1、2019 年河南省新乡市卫辉市中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）1 （3 分）下列各数中，最大的数是（ ）A|2| B C D2 （3 分）2018 年 12 月 18 日中国球员周琦被休斯顿火箭队正式裁员，当日在各大搜索引擎中输入“周琦” ，能搜索到与之相关的网页约 84000000 个，将这个数用科学记数法表示为（ ）A8.410 5 B8.410 6 C8.410 7 D8.410 83 （3 分）如图所示是正方形的展开图，原正方体相对两个面上的数字之和的最大值是（ ）A5 B6 C7 D84 （3 分）下列计算正确
2、的是（ ）Aa 6a2a 3 B （3a 2） 327a 6Ca 2+2a23a 4 D （a+2b） 2a 2+4b25 （3 分）某中学为了调查学生备战中考体育的训练情况，特抽查了 40 名学生进行了模拟测试（满分 70 分） ，体育组根据抽测成绩制成如表格：抽测成绩 /cm 50 54 59 62 67 70人数 2 7 6 6 15 4则这批考生模拟成绩的中位数和众数分别是（ ）A59，59 B59，62 C62，67 D62，626 （3 分）如图所示，8 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为 x，宽为 y，则依据题意可得二元一次方程组为（ ）A BC D
3、7 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx22x10 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）Am1 且 m0 Bx1 Cm1 Dm 1 且 m08 （3 分）在一个不透明的纸箱里有四个除了标记数字不同之外其他完全相同的小球，上面标记数字 1，2，3，4，现在从中先后随机抽出两个小球，则两球上数字之和能被 3 整除的概率为（ ）A B C D9 （3 分）如图所示，菱形 ABOC 如图所置，其一边 OB 在 x 轴上，将菱形 ABOC 绕点 B顺时针旋转 75至 FBDE 的位置，若 BO2，A120 ，则点 E 的坐标为（ ）A （ ） B （ ） C （ ） D （ ）10 （3 分）如
4、图所示，已知ABC 与DEF 均为等边三角形，且 AB2，DB1，现ABC 静止不动，DEF 沿着直线 EC 以每秒 1 个单位的速度向右移动设DEF 移动的时间为 x，DEF 与ABC 重合的面积为 y，则能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是（ ）A BC D二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）计算 12 （3 分）如图所示，四边形 ABCD 为矩形，AEEG，已知125，则2 13 （3 分）不等式组 的解集为 14 （3 分）在 RtABC 中，AB2，AC 4，将ABC 绕点 C 顺时针旋转，A、B 的对应点分别为 D、E，当 B、C 、D 三点在同一直线上时
5、旋转停止，此时线段 AB 扫过的阴影面积为 15 （3 分）如图所示，等边ABC 中 D 点为 AB 边上一动点，E 为直线 AC 上一点，将ADE 沿着 DE 折叠，点 A 落在直线 BC 上，对应点为 F，若 AB4，BF：FC1：3，则线段 AE 的长度为 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16 （8 分）先化简，再求值： ，其中 17 （9 分）为了响应上级教委的“海航招飞”号召，某校从九年级应届男生中抽取视力等生理指标合格的部分学生进行了文化课初检，教务处负责同志将测測试结果分为四个等级：甲、乙、丙、丁，然后将相关数据整理为两幅不完整的统计图，请依据相关信息解答下列问
6、题：（1）本次参加文化课初检的男生人数为 ；（2）扇形图中 m 的数值为 ，把条形统计图补充完整；（3）据统计，全省生理指标过关的九年级男生有 2400 名左右，若规定文化课等级为“甲” “乙”的可进行文化课二检，请估计进入二检的男生有 ；（4）本次抽检进入“甲”等的 4 名男生中九（1） 、九（2）班各占 2 名，若从“甲”等学生中随机抽取两名男生进行调研，请用树形图表示抽到的两名男生恰为九（1）班的概率18 （9 分）如图所示，函数 y1kx+b 的图象与函数 （x 0）的图象交于A（a 2，3） 、B（3，a）两点（1）求函数 y1、y 2 的表达式；（2）过 A 作 AMy 轴，过 B
7、 作 BNx 轴，试问在线段 AB 上是否存在点 P，使 SPAM3S PBN ？若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由19 （9 分）如图所示，以 BC 为直径的 O 中，点 A、E 为圆周上两点，过点 A 作ADBC ，垂足为 D，作 AFCE 的延长线于点 F，垂足为 F，连接 AC、AO，已知BDEF，BC4（1）求证：ACBACF；（2）当AEF 时，四边形 AOCE 是菱形；（3）当 AC 时，四边形 AOCE 是正方形20 （9 分）夏季多雨，在山坡 CD 处出现了滑坡，为了测量山体滑坡的坡面长度 CD，探测队在距离坡底 C 点 米处的 E 点用热气球进行数据监测，当热
8、气球垂直升腾到B 点时观察滑坡的终端 C 点，俯视角为 60，当热气球继续垂直升腾 90 米到达 A 点，此时探测到滑坡的始端 D 点，俯视角为 45，若滑坡的山体坡角 DCH 为 30，求山体滑坡的坡面长度 CD 的长 （计算保留根号）21 （10 分）小王从同事小李手中接收一批生产任务，派单方要求必须在 15 天内完成，届时承以每件 60 元的价格全部回收，小王在接受任务之后，其生产的任务 y（件）与生产的天数 x（天）关系如图 1 所示，其中在生产 6 天之后，每天的生产数量达到了 30 件（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）设第 x 天生产的产品成本为 m 元/件，m 与 x
9、 的函数图象如图 2 所示，若小王第 x天的利润为 W 元，求 W 与 x 的关系式，并求出第几天后小王的利润可达到最大值，最大值为多少？22 （10 分）如图所示，在 RtABC 中，ABC90，BF 为斜边上的高，在射线 AB 上有点 D，连接 DF，作DFE90，FE 交射线 BC 于点 E【问题发现】如图 1 所示，如果 ABCB，则 DF 与 EF 的数量关系为 DF EF（选填，）【类比探究】如图 2 所示，如果改变 RtABC 中两直角边的比例，使得 AB2BC ，则DF 与 EF 还存在中的关系吗？【拓展延伸】如图 3 所示，在 RtABC 中，如果已知 BC ，AB3，EF
10、，试求 BD 的长23 （11 分）如图所示，菱形 ABCD 位于平面直角坐标系中，抛物线 yax 2+bx+c 经过菱形的三个顶点 A、B、C，已知 A（3，0） 、B（0，4） （1）求抛物线解析式；（2）线段 BD 上有一动点 E，过点 E 作 y 轴的平行线，交 BC 于点 F，若 SBOD 4S EBF，求点 E 的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，说明理由2019 年河南省新乡市卫辉市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分.下列各小题均有四个答案，其中只
11、有一个是正确的.）1 【解答】解：|2| 2， 2 ，最大的数是：|2| 故选：A2 【解答】解：84000000 个，将这个数用科学记数法表示为 8.4107故选：C3 【解答】解：由正方体的展开可知：2 与 4 是对面，3 与 5 是对面，1 和 6 是对面；两个对面的数字和最大为 8；故选：D4 【解答】解：A、a 6a2a 4，故此选项错误；B、 （3a 2） 327a 6，故此选项正确；C、a 2+2a23a 2，故此选项错误；D、 （a+2b） 2 a2+4ab+4b2，故此选项错误；故选：B5 【解答】解：67 分 15 人，众数为 67 分；数据从小到大依次排列，第 20、21
12、 个数据均为 62 分，中位数为 62 分；故选：C6 【解答】解：设每一个小长方形的长为 x，宽为 y，依题意，得： 故选：A7 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx2+2x10 有两实数根， ，解得：m1 且 m0故选：D8 【解答】解：画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中两球上数字之和能被 3 整除的结果数为 4，两球上数字之和能被 3 整除的概率 故选：B9 【解答】解：过 C 作 CG OB 于 G，过 E 作 EHOB 于 H，在菱形 ABOC 中，A120，ACBO ，ABO60，CBO30，BOCO2，COG60，在 Rt COG 中，OGOC cos601，B
13、G1+2 3，在 Rt BCG 中， BC 2 ，HBE753045，在 Rt BHE 中，BHHE BEsin452 ，OH 2，点 E 的坐标为（ 2， ） 故选：A10 【解答】解：由题意知：在DEF 移动的过程中，重叠部分总为等腰三角形当 0x1 时，此时重合部分的边长为 x，则 y ；当 1x2 时，此时重合部分的边长为 1，则 y ；当 2x3 时，此时重合部分的边长为 x，则 y 由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分且开口向上，中间为一条线段，右边为抛物线的一部分且开口向下故选：B二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11 【解答】解：原式 1 故答案为：
14、12 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形ADBCDFE2DFE1+E1152115故答案为：11513 【解答】解： ，由得， x ，由得， x ，所以，不等式组的解集 x 故答案为： x 14 【解答】解：在 RtABC 中，AB2，AC 4，sinACB ，BC 2 ，ACB30，DCEACB30，ACDBCE150，S 阴影 ，故答案为： 15 【解答】解：按两种情况分析：点 F 在线段 BC 上，如图所示，由折叠性质可知ADFE 60BFD+CFE120，BFD+BDF120BDFCFEBCBDFCFEAB4，BF：FC1：3BF1，CF 3设 AEx，则 EFAE x，CE 4x解
15、得 BD ，DFBD+ DFAD+BD4解得 x ，经检验当 x 时，4x 0x 是原方程的解当点 F 在线段 CB 的延长线上时，如图所示，同理可知BDFCFEAB4，BF：FC1：3，可得 BF2，CF6设 AEa，可知 AEEFa， CEa4解得 BD ，DFBD+ DFBD+AD4 解得 a14经检验当 a14 时，a40a14 是原方程的解，综上可得线段 AE 的长为 或 14故答案为 或 14三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16 【解答】解：a+1，当 时，原式 1+1 17 【解答】解：（1）1435%40，所以本次参加文化课初检的男生人数为 40 人；（2）甲
16、等级的百分比 100%10% ，所以 m36010%36，即 m 的值为 36；丙等级的人数为 4025%10 （人） ，补全条形统计图：（3）2400 1080，所以估计进入二检的男生有 1080 人；故答案为 40 人；36；1080 人；（4）画树状图为：（用 A、B 表示九（1）的两名学生；用 a、b 表示九（2）的两名学生）共有 12 种等可能的结果数，其中抽到的两名男生恰为九（1）班的结果数为 2，所以抽到的两名男生恰为九（1）班的概率 18 【解答】解：（1）A、B 两点在函数 （x0）的图象上，3（a2）3am，a1，m3，A（1，3） ，B（3，1） ，函数 y1kx+b 的
17、图象过 A、B 点， ，解得 k1，b4y 1x+4，y 2 ；（2）由（1）知 A（1，3） ，B（3，1） ，AMBN1 ，P 点在线段 AB 上，设 P 点坐标为（x ，x +4） ，其中1x 3，则 P 到 AM 的距离为 hA3（x+4）x1，P 到 BN 的距离为 hB3+x，S PBN BNhB 1（3+ x） （x+3） ，S PAM AMhA 1（x1） （x +1） ，S PAM 3S PBN ， （x+1） （x +3） ，解得 x ，且1x 3，符合条件，P（ ， ） ，综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为（ ， ） 19 【解答】 （1）证明：ABC+ AECAEC
18、+ AEF180，ABCAEF，在ABD 和AEF 中， ，ABDAEF（ASA ）ABAE，ACBACF；（2）60，如图所示，连接 OE，四边形 AOCE 是菱形，OAOCCEAE，OCCEOE，ECO 是等边三角形，OCE60，AEBC，AEF OCE60故答案为：60；（3）2 ，BC4，OC 2，四边形 AOCE 是正方形，AOC90， 故答案为：2 20 【解答】解：作 DGAE 于 G，DF EH 于 F，则四边形 GEFD 为矩形，GEDF ，GDEF ，设 DFa 米，则 GEa，在 Rt DCF 中， DCF30 ，CD2DF2a，CF a，EFEC+CF120 + a，A
19、MGD，ADG MAD45，AGDE EF120 + a，BNEF，BCENBC60，在 Rt BEC 中，tanBCE ，BEECtan60120 360，AGAB+BEGE450a，450a120 + a，解得，a285 405，CD2a570 810，答：山体滑坡的坡面长度 CD 的长为（570 810）米21 【解答】解：（1）当 1x6 时，设函数的表达式为：ykx +b，由题意得：，解得： ，y120x+90（1 x 6） ；当 6 x15 时，同理可得：y 230x+30（6x15） ；故函数的表达式为：y ；（2） 当 1 x6 时，m 135，当 6 x15 时，同理可得：m
20、 2x +29（6x 15） ，故 m ；故当 1x6 时，每件产品的利润为 603525，总利润 W125（20x+90 ） 500x+2250（1x6） ；当 6x15 时，每件产品的利润为 60（x+29）x+31，W2（30x+30） （x+31 ） 30（x15） 2+7680（6 x15） ，故当 x15 时，函数有最大值 7680，故：第 15 天后小王的利润可达到最大值，最大值为 768022 【解答】解：【问题发现】DF 与 EF 的数量关系为 DF EF，理由是：如图 1，ABC90，ABCB ，ABC 是等腰直角三角形，BFAC，AFCFBF，ABF CBF 45，AFD
21、+BFD BFD +BFE90，AFDBFE，在ADF 和BEF 中， ，ADFBEF（SAS） ，DFEF，故答案为：；【类比探究】不存在 中的关系，关系为：DF 2EF，理由是：如图 2 所示，A+ABFA+C90，ABF C，AA ，ABCAFB， ， ，A+ABF ABF+CBF90，ACBF，AFD+BFD BFD +BFE90，AFDBFE，在ADF 和BEF 中， ，ADFBEF， ， ，AB2BC， ，DF2EF；【拓展延伸】连接 DE，设 CEa，由以上结论可知： ，EF ，CE a，BD a，DF ，在 Rt DBE 中，DBE90，得 BD2+BE2DE 2，在 Rt D
22、FE 中，DFE90，得 DF2+EF2DE 2，BD 2+BE2DF 2+EF2，即 ，整理得： ，解得：a 1 ，a 2 （舍） ，BD a 23 【解答】解：（1）点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（0，4） ，OA3，OB4，AB 5四边形 ABCD 为菱形，ADBC，BCAB 5，点 C 的坐标为（5，4） 将 A（3，0） ，B（0，4） ，C （5，4）代入 yax 2+bx+c，得：，解得： ，抛物线解析式为 y x2 x4（2）EFOB，ADBC，OBD FEB，ODBFBE，BOD EFB， （ ） 2S BOD 4S EBF ，OD2BFADAB5，OA3，O
23、D2，点 D 的坐标为（2，0） ，BF1设直线 BD 的解析式为 ykx+d（k0） ，将 B（0，4） ，D（2，0）代入 ykx+d，得：，解得： ，直线 BD 的解析式为 y2x4当 x1 时，y2x 42，点 E 的坐标为（1，2） （3）抛物线解析式为 y x2 x4，抛物线的对称轴为直线 x 设点 P 的坐标为（ ，m） ，点 B 的坐标为（0，4） ，点 D 的坐标为（2，0） ，BP 2（ 0） 2+m（ 4） 2m 2+8m+ ，DP 2（ 2） 2+（m0） 2m 2+，BD 2（20） 2+0（ 4） 220BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形，BP 2+DP2BD 2，即 m2+8m+ +m2+ 20，整理，得：4m 2+16m+50，解得：m 1 ，m 2 ，抛物线的对称轴上存在点 P，使BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形，点 P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）
