山东省淄博市2020届高三第一次模拟考试数学试题(含答案)

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1、 1 高三数学试题 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在 答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 第卷(选择题 60 分) 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1已知全集1,2,3,4,5,6U ,集合2,3,5A,集合1,3,4,6B ,则集合 U AB A3 B1,4,6 C2,5 D2,3,5

2、2. 命题“ 000 (0,),ln1xxx”的否定是 A(0,),ln1xxx B(0,),ln1xxx C 000 (0,),ln1xxx D 000 (0,),ln1xxx 3设 1 i 2i 1 i z ,则| z A0 B 1 2 C 2 D1 2 4二项式(1) () n xnN的展开式中 2 x的系数为 15,则n A7 B6 C5 D4 5 已知ABC是边长为 1 的等边三角形, 点,D E分别是边,AB BC的中点, 连接DE并 延长到点F,使得2DEEF,则AF BC的值为 A 5 8 B 1 8 C 1 4 D11 8 6直线20xy分别与x轴,y轴交于,A B两点,点P

3、在圆 22 (2)2xy上, 则ABP面积的取值范围是 A2,6 B4,8 C 2,3 2 D2 2,3 2 7已知函数 0 ( ) ln0 x ex f x xx , , ( )( )g xf xxa若( )g x存在2个零点,则a的 取值范围是 A 1,0) B 1,) C0,) D1,) 8已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上,PAPBPC,ABC是边长 为2的正三角形,,E F分别,PA PB的中点,90CEF,则球O的体积为 A6 6 B4 6 C2 6 D6 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求全部选对的

4、得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 9某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2017年 1月 3 至 2019年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图根据 该折线图,下列结论正确的是 A年接待游客量逐年增加 B各年的月接待游客量高峰期大致在 8月 C2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 D各年 1月至 6 月的月接待游客量相对于 7月至 12月,波动性更小,变化比较平稳 10. 如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,线段 11 B D上有两个动点 E、F,且 1 2 EF ,则下列

5、结论中正确的是 AACBE B/EFABCD平面 CAEF BEF的面积与的面积相等 D三棱锥ABEF的体积为定值 4 11.已知椭圆 22 1 43 xy 的左、右焦点分别为FE、,直线xm)(11m与椭圆相 交于点A、B,则 A. 当0m时,FAB的面积为3 B. 不存在m使FAB为直角三角形 C. 存在m使四边形FBEA面积最大 D. 存在m,使FAB的周长最大 12. 函数( )f x在 , a b上有定义,若对任意 12 , , x xa b,有 12 12 1 ()()() 22 xx ff xf x 则称( )f x在 , a b上具有性质P。设( )f x在1,3上具 有性质P

6、,则下列说法错误的是: A.( )f x在1,3上的图像是连续不断的; B)( 2 xf在1, 3上具有性质 P; C.若( )f x在2x处取得最大值 1,则( )1f x ,1,3x; D.对任意 1234 ,1,3x x x x ,有 1234 1234 1 ()()()+ ()+ () 42 xxxx ff xf xf xf x 第卷(非选择题 90 分) 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 5 13从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选 法共有_种 (用数字填写答案) 14已知,a bR,且360ab,则 1

7、2 8 a b 的最小值为_ 15已知椭圆 22 22 1(0) xy Mab ab :,双曲线 22 22 1 xy N mn :若双曲线N的两条 渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则双曲线 N的离心率为_; 椭圆M的离心率为_ (本题第一空 2 分, 第二空 3 分) 16已知函数 2sinsin2f xxx,则 f x的最小值是_ 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)已知数列 n a满足 1 1a , 1 431 nn aan , nn ban. (1)证明:数列 n b为等比数列; (2)求

8、数列 n a的前n项和. 18.(12 分)已知,A B分别在射线,CM CN(不含端点C)上运动, 2 3 MCN,在 ABC中,角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c. 6 (1)若, ,a b c依次成等差数列,且公差为 2求c的值; (2)若3c ,ABC,试用表示ABC的周长,并求周长的最大值. 19(12 分) 如图, 边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M 是CD上异于C,D的点 (1) 证明:平面AMD平面BMC; (2) 当三棱锥MABC体积最大时, 求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 20 (12 分)如图,已知抛物线 2 xy点

9、1 1 (,) 2 4 A , 3 9 ( , ) 2 4 B,抛物线上的点 ( , )P x y 13 () 22 x,过点B作直线AP的垂线,垂足为Q (1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求| |PAPQ的最大值 M D C B A y x Q A B P O 7 21 (12 分) 下图是我国2013 年至2019 年生活垃圾无害化处理量 (单位: 亿吨) 的折线图 注:年份代码 17 分别对应年份 20132019 (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2021 年我国生活垃圾无害

10、化处 理量 附注: 参考数据: 7 1 9.32 i i y , 7 1 40.17 ii i t y , 7 2 1 ()0.55 i i yy ,72.646 参考公式: 1 2 1 () () () n ii i n i i xxyy b xx , a yb x , 8 线性相关系数 1 22 11 () () ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 22 (12 分) 已知函数 2 ( )2 lnf xxxx,函数 2 ( )(ln ) a g xxx x ,其中aR, 0 x是( )g x的 一个极值点,且 0 2g x (1)讨论 ( )f x的单调性;

11、(2)求实数 0 x和 a 的值; (3)证明 * 2 1 11 ln(21) 2 41 n k nnN k . 9 高三数学试题参考答案 1.C. 2.A. 3.D. 4.B. 5.B. 6.A. 7.B. 8.D 9.ABD. 10.ABD. 11.AC. 12.AB. 13. 16 . 14. 1 4 . 15. 31, 2 16. 3 3 2 . 17.解: (1)证明: nn ban, 11 1 nn ban .1 分 又 1 431 nn aan , 11 43111 n nn nnn annban banan 4 4 n n an an .4 分 又 11 1 1 12ba ,5

12、 分 数列 n b是首项为 2,公比为 4 的等比数列.6 分 (2)由(1)知, 1 2 4n n b , 7 分 1 2 4n nn abnn , 8 分 21 12 2(1444)(123) n nn Saaan 2 1 4 1 1 42 n n n 2 211 41 322 n nn.10 分. 18. 解: (1) , ,a b c依次成等差数列,且公差为 2, 4,2acbc, 1 分 10 又因 2 3 MCN, 即, 1 cos 2 C ,可得 222 1 22 abc ab , 3 分 恒等变形得: 2 9140cc,解得7,2cc或。 又4c ,7.c 5 分 (2)在AB

13、C 中,由正弦定理可得 sinsinsin ACBCAB ABCBACACB , 3 ,2sin ,2sin() 2 sin3 sin()sin 33 ACBC ACBC 即7 分 ABC 的周长( ) |AC|BC|AB| 2sin2sin()3 3 f , 9 分 又, 10 分 当,即时, ( )f取得最大值23. 12 分 19解:(1)由题设知,平面CMD平面ABCD面CMD面=ABCD CD 因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD, 11 故BCDM 2 分 因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以 DMCM 又BCCM=C,BC面BCM,CM面BCM, 所以D

14、M平面BMC 4 分 而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC5 分 (2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 当三棱锥MABC体积最大时, M为CD的中点 由题设得(0,0,0)D,(2,0,0)A, (2,2,0)B,(0,2,0)C,(0,1,1)M, ( 2,1,1)AM ,(0,2,0)AB ,(2,0,0)DA 7 分 设( , , )x y zn是平面MAB的法向量,则 即 可取(1,0,2)n 9 分 DA是平面MCD的法向量,所以 0, 0. AM AB n n 20, 20. xyz y z y x A B C D M 12 ,

15、11 分 , 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 2 5 5 12 分 20解: (1)设直线 AP 的斜率为k, 2 1 1 4 1 2 2 x kx x , 2 分 因为 13 22 x, 所以直线 AP 斜率的取值范围是( 1,1) 4 分 (2)联立直线 AP 与 BQ 的方程 11 0, 24 93 0, 42 kxyk xkyk 解得点 Q 的横坐标为 2 2 43 2(1) Q kk x k , 5 分 联立直线 AP 与抛物线方程,由韦达定理得点P横坐标为 1 2 P xk 6 分 故|PA= 2 1 1() 2 P kx= 2 1(1)kk 5 cos, 5| DA

16、DA DA n n n 2 5 sin, 5 DA n 13 |PQ= 2 1() QP kxx= 2 2 (1)(1) 1 kk k , 8 分 所以|PA PQ= 3 (1)(1)kk 9 分 令( )f k 3 (1)(1)kk, 因为 2 ( )(42)(1)f kkk , 10 分 所以( )f k在区间 1 ( 1, ) 2 上单调递增, 1 (,1) 2 上单调递减, 因此当 1 2 k 时,|PA PQ取得最大值 27 16 12 分 21.解: (1)由折线图中数据和附注中参考数据得: 4t , 7 2 1 ()28 i i tt , 1 分 7 2 1 ()0.55 i i

17、 yy , 777 111 ()()40.174 9.322.89 iiiii iii ttyyt yty ,3 分 2.89 0.99 0.55 2 2.646 r 5 分 因为y与t的相关系数近似为 0.99,说明y与t的线性相关相当高,从而可以用线性回归 模型拟合y与t的关系 6 分 14 (2)由 9.32 1.331 7 y 及(1)得 1 2 1 () () 2.89 0.103 28 () n ii i n i i ttyy b tt , 8 分 1.331 0.103 40.92ayb t 9 分 所以,y关于t的回归方程为:0.920.10yt 11 分 将 2021 年对应

18、的9t 代入回归方程得:0.920.10 91.82y 所以预测 2021 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨 12 分 22解: (1)由已知可得函数 f x的定义域为0,, 且( )22ln2fxxx ,1 分 令 h xfx,则有 21 ( ) x h x x ,由 0h x ,可得1x , 可知当 x 变化时, ,h xh x的变化情况如下表: x 0,1 1 1, h x - 0 + h x 极小值 2 分 15 10h xh,即 0fx ,可得 f x在区间0,单调递增; 3 分 (2)由已知可得函数 g x的定义域为0,,且 2 2ln ( )1 ax g x xx

19、, 4 分 由已知得 0gx ,即 2 000 2ln0xxxa, 由 0 2g x可得, 2 2 0000 ln20xxxxa, 联立,消去 a,可得 2 000 2ln2ln20xxx, 6 分 令 2 ( )2(ln )2ln2t xxxx, 则 2ln22(ln1) ( )2 xxx t x xxx , 由(1)知,ln10xx ,故 0tx , t x在区间0,单调递增, 注意到 10t,所以方程有唯一解 0 1x ,代入,可得1a , 0 1,1xa; 8 分 (3)证明:由(1)知 2 2 lnf xxxx在区间0,单调递增, 16 故当1,x时, 11f xf, 2 22 2

20、ln1( ) 1 ( )0 xxxf x g x xx , 可得 g x在区间1,单调递增,9 分 因此,当1x 时, 12g xg, 即 2 1 (ln )2xx x ,亦即 2 2 1 (ln )xx x , 这时 1 0,ln0xx x ,故可得 1 lnxx x ,10 分 取 * 21, 21 k xkN k ,可得 2121 ln(21)ln(21) 2121 kk kk kk , 10 分 而 2 21212 2121 41 kk kk k ,11 分 故 2 11 2 (ln(21)ln(21)ln(21) 41 n k n k kkn k 2 1 11 ln(21)() 2 41 n i nnN k 12 分

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