1、 1.1 任意角和弧度制任意角和弧度制 11.1 任意角任意角 学习目标 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握 象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角 知识点一 角的相关概念 1.角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点 O 从一个位置 OA 旋转到另一个位置 OB 所成的图形点 O 是角的顶点，射线 OA，OB 分别是角 的始边和终边 2按照角的旋转方向，分为如下三类： 类型 定义 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 思考 始边与终边重合的角是零角，这句话正
2、确吗？ 答案 不正确，当射线旋转整数圈时，始边与终边也重合，但此时形成的角不是零角 知识点二 象限角、轴线角 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合 象限角：终边在第几象限就是第几象限角； 轴线角：终边落在坐标轴上的角 知识点三 终边相同的角 终边相同角的表示： 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k 360 ，kZ， 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和 1经过 1 小时，时针转过 30 .( ) 提示 因为是顺时针旋转，所以时针转过30 . 2小于 90 的角是锐角( ) 提示 锐角是指大于 0 且小于 90
3、的角 3钝角是第二象限角( ) 4第一象限角都是锐角( ) 题型一 任意角概念的理解 例 1 (1)给出下列说法： 锐角都是第一象限角； 第一象限角一定不是负角； 小于 180 的角是钝角或直角或锐角 其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上) (2)将时钟拨快 20 分钟，则分针转过的度数是_ 考点 任意角的概念 题点 对任意角概念的理解 答案 (1) (2)120 解析 (1)锐角指大于 0 小于 90 的角，都是第一象限角，所以对；由任意角的概念知，第 一象限角也可为负角，小于 180 的角还有负角、零角，所以错误 (2)分针每分钟转 6 ，由于顺时针旋转，所以 20 分钟转了12
4、0 . 反思感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0 90 角、象限角等概念角的概念推广 后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小 跟踪训练 1 (1)若角的顶点在原点，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，给出下列四个命题： 0 角是第一象限角； 相等的角的终边一定相同； 终边相同的角有无限多个； 与30 角终边相同的角都是第四象限角 其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (2)时针走过 2 小时 40 分，则分针转过的角度是_ 考点 任意角的概念 题点 对任意角概念的理解 答案 (1)C (2)960 解析 (1)错误，0 角是轴线角；正确 (2)分针按顺时针方向
5、转动，则转过的角度是负角为 360 22 3960 . 题型二 象限角的判定 例 2 (1)已知下列各角：120 ；240 ；180 ；495 .其中是第二象限角的是( ) A B C D 考点 象限角 题点 对象限角的判断 答案 D 解析 120 为第三象限角，错；240 360 120 ，120 为第二象限角，240 也为第二象限角，故对；180 为轴线角；495 360 135 ，135 为第二象限角，495 为第二象限角，故对故选 D. (2)若角 是第三象限角，则角 2的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( ) A B C D 考点 象限角 题点 判断角所在象限 答案 A 解
6、析 是第三象限角， k 360 180 k 360 270 (kZ)， k 180 90 2k 180 135 (kZ) 当 k2n(nZ)时，n 360 90 2n 360 135 ，nZ，其终边在区域内； 当 k2n1(nZ)时，n 360 270 2n 360 315 ，nZ，其终边在区域内 角 2的终边所在的区域为. 反思感悟 (1)判断象限角的步骤 当 0 360 时，直接写出结果 当 0 或 360 时，将 化为 k 360 (kZ，0 360 )，转化为判断角 所属的象 限 (2)一般地，要确定 n所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线，它们与坐 标轴把周角分成
7、 4n 个区域，从 x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次标上 1,2,3,4， ， 1,2,3,4， 标号为几的区域， 就是根据 所在第几象限时， n的终边所落在的区域， 如此， n所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出 跟踪训练2 (2018 河南郑州高二期末)若k 180 45 ， kZ， 则终边所在的象限是( ) A第一、三象限 B第一、二象限 C第二、四象限 D第三、四象限 考点 对角所在象限的判断 题点 象限角判断 答案 A 解析 由题意知 k 180 45 ，kZ， 当 k2n1，nZ 时， 2n 180 180 45 n 360 225 ，nZ，其终边在
8、第三象限； 当 k2n，nZ 时， 2n 180 45 n 360 45 ，nZ，其终边在第一象限 综上， 终边所在的象限是第一或第三象限 题型三 终边相同的角 例 3 在与角 10 030 终边相同的角中，求满足下列条件的角 (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)范围 360 720 内的角 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角表示方法 解 与 10 030 终边相同的角的一般形式为 k 360 10 030 (kZ)， (1)由360 k 360 10 030 0 ，得10 390 k 360 10 030 ，解得 k28，故所求的 最大负角为 50 . (2)由 0 k 360
9、 10 030 360 ，得10 030 k 360 9 670 ，解得 k27，故所求的最小 正角为 310 . (3)由 360 k 360 10 030 720 ，得9 670 k 360 9 310 ，解得 k26，故所求的 角为 670 . 反思感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的 角的一般形式，再依条件构建不等式求出 k 的值 跟踪训练 3 已知 315 . (1)把 改写成 k 360 (kZ,0 360 )的形式，并指出它是第几象限角； (2)求 ，使 与 终边相同，且1 080 360 . 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角、象限角
10、 解 (1)因为315 360 45 . 又 0 45 360 ， 所以把 写成 k 360 (kZ,0 360 )的形式为 360 45 (45 )，它是第一象限 角 (2)与315 终边相同的角为 k 360 45 (kZ)， 所以当 k3，2 时，1 035 ，675 ，满足1 080 360 . 即得所求角 为1 035 和675 . 求终边在给定直线上的角的集合 典例 写出终边在直线 y 3x 上的角的集合 考点 终边相同的角 题点 任意角的综合应用 解 终边在 y 3x(x0)上的角的集合是 S1|120 k 360 ，kZ； 终边在 y 3x(x0)上的角的集合是 S2|300
11、k 360 ，kZ 因此，终边在直线 y 3x 上的角的集合是 SS1S2|120 k 360 ，kZ| 300 k 360 ，kZ， 即S|120 2k 180 ， kZ|120 (2k1) 180 ， kZ|120 n 180 ， nZ 故终边在直线 y 3x 上的角的集合是 S|120 n 180 ，nZ 素养评析 (1)可以先画出直线 y 3x，借助几何直观理解问题、建立形与数的联系，通 过学习提升直观想象的数学核心素养 (2)在具体操作时， 要注意把直线 y 3x 分成两部分 y 3x(x0)和 y 3x(x0)进行 讨论. 1下列说法正确的是( ) A第一象限的角一定是正角 B三角
12、形的内角不是锐角就是钝角 C锐角小于 90 D终边相同的角相等 考点 任意角的概念 题点 任意角的概念的理解 答案 C 解析 355 是第一象限的角，但不是正角，所以 A 错误； 三角形的内角可能是 90 ，所以 B 错误； 锐角小于 90 ，C 正确； 45 与 405 角的终边相同，但不相等，所以 D 错误故选 C. 22 018 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 考点 象限角、轴线角 题点 象限角 答案 C 解析 2 018 5360 218 ，故 2 018 是第三象限角 3与457 角终边相同的角的集合是( ) A|k 360 457 ，kZ B|k
13、360 97 ，kZ C|k 360 263 ，kZ D|k 360 263 ，kZ 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 答案 C 解析 457 2360 263 ，故选 C. 4已知角 的终边在直线 3xy0 上则角 的集合 S 为_ 考点 终边相同的角 题点 任意角的综合应用 答案 |60 n 180 ，nZ 解析 如图， 直线 3xy0 过原点， 倾斜角为 60 ， 在 0 360 范围内， 终边落在射线 OA 上的角是 60 ， 终边落在射线 OB 上的角是 240 ，所以以射线 OA，OB 为终边的角的集合分别为 S1|60 k 360 ，kZ， S2|240 k 360 ，kZ
14、， 所以，角 的集合 SS1S2|60 k 360 ，kZ|60 180 k 360 ，kZ |60 2k 180 ， kZ|60 (2k1) 180 ， kZ|60 n 180 ， nZ 5已知角的集合 M|30 k 90 ，kZ，回答下列问题： (1)集合 M 中大于360 且小于 360 的角是哪几个？ (2)写出集合 M 中的第二象限角 的一般表达式 考点 终边相同的角 题点 象限角、终边相同的角 解 (1)令360 30 k 90 360 ，得13 3 k11 3 ， 又kZ，k4，3，2，1,0,1,2,3， 集合 M 中大于360 且小于 360 的角共有 8 个，分别是330
15、，240 ，150 ，60 ， 30 ，120 ，210 ，300 . (2)集合 M 中的第二象限角与 120 角的终边相同， 120 k 360 ，kZ. 1对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理 解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大 小” 2关于终边相同的角的认识 一般地， 所有与角终边相同的角， 连同角在内， 可构成一个集合S|k 360 ， kZ， 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和 注意：(1) 为任意角； (2)k 360 与 之间是“”号，k 360 可理解为 k 360 ()； (3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差 360 的整数倍； (4)kZ 这一条件不能少
