1、山东省潍坊市山东省潍坊市 2020 届高三第二次模拟考试数学试题届高三第二次模拟考试数学试题 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3，6，7，则 AUB （ ） A1，4 B1，4，5 C4，5 D6，7 2若复数 = + 1在复平面内对应的点在第二象限内，则实数 a 的值可以是（ ） A1 B0 C1 D2 3甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一
2、人是记者已知丙的年龄比医生大； 甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A甲是律师，乙是医生，丙是记者 B甲是医生，乙是记者，丙是律师 C甲是医生，乙是律师，丙是记者 D甲是记者，乙是医生，丙是律师来源:学,科,网 Z,X,X,K 4以抛物线 E：x24y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为（ ） A （x1）2+y24 Bx2+（y+1）24 C （x+1）2+y24 Dx2+（y1）24 5设函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）excosx，则不等式 f（2x1）+f（x2） 0 的解集为（ ） A （，1） B （，1 3） C
3、（1 3，+） D （1，+） 6 周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰： “阴阳之数，日月 之法， 十九岁为一章， 四章为一部， 部七十六岁， 二十部为一遂， 遂千百五二十岁， 生 数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有 20 位老人，他们的年龄（都为正 整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于 90100） ，其余 19 人的年 龄依次相差一岁，则年长者的年龄为（ ） A94 B95 C96 D98 7在四面体 ABCD 中，ABC 和BCD 均是边长为 1 的等边三角形，已知四面体 ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且 AD 是该球的直径，则
4、四面体 ABCD 的体积为（ ） A 2 24 B 2 12 C 2 6 D 2 4 8已知 O 为坐标原点，双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右焦点为 F，过点 F 且与 x 轴垂直的直线与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A（点 A 在第一象限） ，点 B 在双曲线 C 的渐近线上，且 BFOA，若 = 0，则双曲线 C 的离心率为（ ） A23 3 B2 C3 D2 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中分，在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求，全部选对的得有多项符合题目
5、要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照 14 亿人口计算，中国人 均粮食产量约为 950 斤比全球人均粮食产量高了约 250 斤如图是中国国家统计局网 站中 20102019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据 如图可知在20102019年中（ ） A我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增 B2011 年我国粮食年产量的年增长率最大 C2015 年2019 年我国粮食年产量相对稳定 D2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰 10若 ab1
6、，c0 则下列不等式中一定成立的是（ ） Aa 1 b 1 Ba 1 b 1 Cln（ba）0 D （ ） c（ ） c 11在单位圆 O：x2+y21 上任取一点 P（x，y） ，圆 O 与 x 轴正向的交点是 A，设将 OA 绕原点 O 旋转到 OP 所成的角为 ， 记 x， y 关于 的表达式分别为 xf （） ， yg （） ， 则下列说法正确的是（ ） Axf（）是偶函数，yg（）是奇函数 Bxf（）在, 2 ， 2-为增函数，yg（）在, 2 ， 2-为减函数 Cf（）+g（）1 对于 ,0， 2-恒成立 D函数 t2f（）+g（2）的最大值为32 2 12如图，平面 平面 l，A
7、，C 是 内不同的两点，B，D 是 内不同的两点，且 A， B，C，D直线 l，M，N 分别是线段 AB，CD 的中点下列判断正确的是（ ） A若 ABCD，则 MNl B若 M，N 重合，则 ACl C若 AB 与 CD 相交，且 ACl，则 BD 可以与 l 相交 D若 AB 与 CD 是异面直线，则 MN 不可能与平行 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别 是 F1，F2，且 F1，F2与水平夹角均为 45，|1| = |2 | = 102，则
8、物体的重力大小 为 14已知 (0， 2)，( 4) = 5 5 ，则 tan 15植树造林，绿化祖国某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地 块上的 ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中 A、B、C 分 别与 E、F、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵， 且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是 （用数字作答） 16已知函数() = ， 1 23 32+ 1，1则 x1，e时，f（x）的最小值为 ； 设 g （x） f （x） 2f （x） +a 若函数 g （x） 有 6 个零
9、点， 则实数 a 的取值范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 = 23， = 3， （1）若 = 4，求 b； （2）求ABC 面积的最大值 18已知数列an为正项等比数列，a11，数列bn满足 b23，a1b1+a2b2+a3b3+anbn 3+（2n3）2n （1）求 an； （2）求* 1 +1+的前 n 项和 Tn 19请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答 ABBC，FC 与平面
10、ABCD 所成的角为 6，ABC= 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA平面 ABCD，且 PAPB2， PD 的中点为 F （1）在线段 AB 上是否存在一点 G，使得 AF平面 PCG？若存在，指出 G 在 AB 上的 位置并给以证明；若不存在，请说明理由； （2）若_，求二面角 FACD 的余弦值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， 20已知函数 f（x）= 1 + ，() = ， （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）证明：a1 时，f（x）+g（x）（1+ 2）lnxe 21区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心
11、技术区块链作 为构造信任的机器， 将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式， 2015 年至 2019 年五 年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近 5 年区块链企业总 数量相关数据，如表 年份 2015 2016 2017 2018 2019 编号 1 2 3 4 5 企业总数量 y（单 位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224 注： 参考数据 5 1 = 74.691， 5 1 = 312.761， 5 1 = 10.980， 5 1 = 40.457（其中 zlny） 附： 样本 （xi， yi） （i1， 2， ， n） 的最小二
12、乘法估计公式为 = =1 ()() =1 ()2 ， = （1）根据表中数据判断，ya+bx 与 ycedx（其中 e2.71828，为自然对数的底数） ， 哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必 说明理由） （2）根据（1）的结果，求 y 关于 x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位） ； （3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀 请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：每场比赛有两个公司参加，并决出 胜负； 每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛； 在比赛中， 若有一个公司首先获胜两场，则本
13、次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜 公司” ， 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为1 3，甲胜丙的概率为 3 5，乙胜丙的概率为 1 2，请通过计 算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？ 22已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 P（2，1） ，F1，F2分别为椭圆 C 的左、右焦点 且1 2 = 1 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 P 点的直线 l1与椭圆 C 有且只有一个公共点，直线 l2平行于 OP（O 为原点） ， 且与椭圆 C 交于两点 A、B，与直线 x2 交于点 M（M 介于 A、B 两点之间） （i）当PAB 面积最大时
14、，求 l2的方程； （ii）求证：|PA|MB|PB|MA|，并判断 l1，l2，PA，PB 的斜率是否可以按某种顺序构成 等比数列？ 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3，6，7，则 AUB （ ） A1，4 B1，4，5 C4，5 D6，7 根据补集与交集的定义，计算即可 集合 U1，2，3，4，5，6，7，B2，3，6，7， 所以UB1，4，5，来
15、源:学.科.网 又 A2，3，4，5， 所以 AUB4，5 故选：C 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题 2若复数 = + 1在复平面内对应的点在第二象限内，则实数 a 的值可以是（ ） A1 B0 C1 D2 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于 0 且虚部大于 0 求解 a 的范围，则答 案可求 = + 1 = (+)(1+) (1)(1+) = 1 2 + +1 2 在复平面内对应的点在第二象限内， 1 2 0 +1 2 0 ，得1a1 实数 a 的值可以是 0 故选：B 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3甲、乙、丙三人中，一人是
16、律师，一人是医生，一人是记者已知丙的年龄比医生大； 甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A甲是律师，乙是医生，丙是记者 B甲是医生，乙是记者，丙是律师 C甲是医生，乙是律师，丙是记者 D甲是记者，乙是医生，丙是律师 由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，由丙的年龄比医生大，得 到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生 由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者， 从而排除 B 和 D； 由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生 故选：C 本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思想， 是
17、基础题 4以抛物线 E：x24y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为（ ） A （x1）2+y24 Bx2+（y+1）24 C （x+1）2+y24 Dx2+（y1）24 求出焦点坐标，得到圆的圆心坐标，然后求解圆的半径，即可求解圆的方程 抛物线 E：x24y 的焦点为圆心，可得圆心坐标（0，1） ， 圆与抛物线 E 的准线相切，所以圆的半径为：2， 圆的方程为：x2+（y1）24 故选：D 本题考查抛物线的简单性质，圆的方程的求法，是基本知识的考查，基础题 5设函数 f（x）为奇函数，且当 x0 时，f（x）excosx，则不等式 f（2x1）+f（x2） 0 的解集为（ ） A
18、 （，1） B （，1 3） C （1 3，+） D （1，+） 根据题意，由函数的解析式求出其导数，分析可得 f（x）在0，+）上为增函数，结合 函数的奇偶性分析可得 f（x）在 R 上为增函数，据此可得原不等式等价于 2x12x， 解可得 x 的取值范围，即可得答案 根据题意，当 x0 时，f（x）excosx，此时有 f（x）ex+sinx0，则 f（x）在0， +）上为增函数， 又由 f（x）为奇函数，则 f（x）在区间（，0上也为增函数， 故 f（x）在 R 上为增函数； f（2x1）+f（x2）0f（2x1）f（x2）f（2x1）f（2x）2x12 x， 解可得 x1， 即不等式的
19、解集为（1，+） ； 故选：D 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于基 础题 6 周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰： “阴阳之数，日月 之法， 十九岁为一章， 四章为一部， 部七十六岁， 二十部为一遂， 遂千百五二十岁， 生 数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有 20 位老人，他们的年龄（都为正 整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于 90100） ，其余 19 人的年 龄依次相差一岁，则年长者的年龄为（ ） A94 B95 C96 D98 设年纪最小者年龄为 n，年纪最大者为 m，m90，100，由题可
20、得 n+（n+1）+（n+2） +（n+18）+m19n+171+m1520，解出 n 的取值范围，根据年龄为整数可得 n 的取 值范围，再代入可得 m 的值 根据题意可知这 20 个老人年龄之和为 1520，设年纪最小者年龄为 n，年纪最大者为 m， m90，100 则有 n+（n+1）+（n+2）+（n+18）+m19n+171+m1520， 则有 19n+m1349，则 m134919n 所以 90134919n100， 解得65 14 19 n 66 5 19 因为年龄为整数，所以 n66， 则 m1349196695 故选：B 本题考查阅读理解能力，合情推理能力，涉及等差数列的性质，
21、属于中档题 7在四面体 ABCD 中，ABC 和BCD 均是边长为 1 的等边三角形，已知四面体 ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且 AD 是该球的直径，则四面体 ABCD 的体积为（ ） A 2 24 B 2 12 C 2 6 D 2 4 推导出 ABACBCBDCD1，ABDACD90，OBOCOD= 2 2 ，BO AD，BOBC，从而 BO平面 ACD，由此能求出四面体 ABCD 的体积 在四面体 ABCD 中，ABC 和BCD 均是边长为 1 的等边三角形， 四面体 ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且 AD 是该球的直径， ABACBCBDCD1，ABDACD90， OBOC
22、OD= 2 2 ，BOAD，BOBC， BO平面 ACD， 四面体 ABCD 的体积为： VBACD= 1 3 = 1 3 1 2 2 2 2 2 2 = 2 12 故选：B 本题考查四面体的体积的求法， 考查空间中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 8已知 O 为坐标原点，双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右焦点为 F，过点 F 且与 x 轴垂直的直线与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A（点A 在第一象限） ，点 B 在双曲线 C 的渐近线上，且 BFOA，若 = 0，则双曲线 C 的离心率为（ ） A23 3 B2 C3 D2 设设双曲线
23、的半焦距为 c，利用题设条件分别求出 A、B 的坐标，再利用 = 0得到 a 与 c 的关系式，求出离心率 如右图所示，设双曲线的半焦距为 c，渐近线方程为：y ， 则点 F（c，0） ，A（c， ） ，设点 B（x0， 0 ） ，BFOA， KOAKBF，即 = 0 0; ，解得：x0= 2， = ( 2， 3 2 )， = ( 2， 2) 又 = 0， 2 4 + 322 42 =0，即 a23b2c2a2+b2，a23（c2a2） 即 3c24a2，所以离心率 e= = 23 3 故选：A 本题主要考查双曲线与向量的综合，属于中档题 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4
24、个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中分，在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求，全部选对的得有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照 14 亿人口计算，中国人 均粮食产量约为 950 斤比全球人均粮食产量高了约 250 斤如图是中国国家统计局网 站中 20102019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据 如图可知在20102019年中（ ） A我国粮食年产量与年末总人口均逐年递
25、增 B2011 年我国粮食年产量的年增长率最大 C2015 年2019 年我国粮食年产量相对稳定 D2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰来源:学+科+网 Z+X+X+K 仔细观察 20102019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图， 利用条形数的性质直接求解 由中国国家统计局网站中 20102019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万 人）的条形图，知： 对于 A，我国粮食年产量在 2010 年至 2015 年逐年递增，在 2015 年至 2019 年基本稳定 在 66 千万吨以上， 我国年末总人口均逐年递增，故 A 错误； 对于 B，由粮食产量条形图得
26、 2011 年我国粮食年产量的年增长率最大，故 B 正确； 对于 C，在 2015 年至 2019 年基本稳定在 66 千万吨以上，故 C 正确； 对于 D，2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰，故 D 正确 故选：BCD 本题考查命题真假的判断，考查条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 10若 ab1，c0 则下列不等式中一定成立的是（ ） Aa 1 b 1 Ba 1 b 1 Cln（ba）0 D （ ） c（ ） c 根据题设条件逐项判断即可 由函数 = 1 在（，1）上为增函数可知，当 ab1 时， 1 1 ，故 选项 A 错误； 由函数 = + 1 在在（，1）上
27、为增函数可知，当 ab1 时， 1 1 ， 故选项 B 正确； 由于 ab，则 ba0，但不确定 ba 与 1 的大小关系，故 ln（ba）与 0 的大小关系 不确定，故选项 C 错误； 由 ab1 可知， 1，0 1，而 c0，则( ) 1( ) 0，故选项 D 正确 故选：BD 本题考查实数的大小比较，考查函数思想的运用，属于基础题 11在单位圆 O：x2+y21 上任取一点 P（x，y） ，圆 O 与 x 轴正向的交点是 A，设将 OA 绕原点 O 旋转到 OP 所成的角为 ， 记 x， y 关于 的表达式分别为 xf （） ， yg （） ， 则下列说法正确的是（ ） Axf（）是偶函
28、数，yg（）是奇函数 Bxf（）在, 2 ， 2-为增函数，yg（）在, 2 ， 2-为减函数 Cf（）+g（）1 对于 ,0， 2-恒成立 D函数 t2f（）+g（2）的最大值为32 2 A，由题可知，xf（）cos，yg（）sin，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性， 可判断选项 A； B，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项 B； C，先利用辅助角公式可得 f（）+g（）= 2( + 4)，再结合正弦函数的值域即可 得解； D，t2cos+sin2，0，2，先对函数 t 求导，从而可知函数 t 的单调性，进而可得 当 sin= 1 2， = 3 2 时，函数 t 取得最大值，结合正弦的
29、二倍角公式，代入进行运算即 可得解 由题可知，xf（）cos，yg（）sin，即 A 正确； xf （） cos 在, 2 ，0)上为增函数， 在,0， 2-上为减函数； yg （） sin 在, 2 ， 2- 上为增函数，即 B 错误； f（）+g（）cos+sin= 2( + 4)， ,0， 2-， + 4 , 4 ， 3 4 -， 2( + 4) ,1，2-，即 C 正确； 函数 t2f（）+g（2）2cos+sin2，0，2，则 t2sin+2cos22sin+2 （12sin2）2（2sin1） （sin+1） ， 令 t0，则1 1 2；令 t0，则 1 2 1， 函数 t 在(1
30、， 1 2)上单调递增，在( 1 2，1)上单调递减，当 sin= 1 2， = 3 2 时，函数 t 取得最大值，为2 3 2 + 2 1 2 3 2 = 33 2 ，即 D 错误 故选：AC 本题考查正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性，三角恒等变换，利用导数求函数的单 调性与最值等， 考查学生灵活运用知识的能力、 推理论证能力和运算能力， 属于中档题 12如图，平面 平面 l，A，C 是 内不同的两点，B，D 是 内不同的两点，且 A， B，C，D直线 l，M，N 分别是线段 AB，CD 的中点下列判断正确的是（ ） A若 ABCD，则 MNl B若 M，N 重合，则 ACl C若 AB
31、与 CD 相交，且 ACl，则 BD 可以与 l 相交 D若 AB 与 CD 是异面直线，则 MN 不可能与平行 由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定 A、B、C； 用反证法证明 D 若 ABCD，则 A、B、C、D 四点共面 ，当 ABCD 时， 平面 、 两两相交有三条交线，分别为 AC、BD、l，则三条交线交于一点 O， 则 l 与平面 交于点 O，MN 与 l 不平行，故 A 错误； 若 M，N 两点重合，则 ACBD，A、B、C、D 四点共面 ， 平面 、 两两相交有三条交线，分别为 AC、BD、l， 由 ACBD，得 ACBDl，故 B 正确； 若 A
32、B 与 CD 相交，确定平面 ，平面 、 两两相交有三条交线，分别为 AC、BD、 l， 由 ACl，得 ACBDl，故 C 错误； 当 AB，CD 是异面直线时，如图，连接 BC，取 BC 中点 G，连接 MG，NG 则 MGAC，AC，MG，则 MG，假设 MNl， l，MN，MN， 又 MNMGM，平面 MNG，同理可得，平面 MNG，则 ，与平面 平 面 l 矛盾 假设错误，MN 不可能与 l 平行，故 D 正确 故选：BD 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能 力，是中档题 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题
33、 5 分，共分，共 20 分分 13如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别 是 F1，F2，且 F1，F2与水平夹角均为 45，|1| = |2 | = 102，则物体的重力大小为 20 根据向量加法的平行四边形法则，即可作出1 + 2 ，进而求出|1 + 2 |的值，从而得出 物体重力的大小 如图，|1 | = |2 | = 102， |1 + 2 | = 102 2 = 20， 物体的重力大小为 20 故答案为：20 本题考查了向量加法的平行四边形法则，等腰直角三角形直角边和斜边的关系，考查了 计算能力，属于基础题 14已知 (0， 2)，( 4) =
34、 5 5 ，则 tan 3 由题可知 4 ( 4 ， 4)，所以 cos( 4)0，利用同角三角函数的平方关系可求得 其值，再采用拼凑角的方法， = ,( 4) + 4-，并结合正弦的两角和公式求出其 值，再一次利用平方关系，求出 cos 的值，最后利用商数关系即可得解 ( 4) = 5 5 ，且 (0， 2) ， 4 ( 4 ， 4) ， ( 4) = 1 2( 4) = 25 5 ， = ,( 4) + 4- = 2 2 ,( 4) + ( 4)- = 2 2 35 5 = 310 10 ， (0， 2)， = 1 2 = 10 10 ， = = 3 故答案为：3 本题考查三角恒等变换的混
35、合运算，观察角之间的联系，使用拼、凑角是解题的关键， 考查学生的运算能力，属于基础题 15植树造林，绿化祖国某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地 块上的 ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中 A、B、C 分 别与 E、F、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵， 且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是 36 （用数字作答） 先选四个位置上的重复树苗有 C 3 1种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可 解决问题 由题意对称相当于 3 种树苗种 A， B， C， D 四个位置
36、， 必有一种树苗重复有 C 3 1种方法； 在四个位置上种植由4 4 2 2 =12 种方法， 则由乘法原理得 C 3 1 1236 种方法 故答案为：36 本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算属 于中低档题 16已知函数() = ， 1 23 32+ 1，1则 x1，e时，f（x）的最小值为 4 ； 设 g（x）f（x）2f（x）+a 若函数 g（x）有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 （0， 1 4） 来源:学科网 ZXXK 根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值或者下确界， 即可求出 x1， e时， f （x） 的最小值； 令 tf（x） ，根
37、据题意再结合函数 f（x）的图象，以及 yt2t 的图象即可求出实数 a 的 取值范围 当 x1，e时，f（x）lnx，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为 f（1） ln10， 当 x1，1）时，f（x）2x33x2+1，则 f（x）6x26x0 时，x1（舍）或 0， 且有 f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减， 因为 f（1）23+14f（1） ， 故函数 f（x）在1，e上的最小值为4； 令 tf（x） ，g（x）0 即 t2ta， 作出函数 yf（x）的图象，如图所示： 直线 yt 与函数 yf（x）的图象最多只有三个交点，所以 0t1， 即说明方程 t2t
38、a 有两个（0，1）内的不等根， 亦即函数 yt2t 在（0，1）内的图象与直线 ya 有两个交点， 因为 yt2t（t 1 2） 21 4，根据 yt 2t 的图象可知，1 4a0， 即实数 a 的取值范围为 0a 1 4 故答案为：4； （0，1 4） 本题主要考查分段函数的最值求法，以及根据函数的零点个数求参数范围，考查学生的 转化能力和数形结合能力，属于较难题 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 = 23
39、， = 3， （1）若 = 4，求 b； （2）求ABC 面积的最大值 （1）根据题意利用正弦定理可求 b 的值； （2）由余弦定理和基本不等式可求 bc 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值 （1） = 4， = 23， = 3， 由正弦定理 = ，可得 b= = 232 2 3 2 =22 （2） = 23， = 3， 由余弦定理知 a2b2+c22bccosAb2+c2bc2bcbcbc， bca212，当且仅当 bc 取“” ； ABC 面积的最大值为1 2bcsinA= 1 2 12 3 2 =33 本题考查了正弦、 余弦定理的应用问题， 也考查了基本不等式与三角形面积的计算问题，
40、 属于基础题 18已知数列an为正项等比数列，a11，数列bn满足 b23，a1b1+a2b2+a3b3+anbn 3+（2n3）2n （1）求 an； （2）求* 1 +1+的前 n 项和 Tn 本题第（1）题先将 n1 代入题干表达式可得 b11，再将 n2 代入题干表达式可得 a2 2，然后设等比数列an的公比为 q（q0） ，则根据等比数列的定义可得 q= 2 1，即可 计算出公比 q 的值，即可得到数列an的通项公式 an； 第（2）题由 a1b1+a2b2+a3b3+anbn3+（2n3）2n，类比可得 a1b1+a2b2+a3b3+an 1bn13+（2n5）2n 1，再将两式相
41、减，进一步转化计算，根据第（1）题的结果可计 算出数列bn的通项公式，注意要验证 n1 时的情况然后计算出数列* 1 +1+的通项 公式，再根据通项公式的特点运用裂项相消法可计算出前 n 项和 Tn （1）由题意，当 n1 时，a1b13+（213）211， a11，b11， 当 n2 时，a1b1+a2b23+（223）227， a1b11，b23，1+3a27，解得 a22， 设等比数列an的公比为 q（q0） ，则 q= 2 1 = 2 1 =2， an12n 12n1，nN* （2）依题意，当 n2 时，由 a1b1+a2b2+a3b3+anbn3+（2n3）2n，可得 a1b1+a2
42、b2+a3b3+an1bn13+（2n5）2n 1， 两式相减，可得： anbn3+（2n3）2n3+（2n5）2n 1（2n1）2n1， 来源:学科网 ZXXK 由（1）知，an2n 1， bn2n1（n2） ， 当 n1 时，b11 也满足上式， bn2n1，nN* 1 +1 = 1 (2;1)(2:1) = 1 2（ 1 2;1 1 2:1） ， Tn= 1 12 + 1 23 + + 1 +1 = 1 2（1 1 3）+ 1 2（ 1 3 1 5）+ 1 2（ 1 2;1 1 2:1） = 1 2（1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2+1） = 1 2（1 1 2+1） = 2+1 本题主要考查等比数列的基本量的
