1、第1章 解三角形,1.2 余弦定理(一),1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 余弦定理的推导,思考1,答案,根据勾股定理，若ABC中，C90，则c2a2b2a2b22abcos C. 试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？,当abc时，C60， a2b22abcos Cc2c22cccos 60c2， 即式仍成立，据此猜想，对一般ABC，都有c2a2b22abcos C.,思考2,答案,在c2a2b22abcos C中，abcos C能解释为哪两个向
2、量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？,梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要.因为两边及其夹角恰好是确定平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模长. 另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理.,知识点二 余弦定理的呈现形式,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,A,B,C,知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题,每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.,思考1,答案,观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来
3、解哪类三角形？,每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形.,思考2,答案,观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？,梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.,题型探究,例1 已知ABC，BCa，ACb和角C，求c.,解答,类型一 余弦定理的证明,则|c|2cc(ab)(ab) aabb2ab a2b22|a|b|cos C. 所以c2a2b22abcos C.,所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边
4、的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方.,反思与感悟,跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？,解答,如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)， C(bcos A，bsin A)， BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A， 即a2b2c22bccos A. 同理可证b2c2a22cacos B， c2a2b22abcos C.,类型二 用余弦定理解三角形,命题角度1 已知两边及其夹角 例2 已知ABC中，b3，c1，A60，求a和sin B.,解答,由余弦定理，得a2b2c22bccos
5、 A 3212231cos 607，,反思与感悟,已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.,因为ba，所以BA，所以A为锐角，所以A30.,跟踪训练2 在ABC中，已知a2，b2 2 ，C15，求A.,解答,命题角度2 已知三边 例3 在ABC中，已知a 3 ，b1，c2.求A，B，C.,解答,因为0A0).,所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形.,当堂训练,设另一边长为x，,1,2,3,4,答案,解析,abc， C为最小角，且C为锐角，,1,2,3,4,答案,解析,3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值 为 .,设顶角为C，周长
6、为l，因为l5c， 所以ab2c， 由余弦定理，,1,2,3,4,答案,解析,由余弦定理及其推论知只有正确.,1,2,3,4,答案,解析,规律与方法,1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.,(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.,本课结束,
