1、高中数学必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： （ 1）元素的确定性； （ 2）元素的互异性； （ 3）元素的无序性 说明： (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅 需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个
2、特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 ， 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 （ 1）用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 （ 2）集合的表示方法：列举法与描述法。 （） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是 x R| x-32或 x| x-32 （ 3）图示法（文氏图）： 4、 常用数集及
3、其记法： 非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 5、 “属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如： a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 a A ，相反，a 不属于集合 A 记作 aA 6、集合的分类： 1有限集 含有有限个元素的集合 2无限集 含有无限个元素的集合 3空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系 子集 对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说 两集合有包含关系， 称集合 A 为集合 B 的子集 ，记作 A B 注意： 有两种可
4、能（ 1） A 是 B 的一部分，；（ 2） A 与 B 是同一集合。 反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 集合 A 中有 n 个元素 ,则集合 A 子集个数为 2n. 2“相等”关系 (5 5，且 5 5，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同” 结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即： A=B A B B A 且 任何一个集合是它本身的子集。 A A 真子集 :如果 A B
5、,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) 如果 A B, B C ,那么 A C 如果 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1 交集的定义 ：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集 记作 A B(读作” A 交 B” )，即 A B=x|x A，且 x B 2、 并集的定义 ：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作：A B(读作” A 并 B” )
6、，即 A B=x|x A，或 x B 3、交集与并集的性质： A A = A， A = , A B = B A， A A = A， A = A , A B = B A. 4、 全集与补集 （ 1） 全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 （ 2） 补集：设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 A S），由 S 中 所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集） 。 记作： CSA ， 即 CSA =x | xS 且 xA （ 3）性质： CU(C UA)=A (C UA) A= (C UA)
7、 A=U (4)(C UA) (C UB)=C U(A B) (5)(C UA) (C UB)=C U(A B) 二、函数的有关概念 1函数的概念： 设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就 称 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)， x A其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域 注意： 1、 如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的
8、定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、 函数的定义域、值域要写成 集合或区间 的形式 定义域补充 ： 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的 主要依据 是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次 方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .（ 6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . (注意：求出不等式组
9、的解集即为函数的定义域。 ) 2、 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：（ 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对 应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 。 （ 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法： 定义域一致 ； 表达式相同 (两点必须同时具备 ) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应 先考虑其定义域 . (2)、 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的
10、值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义： 在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , x A 图象 C一般的是一条光滑的连续曲线 (或直线 ),也可能是由与任意平行 于 Y轴的直线最多只有一个交点S CsA A 的若干条曲线或
11、离散点组成。 (2) 画法 ： A、描点法： 根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值 并列表，以 (x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法 ： 常用变换方法有三种，即平移变换、 对称变换 和 伸缩变换 、 对称变换 : （ 1） 将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y= f(x)的图象如：书上 P21 例 5 （ 2） y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 1 xxxy a y aa 与（ 3） y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如1l o g l o
12、g l o gaa ay x y x x 与、 平移变换 : 由 f(x)得到 f(x a) 左加右减 ； 由 f(x)得到 f(x) a 上加下减 (3)作用： A、直观的看出函数的性质； B、利用数形结合的方法分析解题的思路； C、 提高解题的速度 ； 发现解题中的错误。 4区间的概念 （ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（ 2）无穷区间；（ 3）区间的数轴表示 5映射 定义 ： 一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个 确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A B 为从集合
13、A 到集合 B 的一个映射。记作“ f： A B” 给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 a A,b B.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 说明 :函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、 B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的； 对于映射 f： A B 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B
14、 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6、函数的表示法： 常用的函数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据 ：作垂直于 x 轴的直线与曲线 最多有一个交点。 2 解析法：必须注明函数的定义域； 3 图象法： 描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把
15、自变 量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应 写 成 函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况 注意： （ 1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函 数；（ 2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 补充二：复合函数 如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x)， (x A) 称为 f 是 g 的复合函数。 7函数单调性 （ 1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1 0（ C
16、 为常数）时， ()y f x 与 ()y C f x 的单调性相同； 当 C 0 且 a 1 2、指数函数的图象和性质 01 图 像 性质 定义域 R , 值域 （ 0， + ） （ 1）过定点（ 0， 1） ,即 x=0 时， y=1 (2)在 R 上是减函数 (2)在 R 上是增函数 （ 3）当 x0 时 ,01 （ 3）当 x0 时 ,y1; 当 x0 时 ,01 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快， 到了某一值后减小速度较慢； a1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x0 时 ,y1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x0 时，
17、 a,N 在 1 的同侧；当 b0 且 a 1； 2. 真数 N0 3. 注意对数的书写格式 2、 两个重要对数： （ 1） 常用对数：以 10 为底的对数 , 10log lgNN记 为 ； （ 2） 自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , log lne NN记 为 3、 对数式与指数式的互化 lo g xax N a N 对数式 指数式 对数底数 a 幂底数 对数 x 指数 真数 N 幂 结论：（ 1）负数和零没有对数 （ 2） logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式： log NaaN （二）对数的
18、运算性质 如果 a 0， a 1， M 0， N 0 有： 1、 lo g M N lo g lo ga a aMN （ ） 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、 NMNMaaa lo glo glo g 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 3 、 lo g lo g nnaaM n M（ R） 一个正数的 n 次方的对数等于 这个正数的对数 n 倍 说明 : 1) 简易语言表达 :”积的对数 =对数的和 ” 2) 有时可逆向运用公式 3) 真数的取值必须是 (0, ) 4) 特别注意 ： NMMN aaa lo glo glo g NMNM aaa lo glo glo g
19、 注意：换底公式 l o g lgl o g 0 , 1 , 0 , 1 , 0l o g l gca c b bb a a c c baa 利用换底公式推导下面的结论 ab ba log1log lo g lo g lo g lo ga b c ab c d d log logm n aa nbbm（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数 logayx (a0，且 a 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0， +） 注意： （ 1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 如： log 1ayx， log 2ayx 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数
20、 （ 2） 对数函数对底数的限制： a0，且 a 1 2、对数函数的 图像与 性质： 对数函数 logayx (a0，且 a 1) 0 a 1 a 1 图像 性质 定义域：（ 0，） 值域： R 过点 (1 ,0), 即当 x 1 时 ,y 0 在 (0,+ )上是减函数 在 (0,+ )上是增函数 当 x1 时， y0 当 x1 时， y0 当 x=1 时， y=0 当 00; 当 a,b 不同在 (0,1) 内 ， 或不同在 (1,+ ) 内时 ,有 logab0；当 a,b 在 1 的异侧时 , logab 0，值域求法用单调性。 、 分辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa ，用
21、y=1 去截图象得到对应的底数。 、 y=ax(a0 且 a 1) 与 y=logax(a0 且 a 1) 互为反函数，图象关于 y=x 对称。 y x 0 (1,0) y x 0 (1,0) 5 比较两个幂的形式的数大小 的方法 : (1) 对于底数相同指数不同的两 个幂的大小比较 ,可以利用指数函数的单调性来判断 . (2) 对于底数不同指数相同的两 个幂的大小比较 ,可以利用比商法来判断 . (3) 对于底数不同也指数不同的 两个幂的大小比较 ,则应通过中间值来判断 .常用 1 和 0. 6 比较大小的方法 (1) 利用函数单调性 (同底数 )； (2) 利用中间值（如 :0,1.） ；
22、 (3) 变形后比较 ； (4) 作差比较 （三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 yx 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数 2、幂函数性质归纳 （ 1）所有的幂函数在（ 0， +）都有定义，并且图象都过点（ 1， 1）； （ 2） 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在 0,+ ） 上是增函数特别地，当 1 时，幂函数的图象下凸；当 00) 指数函数： y=ax(a1) 指数型函数： y=kax(k0,a1) 幂函数： y=xn（ nN*) 对数函数： y=logax(a1) 二次函数： y=ax2+bx+c(a0) 增长快慢： V(ax)V(xn)V(logax) 解不等式 (1) log2x0）的 根的分布 两个根都在（ m,n )内 两个有且仅有一个在（ m,n)内 x1 (m,n) x2 (p,q) f(m)f(n)0 两个根都小于 K 两个根都大于 K 一个根小于 K，一个根大于 K f(k)0 y x n m m n m n p q y x k k k 02( ) 0( ) 0bmnafmfn ( ) 0( ) 0( ) 0( ) 0fmfnfpfq 02( ) 0b kafk02( ) 0b kafk
