1、2.2.2 对数函数及其性质(一),第二章 2.2 对数函数,学习目标 1.理解对数函数的概念. 2.掌握对数函数的性质. 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 对数函数的概念,已知函数y2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？,答案,答案 由于y2x是单调函数，所以对于任意y(0，)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是xlog2y，此处y(0，).,一般地，我们把 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .,梳理,函数ylogax(a0，且a1),(0，),思考,知识点二 对数函数的图象与性
2、质,ylogax化为指数式是xay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？,答案,答案 当a1时，若0x1x2，则 ，解指数不等式， 得y1y2从而ylogax在(0，)上为增函数. 当0a1时，同理可得ylogax在(0，)上为减函数.,梳理,类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质：,(0，),(1,0),(，0),0，),(0，),(，0,x轴,题型探究,解答,类型一 对数函数的概念,判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如ylogax(a0，且a1)的形式，即必须满足以下条件： 系数为1. 底数为大于0且不等于1的常数. 对数的真数仅
3、有自变量x.,反思与感悟,跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由. (1)ylogax2(a0，且a1)；(2)ylog2x1；(3)ylogxa(x0，且x1)；(4)ylog5x.,解答,解 中真数不是自变量x，不是对数函数；,解 中对数式后减1，不是对数函数；,解 中底数是自变量x，而非常数a，不是对数函数.,解 为对数函数.,例2 求下列函数的定义域. (1)yloga(3x)loga(3x)；,类型二 对数函数的定义域的应用,解答,函数的定义域是x|3x0，得4x1642， 由指数函数的单调性得x2， 函数ylog2(164x)的定义域为x|x3.,解得x3. 函数ylo
4、ga(x3)(x3)的定义域为x|x3. 相比引申探究1，函数yloga(x3)(x3)的定义域多了(，3)这个区间，原因是对于yloga(x3)(x3)，要使对数有意义，只需(x3)与(x3)同号，而对于yloga(x3)loga(x3)，要使对数有意义，必须(x3)与(x3)同时大于0.,解答,2.求函数yloga(x3)(x3)的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？,求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变.,反思与感悟,解答,跟踪训练2 求下列函数的定义域.,故所求函数的定义域为(3，2)2，).,解答,(2)y
5、log(x1)(164x)；,所以1x2，且x0， 故所求函数的定义域为x|1x1， 所以它在(0，)上是增函数， 又3.48.5， 于是log23.40，且a1).,解答,解 当a1时，ylogax在(0，)上是增函数， 又5.15.9， 于是loga5.1loga5.9. 综上，当a1时，loga5.1loga5.9， 当0a1时，loga5.1loga5.9.,比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.对于不同底的对数，可以估算范围，如log22log23
6、log24，即1log230，3x11. ylog2x在(0，)上单调递增， log2(3x1)log210. 即f(x)的值域为(0，).,答案,解析,在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系.故求yloga f(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定 f(x)的范围，再利用对数函数 ylogax的单调性求出loga f(x)的取值范围.,反思与感悟,跟踪训练4 函数 y 的值域为A.(0,3) B.0,3 C.(，3 D.0，),答案,解析,x1时，log2xlog210.,命题角度1 画与对数函数有关的函数图象 例5 画出函数ylg|x1|的图象.,类型四 对数函数的图象,解答,解 (
7、1)先画出函数 ylg x的图象(如图).,(2)再画出函数 ylg|x|的图象(如图).,(3)最后画出函数 ylg|x1|的图象(如图).,现在画图象很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点.,反思与感悟,跟踪训练5 画出函数y|lg(x1)|的图象.,解答,解 (1)先画出函数 ylg x的图象(如图).,(2)再画出函数 ylg(x1)的图象(如图).,(3)再画出函数 y|lg(x1)|的图象(如图).,命题角度2 与对数函数有关的图象变换 例6 函数 f(x)4loga(x1)(a0，a
8、1)的图象过一个定点，则这个定点的坐标是_.,答案,解析,解析 因为函数 yloga(x1)的图象过定点(2,0)， 所以函数 f(x)4loga(x1)的图象过定点(2,4).,(2,4),反思与感悟,跟踪训练6 已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是 A.a1，c1 B.a1,01 D.0a1,0c1,答案,解析,解析 由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0a1,0c0，且a1)过定点P，则点P的坐标是_.,答案,2,3,4,5,1,(1,3),规律与方法,1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数. 判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如ylogax(a0，且a1)的形式.如：y2log2x，ylog5 都不是对数函数，可称其为对数型函数. 2.研究ylogaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质. 3.研究与对数函数图象有关的问题，以对数函数图象为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分.,本课结束,
