1、第三章 不等式,3.2 一元二次不等式及其解法(二),1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 分式不等式的解法,等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.,0与(x3)(x2)0等价吗？将 0变形为(x3)(x2)0，有什么好处？,答案,梳理,一般的分式不等式的同解变形法则： (1) 0 ；(2) 0(3),；,f(x)g(x)0,f(x)g(x)0,g(x)0,知识
2、点二 一元二次不等式恒成立问题,思考,x10在区间2,3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2,3上的图象恒在x轴上方.区间2,3内的元素一定是不等式x10的解，反之不一定成立，故区间2,3是不等式x10的解集的子集.,x10在区间2,3上恒成立的几何意义是什么？区间2,3与不等式x10的解集有什么关系？,答案,梳理,一般地，“不等式f(x)0在区间a，b上恒成立”的几何意义是函数yf(x)在区间a，b上的图象全部在x轴 方.区间a，b 是不等式f(x)0的解集的 . 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： kf(x)恒成立k ； kf(x)恒成立k .,上,子集,f(x)max,f(x
3、)min,题型探究,类型一 分式不等式的解法,例1 解下列不等式：,0(x3)(x2)02x3， 原不等式的解集为x|2x0(0)或 0(0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.,跟踪训练1 解下列不等式.,解答,解答,方法一 原不等式可化为,方法二 原不等式可化为,类型二 不等式恒成立问题,例2 设函数f(x)mx2mx1. (1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；,解答,要使mx2mx10恒成立， 若m0，显然10，满足题意；若m0，则 4m0.4m0.,(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.,解答,方法一 要使f(x)0时，
4、g(x)在1,3上是增函数， g(x)maxg(3)7m60，0m ； 当m0时，60恒成立； 当m0时，g(x)在1,3上是减函数， g(x)maxg(1)m60，得m6，m0. 综上所述，m的取值范围是 .,方法二 当x1,3时，f(x)m5恒成立， 即当x1,3时，m(x2x1)60恒成立.,引申探究 把例2(2)改为：对于任意m1,3，f(x)m5恒成立，求实数x的取值范围.,解答,f(x)m5，即mx2mx1m5， m(x2x1)60. 设g(m)m(x2x1)6.,g(m)在1,3上为增函数，要使g(m)0在1,3上恒成立，只需g(m)maxg(3)0， 即3(x2x1)60，x2
5、x10，,反思与感悟,有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式； (2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.,跟踪训练2 当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_.,构造函数f(x)x2mx4，x1,2， 则f(x)在1,2上的最大值为f(1)或f(2). 由于当x(1,2)时，不等式x2mx40. 显然0，x29x7 1100有两个实数根， 即x188.94，x279.94. 根据二次
6、函数yx29x7 110的图象， 得不等式的解集为x|x79.94. 在这个实际问题中，x0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.,反思与感悟,一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.,跟踪训练3 在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲0.1x0.01x2， S乙0.05x
7、0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任.,解答,由题意列出不等式S甲0.1x甲0.01 12， S乙0.05x乙0.005 10. 分别求解，得x甲30， x乙40. 由于x0，从而得x甲30 km/h，x乙40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任.,当堂训练,由题意，得m240，2m2.,1.若不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是 A.m2 B.m2 C.m2或m2 D.2m2,1,2,3,4,答案,解析,2.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0x0恒成立时，k的取值范围为_.,1,2,3,4,答案,解析,原不等
8、式等价于,1,2,3,4,4.解下列不等式：,解答,解得x1或x2， 原不等式的解集为x|x1或x2.,原不等式可改写为,1,2,3,4,解答,规律与方法,1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零. 2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)若f(x)有最大值f(x)max，则af(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则af(x)恒成立af(x)min.,3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.,本课结束,
