解：过点 O 作 OMAB，垂足为 MOM AB，AB12AMBM6在 Rt OAM 中，OM 所以 8OM 10故选：C【点评】本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，一般是构造直角三角形，利第 13 页（共 26 页）用勾股定理解题9一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB10，水面宽 AB16，则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是（ ）A4 B5 C6 D6【分析】
16、根据垂径定理求出 BC，根据勾股定理求出 OC 即可【解答】解：OCAB，OC 过圆心 O 点，BCAC AB 168，在 Rt OCB 中，由勾股定理得：OC 6，故选：D【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出 BC 是解决问题的关键10 九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED1 寸） ，锯道长 1 尺（AB 1 尺10 寸） ”，问
17、这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径 AC 是（ ）A13 寸 B20 寸 C26 寸 D28 寸【分析】设O 的半径为 r在 RtADO 中，AD 5，ODr1，OAr，则有r25 2+（r 1） 2，解方程即可；【解答】解：设O 的半径为 r在 Rt ADO 中，AD5，ODr1，OA r，第 14 页（共 26 页）则有 r25 2+（ r1） 2，解得 r13， O 的直径为 26 寸，故选：C【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型11如图，圆弧形桥拱的跨度 AB12 米，拱高 CD4
18、 米，则拱桥的半径为（ ）A6.5 米 B9 米 C13 米 D15 米【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在 CD 所在的直线上，设圆心是 O连接 OA根据垂径定理和勾股定理求解【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在 CD 所在的直线上，设圆心是 O连接 OA根据垂径定理，得 AD6设圆的半径是 r，根据勾股定理，得 r236+（r4） 2，解得 r6.5故选：A【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算12如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的 ） ，点 O 是这段弧的圆心，C 是 上一点，OCAB，垂足为 D， AB
19、160m ，CD40m，则这段弯路的半径是（ ）A60m B80m C100m D120m【分析】设未知数，根据勾股定理列方程解出即可第 15 页（共 26 页）【解答】解：设这段弯路的半径是 rm，则 OAOCrm，OD （r40）m，OCAB ，AD AB80，在 Rt AOD 中，由勾股定理得：x 280 2+（x40） 2，解得：x100，则这段弯路的半径是 100m故选：C【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是关键，在圆中常利用勾股定理列方程求圆的半径，是常考题型二填空题（共 4 小题）13在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5 为半径的O 与直线 ykx+2k+3（
20、k0）交于 A，B 两点，则弦 AB 长的最小值是 4 【分析】直线 ykx2k +3 过定点 D（2，3） ，运用勾股定理可求出 OD，由条件可求出半径 OB，由于过圆内定点 D 的所有弦中，与 OD 垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题【解答】解：对于直线 ykx+2k+3k（x +2）+3，当 x 2 时，y3故直线 ykx+2k+3 恒经过点（2，3） ，记为点 D，过点 D 作 DHx 轴于点 H，则 OH2，DH3，OD ，由于过圆内定点 D 的所有弦中，与 OD 垂直的弦最短，因此运用垂径定理及勾股定理可得：AB 的最小值为 2BD2 4 ，故答案为：4 【点
21、评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线第 16 页（共 26 页）恒经过点（2，3）以及运用“过圆内定点 D 的所有弦中，与 OD 垂直的弦最短”是解决该选择题的关键14如图，半圆 O 的直径 AB8，半径 OCAB，D 为弧 AC 上一点，DEOC，DFOA，垂足分别为 E、F，则 EF 的长 4 【分析】连接 OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形 DEOF 是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论【解答】解：连接 ODOCAB ，DEOC，DFOA，AOCDEODFO 90，四边形 DEOF 是矩形，EFODODOAEFOA 4故答案为：4【
22、点评】本题考查了垂径定理，矩形的判定与性质，解题的关键是利用矩形的判定方法判定四边形 DFOE 为矩形15如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，P 与 x 轴交于O，A 两点，点 A 的坐标为（ 6，0） ，P 的半径为 ，则点 P 的坐标为 （3，2） 第 17 页（共 26 页）【分析】过点 P 作 PDx 轴于点 D，连接 OP，先由垂径定理求出 OD 的长，再根据勾股定理求出 PD 的长，故可得出答案【解答】解：过点 P 作 PD x 轴于点 D，连接 OP，A（6，0） ，PDOA ，OD OA 3，在 Rt OPD 中，OP ，OD3，PD 2，P（3，
23、2） 故答案为：（3，2） 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键16如图，将半径为 2 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为 2【分析】作 ODAB 于 D，连接 OA，先根据勾股定理得 AD 的长，再根据垂径定理得AB 的长【解答】解：作 ODAB 于 D，连接 OAODAB，OA2，OD OA 1，在 Rt OAD 中AD ，第 18 页（共 26 页）AB2AD 2 故答案为：2 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键三解答题（共 7 小题）17如图，O 直径 AB 和
24、弦 CD 相交于点 E，AE2，EB6，DEB30，求弦 CD长【分析】过 O 作 OF 垂直于 CD，连接 OD，利用垂径定理得到 F 为 CD 的中点，由AE+EB 求出直径 AB 的长，进而确定出半径 OA 与 OD 的长，由 OAAE 求出 OE 的长，在直角三角形 OEF 中，利用 30所对的直角边等于斜边的一半求出 OF 的长，在直角三角形 ODF 中，利用勾股定理求出 DF 的长，由 CD2DF 即可求出 CD 的长【解答】解：过 O 作 OFCD，交 CD 于点 F，连接 OD，F 为 CD 的中点，即 CF DF，AE2，EB6，ABAE+EB2+68，OA4，OEOA AE
25、422，在 Rt OEF 中，DEB30，OF OE1，在 Rt ODF 中，OF1，OD4，根据勾股定理得：DF ，则 CD2DF2 第 19 页（共 26 页）【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含 30直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键18如图，AB 是O 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，AEBF，请找出线段OE 与 OF 的数量关系，并给予证明【分析】过点 O 作 OHAB 于点 H，根据垂径定理得到 OEOF 即可【解答】解：OEOF理由如下：过点 O 作 OHAB 于点 H，OH 过圆心，OHABAHBH ，又AEBFAHAEB
26、HBE即 EHFH ，EHFH ，OHEFOH 垂直平分 EF，OEOF 【点评】本题主要考查了垂径定理，关键是根据圆的性质，垂径定理等知识的综合应用及推理论证能力19已知 AB 为O 的弦，C、D 在 AB 上，且 ACCD DB，求证：AOCDOB第 20 页（共 26 页）【分析】先根据等腰三角形的性质由 OAOB 得到A B，再利用“SAS”证明OACOBD ，然后根据全等三角形的性质得到结论【解答】证明：OAOB，AB ，在OAC 和OBD 中，OACOBD（SAS ） ，AOCDOB【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）
27、 也考查了全等三角形的判定与性质20如图，O 的半径 OB 5cm，AB 是 O 的弦，点 C 是 AB 延长线上一点，且OCA30，OC8cm，求 AB 的长【分析】首先过点 O 作 ODAB 于点 D，连接 OA，由在 RtODC 中，OCA30，OC8cm ，可求得 OD 的长，由在 RtOAD 中，OA 5cm ，即可求得 AD 的长，继而求得答案【解答】解：过点 O 作 ODAB 于点 D，连接 OA，在 RtODC 中，OCA30，OC8cm ，OD OC4cm ，第 21 页（共 26 页）在 RtOAD 中，OA5cm，AD 3，AB2AD 6【点评】此题考查了垂径定理以及勾股
28、定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用21已知如图（1） ，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于 H，OEAC 于 E，猜想 OE 与 BD的数量关系是 BD2OE 探索：若： AB 不是 O 的直径，其他的条件不变 如图（2）则（1）中的结论是否成立？如果成立，请给予证明，不成立，请说明理由若： AB，CD 的位置关系不变，但其交点在O 外 如图（3），则上述结论还成立吗？请说明你的判断依据【分析】 （1）首先连接 BC，由 AB 是O 的直径，弦 CDAB，可得 BCBD，又由OEAC，易得 OE 是ABC 的中位线，继而证得 BD2OE ；（2） 首先连接
29、AO，并延长 AO 交O 于点 F，连接 CF，易得 OE 是ACF 的中位线，则可得 CF2OE，又由圆周角定理与弧与弦的关系，可证得 BDCF，继而证得结论；首先连接 AO，并延长 AO 交O 于点 F，连接 CF，易得 OE 是ACF 的中位线，则可得 CF2OE，又由圆周角定理与弧与弦的关系，可证得 BDCF，继而证得结论【解答】解：（1）连接 BC，AB 是O 的直径，弦 CDAB， ，BCBD，OEAC，AECE，第 22 页（共 26 页）AOBO ，BC2OE，BD2OE 故答案为：BD2OE（2） 成立理由：连接 AO，并延长 AO 交 O 于点 F，连接 CF，OEAC，A
30、ECE，OAOF ，CF2OE，AF 是直径，ACF90，CDAB ，AHC90，CAH+ACH90，ACH+DCF90，CAHDCF，CAHCDB，DCFCDB， ， ，CFBD，BD2OE 成立理由：连接 AO，并延长 AO 交 O 于点 F，连接 CF，OEAC，AECE，OAOF ，第 23 页（共 26 页）CF2OE，AF 是直径，ACF90，CDAB ，AHC90，CAH+ACH90，ACH+DCF90，CAHDCF，CAHCDB，DCFCDB， ， ，CFBD，BD2OE 【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧与弦的关系以及三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作
31、法，注意掌握数形结合思想的应用第 24 页（共 26 页）22 “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD 为 O 的直径，弦 ABCD 于点 E，CE1 寸，AB10 寸，则直径 CD 的长为多少？【分析】连接 OA 构成直角三角形，先根据垂径定理，由 DE 垂直 AB 得到点 E 为 AB 的中点，由 AB10 可求出 AE 的长，再设出圆的半径 OA 为 x，表示出 OE，根据勾股定理建立关于 x 的方程，求出方程的解即可得到 x 的值，即为圆的半径，把求出的半径代入
32、即可得到答案【解答】解：连接 OA，ABCD，且 AB10，AEBE5，设圆 O 的半径 OA 的长为 x，则 OCODxCE1，OEx1，在直角三角形 AOC 中，根据勾股定理得：x2（x1） 25 2，化简得：x 2x 2+2x125，即 2x26，解得：x13所以 CD26（寸） 【点评】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系23如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点 A，B，C（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）第 25 页（共 26
33、 页）（2）设ABC 是等腰三角形，底边 BC8cm，腰 AB5cm，求圆片的半径 R【分析】 （1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心 O；（2）构建直角BOE，利用勾股定理列方程可得结论【解答】解：（1）作法：分别作 AB 和 AC 的垂直平分线，设交点为 O，则 O 为所求圆的圆心；（2）连接 AO、BO，AO 交 BC 于 E，ABAC，AEBC，BE BC 84，在 Rt ABE 中，AE 3，设 O 的半径为 R，在 RtBEO 中，OB2BE 2+OE2，即 R24 2+（R3） 2，R ，答：圆片的半径 R 为 cm【点评】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，第 26 页（共 26 页）要注意作图和解题中垂径定理的应用
