1、2019 年河南省三门峡市中考数学二模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分） 的相反数是（ ）A B C5 D52 （3 分）2018 年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶国内生产总值从 54 万亿元增加到 82.7 万亿元，稳居世界第二.82.7 万亿用科学记数法表示为（ ）A0.82710 14 B82.710 12 C8.2710 13 D8.2710 143 （3 分）如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）A BC D4 （3 分）下列计算正确的是（ ）A5 2 3 B （2） 36 Cx 4x2x 6 D5x 2+3x8x 25 （3 分）已
2、知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是 6，则这组数据的中位数是（ ）A7 B6 C5 D46 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x+10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk 1 且 k07 （3 分）如图，已知 ab，150，290，则3 的度数为（ ）A40 B50 C150 D1408 （3 分）将分别标有“天” “鹅” “之” “城”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“天鹅”的概率是（ ）A B C
3、 D9 （3 分）定义：在平面直角坐标系 xOy 中，把从点 P 出发沿纵或横方向到达点 Q（至多拐一次弯）的路径长称为 P，Q 的“实际距离” 如图，若 P（1，1） ，Q （2，3） ，则P，Q 的 “实际距离”为 5，即 PS+SQ5 或 PT+TQ5环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具设 A，B，C 三个小区的坐标分别为 A（3，1） ，B（5， 3） ，C（1，5） ，若点 M 表示单车停放点，且满足 M 到 A，B，C 的“实际距离”相等，则点 M 的坐标为（ ）A （1，2） B （2，1） C （ ，1） D （3.0）10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的对
4、称中心在坐标原点，ABx 轴，AD ，BC 分别与 x 轴交于 E， F，连接 BE，DF，若正方形 ABCD 的顶点 B，D 在双曲线 y 上，实数 a 满足 a1a 1，则四边形 DEBF 的面积是（ ）A B C1 D2二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）计算：（2019） 0 12 （3 分）已知点 M（12 m，m1）关于原点的对称点在第一象限，则 m 的取值范围是 13 （3 分）如图，直线 ykx 与双曲线 y （x 0）交于点 A（1，a） ，则 k 14 （3 分）如图 1，则等边三角形 ABC 中，点 P 为 BC 边上的任意一点，且APD60，PD
5、交 AC 于点 D，设线段 PB 的长度为 x，CD 的长度为 y，若 y 与 x 的函数关系的大致图象如图 2，则等边三角形 ABC 的面积为 15 （3 分）在矩形 ABCD 中，AB6，BC12，点 E 在边 BC 上，且 BE2CE，将矩形沿过点 E 的直线折叠，点 C，D 的对应点分别为 C，D，折痕与边 AD 交于点 F，当点 B，C ，D恰好在同一直线上时，AF 的长为 三、解答题（本大题 8 个小题，共 75 分）16 （8 分）先化简，再求值：（x+2） （x2）+（2x1） 24x（x1） ，其中 x2 17 （9 分）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采
6、取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果为“A 非常了解” 、 “B 了解” 、 “C 基本了解”三个等级，并根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的人数为 ；（2）补全条形统计图；（3）若该市约有市民 100 万人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A 非常了解”的程度18 （9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx2 与双曲线 y （k0）相交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是 3（1）求 k 的值；（2）过点 P（0，n）作直线，使直线与 x 轴平行，直线与直线 yx2 交于点 M
7、，与双曲线 y （k 0）交于点 N，若点 M 在 N 右边，求 n 的取值范围19 （9 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，D 为半圆上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，连接 AD，过点 O 作 AD 的垂线，交半圆 O 的切线 AC 于点 C，交半圆 O 于点 E连接BE， DE（1）求证：BEDC（2）连接 BD，OD，CD填空：当 ACO 的度数为 时，四边形 OBDE 为菱形；当 ACO 的度数为 时，四边形 AODC 为正方形20 （9 分）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 B 处的求救者后，又发现点 B 正上方点 C 处还有一名求救者，在消防车上
8、点 A 处测得点 B 和点C 的仰角分别为 45和 65，点 A 距地面 2.5 米，点 B 距地面 10.5 米，为救出点 C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度 BC 约为多少米？（结果保留整数，参考数据：tan652.1，sin65 0.9，cos650.4， 1.4）21 （10 分）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 2 元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系求
9、y 与 x 之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润销售收入进货金额）22 （10 分）已知ABC 是边长为 4 的等边三角形，边 AB 在射线 OM 上，且 OA6，点D 是射线 OM 上的动点，当点 D 不与点 A 重合时，将ACD 绕点 C 逆时针方向旋转60得到BCE，连接 DE，设 ODm（1）问题发现如图 1，CDE 的形状是 三角形（2）探究证明如图 2，当 6m10 时， BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出 BDE 周长的最小值；若不存在，请说明理由（3）解决问题是否存在 m 的值，使DEB 是直角三
10、角形？若存在，请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由23 （11 分）如果一条抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” ，a，b，c 称为“抛物线系数” （1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是 （填“真”或“假” ）命题；（2）若一条抛物线系数为1，0，2 ，则其“抛物线三角形 ”的面积为 ；（3）若一条抛物线系数为 1，2b，0 ，其“抛物线三角形 ”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为 A，与 x 轴交于 O，B 两点，在抛物线上是否存在一点 P，过 P
11、 作 PQx 轴于点 Q，使得BPQOAB？如果存在，求出 P 点坐标；如果不存在，请说明理由2019 年河南省三门峡市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分） 的相反数是（ ）A B C5 D5【分析】先根据绝对值的性质求出| |，再根据相反数的定义求出其相反数【解答】解：| | ， 的相反数是 ； 的相反数是 ，故选：B【点评】本题考查了绝对值的性质和相反数的定义，绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数2 （3 分）2018 年政府工作报告指出，过
12、去五年来，我国经济实力跃上新台阶国内生产总值从 54 万亿元增加到 82.7 万亿元，稳居世界第二.82.7 万亿用科学记数法表示为（ ）A0.82710 14 B82.710 12 C8.2710 13 D8.2710 14【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：82.7 万亿8.2710 13，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其
13、中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）A BC D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，故选：B【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图4 （3 分）下列计算正确的是（ ）A5 2 3 B （2） 36 Cx 4x2x 6 D5x 2+3x8x 2【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幂的乘法运算法则和合并同类项运算法则分别判断得出答案【解答】解：A、5 2 3 ，故此选项错误；B、 （2） 38，故
14、此选项错误；C、x 4x2x 6 ，正确；D、5x 2+3x，无法计算，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及同底数幂的乘法运算和合并同类项运算，正确掌握相关运算法则是解题关键5 （3 分）已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是 6，则这组数据的中位数是（ ）A7 B6 C5 D4【分析】首先根据平均数为 6 求出 x 的值，然后根据中位数的概念求解【解答】解：由题意得 6+2+8+x+765，解得：x7，这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，6，7，7，8，则中位数为 7故选：A【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）
15、的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数6 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx22x+10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk 1 且 k0【分析】根据一元二次方程的定义和的意义得到 k0 且0，即（2）24k10，然后解不等式即可得到 k 的取值范围【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx22x+10 有两个不相等的实数根，k0 且0，即（2） 24k10，解得 k1 且 k
16、0k 的取值范围为 k1 且 k 0故选：D【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义7 （3 分）如图，已知 ab，150，290，则3 的度数为（ ）A40 B50 C150 D140【分析】作 ca，由于 ab，可得 cb然后根据平行线的性质解答【解答】解：作 ca，ab，cb1550，4905040，6440，318040140故选：D【点评】本题考查了平行线的性质，作出辅助线是解题的关键8 （3 分）将分别标有“天” “鹅” “之” “
17、城”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“天鹅”的概率是（ ）A B C D【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出能组成“天鹅”的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“天鹅”的有 2种结果，所以两次摸出的球上的汉字组成“天鹅”的概率为 ，故选：A【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件
18、A 或事件 B的概率9 （3 分）定义：在平面直角坐标系 xOy 中，把从点 P 出发沿纵或横方向到达点 Q（至多拐一次弯）的路径长称为 P，Q 的“实际距离” 如图，若 P（1，1） ，Q （2，3） ，则P，Q 的 “实际距离”为 5，即 PS+SQ5 或 PT+TQ5环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具设 A，B，C 三个小区的坐标分别为 A（3，1） ，B（5， 3） ，C（1，5） ，若点 M 表示单车停放点，且满足 M 到 A，B，C 的“实际距离”相等，则点 M 的坐标为（ ）A （1，2） B （2，1） C （ ，1） D （3.0）【分析】若设 M（x，y）
19、，构建方程组即可解决问题【解答】解：设 M（x，y） ，由“实际距离”的定义可知：点 M 只能在 ECFG 区域内，1x5，5y 1，又M 到 A，B，C 距离相等，|x 3|+|y1|x5|+|y+3|x +1|+|y+5|，|x 3|+1y5x+| y+3|x+1+y+5，要将|x3| 与|y+3|中绝对值去掉，需要判断 x 在 3 的左侧和右侧，以及 y 在3 的上侧还是下侧，将矩形 ECFG 分割为 4 部分，若要使 M 到 A，B，C 的距离相等，由图可知 M 只能在矩形 AENK 中，故 x3，y3，则方程可变为：3x+1y y +5+x+15x+3+y，解得，x1，y2，则 M（
20、1，2）故选：A【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的对称中心在坐标原点，ABx 轴，AD ，BC 分别与 x 轴交于 E， F，连接 BE，DF，若正方形 ABCD 的顶点 B，D 在双曲线 y 上，实数 a 满足 a1a 1，则四边形 DEBF 的面积是（ ）A B C1 D2【分析】依据实数 a 满足 a1a 1，即可得出 a1，再根据反比例函数系数 k 的几何意义以及正方形的性质，即可得到四边形 DEBF 的面积【解答】解：实数 a 满足 a1a 1，a1，又a0，a1，正方形 ABCD 的顶点 B，D 在双曲线
21、y 上，S 矩形 BGOF1，又正方形 ABCD 的对称中心在坐标原点，S 平行四边形 DEBFS 矩形 ABFEF2S 矩形 BGOF212，故选：D【点评】本题考查了反比例函数的意义，利用乘方的意义得出 a 的值是解题关键，又利用了中心对称的正方形，平行四边形的面积二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）计算：（2019） 0 1 【分析】根据零指数幂的定义、算术平方根的定义分别化简计算即可【解答】解：原式121，故答案为：1【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂的定义、算术平方根的定义是解题的关键12 （3 分）已知点 M（12 m，m1）关于原点的对称点在第一象限
22、，则 m 的取值范围是 0.5m1 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 M 的位置进而得出关于 m 的不等式组求出即可【解答】解：点 M（12m，m1）关于原点的对称点在第一象限，点 M 在第三象限， ，解得：0.5m1故答案为：0.5m1【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及不等式组的解法，正确得出 M 点位置是解题关键13 （3 分）如图，直线 ykx 与双曲线 y （x 0）交于点 A（1，a） ，则 k 2 【分析】直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可【解答】解：直线 ykx 与双曲线 y （x 0）交于点 A（1，a） ，a2，k2，故答案为：2【点评】此题主要考
23、查了反比例函数与一次函数的交点，利用图象上点的坐标性质得出是解题关键14 （3 分）如图 1，则等边三角形 ABC 中，点 P 为 BC 边上的任意一点，且APD60，PD 交 AC 于点 D，设线段 PB 的长度为 x，CD 的长度为 y，若 y 与 x 的函数关系的大致图象如图 2，则等边三角形 ABC 的面积为 16 【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质和相似三角形的性质、以及二次函数的最值，即可确定 CD 取得最大值时等边三角形的边长，进而得到ABC 的面积【解答】解：由题可得，APD60，ABCC 60，BAP CPD，ABP PCD， ，设 ABa，则 ，y ，当 x
24、 时，y 取得最大值 2，即 P 为 BC 中点时，CD 的最大值为 2，此时APB PDC90，CPD30，PCBP4，等边三角形的边长为为 8，根据等边三角形的性质，可得 S 8216 故答案为：16 【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，灵活运用等边三角形的性质和二次函数图象的对称性是解题的关键解题时需要深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义15 （3 分）在矩形 ABCD 中，AB6，BC12，点 E 在边 BC 上，且 BE2CE，将矩形沿过点 E 的直线折叠，点 C，D 的对应点分别为 C，D，折痕与边 AD 交于点 F，当点 B，C ，D恰好在同一直线上时
25、，AF 的长为 8 或 82 【分析】由折叠的性质得，EC DC90，C ECE，在 RtBCE 中，由 2，得到CBE30， 当点 C在 BC 的上方时，过 E 作 EGAD 于G，延长 EC交 AD 于 H，则四边形 ABEG 是矩形根据等边三角形的性质和矩形的性质，即可得到 AF 的长； 当点 C在 BC 的下方时，过 F 作 FGAD 于 G，D F 交 BE于 H，同 可得四边形 ABGF 是矩形根据矩形的性质和等边三角形的性质，即可得到AF 的长【解答】解：由折叠的性质得，EC DC90，C ECE，点 B、C、D在同一直线上，BCE90，BC12，BE2CE，BE8，C ECE4
26、，在 Rt BCE 中， 2，CBE 30，当点 C在 BC 的上方时，如图 1，过 E 作 EGAD 于 G，延长 EC交 AD 于 H，则四边形 ABEG 是矩形，EGAB6，AGBE8，CBE 30，BCE90，BEC60，由折叠的性质得，CEFCEF ，CEF CEF60，ADBCHFECEF60，EFH 是等边三角形，在 RtEFG 中，EG6，GF2 ，AF8+2 ；当点 C在 BC 的下方时，如图 2，过 F 作 FGAD 于 G，DF 交 BE 于 H，同可得，四边形 ABGF 是矩形，EFH 是等边三角形，AFBG ，FGAB6，FEH60，在 Rt EFG 中，GE2 ，B
27、E8，BG82 ，AF82 ，综上所述，AF 的长是 8+2 或 82 故答案为：8 或 82 【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，正确的作出图形是解题的关键折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等三、解答题（本大题 8 个小题，共 75 分）16 （8 分）先化简，再求值：（x+2） （x2）+（2x1） 24x（x1） ，其中 x2 【分析】先去括号，利用公式法进行计算，并合并同类项，把 x 的值代入即可【解答】解：（x+2） （x 2）+（2x1） 24x （x1） ，x 24+4x 2 4x+14x 2+4x，x 23，当 x2 时，
28、原式 31239【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的化简和计算能力17 （9 分）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果为“A 非常了解” 、 “B 了解” 、 “C 基本了解”三个等级，并根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的人数为 500 ；（2）补全条形统计图；（3）若该市约有市民 100 万人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A 非常了解”的程度【分析】 （1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的人数；（2）根据（
29、1）中的结果可以求得选择 A 的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A 非常了解”的程度【解答】解：（1）本次调查的人数为：28056%500，故答案为：500；（2）选择 A 的学生有：50028060160（人） ，补全的条形统计图，如右图所示；（3）100 32（万人）答：该市大约有 32 万人对“社会主义核心价值观”达到“A 非常了解”的程度【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答18 （9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx2
30、与双曲线 y （k0）相交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标是 3（1）求 k 的值；（2）过点 P（0，n）作直线，使直线与 x 轴平行，直线与直线 yx2 交于点 M，与双曲线 y （k 0）交于点 N，若点 M 在 N 右边，求 n 的取值范围【分析】 （1）把 A 横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出 A 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值即可；（2）根据题意画出直线，根据图象确定出点 M 在 N 右边时 n 的取值范围即可【解答】解：（1）令 x3，代入 yx 2，则 y1，A（3，1） ，点 A（3，1）在双曲线 y （k 0）上，k3；（2）联立得： ，解得： 或 ，即
31、 B（1，3） ，如图所示：当点 M 在 N 右边时，n 的取值范围是 n1 或3n0【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键19 （9 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，D 为半圆上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，连接 AD，过点 O 作 AD 的垂线，交半圆 O 的切线 AC 于点 C，交半圆 O 于点 E连接BE， DE（1）求证：BEDC（2）连接 BD，OD，CD填空：当 ACO 的度数为 30 时，四边形 OBDE 为菱形；当 ACO 的度数为 45 时，四边形 AODC 为正方形【分析】 （1）利用同角的余角
32、相等证明BEDC ；（2） 当ACO 30时，四边形 OBDE 是菱形，利用邻边相等的平行四边形为菱形进行证明；当 ACO 45时，四边形 AODC 是正方形，利用利用邻边相等的矩形为正方形进行证明【解答】解：（1）r 如图，设 AD，OC 交于点 P，OCAD，APC90C+CAP180APC 90AC 是半圆 O 的切线，CAOCAP+BAD 90BADC，BEDBAD，BEDC；（2） 当ACO 30时，四边形 OBDE 是菱形，理由如下连接 BD，如图AB 是半圆 O 的直径，ADB90，DABACO30，DBA60，OEAD ，DBEABE30DEBDAB30，DEBABE，DEAB
33、ADB90，即 BDAD ，OEAD，OEBD ，故四边形 OBDE 是平行四边形OBOE四边形 OBDE 是菱形；故答案为 30；当 ACO 45时，四边形 AODC 是正方形理由如下连接 CD、OD，BEDACO45，BOD 2 BED90，AOD 90 ，OCAD，OC 垂直平分 ADOCDOCA45，ACD90，ACO90，四边形 AODC 是矩形OAOD ，四边形 AODC 是正方形，故答案为 45【点评】本题是圆综合题，熟练运用特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键20 （9 分）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 B 处的求救者后，又发现点 B 正上方点
34、 C 处还有一名求救者，在消防车上点 A 处测得点 B 和点C 的仰角分别为 45和 65，点 A 距地面 2.5 米，点 B 距地面 10.5 米，为救出点 C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度 BC 约为多少米？（结果保留整数，参考数据：tan652.1，sin65 0.9，cos650.4， 1.4）【分析】如图作 AHCN 于 H想办法求出 BH、CH 即可解决问题；【解答】解：如图作 AHCN 于 H在 Rt ABH 中，BAH45，BH 10.52.58（m） ，AHBH 8（m） ，在 Rt AHC 中， tan65 ，CH82.117（m） ，BCCHBH1789（m ） ，
35、【点评】本题考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题21 （10 分）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 2 元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系求 y 与 x 之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润销售收入进货金额）【分析】 （1）设现在实际购进这种水果每
36、千克 x 元，根据原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克列出关于 x 的一元一次方程，解方程即可；（2） 设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b，将（25， 165） ， （35，55）代入，运用待定系数法即可求出 y 与 x 之间的函数关系式；设这种水果的销售单价为 x 元时，所获利润为 w 元，根据利润销售收入 进货金额得到 w 关于 x 的函数关系式为 w11（x30） 2+1100，再根据二次函数的性质即可求解【解答】解：（1）设现在实际购进这种水果每千克 a 元，则原来购进这种水果每千克（a+2）元，由题意，得80（a+2）88a，解得 a20答：现在实际购进这
37、种水果每千克 20 元；（2） 设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b，将（25，165） ， （35，55）代入，得 ，解得 ，故 y 与 x 之间的函数关系式为 y11x+440；设这种水果的销售单价为 x 元时，所获利润为 w 元，则 w（x20 ）y（x20） （11x+440）11x 2+660x880011（x30）2+1100，所以当 x30 时，w 有最大值 1100答：将这种水果的销售单价定为 30 元时，能获得最大利润，最大利润是 1100 元【点评】本题考查了一元一次方程、一次函数、二次函数在实际生活中的应用，其中涉及到找等量关系列方程，运用待定系数法求一次函数的
38、解析式，二次函数的性质等知识，本题难度适中22 （10 分）已知ABC 是边长为 4 的等边三角形，边 AB 在射线 OM 上，且 OA6，点D 是射线 OM 上的动点，当点 D 不与点 A 重合时，将ACD 绕点 C 逆时针方向旋转60得到BCE，连接 DE，设 ODm（1）问题发现如图 1，CDE 的形状是 等边 三角形（2）探究证明如图 2，当 6m10 时， BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出 BDE 周长的最小值；若不存在，请说明理由（3）解决问题是否存在 m 的值，使DEB 是直角三角形？若存在，请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由旋转的性质得到DC
39、E60，DCEC，即可得到结论；（2）当 6m10 时，由旋转的性质得到 BEAD ，于是得到 CDBE BE+DB+DEAB +DE 4+DE，根据等边三角形的性质得到 DECD，由垂线段最短得到当 CDAB 时，BDE 的周长最小，于是得到结论；（3）存在，当点 D 与点 B 重合时，D ，B，E 不能构成三角形，当 0 m6 时，由旋转的性质得到ABE60，BDE60，求得BED90，根据等边三角形的性质得到DEB60，求得CEB30，求得ODOA DA 642m当 6 m10 时，此时不存在；当 m10 时，由旋转的性质得到DBE60，求得BDE60，于是得到m14【解答】解：（1）证
40、明：将ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60得到BCE ，DCE60，DCEC，CDE 是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当 6t10 时，由旋转的性质得，BEAD ，C DBE BE+DB+DEAB +DE4+ DE，由（1）知，CDE 是等边三角形，DECD，C DBE CD+4，由垂线段最短可知，当 CDAB 时，BDE 的周长最小，此时，CD2 ，BDE 的最小周长CD+42 +4；（3）存在，当点 D 与点 B 重合时，D ，B，E 不能构成三角形，当点 D 与点 B 重合时，不符合题意，当 0 m6 时，由旋转可知，ABE60，BDE60，BED90，由（1）可知，CDE
41、是等边三角形，DEB60，CEB30，CEBCDA，CDA30，CAB60，ACDADC30，DACA4，ODOA DA 642，m2；当 6 m10 时，由DBE12090，此时不存在；当 m10 时，由旋转的性质可知，DBE60，又由（1）知CDE60，BDECDE+BDC60+BDC，而BDC0，BDE60，只能BDE90，从而BCD30，BDBC4，OD14，m14，综上所述：当 m2 或 14 时，以 D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形【点评】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键23 （
42、11 分）如果一条抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” ，a，b，c 称为“抛物线系数” （1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是 假 （填“真”或“假” ）命题；（2）若一条抛物线系数为1，0，2 ，则其“抛物线三角形 ”的面积为 2 ；（3）若一条抛物线系数为 1，2b，0 ，其“抛物线三角形 ”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为 A，与 x 轴交于 O，B 两点，在抛物线上是否存在一点 P，过 P 作 PQx 轴于点 Q，使得BPQOAB？如果存在，求
43、出 P 点坐标；如果不存在，请说明理由【分析】 （1）根据抛物线与 x 轴的交点个数即可判断；（2）先确定出抛物线解析式，进而求出与 x 轴和 y 轴的交点坐标，最后用面积公式即可得出结论；（3）先根据抛物线的对称性判断出“抛物线三角形”是等腰直角三角形，将抛物线顶点坐标代入抛物线解析式中即可得出结论；（4）先判断出BPQ 为等腰直角三角形，进而分两种情况利用等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论【解答】解：（1）抛物线与 x 轴的交点个数有三种情况：没交点，一个交点，两个交点，任意抛物线都有“抛物线三角形”是假命题，故答案为：假（2）一条抛物线系数为1，0，2 ，a1，b0，c2，即：抛物
44、线解析式为 yx 22，令 x0，则 y2，令 y0，解得，x ，“抛物线三角形”的面积为 （ + ）22故答案为：2（3）依题意：yx 2+2bx，它与 x 轴交于点（0，0）和（2b，0） ；当抛物线三角形是直角三角形时，根据抛物线的对称性可知它一定是等腰直角三角形，顶点为（b，b）或（b，b） ，当顶点为（b，b）时，代入 yx 2+2bx，得 bb 2+2b2，解得 b0（舍去）或 b1yx 2+2x，当顶点为（b，b）时，代入 yx 2+2bx，得bb 2+2b2，解得 b0（舍去）或 b1yx 22x ，（4） 当抛物线是 yx 2+2x 时，AOB 为等腰直角三角形，且BPQOAB ，BPQ 为等腰直角三角形，设 P（a，a 2+2a） ，Q（a，0）则| a2+2a|2a|当a 2+2a2a 时，解得 a1 或 a2（舍去）P（1，1）和点 A 重合，所以舍去，当a 2+2a（2a）时，解得 a1 或 a2（舍去）P（1，3） ；当抛物线是 yx 22x 时，同的方法得，P（1，3） ；即：点 P（1，3）或（1，3） 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义， “抛物线三角形”是等腰三角形的性质，待定系数法，相似三角形的性质，直角三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键
