1、第一章 1.1 变化率与导数,1.1.3 导数的几何意义,学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 导数的几何意义,如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线.,思考1,割线PPn的斜率kn是多少？,答案 割线PPn的斜率kn .,答案,思考2,当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什
2、么关系？,答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.,答案,(1)切线的定义：设PPn是曲线yf(x)的割线，当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线yf(x) 的切线. (2)导数f(x0)的几何意义：导数f(x0)表示曲线yf(x)在点 处 的切线的斜率k，即k . (3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为_.,梳理,在点P处,(x0，f(x0),f(x0),yf(x0) ,f(x0)(xx0),知识点二 导函数,对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y
3、f(x)的导函数(简称为 导数), 即f(x)y_ .,特别提醒,题型探究,类型一 求切线方程,命题角度1 曲线在某点处的切线方程,解答,解 将x2代入曲线C的方程得y4， 切点P(2,4).,ky|x24. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即4xy40.,求曲线在某点处的切线方程的步骤,反思与感悟,跟踪训练1 曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_.,答案,解析,3,ky|x24. 曲线yx21在点(2,5)处的切线方程为 y54(x2)，即y4x3. 切线与y轴交点的纵坐标是3.,例2 求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程.,命题角度2 曲
4、线过某点的切线方程,解答,则切线的斜率为,解得x00或x02. 当x00时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为 y0x1，即xy10. 当x02时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)， 即3xy30. 故所求切线方程为xy10或3xy30.,过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0，f(x0).,反思与感悟,(3)解方程得kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.,跟踪训练2 求函数yf(x)x33x2x的图象上过原点的切线方程.,解答,yf(x0x)f(x0) (x0x)33(x0x)2(x0x),故所求切线方程为xy0或5x4y0.
5、,类型二 求切点坐标,例3 已知曲线yx21在xx0处的切线与曲线y1x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值.,解答,解 对于曲线yx21，,对于曲线y1x3，,引申探究 1.若本例3条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.,解答,2.若本例3条件不变，试求出两条平行的切线方程.,解答,当x00时，两平行切线方程为y1或y1.,曲线y1x3的切线方程为36x27y110. 所求两平行切线方程为y1与y1或12x9y130与36x27y110.,根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f(x). (3)求切线的斜率f(x0). (4)由斜率间的关系列出关
6、于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标.,反思与感悟,跟踪训练3 已知直线l：y4xa与曲线C：yf(x)x32x23相切，求a的值及切点坐标.,解答,解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0).,3x24x，,当切点坐标为(2,3)时，有342a，a5.,当a5时，切点坐标为(2,3).,类型三 导数几何意义的应用,答案,解析,例4 (1)已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3f(2)f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为_.(请用“”连接),k1k3k2,解析 由导数的几
7、何意义，可得k1k2.,k1k3k2.,答案,解析,解析 设P(x0，y0).,反思与感悟,导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题时常与函数、方程、不等式等知识相结合.,跟踪训练4 (1)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是,答案,解析,解析 依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足.,(2)已知曲线yf(x)2x2a在点P处的切线方程为8xy150，则实数a的值为_.
8、,答案,解析,7,由导数的几何意义可得,x02，P(2,8a). 将x2，y8a，代入8xy150， 得a7.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则 A.a1，b1 B.a1，b1 C.a1，b1 D.a1，b1,答案,解析,解析 由题意，知ky|x0,a1. 又(0，b)在切线上，b1，故选A.,1,2,3,4,5,2.已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是 A.f(xA)f(xB) B.f(xA)f(xB) C.f(xA)f(xB) D.不能确定,答案,解析,解析 由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分
9、别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f(xA)1)的导函数是f(x)，记Af(a)，B ， Cf(a1)，则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是_.,解析 记M(a，f(a)，N(a1，f(a1)，,答案,解析,ABC,Af(a)表示函数f(x)logax在点M处的切线斜率， Cf(a1)表示函数f(x)logax在点N处的切线斜率.所以ABC.,规律与方法,1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率， 即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的 瞬时速度. 2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.,本课结束,
