1、2.2.2 事件的相互独立性,第二章 2.2 二项分布及其应用,学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念. 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 相互独立的概念,甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A“从甲箱里摸出白球”，B“从乙箱里摸出白球”.,思考1,事件A发生会影响事件B发生的概率吗？,答案,答案 不影响.,思考2,P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？,答案,思考3,P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？,答案,答案
2、P(AB)P(A)P(B).,梳理,P(A)P(B),知识点二 相互独立的性质,题型探究,例1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有_.(填序号) A，B；A，C；B，C.,类型一 事件独立性的判断,答案,解析,解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)成立即可. 利用古典概型概率公式计算可得P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(AC)0.25，P(BC)0.25. 可以验证P(AB
3、)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C). 所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.,三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P(AB)P(A)P(B)是否成立. (3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断.,反思与感悟,跟踪训练1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩.对下列两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩；,解答,解 有两个小孩的家
4、庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为 这时A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，,由此可知P(AB)P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互独立.,(2)家庭中有三个小孩.,解 有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女). 由等可能性知这8个基本事件的概率均为 这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件.
5、,解答,从而事件A与B是相互独立的.,例2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；,类型二 求相互独立事件的概率,解答,解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件， 则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，,由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为,0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.,(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.,解 三列火车至少有一列正点到达的概率为,
6、解答,10.20.30.10.994.,引申探究 1.在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率.,解 恰有一列火车正点到达的概率为,解答,0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.,2.若一列火车正点到达计10分，用表示三列火车的总得分，求P(20).,解 事件“20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”， 所以P(20)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C) 10.80.70.90.496.,解答,明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义. 一般地，已知两个事件A，
7、B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一个发生为事件AB. (2)A，B都发生为事件AB.,反思与感悟,跟踪训练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率；,解 记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”. 两个人都破译出密码的概率为,解答,(2)恰有一人能破译的概率；,解答,(3)至多有一人能破译的概率.,解 至多一人破译出密码的对立事件是两人都译出密码，,解答,例3 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众要彼此
8、独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；,类型三 相互独立事件的综合应用,解答,解 设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，,因为事件A与B相互独立，,(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列.,解答,解 设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，,所以X的分布列为,概率问题中的数学思想 (1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)P( )1)简化问题，是
9、求解概率问题最常用的方法. (2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件). (3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解.,反思与感悟,解答,(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；,解 设A，B，C分别为甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.,代入得27P(C)251P(C)220，,(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率.,
10、解答,解 记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，,当堂训练,1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是 A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件,2,3,4,5,1,解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A、C错. 而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件.,答案,解析,2.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是,2,3,4,5,1,解析,答案
11、,3.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为,2,3,4,5,1,A.0.504 B.0.994 C.0.496 D.0.064,解析 设P(A)0.9，P(B)0.8，P(C)0.7，,答案,10.10.20.30.994.,解析,4.在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为,2,3,4,5,1,解析,答案,5.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是
12、0.6，计算： (1)两人都投中的概率；,解答,解 设A表示事件“甲投篮一次并且投中”，B表示事件“乙投篮一次并且投中”，则AB表示事件“两人各投篮一次并且都投中”. 由题意可知，事件A与事件B相互独立， P(AB)P(A)P(B)0.60.60.36.,2,3,4,5,1,(2)其中恰有一人投中的概率；,解答,解 事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：,2,3,4,5,1,0.6(10.6)(10.6)0.60.48.,(3)至少有1人投中的概率.,解答,2,3,4,5,1,规律与方法,1.相互独立事件与互斥事件的区别,2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.,本课结束,
