1、2019 年山东省临沂市、枣庄市高考数学二模拟试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 AxN|2x4，Bx|2 x4，则 AB（ ）A x| 1x2 B1，0，1，2 C1 ，2 D0 ，1，22 （5 分）复数 z 满足 ，则复数 z（ ）A1i B1+2i C1+i D1i3 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a7a 46， S8S 545，则 a10（ ）A21 B27 C32 D564 （5 分）某人连续投篮 6 次，其中 4 次命中，2 次未命中，则他第 1 次
2、和第 5 次两次均命中的概率是（ ）A B C D5 （5 分）设实数 x，y 满足的约束条件 的最大值是（ ）A B1 C3 D96 （5 分）已知函数 ，先将 f（x ）图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变） ，再将得到的图象上所有点向右平移 （0）个单位长度，得到的图象关于 y 轴对称，则 的最小值为（ ）A B C D7 （5 分）函数 图象的大致形状是（ ）A BC D8 （5 分）已知 O 是正方形 ABCD 的中心若 ，其中 ， R，则（ ）A2 B C D9 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 n 的值为（ ）A6 B7 C8 D910 （5 分）下列各命题中，真
3、命题的个数（ ）若 命题 “x 1，lnx0”的否定为“ x01，lnx 00” 若一组数据的线性回归方程为 ，则这条直线必过点 已知直线 a， b 和平面 ，若 a，b ，则“ba”是“b”的必要不充分条件A1 B2 C3 D411 （5 分）我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 其中“幂”即是截面积， “势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同” ，则该不规则几何体的体积为（ ）A4 B8 C8 D8212 （5 分）已知双曲线 的右顶点 A，抛物线
4、 c：y 212ax的焦点为 F，若在 E 的渐近线上存在点 P 使得 PAFP，则 E 的离心率的取值范围是（ ）A （1，2） B （1， C （2，+） D二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）若向量 （x+1，2）和向量 （1，2）垂直，则| | 14 （5 分）已知二项式 展开式中含 x3 项的系数为 160，则实数 a 的值为 15 （5 分）若数列a n满足： ，则数列a n的前 n 项和 Sn 为 16 （5 分）如图，A，B 两点都在以 PC 为直径的球 O 的表面上，AB BC，AB2，BC4，若球 O 的表面积为 24，则异面直线
5、PC 与 AB 所成角的余弦值为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生要根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且cos2A+cos2Ccos 2B1 sinAsinC（1）求 B；（2）若 b2，求ABC 面积的最大值18 （12 分）如图，E 是以 AB 为直径的半圆 O 上异于 A，B 的点，矩形 ABCD 所在的平面垂直于半圆 O 所在的平面，且 AB2，AD 3（1）求证：平面 EAD平面 EBC
6、；（2）若 的长度为 ，求二面角 ADEC 的正弦值19 （12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为为椭圆上一动点（异于左右顶点） ，AF 1F2 面积的最大值为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l：y x+m 与椭圆 C 相交于点 A，B 两点，问 y 轴上是否存在点 M，使得ABM 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由20 （12 分）某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了 n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在60，150） ，按下列分组60 ，7
7、0） ，70 ，80） ，80，90） ，90，100） ，100，110） ，110，120） ，120，130） ，130，140） ，140 ，150作出频率分布直方图，如图 l；样本中分数在70，90）内的所有数据的茎叶图如图 2：根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表分数 60，80） 80，120 ） 120，150可能被录取院校层次 专科 本科 自招（1）求 n 的值及频率分布直方图中的 x，y 值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取 2 人，求此 2 人都不能录取为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能
8、录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取 3 名学生进行调研，用 表示所抽取的 3 名学生中为自招的人数，求随机变量 的分布列和数学期望21 （12 分）对于函数 yf（x）的定义域 D，如果存在区间 m，nD，同时满足下列条件：f（x）在m，n上是单调函数； 当 xm，n 时，f（x）的值域为2m ，2n，则称区间m， n是函数 f（x）的“单调倍区间” 已知函数（1）若 a2，求 f（x ）在点（e，f（e ） ）处的切线方程；（2）若函数 f（x ）存在“单调倍区间” ，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修
9、 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，若|AB |8，求 值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|2x 1|+|x+a|，g（x）x +2（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）g（x）的解集；（2）设 ，且当 ，求 a 的取值范围2019 年山东省临沂市、枣庄市高考数学二模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12
10、小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 AxN|2x4，Bx|2 x4，则 AB（ ）A x| 1x2 B1，0，1，2 C1 ，2 D0 ，1，2【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 AxN |2x40，1，2，3，B x|2x4x|x2，AB0，1，2故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）复数 z 满足 ，则复数 z（ ）A1i B1+2i C1+i D1i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答
11、】解：由 ，得 ，z1i故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a7a 46， S8S 545，则 a10（ ）A21 B27 C32 D56【分析】根据题意，由等差数列的通项公式可得若 a7a 46，则有 3d6，解可得d2；又由 S8S 545，则 a6+a7+a83a 745，解可得 a7 的值，进而由等差数列的通项公式计算可得答案【解答】解：根据题意，等差数列a n中 a7a 46，则有 3d6，即 d2；又由 S8S 545，则 a6+a7+a83a 745，则有 a715，则 a10a 7+
12、3d21；故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式以及性质，注意等差数列的通项公式的应用，属于基础题4 （5 分）某人连续投篮 6 次，其中 4 次命中，2 次未命中，则他第 1 次和第 5 次两次均命中的概率是（ ）A B C D【分析】基本事件总数 n 15，他第 1 次和第 5 次两次均命中包含的基本事件个数 m 6由此能求出他第 1 次和第 5 次两次均命中的概率【解答】解：某人连续投篮 6 次，其中 4 次命中，2 次未命中，基本事件总数 n 15，他第 1 次和第 5 次两次均命中包含的基本事件个数 m 6则他第 1 次和第 5 次两次均命中的概率是 p 故选：B【点评】本题考查
13、概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （5 分）设实数 x，y 满足的约束条件 的最大值是（ ）A B1 C3 D9【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据指数函数的单调性利用图象找出最优解，计算目标函数的最大值【解答】解：画出实数 x，y 满足的约束条件 的平面区域，如图所示；设 tx+y，则直线 tx +y 过点 P 时，t 的值最小，此时 z 取得最大值；由 ，得 P（1，0） ；z（ ） x+y 的最大值是（ ） 1 3故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题6 （5 分）已知函数 ，先将 f（x ）图象上所有点的横坐标缩小到原
14、来的 （纵坐标不变） ，再将得到的图象上所有点向右平移 （0）个单位长度，得到的图象关于 y 轴对称，则 的最小值为（ ）A B C D【分析】由三角函数图象的平移得 y2sin （2x2+ ） ，由图象关于 y 轴对称，知函数为偶函数，则2+ ，kZ，进一步得到 的最小值【解答】解：f（x ）sinx + 2sin （x+ ） ，将 f（x）图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变） ，再将得到的图象上所有点向右平移 （ 0）个单位长度，得函数 y2sin（2x2+ ） ，y2sin （2x 2 + ）关于 y 轴对称，则函数 y2sin（2x2+ ）为偶函数，2+ ，k Z， ，k
15、Z，0，当 k1 时， 的最小值为： 故选：C【点评】本题考查了三角函数图象的平移及三角函数图象的性质，关键是知道偶函数的图象关于 y 轴对称，属中档题7 （5 分）函数 图象的大致形状是（ ）A BC D【分析】根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用 f（1）的值的符号是否对应进行排除即可【解答】解： sinx，则 f（x） sin（x） （sin x） sinxf（x） ，则 f（x）是偶函数，则图象关于 y 轴对称，排除 B，D ，当 x1 时，f（ 1） sin10，排除 A，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性利用排除法
16、是解决本题的关键8 （5 分）已知 O 是正方形 ABCD 的中心若 ，其中 ， R，则（ ）A2 B C D【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则求出 ， 即可得出答案【解答】解： + ，1， ， 2故选：A【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题9 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 n 的值为（ ）A6 B7 C8 D9【分析】利用对数的运算法则，进行求解，结合程序框图的功能进行判断即可【解答】解：Slog 2 +log2 +log2 +log2 log 2 log 2 ，若 log2 3，即 ，即 n+18，则 n7，即当 n7 时，Slog 2 3，此时 n7+18，此
17、时满足 S3，输出 n8，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，了解程序功能，结合对数的运算法则是解决本题的关键10 （5 分）下列各命题中，真命题的个数（ ）若 命题 “x 1，lnx0”的否定为“ x01，lnx 00” 若一组数据的线性回归方程为 ，则这条直线必过点 已知直线 a， b 和平面 ，若 a，b ，则“ba”是“b”的必要不充分条件A1 B2 C3 D4【分析】利用们几个是判断的正误；命题的否定判断的正误；回归直线方程的性质判断 的正误；充要条件判断 的正误【解答】解：因为 sin ，所以 cos212sin 212 ，所以，若正确；命题 “x 1，lnx0”的否
18、定为“ x01，lnx 00” 不满足命题的否定形式，所以不正确；若一组数据的线性回归方程为 ，则这条直线必过点 满足规划直线方程的性质，所以正确；已知直线 a， b 和平面 ，若 a，b ，则“ba”是“b”的必要不充分条件应该是充分不必要条件，所以不正确；故选：B【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及三角函数的二倍角公式，命题的否定，充要条件，回归直线方程的应用，是基本知识的考查11 （5 分）我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 其中“幂”即是截面积， “势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积
19、相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同” ，则该不规则几何体的体积为（ ）A4 B8 C8 D82【分析】根据三视图，可得该几何体是正方体挖去一个半圆柱，利用三视图的数据求解即可【解答】解：由题意可得，几何体是正方体挖去一个半圆柱，如图：故它的体积为（4 ）28，故选：B【点评】本题主要考查祖暅原理，利用三视图求几何体的体积，属于基础题12 （5 分）已知双曲线 的右顶点 A，抛物线 c：y 212ax的焦点为 F，若在 E 的渐近线上存在点 P 使得 PAFP，则 E 的离心率的取值范围是（ ）A （1，2） B （1， C （2，+） D【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方
20、程，抛物线的焦点坐标，可设 P（m， m） ，以及向量的垂直的条件：数量积为 0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围【解答】解：双曲线 的右顶点 A（a，0） ，抛物线 C：y 2 12ax 的焦点为 F（3a，0） ，双曲线的渐近线方程为 y x，可设 P（m， m） ，即 （ma， m） ， （m3a， m） ，由 PAFP，可得 0，即为（ma） （m3a）+ m20，化为（1+ ）m 24ma+3 a20，由题意可得16a 24（1+ ）3a 20，即有 a23b 23（c 2a 2） ，即 3c24a 2，则 e 由 e1，可得 1e
21、 故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于 0，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）若向量 （x+1，2）和向量 （1，2）垂直，则| | 5 【分析】由向量 （x+1，2）和向量 （1，2）垂直，解得 x3，从而（3，4） ，由此能求出| |的值【解答】解：向量 （x+1，2）和向量 （1，2）垂直， x+140，解得 x3， （3，4） ，| | 5故答案为：5【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量的运算法则、向量垂直的性质等基础知识，
22、考查运算求解能力，是基础题14 （5 分）已知二项式 展开式中含 x3 项的系数为 160，则实数 a 的值为 2 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中含 x3 项的系数，再根据含 x3 项的系数为 160，求得 a 的值【解答】解：二项式 展开式的通项公式为 Tr+1 （a） rx123r ，令 123r3，求得 r3，可得展开中含 x3 项的系数为 （a） 3160，则实数 a2，故答案为：2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题15 （5 分）若数列a n满足： ，则数列a
23、n的前 n 项和 Sn 为 2 【分析】由已知可得数列a n是以 1 为首项，以 为公比的等比数列，再由等比数列的前 n 项和公式求解【解答】解：由 ，得 （n2） ，2 nan2，即 （n2） ，由已知等式可得，2a 12，得 a11 适合上式， ，又 ，数列a n是以 1 为首项，以 为公比的等比数列，则 故答案为： 【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前 n 项和的求法，是中档题16 （5 分）如图，A，B 两点都在以 PC 为直径的球 O 的表面上，AB BC，AB2，BC4，若球 O 的表面积为 24，则异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值为 【分析】推
24、导出 OPOCOAOB ，PAAC ，AC2 ，PA 2，以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值【解答】解：A，B 两点都在以 PC 为直径的球 O 的表面上，ABBC，AB 2，BC4，球 O 的表面积为 24，4r 224，解得 r ，OPOCOAOB ，PAAC ，AC 2 ，PA 2，以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 P（0，2，2） ，C（4，0， 0） ，A （0，2，0）
25、，B（0，0，0） ，（4，2，2） ， （0，2，0） ，设异面直线 PC 与 AB 所成角为 ，则 cos 异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值为 故答案为： 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直线所成角、线线关系的判定定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生要根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且cos2A+cos2
26、Ccos 2B1 sinAsinC（1）求 B；（2）若 b2，求ABC 面积的最大值【分析】 （1）由已知结婚同角平方关系，正弦定理，余弦定理即可求解 cosB，进而可求B（2）由余弦定理及基本不等式可求 ac 的范围，然后结合三角形的面积公式 SABC 可求【解答】解：（1）cos 2A+cos2Ccos 2B1sinAsin C1sin 2A+1 sin2C1+sin 2B1sin AsinCsin 2Bsin 2A+sin2CsinAsinC由正弦定理可得，b 2a 2+c2ac由余弦定理可得，cosB 0B，B（2）由余弦定理可得，b 2a 2+c22accosB即 4a 2+c2a
27、ca 2+c22ac，4+ac2acac4（当且仅当 ac 时取等号）S ABC 即ABC 面积的最大值【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式的综合应用，属于公式的综合应用18 （12 分）如图，E 是以 AB 为直径的半圆 O 上异于 A，B 的点，矩形 ABCD 所在的平面垂直于半圆 O 所在的平面，且 AB2，AD 3（1）求证：平面 EAD平面 EBC；（2）若 的长度为 ，求二面角 ADEC 的正弦值【分析】 （1）推导出 BC圆 O 所在的平面，BC EA ，BEEA，从而 EA平面EBC，由此能够证明平面 EAD平面 EBC（2）连结 OE，以点
28、 O 为坐标原点，在平面 ABE 中，过 O 作 AB 的垂线为 x 轴，AB 所在的直线为 y 轴，在平面 ABCD 中，过 O 作 AB 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 ADEC 的正弦值【解答】证明：（1）平面 ABCD圆 O 所在平面，两平面交线为 AB，BC平面 ABCD，BCAB ，BC圆 O 所在的平面，EA 在圆 O 所在的平面内，BCEA，AEB 是直角，BEEA，EA平面 EBC，EA 平面 EAD，平面 EAD平面 EBC解：（2）如图，连结 OE，以点 O 为坐标原点，在平面 ABE 中，过 O 作 AB 的垂线为x 轴，AB 所在的直线为
29、 y 轴，在平面 ABCD 中，过 O 作 AB 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 的长度为 ， ，EOx ，O（0，0，0） ，E（ ） ，D （0，1，3） ，C（0，1，3） ，B（0，1，0） ， （0，2，0） ， （ ， ，3） ， （ ， ，0） ，设平面 DCE 的一个法向量为 （x，y，z） ，则 ，取 x2，得 （2，0， ） ，平面 EAD 的一个法向量 （ ） ，cos ，sin ，二面角 ADEC 的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）已
30、知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为为椭圆上一动点（异于左右顶点） ，AF 1F2 面积的最大值为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l：y x+m 与椭圆 C 相交于点 A，B 两点，问 y 轴上是否存在点 M，使得ABM 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）bc ，又 ，以及 a2b 2+c2，解得 a24，b 21，即可得到椭圆的方程，（2）假设 y 轴上存在点 M（0，t） ，ABM 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形，设A（x 1， y1） ，B（x 2，y 2） ，线段 AB 的中点为 N（x 0
31、，y 0） ，根据韦达定理求出点 N 的坐标，再根据 AMBM ，MNl ，即可求出 m 的值，可得点 M 的坐标【解答】解：（1）AF 1F2 面积的最大值为 ，则 bc ，又 ，以及 a2b 2+c2，解得 a24，b 21，椭圆 C 的方程为 +y21 ，（2）假设 y 轴上存在点 M（0，t） ，ABM 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，线段 AB 的中点为 N（x 0，y 0） ，由 ，消去 y 可得 5x2+8mx+4m240，64m 220（4m 24）16（5m 2）0，解得 m25，x 1+x2 ，x 1x2 ，x 0
32、，y 0x 0+m ，N（ ， ） ，依题意有 AMBM ，MNl，由 MNl，可得 11，可得 t ，由 AMBM 可得 1，y 1x 1+m，y 2x 2+m，代入上式化简可得 2x1x2+（mt） （x 1+x2）+ （m t） 20，则 （ ） 2+（ ） 20，解得 m1，当 m1 时，点 M（0， ）满足题意，当 m1 时，点 M（0， ）满足题意故 y 轴上是存在点 M（0， ） ，使得ABM 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形【点评】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20 （12 分）某普通高中为了解本校高三年级学生数学
33、学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了 n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在60，150） ，按下列分组 60，70） ，70 ，80） ，80，90） ， 90，100） ，100，110） ，110，120 ） ，120，130） ， 130，140） ，140 ，150作出频率分布直方图，如图 l；样本中分数在70，90）内的所有数据的茎叶图如图 2：根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表分数 60，80） 80，120） 120，150可能被录取院校层次 专科 本科 自招（1）求 n 的值及频率分布直方图中的 x，y 值；（2）根
34、据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取 2 人，求此 2 人都不能录取为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取 3 名学生进行调研，用 表示所抽取的 3 名学生中为自招的人数，求随机变量 的分布列和数学期望【分析】 （1）由图 2 知分数在70，80）的学生有 4 名，由图 1 知，频率为0.008100.08，由此能求出 n 的值及频率分布直方图中的 x，y 值（2）能被专科院校录取的人数为 6 人，抽取的 50 人中，成绩能被专科院校录取的频率是 ，从而从该校高三年级学生中任取 1 人能被专科院校录取的概率为 ，
35、记该校高三年级学生中任取 2 人，都不能被专科院校录取的事件为 E，由此利用对立事件概率计算公式能求出此 2 人都不能录取为专科的概率（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为 6 人，成绩能过自招线人数为 12 人，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3，分别求出随机变量 的分布列和数学期望【解答】解：（1）由图 2 知分数在70，80）的学生有 4 名，又由图 1 知，频率为 0.008100.08，则 0.08 ，解得 n 50，同理得 x 0.01，y 0.014（2）能被专科院校录取的人数为：50（0.04+0.08）106 人，抽取的 50 人中，成绩能被专科院校录取的频率是：
36、 ，从该校高三年级学生中任取 1 人能被专科院校录取的概率为 ，记该校高三年级学生中任取 2 人，都不能被专科院校录取的事件为 E，则此 2 人都不能录取为专科的概率 P（E）1（ ） 2 （3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为 6 人，成绩能过自招线人数为 50（0.012+0.004+0.008）10 12 人，又随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3，P（0） ，P（1） ，P（2） ，P（3） ，随机变量 的分布列为： 0 1 2 3P E（） 2【点评】本题考查频率、频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考
37、查运算求解能力，属于中档题21 （12 分）对于函数 yf（x）的定义域 D，如果存在区间 m，nD，同时满足下列条件：f（x）在m，n上是单调函数； 当 xm，n 时，f（x）的值域为2m ，2n，则称区间m， n是函数 f（x）的“单调倍区间” 已知函数（1）若 a2，求 f（x ）在点（e，f（e ） ）处的切线方程；（2）若函数 f（x ）存在“单调倍区间” ，求 a 的取值范围【分析】 （1）根据导数的几何意义求切线的斜率，根据点斜式求切线方程根；（2）根据单调倍区间的定义，设函数 f（x ）存在“单调倍区间”是m，n ，然后对m， n按照 3 种情况分类讨论可得【解答】解：（1）当
38、 a2 时，f（x ）2lnx2x（x0） ，当 x0 时，f（x） 2，则 f（e ） 2，又 f（e）22e，f（x）在 （ e，f（e ） ）处的切线方程为 y（22e）（ 2） （xe） ，即 y（ 2）x （2）f（x） （a0） ，f（x） （a0） ，列表如下：x （，0） （0， ） （ ，+）f（x） + 0 f（x） 减 增 极大值 减设函数 f（x）存在 “单调倍区间”是 m，n 当 mn0 时，由 f（x）在（，0）上单调递减，则有 ，两式相减，得 2（nm ） ，即 2（ ） （ + ） ， + ，代入 得，要使此关于 m，n 的方程组在 mn 0 时有解，则使得 y
39、2a 与y2x 2x+ （x0）的图象有两个公共点又 y2x 2x+ 2（x ） 2+ ，当 x 时，y min ，当 x0 时，y 结合两函数图象，须有 2a ，即 a 即此时满足 f（x ）存在“单调倍区间”的 a 的取值范围是（ ， ，当 0 mn 时，由 f（x）在（0， ）上单调递增，则有 ，即，设 g（x） ，则 g（x） ，当 x（0，e）时，g（x）0，g（x）为增函数，当 x（e，+）时，g（x）0，g（x）为减函数，要使方程 有两解，须使 y 与 y 的图象在（0， 有两个交点结合两函数图象，须有 ，即 ，解得 4ea2e 2，即此时满足 f（x ）存在“单调倍区间“的 a
40、 的取值范围是（4e，2e 2，当 mn 时，由 f（x）在（ ，+）上单调函数，则有 ，两式相减，得 a（lnmlnn） 0，此式不成立，即此时 f（x ）不存在“单调倍区间” 综上，函数 f（x ）存在“单调倍区间”的 a 的取值范围是（ ， （4e，2e 2【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，属难题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的
41、极坐标方程为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，若|AB |8，求 值【分析】 （1）由 ，得 sin22cos， 2sin22 cos ，y 22x（2）根据参数 t 的几何意义可得【解答】解：（1）由 ，得 sin22cos， 2sin22 cos即y22x（2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程得：t 2sin2 2tcos10，（2cos） 2+4sin24 0，设 t1，t 2 是方程的根，则 t1+t2 ，t 1t2 ，|AB| |t1t 2| 8，sin 2 ，又 0 ，sin ， 或 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标
42、方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|2x 1|+|x+a|，g（x）x +2（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）g（x）的解集；（2）设 ，且当 ，求 a 的取值范围【分析】 （1）分 3 段去绝对值解不等式在相并；（2）分离参数后转化为最值使不等式成立【解答】解：（1）当 a1 时，不等式 f（x ）g（x）化为|2x1|+|x1|x20，（i）当 x 时，不等式化为（2x1）（x1）x20，解得 0x （ii）当 x1 时，不等式化为 2x1（x 1）x20，解得 x1，（iii ）当 x1 时，不等式化为 2x1+x1x 20，解得 1x2综上，原不等式的解集为（0，2） （2）由ax ，得2a2x1，2a12x 1 0，又 0x+a +a，则 f（x）（ 2x1）+x+ax+a+1，不等式 f（x） g（x）化为x+a+1x+2，得 a2x+1 对 xa， ）都成立，故 a2a+1，即 a ，又 a ，故 a 的取值范围是（ ， 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
