安徽省2019年中考数学二轮复习题型六:几何图形的证明及计算(含答案)

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1、题型六 几何图形的证明及计算类型一 与全等三角形有关的证明及计算1. 如图,在四边形 ABCD 中,AC BD 于点 E,AB ACBD,点 M 为 BC 中点,N为线段 AM 上的点,且 MB MN.(1)求证:BN 平分ABE;(2)若 BD1,连接 DN,当四边形 DNBC 为平行四边形时,求线段 BC 的长;第 1 题图2. 如图,在等腰三角形 ABC 中,ABAC,在底边 BC 上取一点 D,在边 AC 上取一点 E,使 AEAD,连接 DE,在ABD 的内部作ABF2EDC,交 AD 于点 F.(1)求证:ABF 是等腰三角形;(2)如图,BF 的延长线交 AC 于点 G.若DAC

2、CBG ,延长 AC 至点 M,使GMAB,连接 BM,点 N 是 BG 的中点,连接 AN,试判断线段 AN、BM 之间的数量关系,并证明你的结论第 2 题图3. 如图 ,在ABC 中,ACB90,ACBC ,E 为 AC 边上的一点,F 为 AB 边上一点,连接 CF,交 BE 于点 D,且ACFCBE ,CG 平分ACB 交 BD 于点 G.(1)求证:CFBG ;(2)如图,延长 CG 交 AB 于 H,连接 AG,过点 C 作 CPAG 交 BE 的延长线于点P,求证: PB CPCF;(3)在(2)问的条件下,当GAC2FCH 时,若 SAEG 3 ,BG6,求 AC 的长3图 图

3、第 3 题图4. 如图,在 RtABC 中, ACBC,ACB 90 ,点 D,E 分别在 AC,BC 上,且 CD CE.(1)求证:CAECBD;(2)如图,F 是 BD 的中点,连接 CF 交 AE 于点 M,求证:AECF;(3)如图,F,G 分别是 BD,AE 的中点,连接 GF,若 AC2 ,CE1,求2CGF 的面积第 4 题图5. 如图,在正方形 ABCD 中,O 是对角线 AC 上一点,点 E 在 BC 的延长线上,且OEOB,OE 交 CD 于点 F.(1)求证:OBCODC ;(2)求证:DOEABC;(3)把正方形 ABCD 改为菱形,其他条件不变( 如图),若ABC5

4、2,求DOE 的度数第 5 题图6. 已知:如图,等腰直角ABC 和ECD 中,ACB ECD90 ,ACBC,ECDC.(1)求证:BEAD;(2)如图,若将ECD 绕点 C 按逆时针方向旋转一个锐角,延长 BE 交 AD 于点F,交 AC 于点 O.求证:BF AD;如图,取 BE 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MN,NC,求MNC 的度数第 6 题图类型二 与相似三角形有关的证明及计算1. 如图,已知在ABC 中,ABC 90 ,AB3,BC4.点 Q 是线段 AC 上的点,过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB(如图) 或线段 AB 的延长线( 如图)于点 P.(1)当点 P 在

5、线段 AB 上时,求证:AQPABC;(2)当PQB 为等腰三角形时,求 AP 的长第 1 题图2. 如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分DAB,ADCACB90,E 为 AB 的中点,连接 DE、CE.(1)求证:AC 2AB AD;(2)求证:CEAD ;(3)若 AD5, AB7,求 的值ACAF第 2 题图3. 如图,在ABC 中,ABAC ,点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上,EDFB.(1)求证:DE CDDFBE ;(2)如图,若 D 为 BC 中点,连接 EF,AD.求证:DE 平分BEF;若四边形 AEDF 为菱形,求BAC 的度数及 的值AEAB第 3 题图4

6、. 如图,ABC 中,点 D 在线段 AB 上,点 E 在线段 CB 延长线上,且BE CD,EP AC 交直线 CD 的延长线于点 P,交直线 AB 的延长线于点F,ADP ACB.(1)图中是否存在与 AC 相等的线段?若存在,请找出,并加以证明,若不存在,说明理由;(2)若将“点 D 在线段 AB 上,点 E 在线段 CB 延长线上”改为“点 D 在线段 BA 延长线上,点 E 在线段 BC 延长线上 ”,其他条件不变( 如图) 当ABC90,BAC60,AB 2 时,求线段 PE 的长第 4 题图5. 如图, ABC 中,BCAC,CD 平分ACB 交 AB 于 D,E,F 分别是 A

7、C,BC边上的两点,EF 交 CD 于 H.(1)若EFC A,求证:CECD CHBC;(2)如图,若 BH 平分ABC,CECF,BF3,AE2,求 EF 的长;(3)如图,若 CECF,CEFB,ACB60,CH 5,CE 4 ,求 的3ACBC值第 5 题图类型三 与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 如图,等边ABC 边长是 8,过点 C 的直线 lAB,点 D 为 BC 上一点( 不与点B,C 重合) ,将一个 60角的顶点放在 D 处,它的边始终过点 A,另一边与直线 l 交于点E,DE 交 AC 于点 F.(1)若 BD6,求 CF 的长;(2)若点 D 是 BC 的中点,判

8、定ADE 的形状,并给出证明;(3)若点 D 不是 BC 的中点,则(2)中的结论成立吗?如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由第 1 题图2. 如图,在ABC 中,ACBC ,ACB90,点 D、P 分别为 AC、AB 的中点,连接 BD、CP,CP 交 BD 于点 E,点 F 在 AB 上且ACF CBD.(1)求证:CFBE ;(2)如图,过点 A 作 AGAB 交 BD 的延长线于点 G.若 CF6,求 DG 的长;设 CF 交 BD 于点 H,求 的值HECH第 2 题图3. 如图,已知 D 是ABC 的边 BC 上的中点,DE AB 于点 E,DFAC 于点 F,且 BECF

9、,点 M、N 分别是 AE、DE 上的点,ANFM 于点 G.(1)若BAC 90,求证: ABC 为等腰直角三角形;(2)如图,若BAC90 , AF2DF .求证: ;FMAN EMDN求 ANFM 的值图 图第 3 题图4. (2018 六安市模拟)我们知道,三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心,已知点 I 为 ABC 的内心(1)如图,连接 AI 并延长交 BC 于点 D,若 ABAC 3,BC2,求 ID 的长;(2)如图,过点 I 作直线交 AB 于点 M,交 AC 于点 N.若 MNAI,求证:MI 2BMCN;如图,AI 的延长线交 BC 于点 D,若BAC60,AI4,

10、求 的值1AM N第 4 题图5. 如图 ,在 ABC 中,ACB90,AC BC,顶点 C 恰好在直线 l 上,过 A、B分别作 ADl,BE l,垂足分别为 D、E.(1)求证:DE ADBE;(2)如图,在ABC 中,当 ACkBC,其他条件不变,猜想 DE 与 AD、BE 的关系,并证明你的结论;(3)如图,在 RtABC 中,AC 4,BC 12,ACB 90,点 D 是 AC 的中点,点E 在 BC 上,过点 E 作 EFDE 交 AB 于点 F,若恰好 EF2DE ,求 CE 的长图 图 图第 5 题图6. 如图,在等腰 RtABC 中,ACB90,AC BC, D 为 AB 的

11、中点,连接 CD,将一个以点 D 为顶点的 45角绕点 D 旋转,使角的两边分别与 AC、BC 的延长线相交,交点分别为点 E,F,DF 与 AC 交于点 M,DE 与 BC 交于点 N.(1)若 CECF,求证: DCEDCF;(2)如图,在EDF 绕点 D 旋转的过程中:探究线段 AB 与 CE、CF 之间的数量关系,并证明;若 AB4 ,CE2CF,求 DN 的长2第 6 题图类型一 与全等三角形有关的证明及计算1. (1)证明:ABAC,点 M 是 BC 的中点,AMBC, BAMCAM,CAMACM90,ACBD,MBE ACM90,BAN CAMMBE,MBMN,MNBMBN,MN

12、BABNBAN , MBNMBE NBE ,ABNBAN MBE NBE ,ABNNBE,即 BN 平分ABE;(2)解:连接 DN,点 M 为 BC 中点,MBMN,MBMN BC,12四边形 DNBC 为平行四边形,BNCD,BNCD,DBNBDC,由(1)知ABN DBN,ABNBDC,ABBD 1,ABNBDC,ANBC,AMANMN BC,32由(1)中条件可知 AMBC,即AMB 90,AM 2MB 2AB 2,即( BC)2( BC)21,32 12解得 BC .105参考答案第 1 题解图2. (1)证明:等腰三角形 ABC 中,AB AC,ABDACD,AEAD ,ADEAE

13、D,BADABDADE EDC,EDCACD AED,BAD2EDC,ABF 2EDC,BADABF,ABF 是等腰三角形;(2)解:AN BM.12证明:如解图,延长 CA 至点 H,使 AGAH ,连接 BH,点 N 是 BG 的中点,点 A 是 HG 的中点,AN BH,12(1)中已证明BADABF,且DACCBG,CABCBA,CACB又ABAC,ABC 是等边三角形,BACBCA60,BAHBCM,GM AB,ABAC,ACGM ,CMAG,AHCM,在BAH 和BCM 中,AB BC BAH BCMAH CM )BAHBCM(SAS) ,BHBM,AN BM.12第 2 题解图3

14、. (1)证明:ACB90 , ACBC,A45 ,CG 平分ACB,ACGBCG45,ABCG,在BCG 和CAF 中, A BCGAC BC ACF CBE)BCGCAF(ASA),CFBG;(2)证明:PCAG ,PCACAG,ACBC,ACGBCG,CGCG,ACGBCG(SAS) ,CAGCBE,PCGPCAACGCAG45CBE45,PGCGCBCBECBE 45 ,PCGPGC,PCPG,PBBG PG,BGCF,PBCPCF;(3)解:如解图,过 E 作 EMAG,交 AG 于 M,S AEG AGEM3 ,12 3由(2)得:ACGBCG,BGAG 6, 6EM3 ,12 3

15、解得 EM ,3设FCHx,则GAC2 x,ACFEBCGAC2x ,ACH45,2xx45,解得 x15,ACFGAC30,在 Rt AEM 中, AE2EM2 ,3AM 3,(23)2 (3)2M 是 AG 的中点,AEEG 2 ,3BEBG EG62 ,3在 Rt ECB 中,EBC30,第 3 题解图CE BE3 ,12 3ACAEEC2 3 3 3.3 3 34. (1)证明:在ACE 和BCD 中,AC BC ACE BCDCE CD )ACEBCD,CAECBD;(2)证明:在 RtBCD 中,点 F 是 BD 的中点,CFBF,BCFCBF,由(1)知,CAECBD,BCFCA

16、E,CAEACFBCF ACF BCA90,AMC90,AECF;(3)解:AC2 ,2BCAC2 ,2CE1,CDCE1,在 Rt BCD 中,根据勾股定理得,BD 3 ,CD2 BC2点 F 是 BD 中点,CFDF BD ,12 32同理:EG AE ,12 32如解图,连接 EF,过点 F 作 FHBC 于点 H,ACB90,点 F 是 BD 的中点,FH CD ,12 12S CEF CEFH 1 ,12 12 12 14由(2)知,AECF,S CEF CFME ME ME,12 12 32 34 ME ,34 14ME ,13GM EGME ,32 13 76S CFG CFGM

17、 .12 12 32 76 78第 4 题解图5. (1)证明:AC 是正方形 ABCD 的对角线,BCDC,BCADCA,在OBC 和ODC 中,BC DC BCO DCOCO CO )OBCODC(SAS) ;(2)证明:由(1)知,OBCODC,CBOCDO,OEOB ,CBOE,CDOE,DFO EFC ,180 DFOCDO180EFC E,即DOEDCE,ABCD,DCEABC,DOE ABC ;(3)解:AC 是菱形 ABCD 的对角线,BCDC,BCADCA,在BCO 和DCO 中,BC DC BCO DCOCO CO )BCODCO(SAS) ,CBOCDO,OEOB ,CB

18、OE,CDOE,DFO EFC ,180 DFOCDO180EFC E,即DOE DCE ,ABCD,DCEABC,DOE ABC 52.6. (1)证明:在BEC 和ACD 中,BC AC ACB ECDEC DC )BECADC(SAS),BEAD ;(2)证明:ACBECD90 ,ACBACEECDACE,即BCEACD,在BEC 和ADC 中,BC AC BCE ACDEC DC )BECADC(SAS),CBECAD,在BCO 和AFO 中,CBECAD,BOCAOF,AFB ACB90 ,BFAD ;解:如解图,连接 MC,ACBECD90,BCEACD,又ACBC,ECDC,BE

19、CADC,CBECAD,ADBE,M 是 BE 的中点,N 是 AD 的中点,BMAN,在BMC 和ANC 中,BM AN CBE CADBC AC )BMCANC(SAS),CMCN,BCM ACN,ACN MCABCMMCA,MCNACB90,MCN 是等腰直角三角形,MNC45.第 6 题解图类型二 与相似三角形有关的证明及计算1. (1)证明:PQAQ,AQP90ABC.在AQP 与ABC 中,AQPABC,QAPBAC,AQPABC;(2)解:在 RtABC 中,AB 3,BC 4,由勾股定理得 AC5.当点 P 在线段 AB 上时,如题图所示QPB 为钝角,当PQB 为等腰三角形时

20、,只可能是 PBPQ,由(1)可知,AQPABC, ,即 ,PAAC PQBC 3 PB5 BP4解得 PB ,43APABPB3 ;43 53当点 P 在线段 AB 的延长线上时,如题图所示QBP 为钝角,当PQB 为等腰三角形时,只可能是 PBBQ.BQPP,BQPAQB90,AP90,AQBA,BQAB,ABBP,AP2AB236.综上所述,当PQB 为等腰三角形时,AP 的长为 或 6.532. (1)证明:AC 平分DAB,DACCAB.又ADCACB90,ADCACB, ,ADAC ACABAC 2ABAD; (2)证明:E 为 AB 的中点,ACB90 ,CE ABAE,12EA

21、CECA,DACCAB,DACECA.ADCE;(3)解:CEAD ,DAFECF,又DFAEFC ,AFDCFE, ,ADCE AFCFCE AB,12CE 7 ,12 72AD5, ,572 AFCF ,CFAF 710 1 ,AF CFAF CFAF 1710即 .ACAF 17103. (1)证明:ABC 中,ABAC,BC,BBDE DEB 180,BDEEDFFDC180,EDFB,FDCDEB,CFDBDE, ,DEDF BECD即 DECDDF BE;(2)证明:由(1) 证得BDECFD, ,BECD DEDFD 为 BC 中点,BDCD, ,BEBD DEDFBEDF ,B

22、DEDFE,BEDDEF,ED 平分BEF;解:四边形 AEDF 为菱形,AEF DEF,由(2)知,BEDDEF,AEF DEFBED 180 ,AEF 60,AEAF,BAC60.ABAC,ABC 是等边三角形,B60 ,又BEDAEF60,BED 是等边三角形,BEDE ,AEDE ,AEBE AB,12 .AEAB 124. 解:(1)ACBF .证明如下:ADPACDA ,ACBACDBCD,ADPACB,BCDA,又CBDABC,CBDABC, ,CDAC BCBAFEAC,CABEFB,又ABCFBE,ABCFBE, ,BCBA BEBF由可得 ,CDAC BEBFBECD,BF

23、AC;(2)ABC 90,BAC 60 ,ACB30ADP,BCD60,ACD603030,PEAC,EACB30,CPEACD30,CPCE,BECD,BECECDCP,BCDP,ABC90,D30,BC CD,12DP CD,即 P 为 CD 的中点,12又PFAC,F 是 AD 的中点,FP 是ADC 的中位线,FP AC,12ABC90,ACB30,AB AC,12FPAB2,DPCPBC,CPCE,BCCE,即 C 为 BE 的中点,又EFAC,A 为 FB 的中点,AC 是BEF 的中位线,EF2AC4 AB8,PEEFFP826.5. (1)证明:EFCFECECF180,ABA

24、CB180,又EFCA,ECFACB,CEFB,ECHDCB,ECHBCD, ,ECBC CHCDCECDCHBC;(2)解:如解图,连接 AH.BH、CH 分别是ABC 和ACB 的平分线,AH 是BAC 的平分线,BHC180 (ABC ACB )180 (180BAC)90 BAC9012 12 12HAE,CECF,HCEHCF,CHEF ,HFHE ,CHF90,BHCBHFCHFBHF90 ,HAEBHF,CECF,CFECEF,AEHBFH,AEHHFB, ,AEHF EHFBFHEH 6,HEHF ,6EF2 ;6第 5 题解图(3)解:如解图,作 HMAC 于 M,HN BC

25、 于 N.设 HFx ,FN y.HCMHCN 30 ,HC 5,HM HN ,52CMCN , 532CE4 ,3EM , EH ,332 EM2 HM2 13S HCF S HCE FHEHFC EC,x (y )4 ,13532 3又x 2y 2( )2 ,52解得 y 或 ,5314 332当 y 时, CFCN NF4 ,332 3又CECF,y ,即 FN ,332 5314CF ,2037CEFB,ECF ACB,ECFBCA, ,ECBC CFAC .ACBC CFEC 203743 57第 5 题解图类型三 与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 解:(1)ABC 是等边三角

26、形,BFCD60,BAD18060ADB,FDC180ADE ADB18060ADB,BADFDC,ABDDCF, ,ABDC BDCFCF ;DCBDAB (8 6)68 32(2)ADE 是等边三角形证明:若 D 点是 BC 边中点,则 ADBC,CDEADCADE90 6030,又lAB,DCE180ABC18060 120,CED180DCE CDE180 12030 30,即CDECED,CECD.在ACD 和ACE 中,AC AC ACD ACE 60DC EC )ACDACE(SAS),ADAE,又ADE60,ADE 是等边三角形;(3)(2)中结论仍然成立证明:如解图,过点 D

27、 作 DGl 交 AC 于点 G,则GDCABC,GDC 是等边三角形,DGDC,GDCDGC60,ADE60,ADEGDC,ADG EDC ,又AGD 18060120,DCE180 ABC120,AGD DCE ,在ADG 和 EDC 中, ADG EDCDG DC AGD DCE)ADG EDC (ASA),ADDE ,又ADE60,ADE 是等边三角形第 1 题解图2. (1)证明:P 为 AB 的中点,AC BC,ACB90,BCE ACB 9045,A45,12 12ABCE,在ACF 和CBE 中, A BCEAC BC ACF CBD)ACFCBE(ASA),CFBE;(2)解

28、:由(1)得 CFBE,BECF6,ACBC,CE 平分ACB,P 为 AB 的中点,CPAB,AGAB,CEAG,GAD ECD ,又ADG CDE,ADG CDE ,点 D 是 AC 的中点,ADCD,即相似比 k1,ADG CDE ,DGDE GE,12CEAG 且 P 为 AB 中点,GEBE6,DG3;设 EPa,由(2) 得 EPAG,AG2a,又由上题得ADGCDE,CEAG2a,CPCEEP3a,等腰直角ABC 中 CPAB,BPCP3a ,由题得ACPCBP45,ACFCBD,ACPACFCBP CBD,即HCEPBE,CEHPEB,CHE180CEHHCE,BPE180PB

29、EPEB,CHEBPE90 ,CHE 是直角三角形,CHEBPE, .HECH PEBP a3a 133. (1)证明:DEAB,DFAC,BEDCFD90,D 是 BC 的中点,BDCD,在 RtBED 和 RtCFD 中,BD CDBE CF)RtBEDRtCFD(HL),BC,BAC90,ABC 为等腰直角三角形;(2)证明:如解图,连接 AD、EF ,相交于点 O,由(1)可得 RtBED RtCFD,BC,DEDF,ABAC,BECF,AEAF,ADEF,又NEMMGN90,GMEENGDNGENG180 ,EMF DNA ,又AEOEAO 90,EAONDA90,AEONDA,FM

30、E AND , ;FMAN EMDN第 3 题解图解:设 AF2k ,DFk ,在 Rt ADF 中,AD k,(2k)2 k2 5由可得BC,DEDF,AD 垂直平分 EF,则 OF EF,12DFAC,S ADF kOF 2kk,12 5 12OF k, EF k,255 455 ,ADEF 54又FME AND, ,ANFMADEF 54即 ANFM5 4.4. (1)解:如解图中,作 IEAB 于 E.设 IDx,ABAC3, AI 平分BAC,ADBC,BDCD1,在 Rt ABD 中,AD 2 ,AB2 BD2 32 12 2在BEI 和BDI 中, EBI DBI, BEI BD

31、I 90,BI BI, )BEI BDI,ID IEx,BDBE 1,AE2,在 Rt AEI 中, AE 2EI 2AI 2,2 2x 2(2 x )2 ,2x ,ID ;22 22第 4 题解图(2)证明:如解图,连接 BI、CI.I 是内心,MAI NAI,AIMN,AIM AIN90,又AIAI,AMI ANI(ASA),AMNANM,BMI CNI,设BAI CAI,ACIBCI,NIC90 ,ABC18022 ,MBI 90 ,MBI NIC,BMI INC, ,BMNI MINCNIMI BMCN ,NIMI,MI 2BMCN;解:如解图,过点 N 作 NGAD 交 MA 的延长

32、线于 G.NGAD,ANGDAN,AGNBAD,BAC60,BADDAN30,ANGAGN30,ANAG,NG AN,3AING ,MIA MNG ,MAI MGN ,AMI GMN , ,AMMG AING ,AMAM AN 43AN ,AM ANAM 3AN4 .1AM 1AN 34第 4 题解图5. (1)证明:ACB90 ,ACDBCE90,ADDE ,BEDE,DACDCA90,ADCBEC,DACECB,在ADC 和CEB 中, ADC CEB DAC ECBAC CB )ADCCEB(AAS),ADCE,CDBE,DECEDCADBE ;(2)解:DE kBE AD.1k证明:A

33、CB90,ACDBCE90,ADDE ,DACDCA90,DACECB,ADDE ,BEDE,ADCCEB90,ADCCEB, k,ADCE DCBE ACBCDCkBE ,CE AD,1kDEDCCEkBE AD;1k(3)解:如解图,过点 F 作 FGBC 于点 G,AC4,D 是 AC 的中点,CD2,EF2DE ,易证DCEEGF,FG2CE ,EG2DC4,设 CEx,则 BGBCCG124x8x,FGBC,ACBC,ACBFGB90 ,BB ,FGBACB, ,即 ,FGAC BGBC 2x4 8 x12解得 x ,87即 CE 的长为 .87第 5 题解图6. (1)证明:ACB

34、90 , ACBC,D 为 AB 的中点,BCDACD45,BCEACF90,DCEDCF135,在DCE 与DCF 中,CE CF DCE DCFCD CD )DCEDCF(SAS);(2) 解:AB 24CECF.证明:DCFDCE135,CDFF18013545,CDFCDE45,FCDE,CDFCED, ,CDCE CFCD即 CD2CECF,ACB90,ACBC,CD 平分ACB ,CDADBD AB,12( AB)2CECF,12AB 24CECF;解:如解图,过 D 作 DGBC 于 G,由得 AB24CE CF,AB4 ,CE2CF,2CE4,CF2,DGBC 于 G,由题得B45,BD AB212 2DGB 是等腰直角三角形,BGDG 2 sin452,2DGBC,ACBC,DGAC 即 DGCE,ECN DGN又ENC DNGCEN GDN , 2,CEDG CNNG 42又D 点为 AB 中点,DGAC,CGBG2,NG CG ,13 23在 RtDGN 中,DN .DG2 NG222 (23)2 2103第 6 题解图

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