1、2017-2018 学年甘肃省平凉市庄浪县八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）1下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A B C D2若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）Ax Bx Cx Dx 3下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A4，5，6 B1，1， C6，8，11 D5，12，234在ABCD 中，BA 30，则A，B，C ，D 的度数是（ ）A95，85，95，85 B85，95，85，95C105，75，105，75 D75，105 ，75，1055下列各式计算正确的是（ ）A8 2 16 B5 5 5 C4 2 8
2、D4 2 86如图，在ABCD 中，已知 AD5cm ，AB 3cm ，AE 平分BAD 交 BC 边于点 E，则 EC 等于（ ）A1cm B2cm C3cm D4cm7下列命题中，正确的是（ ）A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相平分的四边形是平行四边形C对角线互相垂直的四边形是菱形D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8化简 等于（ ）A B C D9两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ）A矩形 B菱形 C正方形 D都有可能10如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC4，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D处，则重叠部分AFC 的面积为（ ）A6 B8 C10 D12二、填空
3、题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）11若二次根式 有意义，则自变量 x 的取值范围是 12已知菱形两条对角线的长分别为 5cm 和 12cm，则这个菱形的面积是 cm 213若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 60，则该矩形的面积为 cm 214如图，每个小正方形的边长为 1，在ABC 中，点 D 为 AB 的中点，则线段 CD 的长为 15如图，一只蚂蚁从长为 2cm，宽为 2cm，高为 3cm 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线长是 cm16已知实数 a、b 满足 +（b+12 ） 20，则 17如图，菱形 ABCD 的边长是 2c
4、m，E 是 AB 的中点，且 DE 丄 AB，则菱形 ABCD 的面积为 cm218实数 a 在数轴上的位置如图所示，则|a1|+ 19若最简二次根式 和 是同类二次根式，则 20如图，有两棵树，一棵高 10m，另一棵高 4m，两树相距 8m一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 m 三、解答题（共 9 小题，共 60 分）21（10 分）计算（1）（2）22（9 分）在ABC 中，C90，AC2.1cm，BC2.8cm （1）求ABC 的面积； （2）求斜边 AB 的长；（3）求高 CD 的长23（9 分）如图，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F
5、 处，已知AB 8cm，BC10cm ，求 EC 的长24（9 分）如图，C90 ，AC 3，BC4，AD12 ，BD 13，试判断ABD 的形状，并说明理由25（9 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB10，AD8，ACBC，求 AC、OA 以及平行四边形 ABCD 的面积26（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，BFDE，AE BD，CFBD，垂足分别为E、F （1）求证：ABECDF；（2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证： AOCO27（10 分）已知：如图，在正方形 ABCD 中，AEBF，垂足为 P，AE 与 CD 交于点 E，BF 与AD 交于点 F，
6、求证： AE BF28（12 分）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， 求证： 29（12 分）如图，RtOA 1A2 中，过 A2 作 A2A3OA 2，以此类推且OA1A 1A2A 2A3A 3A41，记OA 1A2 的面积为 S1，OA 2A3 面积为 S2，OA 3A4 面积为S3，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：（ ） 2+1 2，S 1 ；（ ） 2+1 3，S 2 ；（ ） 2+1 4，S 3（1）请写出第 n 个等式：
7、；（2）根据式子规律，线段 OA10 ；（3）求出 S12+S22+S32+S102 的值2017-2018 学年甘肃省平凉市庄浪县八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）1下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A B C D【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案【解答】解：A、 ，故不是最简二次根式，不合题意；B、 ，是最简二次根式，符合题意；C、 2 ，故不是最简二次根式，不合题意；D、 5 ，故不是最简二次根式，不合题意；故选：B【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键2若 在实数范围内有意义，则 x
8、的取值范围是（ ）Ax Bx Cx Dx 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解【解答】解：由题意得，2x10，解得 x 故选：C【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数3下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A4，5，6 B1，1， C6，8，11 D5，12，23【分析】根据勾股定理逆定理：a 2+b2c 2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案【解答】解：A、4 2+526 2，不能构成直角三角形，故 A 错误；B、1 2+12 ，能构成直角三角形，故 B 正确；C、6 2+8211 2，不能构成直角三角形，故 C 错误
9、；D、5 2+122 232，不能构成直角三角形，故 D 错误故选：B【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理4在ABCD 中，BA 30，则A，B，C ，D 的度数是（ ）A95，85，95，85 B85，95，85，95C105，75，105，75 D75，105 ，75，105【分析】根据平行四边形中，对角相等，邻角互补的性质，可以设出未知数，列出方程，进而可求解四个角的度数【解答】解：设A 度数为 x，则有：（180x ）x30 ，解得：x 75，所以A， B， C，D 分别是 75，105，75，105故选：D【点评】本题考查了平行四边形的性
10、质，熟练掌握平行四边形对角相等，邻角互补的性质是解题的关键5下列各式计算正确的是（ ）A8 2 16 B5 5 5 C4 2 8 D4 2 8【分析】根据二次根式的乘法法则，进行判断即可【解答】解：A、8 2 48，原式计算错误，故本选项错误；B、5 5 25 ，原式计算错误，故本选项错误；C、4 2 8 ，原式计算正确，故本选项正确；D、4 2 8 ，原式计算错误，故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则6如图，在ABCD 中，已知 AD5cm ，AB 3cm ，AE 平分BAD 交 BC 边于点 E，则 EC 等于（ ）A1cm B
11、2cm C3cm D4cm【分析】由平行四边形的性质和角平分线定义得出AEBBAE，证出 BEAB3cm，得出ECBCBE2cm 即可【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，BCAD5cm，ADBC，DAEAEB，AE 平分BAD，BAE DAE，AEB BAE，BEAB3cm，ECBCBE532cm；故选：B【点评】本题看成了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义；熟练掌握平行四边形的性质，证出 BEAB 是解决问题的关键7下列命题中，正确的是（ ）A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相平分的四边形是平行四边形C对角线互相垂直的四边形是菱形D对角线互相垂直且相等的四边形是
12、正方形【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定方法逐一进行判定【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定方法熟练掌握特殊四边形的判定方法是解决此类问题的关键8化简 等于（ ）A B C D【分析】先将被开方数化为假分数，再转化为二次根式的商，然后分母有理化【解答】解：原式 故选：D【点评】解答此题不仅要熟悉最简二次根式和算术平方根的定义，还要熟悉二次根式
13、的除法运算9两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ）A矩形 B菱形 C正方形 D都有可能【分析】如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，理由为：利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到 ABCD 为平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形，再利用对角线相等的菱形为正方形即可得证【解答】解：如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，已知：四边形 ABCD，ACBD，OAOC，OB OD，ACBD，求证：四边形 ABCD 为正方形，证明：OAOC，OBOD，四边形 ABCD 为平行四边形，ACBD，平行四边形 ABCD 为菱
14、形，ACBD，四边形 ABCD 为正方形故选：C【点评】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键10如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC4，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D处，则重叠部分AFC 的面积为（ ）A6 B8 C10 D12【分析】因为 BC 为 AF 边上的高，要求AFC 的面积，求得 AF 即可，求证AFDCFB，得BF DF，设 DFx，则在 RtAFD中，根据勾股定理求 x，于是得到 AFABBF，即可得到结果【解答】解：易证AFDCFB，DFBF，设 DFx，则 AF8x ，在 Rt AFD中，（8x） 2x 2+42，解
15、之得：x3，AFABFB835，S AFC AFBC10故选：C【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设 DFx，根据直角三角形 AFD中运用勾股定理求 x 是解题的关键二、填空题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）11若二次根式 有意义，则自变量 x 的取值范围是 x3 且 x0 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为 0 列出不等式，解不等式即可【解答】解：由题意得，x+30，x0，解得 x3 且 x0，故答案为：x3 且 x0【点评】本题考查的是二次根式有意义和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为 0 是解题的
16、关键12已知菱形两条对角线的长分别为 5cm 和 12cm，则这个菱形的面积是 30 cm 2【分析】根据菱形的面积公式即可解决问题【解答】解：菱形的面积 12530（cm 2）故答案为：30【点评】本题考查菱形的性质、解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型13若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 60，则该矩形的面积为 cm2【分析】根据矩形的性质，画出图形求解【解答】解：ABCD 为矩形OAOCOBOD一个角是 60BCOB cm根据勾股定理 面积BCCD4 cm2故答案为 【点评】本题考查的知识点有：矩形的性质、勾股定理14如图，每个小正
17、方形的边长为 1，在ABC 中，点 D 为 AB 的中点，则线段 CD 的长为 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质求解【解答】解：观察图形AB ，AC 3 ，BC 2AC 2+BC2AB 2，三角形为直角三角形，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半CD 【点评】解决此类题目要熟记斜边上的中线等于斜边的一半注意勾股定理的应用15如图，一只蚂蚁从长为 2cm，宽为 2cm，高为 3cm 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线长是 5 cm【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可【解答】解：
18、如图（1），AB ；如图（2），AB 故答案为：5【点评】此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据16已知实数 a、b 满足 +（b+12 ） 20，则 13 【分析】直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出 a，b 的值，再利用算术平方根的定义化简得出答案【解答】解： +（b+12） 20，a5，b12， 13故答案为：13【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出 a，b 的值是解题关键17如图，菱形 ABCD 的边长是 2cm，E 是 AB 的中点，且 DE 丄 AB，则菱形 ABCD 的面积为 2cm 2【分析】因为 DE
19、 丄 AB，E 是 AB 的中点，所以 AE1cm，根据勾股定理可求出 DE 的长，菱形的面积底边高，从而可求出解【解答】解：E 是 AB 的中点，AE1cm，DE 丄 AB，DE cm菱形的面积为：2 2 cm2故答案为：2 【点评】本题考查菱形的性质，四边都相等，菱形面积的计算公式以及勾股定理的运用等18实数 a 在数轴上的位置如图所示，则|a1|+ 1 【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出 a1 与 0，a2 与 0 的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1a2，a10，a20，|a 1|+ a1+2a1故答案为：
20、1【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简二次根式 的化简规律总结：当 a0 时， a；当 a0 时， a19若最简二次根式 和 是同类二次根式，则 5 【分析】直接利用最简二次根式以及同类二次根式的定义分析得出答案【解答】解：最简二次根式 和 是同类二次根式， ，解得： ， 5故答案为：5【点评】此题主要考查了最简二次根式以及同类二次根式的定义，正确得出 x，y 的值是解题关键20如图，有两棵树，一棵高 10m，另一棵高 4m，两树相距 8m一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 10 m 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树
21、的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出【解答】解：两棵树的高度差为 6m，间距为 8m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 10m 【点评】本题主要是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解三、解答题（共 9 小题，共 60 分）21（10 分）计算（1）（2）【分析】（1）二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并（2）注意分母有理化的方法、平方差公式的运用【解答】解：（1）原式4 +2 ；（2）原式4 +3+ 14 +2【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算2
22、2（9 分）在ABC 中，C90，AC2.1cm，BC2.8cm （1）求ABC 的面积； （2）求斜边 AB 的长；（3）求高 CD 的长【分析】（1）根据三角形的面积公式进行计算即可；（2）利用勾股定理可得出斜边 AB 的长；（3）利用面积的两种表达式可得出 CD【解答】解：如图所示：（1）S ABC ACBC2.94；（2）AB 3.5；（3） BCAC ABCD，解得：CD1.68【点评】本题考查了勾股定理及直角三角形的面积，注意掌握三角形面积的不同表示方法23（9 分）如图，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知AB 8cm，BC10cm ，求 EC 的长【
23、分析】根据矩形的性质得 DCAB8，ADBC10，BDC90，再根据折叠的性质得 AFAD10，DEEF ，在 RtABF 中，利用勾股定理计算出 BF6，则 FC4，设ECx ，则 DEEF8x ，在 RtEFC 中，根据勾股定理得 x2+42（8x） 2，然后解方程即可【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，DCAB 8，ADBC10，BD C90，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处AFAD 10，DEEF，在 Rt ABF 中，BF 6，FCBCBF4，设 ECx，则 DE8x ，EF8x，在 Rt EFC 中，EC 2+FC2EF 2，x 2+42（8x ） 2，
24、解得 x3，EC 的长为 3cm【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了勾股定理24（9 分）如图，C90 ，AC 3，BC4，AD12 ，BD 13，试判断ABD 的形状，并说明理由【分析】先在ABC 中，根据勾股定理求出 AB2 的值，再在ABD 中根据勾股定理的逆定理，判断出 ADAB ，即可得到 ABD 为直角三角形【解答】解：ABD 为直角三角形理由如下：在ABC 中，C90，AB 2CB 2+AC24 2+325 2，在ABD 中，AB 2+AD25 2+12213 2，AB 2+AD2BD
25、2，ABD 为直角三角形【点评】本题考查勾股定理与其逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可25（9 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB10，AD8，ACBC，求 AC、OA 以及平行四边形 ABCD 的面积【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可求得 BCAD8，又由 ACBC，利用勾股定理即可求得 AC 的长，然后由平行四边形的对角线互相平分，求得 OA 的长，继而求得平行四边形ABCD 的面积【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，BCAD8，AB10，AC BC，AC 6，OA AC3，S 平行四边形 ABCD
26、BCAC 8648【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理注意平行四边形的对边相等，对角线互相平分26（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，BFDE，AE BD，CFBD，垂足分别为E、F （1）求证：ABECDF；（2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证： AOCO【分析】（1）根据 ABCD，BEDF，利用 HL 即可证明（2）只要证明四边形 ABCD 是平行四边形即可解决问题【解答】证明：（1）BFDE，BFEFDEEF，即 BEDFAEBD ，CF BD，AEB CFD90，ABCD，BE DF，RtABERtCDF（HL）（2）ABECDF，ABE CDF，AB
27、CD，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，AOCO【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用特殊四边形的性质解决问题27（10 分）已知：如图，在正方形 ABCD 中，AEBF，垂足为 P，AE 与 CD 交于点 E，BF 与AD 交于点 F，求证： AE BF【分析】根据正方形的性质得出AEDAFB，所以得到AEDABF，利用全等的性质得到AE BF【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形，AEBF，DAE+AED 90，DAE +AFB90，AEDAFB，又ADAB，BADD，AEDABF，A
28、EBF【点评】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题28（12 分）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， ACBD 求证： 四边形 ABCD 是菱形 【分析】由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得 AC 为线段 BD 的垂直平分线，可求得 ABAD ，可得四边形 ABCD 是菱形【解答】已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AC
29、BD，求证：四边形 ABCD 是菱形证明：四边形 ABCD 为平行四边形，BODO ，ACBD，AC 垂直平分 BD，ABAD ，四边形 ABCD 为菱形故答案为：ACBD；四边形 ABCD 是菱形【点评】本题主要考查菱形的判定及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质证得 ABAD 是解题的关键29（12 分）如图，RtOA 1A2 中，过 A2 作 A2A3OA 2，以此类推且OA1A 1A2A 2A3A 3A41，记OA 1A2 的面积为 S1，OA 2A3 面积为 S2，OA 3A4 面积为S3，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：（ ） 2+1 2，S 1 ；（ ） 2+1 3，S
30、 2 ；（ ） 2+1 4，S 3（1）请写出第 n 个等式： （ ） 2+1n+1 ，S n ；（2）根据式子规律，线段 OA10 ；（3）求出 S12+S22+S32+S102 的值【分析】（1）根据前三个等式得到规律，根据规律解答；（2）根据勾股定理计算即可；（3）根据（1）中得到的规律、有理数的运算法则计算【解答】解：（1）（ ） 2+12，S 1 ；（ ） 2+1 3，S 2 ；（ ） 2+1 4，S 3则第 n 个等式为：（ ） 2+1n+1，S n ，故答案为：（ ） 2+1n+1，S n ；（2）OA 11OA2 ，OA3 ，则 OA10 ，故答案为： ；（3）S 12+S22+S32+S102（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为c，那么 a2+b2c 2
