1、,初中数学思想方法的教学与应用,什么是数学思想和方法,数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。,数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。,数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。,常用的数学思想方法,常用数学思想:建模思想、统计思想、最优化思想、转化化与化归思想、类比思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、方程思想、函数思想等。,常用数学方法
2、：配方法、换元法、待定系数法、参数法、 构造法、特殊值法等。,整体思想,整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理的思想方法。,教学体现,多项式与多项式相乘的法则探索 二元一次方程组的解法 代数式求值 分解因式 整式的相关计算,应 用,2、,已知方程组,的解是,，则a+b= .,3、,1、若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x= -1时， 求ax3+bx+7的值为；,4、,5、如图，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度 至少需要 米。,
3、6、如图，A，B，C两两不相交，且半径都是0.5cm， 则图中的阴影面积为 。,7、如图，ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，求图中阴影部分的面积。,数形结合思想,数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即利用形的直观加深对数量关系的理解或利用数的抽象性加深对图形的认识，实现了抽象思维与形象思维的结合与转换。,数与形本是相倚依，怎能分作两边飞； 数缺形时少直观，形少数时难入微； 数形结合
4、百般好，隔离分家万事休。华罗庚,教学体现,数轴 平面直角坐标系 函数 空间与图形 勾股定理 平方差公式、完全平方公式的几何意义,应 用,2、关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 。,1、已知a0，b0，且ab，则（ ）A 、 ba B 、 bC 、a |b| D、 |b| |a|,3、如图是小张用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”。则搭n条“金鱼”需要火柴 根。,4、若M( ,y1),N( ,y2),P( ,y3)三点都在函数（k0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A、 y2y3y1 B、 y2y1y3 C 、 y3y1y2 D、 y3y2y1,6、,5、对于二次函数yax2
5、bxc若a0，b0，c 0， 则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是（ ） A.只有一个交点 B.有两个，都在x轴的正半轴 C.有两个，都在x轴的负半轴 D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴,7、如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作ABBD,EDBD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示ACCE的长； (2)请问点C满足什么条件时,ACCE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.,分类讨论思想,分类讨论思想又称逻辑划分，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决
6、，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想。当数学问题中的条件、结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件。,分类讨论的步骤及原则,1、明确讨论对象，确定对象的全体，确立分类标准（标准统一，标准不同，结果也不相同）； 2、恰当分类（结果无遗漏，无交叉重复）； 3、逐类讨论（逐级进行，不越级讨论）； 4、归纳总结，综合得出结论。,教学体现,|a |= 实数的分类 三角形的分类 与圆有关的位置关系 三角形判定方法的探索 一元二次方程的解的情况,应 用,1、等腰三角形的一个角等于30，腰长为20cm，求等腰三角形腰
7、上的高的长；2、已知直角三角形两边x、y的长满足，则第三边长为 ；3、A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过小时两车相距50千米，则的值是（ ）A、2或25 B、2或10 C、10或125 D、2或125,4、在半径为1的O中，弦AB，AC分别为 和 ，则BAC的度数为 ； 5、已知O的半径为2，点P是O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与O相切的圆的半径一定是（ ） A1或5 B1 C5 D1 6、一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3x 6，相应的函数值的取值范围是-5y-2 ，则这个函数
8、的解析式 。,1、对A进行讨论,2、对B进行讨论,3、对C进行讨论,在三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！,劳技课上，老师要求学生在一张长17cm，宽16cm的长方形纸片上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上。请帮助同学们计算一下所得等腰三角形的面积。,在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.,x,y,0,P,A,（1）点T（t，0）是x轴上的一个动点。当t取何值时，TOP是等腰三角形？,情况一:OP=OT,情况二:PO=PT,情况三:TO=TP,T3(-4,0),(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足
9、为A.点T为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行四边形,请写出点T的坐标?,0,P,A,x,y,0,P,A,(3) 过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标轴上的一点。以P.O.T 为顶点的三角形与AOP相似,请写出点T的坐标?,如图，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）.一次函数yxt的图象l随t的不同取值变化时，正方形中位于l的右下方部分的图形面积为S写出S与t的函数关系式,22、如图，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运
10、动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t0）.过点D作DFBC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.,转化与化归思想,化归就是转化与归结的简称，所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。具体来说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。,教学体现,多边形内角和的探索 整式乘法运算法则探索 直线与圆的位置关系、圆与圆的
11、位置关系探索 分式方程的解法、多元方程（组）的解法、一元二次方程的解法 几何实体与其三视图,应 用,1、 如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了 .,2、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为 .,3、如图所示，AB是半圆的直径，AB=4，C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积?,4、如图，A是半圆上一个三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，O的半径为1，求AP+BP的最小值。,方程与函数思想,函数的思想，就是用运动变
12、化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程(组)来求得这些量.这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.,教学体现,二次函数求最值 解直角三角形的相关问题 最大利润问题 最佳分配方案问题 空间与图形的相关问题 根据相关信息求函数关系式,1、 如图， 中，BC4，P为BC上一点，过点P作PD/AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时， APD 面积最大？,应 用,x,4-x,、某学校有一段25米长的旧围栏，（如图用AB表示），现打算利用该围栏（或它的一部分）为一边，围成一块面积为100的长方形草坪，如图，其中CDCF。已知整修旧围栏的费用为每米1.75元，建造新围栏的价格为每米4.5元，设利用旧围栏CF的长度为x米，修建草坪围栏的总费用为y元。 （1）求出y与x之间的函数关系式。 （2）若计划修建费用只有150元，则应利用旧围栏多少米？ （3）若计划修建费用只有120元，能否完成该草坪的围栏修建任务？请说明理由。,x,谢谢,
