1、2019 年广东省深圳市南山区育才二中中考数学一模试卷一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分每小题给出 4 个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）1 的相反数是（ ）A2 B2 C D2下列图形既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）A BC D3港珠澳大桥 2018 年 10 月 23 日正式开通，整个大桥造价超过 720 亿元人民币，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道数据“720 亿”用科学记数法表示为（ ）A0.7210 11 B7.210 11 C7.210 10 D7210 94如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）A BC D5下列说
2、法正确的是（ ）A“明天降雨的概率为 50%”，意味着明天一定有半天都在降雨B了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式C掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6 点朝上是必然事件D一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大6下列计算正确的是（ ）Ax 4+x2x 6 B（m） 7（m） 2m 5C（3x 2y） 26x 4y2 D（a+b） 2a 2+b27一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，ABCF，FACB90，则DBC的度数为（ ）A10 B15 C18 D308把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）A BC D9为了美化校园，学校
3、计划购买甲、乙两种花木共 200 棵进行绿化，其中甲种花木每棵 80 元，乙种花木每棵 100 元，若购买甲、乙两种花木共花费 17600 元，求学校购买甲、乙两种花木各多少棵？设购买甲种花木 x 棵、乙种花木 y 棵，根据题意列出的方程组正确的是（ ）ABCD10对于反比例函数 y ，下列说法错误的是（ ）A图象分布在第二、四象限B若点 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）都在图象上，且 x1 x2，则 y1y 2C图象经过点（1，2）D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大11如图 1，一个扇形纸片的圆心角为 90，半径为 4如图 2，将这张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合
4、，折痕为 CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A B C D12如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，点 O 是ABC 的内心，FOG120”，绕点 O 旋转FOG ，分别交线段 AB、 BC 于 D、E 两点，连接 DE，给出下列四个结论：OD OE：S ODE S BDE：四边形 ODBE 的面积始终等于 ；BDE 周长的最小值为 6上述结论中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，请将正确的答案填在答题卡上）13分解因式：xy 29x 14在一个不透明的袋子里，装有除颜色外完全相同的 2 个黑球和 1 个红球，现
5、从袋子中随机摸出两个球，则摸到 1 个黑球和 1 个红球的概率是 15若 x 是不等于 1 的实数，我们把 称为 x 的差倒数，如 2 的差倒数是 ，1 的差倒数为 ，现已知 ，x 2 是 x1 的倒差数，x 3 是 x2 的倒差数，x 4 是 x3 的倒差数，依此类推，则 x2019 16如图，在ABC 中，AB13，AC 12，BC 5，按以下步骤作图：以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB、AC 于点 M、N；分别以点 M、N 为圆心，以大于 MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 E；作射线 AE；以同样的方法作射线BF，AE 交 BF 于点 O，连接 OC，则 OC 三、解答题（
6、本题共 7 题，其中 17 题 5 分，18 题 6 分，19 题 6 分，20 题 8 分，21 题 8 分，22 题9 分，23 题 10 分.共 52 分）17（5 分）计算18（6 分）先化简 ，然后从1x 2 的范围内选取一个你喜欢的整数作为 x 的值代入求值，19（6 分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况随机抽取了部分好友进行调查，把他们 6 月 1 日那天行走的情况分为四个类别：A（05000 步）（说明：“05000”表示大于等于 0，小于等于 5000，下同），B（500110000 步），C（10
7、00115000 步），D（15000 步以上），统计结果如图所示：请依据统计结果回答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 位好友（2）已知 A 类好友人数是 D 类好友人数的 5 倍请补全条形图；扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 度若小陈微信朋友圈共有好友 150 人，请根据调查数据估计大约有多少位好友 6 月 1 日这天行走的步数超过 10000 步？20（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分BAD，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若 AB ，BD2
8、，求 OE 的长21（8 分）随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，深圳市某公司根据市场需求代理 A， B 两种型号的净水器，每台 A 型净水器比每台 B 型净水器进价多 200 元，用 5 万元购进 A 型净水器与用 4.5 万元购进 B 型净水器的数量相等，（1）求每台 A 型、B 型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进 A，B 两种型号的净水器共 55 台进行试销，其中 A 型净水器为 m 台，购买两种净水器的总资金不超过 10.8 万元试销时 A 型净水器每台售价 2500 元，B 型净水器每台售价 2180 元，该公司决定从销售 A 型净水器的利润中按每台捐献 a
9、（70a80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完 55 台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为 W 元，求W 的最大值22（9 分）如图所示，O 的半径为 5，点 A 是O 上一点，直线 l 过点 A，P 是O 上的一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PBl 于点 B，交O 于点 E，直径 PD 的延长线交直线 l 于点F，点 A 是 的中点（1）求证：直线 l 是O 的切线；（2）若 PA8，求 PB 的长23（10 分）如图 1，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点 A（1，0），并且与直线 yx 2 相交于坐标轴上的 B、C 两点，动点 P 在直线 BC
10、下方的二次函数图象上（1）求此二次函数的表达式；（2）如图 1，连接 PC，PB，设PCB 的面积为 S，求 S 的最大值；（3）如图 2，过点 P 作 PMBC 于点 M，是否存在点 P，使得CPM 中的某个角恰好等于ABC 的 2 倍？若存在，直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由2019 年广东省深圳市南山区育才二中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分每小题给出 4 个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）1【分析】根据相反数的概念和绝对值的性质进行解答【解答】解： 的相反数是 故选：D【点评】解答本
11、题的关键是弄清绝对值的性质和相反数的概念相反数：只有符号不同而绝对值相等的两个数互为相反数绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是02【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故 A 错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故 B 错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故 C 错误；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故 D 正确故选：D【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180后两部分重合
12、3【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：720 亿720000000007.2010 10故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4【分析】找到从上面看所得到的图形即可【解答】解：从几何体上面看，2 排，上面 3 个，下面 1 个，左边 2 个正方形故选：D【点
13、评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图解答此题时要有一定的生活经验5【分析】根据概率的意义，事件发生可能性的大小，可得答案【解答】解：A、明天降雨的概率是 50%表示明天有可能降雨，此选项错误；B、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查方式，此选项错误；C、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6 点朝上是随机事件，此选项错误；D、一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大，此选项正确；故选：D【点评】本题考查了概率的意义、随机事件，利用概率的意义，事件发生可能性的大小是解题关键6【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方及完全平方公式
14、逐一计算即可得【解答】解：Ax 4 与 x2 不是同类项，不能合并，此选项错误；B（m） 7（m） 2（m） 5m 5，此选项正确；C（3x 2y） 29x 4y2，此选项错误；D（a+b） 2 a2+2ab+b2，此选项错误；故选：B【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的除法及幂的乘方、积的乘方的运算法则7【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出ABD60，进而得出答案【解答】解：由题意可得：EDF45，ABC30，ABCF，ABDEDF45，DBC453015故选：B【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出ABD 的度数是解题关键8
15、【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可【解答】解：由x1 解得 x1，由 x+10 解得 x1，不等式的解集是 x1，在数轴上表示如图 ，故选：A【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示9【分析】设购买甲种花木 x 棵、乙种花木 y 棵，根据总价单价数量结合购买两种树苗共 200棵，
16、即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解【解答】解：设购买甲种花木 x 棵、乙种花木 y 棵，根据题意得： 故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键10【分析】根据反比例函数图象与系数的关系解答【解答】解：A、反比例函数 y 中的20，则该函数图象分布在第二、四象限，故本选项说法正确B、反比例函数 y 中的20，则该函数图象在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，若点A（x 1， y1），B（x 2，y 2）在同一象限内，当 x1x 2，则 y1y 2，故本选项说法错误C、当 x1 时， y 2，即图象经过点（1，
17、2），故本选项说法正确D、反比例函数 y 中的20，则该函数图象在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，则当当x0 时，y 随 x 的增大而增大，故本选项说法正确故选：B【点评】本题主要考查反比例函数的性质注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内11【分析】连接 OD，根据勾股定理求出 CD，根据直角三角形的性质求出AOD ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案【解答】解：连接 OD，在 Rt OCD 中，OC OD2，ODC30，CD 2 ，COD60，阴影部分的面积 22 2 ，故选：C【点评】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键12【分析】连接 OB
18、、OC，如图，利用等边三角形的性质得ABOOBCOCB30，再证明BOD COE，于是可判断 BOD COE，所以 BDCE，ODOE ，则可对 进行判断；利用 SBOD S COE 得到四边形 ODBE 的面积 SABC ，则可对进行判断；作 OHDE ，如图，则 DH EH，计算出 SODE OE2，利用 SODE 随 OE 的变化而变化和四边形 ODBE 的面积为定值可对 进行判断；由于BDE 的周长BC+ DE4+ DE4+ OE，根据垂线段最短，当 OEBC 时，OE 最小，BDE 的周长最小，计算出此时 OE 的长则可对进行判断【解答】解：连接 OB、OC，如图，ABC 为等边三角
19、形，ABCACB60，点 O 是等边ABC 的内心，OBOC，OB、OC 分别平分ABC 和ACB ，ABOOBCOCB30，BOC120，即BOE+COE120，而DOE 120 ，即BOE+BOD 120，BOD COE ，在BOD 和 COE 中，BOD COE ，BDCE，ODOE，所以 正确；S BOD S COE ，四边形 ODBE 的面积S OBC SABC 42 ，所以错误；作 OHDE ，如图，则 DH EH，DOE 120 ，ODE OEH30，OH OE，HE OH OE，DE OE，S ODE OE OE OE2，即 SODE 随 OE 的变化而变化，而四边形 ODBE
20、 的面积为定值，S ODE S BDE ；所以错误；BDCE，BDE 的周长BD +BE+DECE +BE+DEBC +DE4+DE 4+ OE，当 OEBC 时，OE 最小， BDE 的周长最小，此时 OE ，BDE 周长的最小值4+26，所以正确故选：B【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质二、填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，请将正确的答案填在答题卡上）13【分析】应先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：xy
21、 29xx （y 29）x（y3）（y+3）故答案为：x（y 3）（y +3）【点评】本题考查对多项式的分解能力，一般先考虑提公因式，再考虑利用公式分解因式，要注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止14【分析】根据题意利用树状图列出所有可能情况，然后根据概率公式进行计算即可得解【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有 6 种等可能结果，其中摸到 1 个黑球和 1 个红球的有 4 种结果，所以摸到 1 个黑球和 1 个红球的概率为 ，故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步
22、或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比15【分析】根据差倒数的定义分别计算出 x1 ，x 2 ；x 34，x 4 ，得到从 x1 开始每 3 个值就循环，而 20193673，即可得出答案【解答】解：x 1 ，x 2 ；x3 4；x4 ；，三个数一个循环，20193673，x 2019x 34故答案为：4【点评】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题16【分析】如图，作 OGAC 于 G，OKBC 于 K，OIAB 于 I由作图可知：点 O 是ABC是内心，证明四边形 OGCK 是正方形，求出 OK 即可解决问题【解答】
23、解：如图，作 OGAC 于 G，OKBC 于 K，OIAB 于 I由作图可知：点 O 是ABC 是内心，OI OGOK，AB13，AC 12，BC5，AB 2AC 2+BC2，ACB90，OGCOKCGCK90，四边形 OGCK 是矩形，OGOK，四边形 OGCK 是正方形， ABOI+ ACOG+ BCOK ACBC，OK2，OC2 ，故答案为 2 【点评】本题考查作图复杂作图，三角形的内心，勾股定理的逆定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型三、解答题（本题共 7 题，其中 17 题 5 分，18 题 6 分，19 题 6 分
24、，20 题 8 分，21 题 8 分，22 题9 分，23 题 10 分.共 52 分）17【分析】直接利用算术平方根的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案【解答】解：原式3+13 1 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得【解答】解：原式 ，x1，x2，可取 x0，则原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则19【分析】（1）由 B 类别人数及其所占百分比可得总人数；（2） 设 D 类人数为 a，则 A 类人数
25、为 5a，根据总人数列方程求得 a 的值，从而补全图形；用 360乘以 A 类别人数所占比例可得；总人数乘以样本中 C、D 类别人数和所占比例【解答】解：（1）本次调查的好友人数为 620%30 人，故答案为：30；（2） 设 D 类人数为 a，则 A 类人数为 5a，根据题意，得：a+6+12+5a30，解得：a2，即 A 类人数为 10、D 类人数为 2，补全图形如下：扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 360 120，故答案为：120；估计大约 6 月 1 日这天行走的步数超过 10000 步的好友人数为 150 70 人【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图
26、，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据20【分析】（1）先判断出OABDCA，进而判断出DACDAC，得出 CDADAB，即可得出结论；（2）先判断出 OEOAOC，再求出 OB1，利用勾股定理求出 OA，即可得出结论【解答】解：（1）ABCD，OABDCA，AC 为DAB 的平分线，OABDAC，DCADAC，CDADAB，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，ADAB，ABCD 是菱形；（2）四边形 ABCD 是菱形，OAOC，BDAC，CEAB，OEOA OC，BD2，OB BD1，在 Rt AOB 中，AB ，OB1，OA 2，OEOA 2
27、【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出 CDADAB 是解本题的关键21【分析】（1）设每台乙型净水器的进价是 x 元，则每台甲型净水器的进价是（x+200）元，根据数量总价单价结合用 5 万元购进甲型净水器与用 4.5 万元购进乙型净水器的数量相等，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）购进甲型净水器 m 台，则购进乙型净水器（ 55m）台，根据总价单价数量结合总价不超过 10.8 万元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，再由总利润每台利润购进数量，即可得出 W 关于 m 的一次
28、函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设每台乙型净水器的进价是 x 元，则每台甲型净水器的进价是（x+200）元，依题意，得： ，解得：x1800，经检验，x1800 是原分式方程的解，且符合题意，x+2002000答：每台甲型净水器的进价是 2000 元，每台乙型净水器的进价是 1800 元；（2）购进甲型净水器 m 台，则购进乙型净水器（ 55m）台，依题意，得：2000m+1800 （55m ）108000，解得：m45W（25002000a）m+（21801800）（55m ）（ 120a）m+20900，120a0，W 随 m 值的增大而增大，当 m45 时
29、，W 取得最大值，最大值为（2630045a）元【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式22【分析】（1）连接 DE， OA想办法证明 OABF 即可；（2）连接 AD，只要证明PADPBA，可得 ，即可解决问题【解答】（1）证明：连接 DE，OA PD 是直径，DEP90，PBFB，DEPFBP，DEBF， ，OADE ，OABF，直线 l 是O 的切线（2）解：连接 AD ，APDAPB，PD 是直径，PAD90，PADABP90，ADAPAB， ， ，PB 【点评】本题
30、考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型23【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有三个待定字母，一般需要三个点的坐标建立方程组，现在已知 A 点坐标，还需要两个点坐标，不妨求出直线 y x2 与坐标轴的两交点B、C 的坐标便可；（2）过点 P 作 PDx 轴于点 D，设点 P（t， ），再根据梯形与三角形的面积表示出PCB 的面积为 S 与 t 的函数关系式，根据函数性质进行解答；（3）过点 P 作 PGx 轴于点 G，交 BC 于点 H，取 BC 的中点，连接 OE，过 O 点作 OFBC于 F，设
31、P 点的横坐标为 t，由相似三角形建立 t 的方程，便可解决问题【解答】解：（1）令 x0，得 y x22，则 C（ 0，2），令 y0，得 0 x2，解得 x4，则 B（4，0），把 A（1，0），B（4，0），C （0，2）代入 yax 2+bx+c（a0）中，得，解得， ，抛物线的解析式为：y ；（2）过点 P 作 PDx 轴于点 D，如图 1 所示，设点 P（t， ），则 PD ，OD t，BD4t，S ，即 St 2+4t（t2） 2+4（0t 4），当 t2 时，S 有最大值为 4；（3）过点 P 作 PGx 轴于点 G，交 BC 于点 H，取 BC 的中点，连接 OE，过 O 点
32、作 OFBC于 F，如图 2 所示，设点 P（t， ），则 H（t， ），PH +2t，OB4，OC2，BC2 ，OEBECE ，OF ，EF ， ，PM ，OEBE，ABCBPE，OEF2ABC ，OB4，OC2，ABC45，PMC2ABC，当 PCM 2ABC 时，即 PCMOEF ，OCPG，OCEPHC，PCHOCE， ，即， ，解得，t0（C 点的横坐标），或 t2，此时 P 点的横坐标为 2；当 CPM 2ABC 时，即 CPMOEF ，OFEPMC90，PCMEOF ， ，即， ，CM ，CM 2+PM2CP 2， ，整理得，11t 2106t2030，即（t7）（11t29）0，解得，t74（舍去），或 t ，此时 P 点的横坐标为 ；综上，存在点 P，使得CPM 中的某个角恰好等于ABC 的 2 倍其 P 点的横坐标为 2或 【点评】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，同学们做题要有耐心，静得下心来，仔细思考，沉着应战主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，二次函数的最值的求法，相似三角形的性质与判定，第（2）小题关键要注意将不易求的三角形的面积转化成容易求面积的图形进行计算，借助于二次函数的最值求法求出其面积的最值，第（3）小题分情况讨论，并学会构造相似三角形解决问题
