1、2017-2018 学年广东省中山市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共 10 小题；共 30 分）1下列式子没有意义的是（ ）A B C D2下列命题中，假命题是（ ）A对角线互相平分的四边形是平行四边形B对角线互相平分且相等的四边形是矩形C对角线互相垂直平分的四边形是菱形D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3以下列各组数为边长首尾相连，能构成直角三角形的一组是（ ）A2，3，4 B1，2， C5，12，17 D6，8，124下列计算正确的是（ ）A2 3 6 B + C3 3 D 5如图，在平面直角坐标系中，A（0，0）、B（4，0）、D（1，2）为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点
2、C 的坐标是（ ）A（2，5） B（4，2） C（5，2） D（6，2）6如图所示：某商场有一段楼梯，高 BC6m，斜边 AC 是 10 米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（ ）A8m B10m C14m D24m7如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB5，AC6，则菱形 ABCD 的面积是（ ）A24 B26 C30 D488如图，已知数轴上的点 A、B、C 、D 分别表示数2、1、2、3，则表示数 3 的点 P 应落在线段（ ）AAO 上 BOB 上 CBC 上 DCD 上9如图，ABCD 与DCFE 的周长相等，且BAD60，F100，则DAE 的
3、度数为（ ）A20 B25 C30 D3510如图，在矩形 ABCD 中，AB24，BC12，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D处，则重叠部分AFC 的面积为（ ）A60 B80 C100 D90二、填空题（共 6 小题；共 24 分）11化简： 12如图，在平行四边形 ABCD 中，ADAC，B65，DEAC 于 E，则EDC 13如图，已知ABC 中，ACB 90，以ABC 的各边为边在 ABC 外作三个正方形，S1、S 2、S 3 分别表示这三个正方形的面积若 S181，S 2225，则 S3 14实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 15在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣
4、的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为 1 丈（1 丈10 尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是 x 尺，根据题意，可列方程为 16任何实数 a，可用a表示不超过 a 的最大整数，如44， 1现对 72 进行如下操作：72 8 2 1，这样对 72 只需进行 3 次操作后变为 1，类似的， 对 81 只需进行 次操作后变为 1；只需进行 3 次操作后变为
5、1 的所有正整数中，最大的是 三、解答题（共 9 小题；共 66 分）17（8 分）计算：（1）4 + ；（2）（2 + ）（2 ）18（6 分）如图，在ABC 中，AD BC，AB5，BD4，CD （1）求 AD 的长（2）求ABC 的周长19（8 分）已知 x +2，y 2，求下列各式的值：（1）x 2+2xy+y2； （2）x 2y 220（6 分）如图，四边形 BFCE 是平行四边形，点 A、B、C、D 在同一条直线上，且 ABCD，连接 AE、DF求证：AEDF21（6 分）如图，将长为 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在墙上，BE 长 0.7 米如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.4
6、米（即 AC0.4 米），则梯脚 B 将外移（即 BD 长）多少米？22（6 分）如图，ABC 和BEF 都是等边三角形，点 D 在 BC 边上，点 F 在 AB 边上，且EAD60，连接 ED、 CF（1）求证：ABEACD；（2）求证：四边形 EFCD 是平行四边形23（8 分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由点 A 行驶向点 B，已知点 C 为一海港，且点 C 与直线 AB 上两点 A，B 的距离分别为 300km 和 400km，又 AB500km，以台风中心为圆心周围 250km 以内为受影响
7、区域（1）海港 C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为 20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？24（8 分）如图，边长为 a 的正方形 ABCD 被两条与正方形的边平行的线段 EF，GH 分割成四个小矩形，EF 与 GH 交于点 P，连接 AF，AH （1）若 BFDH，求证：AFAH（2）连接 FH，若FAH45，求FCH 的周长（用含 a 的代数式表示）25（10 分）如图，在 Rt ABC 中，B90，AC 60cm ，A60，点 D 从点 C 出发沿 CA方向以 4cm/s 的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向点 B
8、 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D，E 运动的时间是ts（0t15）过点 D 作 DFBC 于点 F，连接 DE，EF（1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形；（2）当 t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由2017-2018 学年广东省中山市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题；共 30 分）1下列式子没有意义的是（ ）A B C D【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数进行分析即可【解答】解：A、 有意义，故此选项不合题意；B、 没有意义，故此选项符合题意；C、 有意义，故此选项不合题意；D、 有意义，故此选项不合
9、题意；故选：B【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数2下列命题中，假命题是（ ）A对角线互相平分的四边形是平行四边形B对角线互相平分且相等的四边形是矩形C对角线互相垂直平分的四边形是菱形D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据平行四边形的判定方法可知 A 是真命题，根据矩形的判定方法可知 B 是真命题，根据菱形的判定方法可知 C 是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D 是假命题【解答】解：A对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；B对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；C对角线互相垂直平分的四边形是菱形
10、，是真命题；D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；故选：D【点评】本题主要考查了命题与定理，解题时注意：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形或筝形3以下列各组数为边长首尾相连，能构成直角三角形的一组是（ ）A2，3，4 B1，2， C5，12，17 D6，8，12【分析】如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2c 2，那么这个三角形就是直角三角形【解答】解：根据 22+324 2，可知其不能构成直角三角形；根据 12+（ ） 22 2，可知其能构成直角三角形；根据 52+12217 2，可知其不能构成直角三角形；根据 62+8
11、212 2，可知其不能构成直角三角形；故选：B【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用，解题时注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是4下列计算正确的是（ ）A2 3 6 B + C3 3 D 【分析】根据二次根式的运算即可求出答案【解答】解：（A）原式6212，故 A 错误；（B） 与 不是同类二次根式，故 B 错误；（C）原式2 ，故 C 错误；故选：D【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型5如图，在平面直角坐标系中，A（0
12、，0）、B（4，0）、D（1，2）为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点 C 的坐标是（ ）A（2，5） B（4，2） C（5，2） D（6，2）【分析】利用平行四边形的性质即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB ，CDAB，D（1，2），B（4，0），AB4，点 C 坐标（5，2）故选：C【点评】本题考查平行四边形的性质、周边游图形的性质的部分知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题6如图所示：某商场有一段楼梯，高 BC6m，斜边 AC 是 10 米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（ ）A8m B10m C14m D24m【分析】先根据直
13、角三角形的性质求出 AB 的长，再根据楼梯高为 BC 的高6m，楼梯的宽的和即为 AB 的长，再把 AB、BC 的长相加即可【解答】解：ABC 是直角三角形，BC 6m，AC 10mAB 8（m），如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为 AB+BC8+6 14（米）故选：C【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系7如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB5，AC6，则菱形 ABCD 的面积是（ ）A24 B26 C30 D48【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出 OB，再根据菱形的对角线互相平
14、分求出 AC、BD，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，OAOC3，OBOD，ACBD ，在 Rt AOB 中，AOB90，根据勾股定理，得：OB ， ，4，BD2OB 8，S 菱形 ABCD ACBD 6824故选：A【点评】本题考查了菱形的周长公式，菱形的对角线互相垂直平分线的性质，勾股定理的应用，比较简单，熟记性质是解题的关键8如图，已知数轴上的点 A、B、C 、D 分别表示数2、1、2、3，则表示数 3 的点 P 应落在线段（ ）AAO 上 BOB 上 CBC 上 DCD 上【分析】根据估计无理数的方法得出 03 1，进而得出
15、答案【解答】解：2 3，03 1，故表示数 3 的点 P 应落在线段 OB 上故选：B【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，得出 的取值范围是解题关键9如图，ABCD 与DCFE 的周长相等，且BAD60，F100，则DAE 的度数为（ ）A20 B25 C30 D35【分析】由ABCD 与DCFE 的周长相等，可得到 ADDE 即ADE 是等腰三角形，再由且BAD60， F 100，即可求出DAE 的度数【解答】解：ABCD 与DCFE 的周长相等，且 CDCD，ADDE ，DAEDEA，BAD60，F 100，ADC120，CDEF100，ADE360120100140，DAE（1801
16、40）220，故选：A【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理10如图，在矩形 ABCD 中，AB24，BC12，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D处，则重叠部分AFC 的面积为（ ）A60 B80 C100 D90【分析】因为 BC 为 AF 边上的高，要求AFC 的面积，求得 AF 即可，求证AFDCFB，得BF DF，设 DFx，则在 RtAFD中，根据勾股定理求 x，于是得到 AFABBF，即可得到结果【解答】解：易证AFDCFB，DFBF，设 DFx，则 AF824x，在 Rt AFD
17、中，（24x） 2x 2+122，解之得：x9，AFABFB24915，S AFC AFBC90故选：D【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设 DFx，根据直角三角形 AFD中运用勾股定理求 x 是解题的关键二、填空题（共 6 小题；共 24 分）11化简： 【分析】题目所给的代数式中，分母含有二次根式，所以要通过分母有理化来化简原式【解答】解： 【点评】此题主要考查了二次根式的分母有理化12如图，在平行四边形 ABCD 中，ADAC，B65，DEAC 于 E，则EDC 25 【分析】在 RtDEC 中，想办法求出 DCE 即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是
18、平行四边形，BADC65，ADAC，ADCC65，DEAC，DEC90，EDC90C25 ，故答案为 25【点评】本题考查平行四边形的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质求出DCE，属于中考常考题型13如图，已知ABC 中，ACB 90，以ABC 的各边为边在 ABC 外作三个正方形，S1、S 2、S 3 分别表示这三个正方形的面积若 S181，S 2225，则 S3 144 【分析】根据勾股定理求出 BC2AB 2AC 2144，即可得出结果【解答】解：根据题意得：AB 2225，AC 281，ACB90，BC 2AB 2 AC
19、222581144，则 S3BC 2144故答案为：144【点评】考查了勾股定理、正方形的性质、正方形的面积；熟练掌握勾股定理，由勾股定理求出BC 的平方是解决问题的关键14实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 3a 【分析】根据数轴上点的位置判断出 a3 的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果【解答】解：根据数轴上点的位置得：a30，则原式|a3|3a，故答案为：3a【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键15在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐
20、问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为 1 丈（1 丈10 尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是 x 尺，根据题意，可列方程为 x2+52（x+1） 2 【分析】首先设水池的深度为 x 尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52（x +1） 2，再解即可【解答】解：设水池的深度为 x 尺，由题意得：x2+52（x+1） 2，解得：x12，则 x+113，答：水深 12 尺，芦苇长 13 尺，故答案
21、为：x 2+52（x +1） 2【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用16任何实数 a，可用a表示不超过 a 的最大整数，如44， 1现对 72 进行如下操作：72 8 2 1，这样对 72 只需进行 3 次操作后变为 1，类似的， 对 81 只需进行 3 次操作后变为 1； 只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的是 255 【分析】 根据规律依次求出即可；要想确定只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数，关键是确定二次操
22、作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于 16，而一次操作时正整数 255 却好满足这一条件，即最大的正整数为 255【解答】解： 9， 3， 1，故答案为：3；最大的是 255， 15， 3， 1，而 16， 4， 2， 1，即只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的正整数是 255，故答案为：255【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力三、解答题（共 9 小题；共 66 分）17（8 分）计算：（1）4 + ；（2）（2 + ）（2 ）【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后去合并即可；（2）利用平方差公式计算【解答
23、】解：（1）原式4 +3 25 ；（2）原式1266【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可18（6 分）如图，在ABC 中，AD BC，AB5，BD4，CD （1）求 AD 的长（2）求ABC 的周长【分析】（1）根据勾股定理求出 AD；（2）根据勾股定理求出 AC，计算即可【解答】解：（1）在 RtABD 中，AD 3；（2）在 RtACD 中，AC 2 ，则ABC 的周长AB +AC+BC5+4+ +2 9+3 【点评】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么a2+b2c 2
24、 是解题的关键19（8 分）已知 x +2，y 2，求下列各式的值：（1）x 2+2xy+y2； （2）x 2y 2【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据平方差公式计算即可【解答】解：（1）原式（x+y） 2（ +2+ 2） 212；（2）原式（x+y ）（x y）（ +2+ 2）（ +2 +2）2 4 【点评】本题考查二次根式的分母有理化；主要根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化20（6 分）如图，四边形 BFCE 是平行四边形，点 A、B、C、D 在同一条直线上，且 ABCD，连接 AE、DF求证：AEDF【分析】根据四边形 BFCE 是平行四边形，得到 BECF，BEC
25、F，根据平行线的性质得到EBC FCB，根据邻补角的定义得到 ABEDCF ，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】解：四边形 BFCE 是平行四边形，BECF，BECF，EBCFCB，点 A、B 、C、D 在同一条直线上，ABE DCF，在ABE 与DCF 中， ，ABE DCF，AEDF 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键21（6 分）如图，将长为 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在墙上，BE 长 0.7 米如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.4 米（即 AC0.4 米），则梯脚 B 将外移（即 BD
26、 长）多少米？【分析】直接利用勾股定理得出 AE，DE 的长，再利用 BDDEBE 求出答案【解答】解：由题意得：AB2.5 米，BE0.7 米，在 RtABE 中AEB90，AE 2AB 2BE 2，AE 2.4（m）； 由题意得：EC2.40.42 （米），在 RtCDE 中CED90 ，DE2CD 2CE 2，DE 1.5（米），BDDE BE1.50.7 0.8（米），答：梯脚 B 将外移（即 BD 长） 0.8 米【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键22（6 分）如图，ABC 和BEF 都是等边三角形，点 D 在 BC 边上，点 F 在 AB 边上，且EA
27、D60，连接 ED、 CF（1）求证：ABEACD；（2）求证：四边形 EFCD 是平行四边形【分析】（1）欲证明ABEACD 只要证明EABCAD，ABAC，EBAACD 即可（2）欲证明四边形 EFCD 是平行四边形，只要证明 EFCD，EFCD 即可【解答】证明：（1）ABC 和BEF 都是等边三角形，ABAC， EBFACBBAC60，EAD60，EADBAC，EAB CAD，在ABE 和ACD 中，ABE ACD（2）由（1）得ABEACD，BECD，BEF 、ABC 是等边三角形，BEEF，EFB ABC60，EFCD，BEEFCD，EFCD，且 EFCD ，四边形 EFCD 是平
28、行四边形【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活应用平行四边形的判定方法，属于中考常考题型23（8 分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由点 A 行驶向点 B，已知点 C 为一海港，且点 C 与直线 AB 上两点 A，B 的距离分别为 300km 和 400km，又 AB500km，以台风中心为圆心周围 250km 以内为受影响区域（1）海港 C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为 20km/h，台风影
29、响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出 CD 的长，进而得出海港 C 是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间【解答】解：（1）海港 C 受台风影响理由：如图，过点 C 作 CD AB 于 D，AC300km，BC400km ，AB 500km ，AC 2+BC2AB 2ABC 是直角三角形ACBCCDAB300400500CDCD 240（km）以台风中心为圆心周围 250km 以内为受影响区域，海港 C 受到台风影响（2）当 EC250km，FC250km 时，正好
30、影响 C 港口，ED 70（km），EF140km台风的速度为 20km/h，140207（小时）即台风影响该海港持续的时间为 7 小时【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答24（8 分）如图，边长为 a 的正方形 ABCD 被两条与正方形的边平行的线段 EF，GH 分割成四个小矩形，EF 与 GH 交于点 P，连接 AF，AH （1）若 BFDH，求证：AFAH（2）连接 FH，若FAH45，求FCH 的周长（用含 a 的代数式表示）【分析】（1）根据题意和矩形的性质、正方形的性质，利用全等三角形的判定可以得到ABF 与ADH
31、 全等，从而可以证明结论成立；（2）利用旋转的性质，将ADH 绕点 A 顺时针旋转 90到ABM ，可以得到AMAH ，DHBM，再根据全等三角形的判定与性质即可求得FCH 的周长【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是正方形，ADAB，DB90 ，在ABF 和ADH 中，ABF ADH（SAS），AFAH ；（2）将ADH 绕点 A 顺时针旋转 90到ABM 的位置，如图所示，则 AMAH ，DAHBAM，FAH45，DAB 90，DAH +BAF45，BAM +BAF45，即FAM 45 ，FAM FAH，在FAM 和 FAH 中，FAM FAH（SAS），MFHF ，MFBF+BMBF+
32、DH，FCH 的周长为：CF+CH+FHCF +CH+BF+DHBC+ CD2a，即FCH 的周长为 2a【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答25（10 分）如图，在 Rt ABC 中，B90，AC 60cm ，A60，点 D 从点 C 出发沿 CA方向以 4cm/s 的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D，E 运动的时间是ts（0t15）过点 D 作 DFBC 于点 F，连接 DE，EF（1）求
33、证：四边形 AEFD 是平行四边形；（2）当 t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由【分析】（1）根据三角形内角和定理得到C30，根据直角三角形的性质求出 DF，得到DFAE，根据平行四边形的判定定理证明；（2）分EDF90、DEF90两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可【解答】（1）证明：B90，A60，C30，AB AC30，由题意得，CD4t，AE2t，DFBC，C30，DF CD 2t，DFAE，DFAE，DFAE，四边形 AEFD 是平行四边形；（2）当EDF90时，如图，DEBC，ADEC30，AD2AE，即 604t2t2，解得，t ，当DEF90时，如图 ，ADEF，DEAC，AE2AD ，即 2t2（604t ），解得，t12，综上所述，当 t 或 12 时，DEF 为直角三角形【点评】本题考查的是平行四边形的判定、直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理、含30的直角三角形的性质是解题的关键
