1、第一章 1.1 正弦定理和余弦定理,11.2 余弦定理(一),1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 余弦定理的推导,根据勾股定理，若ABC中，C90，则c2a2b2a2b22abcos C 试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？,答案,当abc时，C60， a2b22abcos Cc2c22cccos 60c2， 即式仍成立，据此猜想，对一般ABC，都有c2a2b22abcos C.,思考2,在c2a2b22abcos C中，abcos C能解释
2、为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？,答案,余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模长 另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理,梳理,知识点二 余弦定理的呈现形式,1.a2 ，b2 ， c2 . 2.cos cos cos ,A,B,C,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.,思考1,观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认
3、为可用来解哪类三角形？,知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题,答案,每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形.,思考2,观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？,答案,梳理,余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.,题型探究,例1 已知ABC，BCa，ACb和角C，求解c.,类型一 余弦定理的证明,解答,则|c|2cc(ab)(ab) aabb2ab a2b22|a|b|cos C. 所以c2a2b22abcos C.,所谓证明，就是在新旧知识
4、间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方.,反思与感悟,跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？,如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系， 则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)， BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A， 即a2b2c22bccos A. 同理可证b2c2a22cacos B， c2a2b22abcos C.,解答,类型二 用余弦定理解三角形,命题角度1 已知两边及其夹角 例2 在ABC中，已知b60 cm
5、，c34 cm，A41，解三角形.(角度精确到1，边长精确到1 cm),解答,根据余弦定理， a2b2c22bccos A60234226034cos 411 676.78， 所以a41(cm).因为c不是三角形中最大的边， 所以C为锐角，利用计算器可得C33， 所以B180(AC)180(4133)106.,反思与感悟,已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.,跟踪训练2 在ABC中，已知a2，b C15，求A.,解答,因为ba，所以BA，所以A为锐角，所以A30.,命题角度2 已知三边 例3 在ABC中，已知a134.6 cm，b87.8 cm，c
6、161.7 cm，解三角形.(角度精确到1),解答,A5620.,B3253. C180(AB)180(56203253)9047.,反思与感悟,跟踪训练3 在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状.,解答,因为abcsin Asin Bsin C245， 所以可令a2k，b4k，c5k(k0).,所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形.,当堂训练,1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是 则三角形的另一边长为 A.52 B. C.16 D.4,1,2,3,答案,解析,1,2,3,答案,解析,abc，C为最小角且C为锐角，,3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为,1,2,3,答案,解析,设顶角为C，周长为l，因为l5c， 所以ab2c，,1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.,规律与方法,本课结束,
