1、2017-2018 学年吉林省长春 XX 学校九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1 的相反数是（ ）A5 B 5 C D29 月 8 日，首条跨区域动车组列车运行线长春至白城至乌兰浩特快速铁路开通运营“满月”这条承载着吉林、内蒙古人民希望与企盼的铁路，自开通运营以来，安全优质高效地发送旅客 1250000 人，这个数字用科学记数法表示为（ ）A12.510 5 B1.25 106 C0.12510 7 D12510 43计算（2m） 3 的结果是（ ）A2m 3 B8m 3 C6m 3 D8m4如图中几何体的正视图是（ ）A B C D5若关于 x 的方程
2、 x26 x+a0 有实数根，则常数 a 的值不可能为（ ）A7 B9 C8 D106如图，O 的半径为 6，四边形内接于 O，连结 OA、OC，若AOCABC，则劣弧 AC 的长为（ ）A B2 C4 D67不等式组 的最大整数解是（ ）A5 B4 C3 D28如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、C 的坐标分别为（4，6）、（5，4），且 AB 平行于 x 轴，将矩形 ABCD 向左平移，得到矩形ABCD若点 A、C同时落在函数 的图象上，则 k 的值为（ ）A6 B8 C10 D12二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）9计算： 10分解因式：ax 24ax+4a 1
3、1如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点，连结 EF，则AEF 与五边形 EBCDF 的面积比为 12在O 中，弦 AB8，圆心 O 到 AB 的距离 OC4，则圆 O 的半径长为 13如图，在矩形 ABCD 中，AB6，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 垂直平分 BO于点 E，则 AD 的长为 14如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ym（x+3） 2+n 与 ym（x2） 2+n+1 交于点 A过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B、C（点 B 在点 C 左侧），则线段 BC 的长为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）1
4、5（6 分）先化简，再求值： ，其中 a216（6 分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字 1、2、3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从盒子里随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后在随机抽一张卡片，用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片之积是偶数的概率17（6 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边的中线， E 是 AD 的中点，过 A 点作AFBC 交 BE 的延长线于点 F，连结 CF求证：四边形 ADCF 是平行四边形18（7 分）某车间要加工 960 个零件，为了尽快完成任务，该车间实际每天加工零件个数比计划原来每天多加工 20%，结果提前 10 天完成任务原计
5、划每天加工多少个零件？19（7 分）某部门为了解本市 2018 年推荐生测试运动与健康、审美与表现两科的等级情况，从推荐生中随机抽取了 400 名学生的这两科等级成绩，并将得到的数据绘制成了如图统计图（1）在抽取的 400 名学生中，运动与健康成绩为 A 等级的人数是 ；（2）在抽取的 400 名学生中，审美与表现成绩为 B 等级的人数是 ；（3）若 2018 年该市共有推荐生 10000 名，估计运动与健康成绩为 C、D 等级的人数约为多少？20（7 分）如图，两幢大楼相距 100 米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为 26，如果甲楼高为 36 米，求乙楼的高度（结果精确到 1 米）【参考数据：
6、sin260.44，cos260.90，tan260.49】21（8 分）感知：如图，在等腰直角ABC 中，分别以 ABC 的三条边为斜边向ABC 外部作等腰直角ABD、等腰直角ACE、等腰直角BCF，连结点D、E、F，则易知 DEF 为等腰三角形如果 ABAC 7，请直接写出DEF 的面积为 探究：如图，Rt ABC 中，AB14，AC30，分别以ABC 的三条边为斜边向ABC 外部作等腰直角ABD、等腰直角ACE、等腰直角 BCF，连结点D、E、 F，求 DEF 的面积为多少拓展：如图，Rt ABC 中，AB14，AC15，分别以ABC 的三条边为斜边向ABC 外部作 RtABD 、RtA
7、CE、RtBCF，且tanBCFtanCAEtanABD ，连结点 D、E、F ，则DEF 的面积为 22（9 分）A，B，C 三地在同一条公路上，A 地在 B，C 两地之间，甲、乙两车同时从 A 地出发匀速行驶，甲车驶向 C 地，乙车先驶向 B 地，到达 B 地后，调头按原速经过 A 地驶向 C 地（调头时间忽略不计），到达 C 地停止行驶，甲车比乙车晚 0.4小时到达 C 地，两车距 B 地的路程 y（km ）与行驶时间 x（h）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是 km/h，并在图中括号内填入正确的数值；（2）求图象中线段 FM 所表示的 y 与
8、x 的函数解析式（不需要写出自变量 x 的取值范围）；（3）在乙车到达 C 地之前，甲、乙两车出发后几小时与 A 地路程相等？直接写出答案23（10 分）ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AB8cm，动点 P、Q 以2cm/s 的速度分别从点 A、 B 同时出发，点 P 沿 A 到 B 向终点 B 运动，点 Q 沿 B 到A 向终点 A 运动，过点 P 作 PDAC 于点 D，以 PD 为边向右侧作正方形 PDEF，过点 Q 作 QGAB，交折线 BCCA 于点 G 与点 C 不重合，以 QG 为边作等腰直角QGH，且点 G 为直角顶点，点 C、H 始终在 QG 的同侧，设正方形 PDEF
9、 与QGH 重叠部分图形的面积为 S（cm 2），点 P 运动的时间为 t（s）（0t 4）（1）当点 F 在边 QH 上时，求 t 的值（2）点正方形 PDEF 与QGH 重叠部分图形是四边形时，求 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 FH 所在的直线平行或垂直 AB 时，直接写出 t 的值24（12 分）在平面直角坐标系中，对于点 P（m，n）和点 Q（x ，y）给出如下定义：若 ，则称点 Q 为点 P 的“伴随点” 例如：点（ 1，2）的“伴随点”为点（5，0）（1）若点 Q（2，4）是一次函数 ykx +2 图象上点 P 的“伴随点”，求 k 的值（2）已知点 P（m，n）在抛物线
10、 C1：y x 上，设点 P 的“伴随点”Q （x ，y）的运动轨迹为 C2直接写出 C2 对应的函数关系式抛物线 C1 的顶点为 A，与 x 轴的交点为 B（非原点），试判断在 x 轴上是否存在点M，使得以 A、B、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，说明理由若点 P 的横坐标满足2ma 时，点 Q 的纵坐标 y 满足3y1，直接写出 a的取值范围2017-2018 学年吉林省长春外国语学校九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1 的相反数是（ ）A5 B 5 C D【分析】根据相反数的定义，即可解答【解
11、答】解： 的相反数是 ，故选：C 【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义29 月 8 日，首条跨区域动车组列车运行线长春至白城至乌兰浩特快速铁路开通运营“满月”这条承载着吉林、内蒙古人民希望与企盼的铁路，自开通运营以来，安全优质高效地发送旅客 1250000 人，这个数字用科学记数法表示为（ ）A12.510 5 B1.25 106 C0.12510 7 D12510 4【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数
12、；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 1250000 用科学记数法表示为：1.2510 6故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3计算（2m） 3 的结果是（ ）A2m 3 B8m 3 C6m 3 D8m【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可【解答】解：原式8m 3，故选：B【点评】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握计算法则4如图中几何体的正视图是（ ）A B C D【分析】找到从正面看所得到的图形即可【解答】解：从正面看去
13、从左往右 3 列正方形的个数依次为 3，2，1故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图5若关于 x 的方程 x26 x+a0 有实数根，则常数 a 的值不可能为（ ）A7 B9 C8 D10【分析】由根的判别式可求得 a 的取值范围，再判断即可【解答】解：关于 x 的方程 x26x+ a0 有实数根，0，即（6） 24a0，解得 a9，不可能为 10，故选：D【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键6如图，O 的半径为 6，四边形内接于 O，连结 OA、OC，若AOCABC，则劣弧 AC 的长为（ ）A B2 C
14、4 D6【分析】利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求得AOCABC120，结合弧长公式进行解答即可【解答】解：四边形内接于O，AOC2ADC，ADC+ ABC AOC+ ABC180又AOCABC，AOC120O 的半径为 6，劣弧 AC 的长为： 4故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理、弧长的计算，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数，从而得到AOCABC120，从而得出劣弧 AC 的长7不等式组 的最大整数解是（ ）A5 B4 C3 D2【分析】先求出不等式组的解集，再求出符合的整数解即可【解答】解：解不等式得：a2，解不等式得： a5，不等式组的解集为 2a5，不等式
15、组 的最大整数解是 4，故选：B【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键8如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A、C 的坐标分别为（4，6）、（5，4），且 AB 平行于 x 轴，将矩形 ABCD 向左平移，得到矩形ABCD若点 A、C同时落在函数 的图象上，则 k 的值为（ ）A6 B8 C10 D12【分析】设点 A、C的坐标分别为（4a，6），（ 5a，4），依据点 A、C同时落在函数 的图象上，可得方程 6（ 4a）4（5a），求得 a 的值即可得到 k 的值【解答】解：点 A、C 的坐标分别为（4，6）、
16、（ 5，4），且 AB 平行于 x 轴，平移后，可设点 A、C的坐标分别为（4a ，6），（5a，4），点 A、C同时落在函数 的图象上，6（4a）4（5a），解得 a2，C（3，4），k34 12，故选：D【点评】本题考查了矩形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质的应用，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y ）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）9计算： 【分析】先化简 2 ，再合并同类二次根式即可【解答】解： 2 故答案为： 【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型10分解因式：ax 24ax+4a a（x2） 2 【分析】
17、先提取公因式 a，再利用完全平方公式进行二次分解【解答】解：ax 24ax +4a，a（x 24x+4），a（x2） 2【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底11如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点，连结 EF，则AEF 与五边形 EBCDF 的面积比为 1：7 【分析】连接 BD，根据三角形中位线定理得到 EFBD，EF BD，根据相似三角形的性质计算即可【解答】解：连接 BD，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点，EFBD，EF BD，AEF ABD，S AEF SABD ，四边形 A
18、BCD 是平行四边形，S ABD S 平行四边形 ABCD，AEF 与五边形 EBCDF 的面积比为 1：7，故答案为：1：7【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键12在O 中，弦 AB8，圆心 O 到 AB 的距离 OC4，则圆 O 的半径长为 4 【分析】根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OA 即可【解答】解：弦 AB8，圆心 O 到 AB 的距离 OC4，ACBC4，OCA90，由勾股定理得：AO 4 ，故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出 AC 的长是解此题的关键13如图，在矩形 AB
19、CD 中，AB6，对角线 AC、BD 相交于点 O，AE 垂直平分 BO于点 E，则 AD 的长为 6 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出 OAABOB6，得出BD2OB6 ，由勾股定理求出 AD 即可【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，OB OD，OA OC ，ACBD，OA OB，AE 垂直平分 OB，ABAO，OA ABOB6，BD 2OB 12，AD 6 ，故答案为：6 【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键14如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ym（x+3） 2+n
20、 与 ym（x2） 2+n+1 交于点 A过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 B、C（点 B 在点 C 左侧），则线段 BC 的长为 10 【分析】设抛物线 ym（x +3） 2+n 的对称轴与线段 BC 交于点 E，抛物线ym（x 2） 2+n+1 的对称轴与线段 BC 交于点 F，由抛物线的对称性结合 BC2（AE +AF），即可求出结论【解答】解：设抛物线 ym（x +3） 2+n 的对称轴与线段 BC 交于点 E，抛物线ym（x 2） 2+n+1 的对称轴与线段 BC 交于点 F，如图所示由抛物线的对称性，可知：BEAE，CFAF ，BCBE+AE+ AF+CF2（AE
21、+AF ）22（3）10故答案为：10【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）15（6 分）先化简，再求值： ，其中 a2【分析】先计算括号内的加法、将除式的分子、分母因式分解后，把除法转化为乘法，再约分即可化简原式，最后将 a 的值代入计算可得【解答】解：原式 ，当 a2 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则16（6 分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字 1、2、3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从盒子里随机抽取一张卡片记下数字后
22、放回，洗匀后在随机抽一张卡片，用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片之积是偶数的概率【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之积是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 9 种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之积是奇数的有 5 种情况，两次两次抽取的卡片上数字之积是奇数的概率 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比17（6 分）如图，在ABC 中，
23、AD 是 BC 边的中线， E 是 AD 的中点，过 A 点作AFBC 交 BE 的延长线于点 F，连结 CF求证：四边形 ADCF 是平行四边形【分析】首先利用全等三角形的判定方法得出AEFDEB （AAS），进而得出AFBD ，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案【解答】证明：AFBC，AFE EBD 在AEF 和 DEB 中 ，AEF DEB（AAS） AFBD AFDC又AFBC，四边形 ADCF 为平行四边形【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出AEF DEB 是解题关键18（7 分）某车间要加工 960 个零件，为了尽快完成任务，
24、该车间实际每天加工零件个数比计划原来每天多加工 20%，结果提前 10 天完成任务原计划每天加工多少个零件？【分析】设原计划每天加工 x 个零件，则实际每天加工 1.2x 个零件，根据工作时间工作总量工作效率结合提前 10 天完成任务，即可得出关于 x 的分式方程，解之检验后即可得出结论【解答】解：设原计划每天加工 x 个零件，则实际每天加工 1.2x 个零件，根据题意得： 10，解得：x16 ，经检验，x 16 是原分式方程的解答：原计划每天加工 16 个零件【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键19（7 分）某部门为了解本市 2018 年推荐生测试运动
25、与健康、审美与表现两科的等级情况，从推荐生中随机抽取了 400 名学生的这两科等级成绩，并将得到的数据绘制成了如图统计图（1）在抽取的 400 名学生中，运动与健康成绩为 A 等级的人数是 180 ；（2）在抽取的 400 名学生中，审美与表现成绩为 B 等级的人数是 25 ；（3）若 2018 年该市共有推荐生 10000 名，估计运动与健康成绩为 C、D 等级的人数约为多少？【分析】（1）用调查总人数A 等级所占的百分数 45%，就可以求出运动与健康成绩为 A 等级的人数；（2）用总人数 4003705 的结果就是审美与表现成绩为 B 等级的人数；（3）用总人数乘以样本中运动与健康成绩为
26、C、D 等级人数所占比例即可得【解答】解：（1）在抽取的 400 名学生中，运动与健康成绩为 A 等级的人数是40045%180（人），故答案为：180；（2）在抽取的 400 名学生中，审美与表现成绩为 B 等级的人数是 400（370+5）25（人），故答案为：25；（3）10000 500，答：估计运动与健康成绩为 C、D 等级的人数约为 500 人【点评】本题考查了条形统计图的运用，扇形统计图的运用及运用样本数据估计爱总体数据的运用，解答此类题的关键是求出样本数据的比率是关键20（7 分）如图，两幢大楼相距 100 米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为 26，如果甲楼高为 36 米，求乙楼
27、的高度（结果精确到 1 米）【参考数据：sin260.44，cos260.90，tan260.49】【分析】由题意知 AECD36、ACDE100，由 BCACtanBAC100tan2649，根据 BDBC+CD 可得答案【解答】解：如图所示，由题意知 AECD36、 ACDE100，在 Rt ABC 中，tanBAC ，BCACtanBAC 100tan2649，则 BD BC+CD49+36 85，即乙楼的高度为 85 米【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形21（8 分）感知：如图，在等
28、腰直角ABC 中，分别以 ABC 的三条边为斜边向ABC 外部作等腰直角ABD、等腰直角ACE、等腰直角BCF，连结点D、E、F，则易知 DEF 为等腰三角形如果 ABAC 7，请直接写出DEF 的面积为 49 探究：如图，Rt ABC 中，AB14，AC30，分别以ABC 的三条边为斜边向ABC 外部作等腰直角ABD、等腰直角ACE、等腰直角 BCF，连结点D、E、F，求 DEF 的面积为多少拓展：如图，Rt ABC 中，AB14，AC15，分别以ABC 的三条边为斜边向ABC 外部作 RtABD 、RtACE、RtBCF，且tanBCFtanCAEtanABD ，连结点 D、E、F ，则D
29、EF 的面积为 168.15 【分析】感知：只要证明 E、A、D 共线，FA DE，想办法求出 DE、AF 即可；探究：如图中，连接 AF作FNFMAB 于 M，FN AC 于 N解法类似；拓展：如图中，连接 AF，作 BHAF 于 H解法类似；【解答】解：感知：如图中，连接 AFACAB，BAC 90 ，ACE，ABD 都是等腰直角三角形，ECAEAD BD，CAEBAD45CAE+ CAB+BAD180，E、A、D 共线，CFFB，FCE FBD，CEBD，CFEBFD ，FEFD，AE AD ，FADE，S EFD DEFA 7 7 49探究：如图中，连接 AF作 FMAB 于 M，FN
30、AC 于 N同理可证 E、A、D 共线，BAC+ CFB180 ，A、B、F 、 C 四点共圆，FAB FCB45 ，BAD 45，FAD90 ，FADE，FACFAB，FM AB 于 M，FNAC 于 NFNFM，FCFB ，FCN FBM ，FNFMAM AN，CNBM，AN+AMACCN +AMBM44，AMFM22，AF22 ，S EFD DEFA （7 +15 ）22 484（3）拓展：如图中，连接 AF，作 BHAF 于 H同法可证 E、A、D 共线， AFDE，易知：AE ，AD ，BH ，AH ，由FHB CAB，可得： ，FH ，AF ，S EFD DEFA 168.15故答
31、案为 49，168.15【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题22（9 分）A，B，C 三地在同一条公路上，A 地在 B，C 两地之间，甲、乙两车同时从 A 地出发匀速行驶，甲车驶向 C 地，乙车先驶向 B 地，到达 B 地后，调头按原速经过 A 地驶向 C 地（调头时间忽略不计），到达 C 地停止行驶，甲车比乙车晚 0.4小时到达 C 地，两车距 B 地的路程 y（km ）与行驶时间 x（h）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的
32、速度是 50 km/h，并在图中括号内填入正确的数值；（2）求图象中线段 FM 所表示的 y 与 x 的函数解析式（不需要写出自变量 x 的取值范围）；（3）在乙车到达 C 地之前，甲、乙两车出发后几小时与 A 地路程相等？直接写出答案【分析】（1）观察图象找出 A、C 两地间的距离，再根据速度路程 时间，即可求出甲车行驶的速度；由甲车比乙车晚 0.4 小时到达 C 地结合甲车 5.4 小时到达 C 地，可得出乙车到达 C 地所用时间；（2）根据速度路程时间可求出乙车的速度，由时间路程速度可得出点 F 的横坐标，再根据路程速度（时间1），即可得出线段 FM 所表示的 y 与 x 的函数解析式；
33、（3）根据路程速度时间（路程90速度时间），可得出线段 DM（DF）所表示的 y 与 x 的函数解析式，分 0x1 以及 1x5 两种情况，找出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）A、C 两地间的距离为 36090 270（km ），甲车行驶的速度为 2705.450（km/h），乙车达到 C 地所用时间为 5.40.45（h）故答案为：50；5（2）乙的速度为（90+360）590（km /h），点 F 的横坐标为 90901线段 FM 所表示的 y 与 x 的函数解析式为 y90 （x 1）90x90（1x 5）（3）线段 DE 所表示的 y 与 x 的函数解析式为
34、 y50x+90（0x 5.4），线段 DF 所表示的 y 与 x 的函数解析式为 y9090x（0x 1）当 0x1 时，有 90（ 9090x ）50x+9090，解得：x0（舍去）；当 1x5 时，有 |90x9090|50x+9090，解得：x 1 ，x 2 答：在乙车到达 C 地之前，甲、乙两车出发后 小时或 小时与 A 地路程相等【点评】本题考查了一次函数的应用以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据数量关系，找出函数解析式；（3）分 0x1 以及 1 x5 两种情况，找出关于 x 的一元一次方程23（10 分）ABC 是等腰直角三角
35、形，ACB90，AB8cm，动点 P、Q 以2cm/s 的速度分别从点 A、 B 同时出发，点 P 沿 A 到 B 向终点 B 运动，点 Q 沿 B 到A 向终点 A 运动，过点 P 作 PDAC 于点 D，以 PD 为边向右侧作正方形 PDEF，过点 Q 作 QGAB，交折线 BCCA 于点 G 与点 C 不重合，以 QG 为边作等腰直角QGH，且点 G 为直角顶点，点 C、H 始终在 QG 的同侧，设正方形 PDEF 与QGH 重叠部分图形的面积为 S（cm 2），点 P 运动的时间为 t（s）（0t 4）（1）当点 F 在边 QH 上时，求 t 的值（2）点正方形 PDEF 与QGH 重
36、叠部分图形是四边形时，求 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 FH 所在的直线平行或垂直 AB 时，直接写出 t 的值【分析】（1）如图 1 中，当点 F 在边 QH 上时，易知 APPQBQ，求出 AB 的长即可解决问题；（2）分两种情形如图 2 中，当点 F 在 GQ 上时，易知APBQ 2t ， PDPF tPQQFt，列出方程即可解决问题；如图 3 中，重叠部分是四边形 GHRT 时；（3）分三种种情形求解如图 5 中，当 FHAB 时，延长 HF 交 AB 于 T，易知APBQ GQHGTQ 2t，PTt；如图 7 中，当 FHAB 时；分别列出方程即可解决问题如图 8 中，当
37、HFAB 时；【解答】解：（1）如图 1 中，当点 F 在边 QH 上时，易知 APPQBQ，Rt ABC 中，AB8，t s 时，点 F 在边 QH 上（2）如图 2 中，当点 F 在 GQ 上时，易知APBQ 2t ， PDPF tPQPFt，2t+t +2t8 ，t ，由（1）可知，当 t 时，正方形 PDEF 与QGH 重叠部分图形是四边形此时 s 2t t （84t）6t 28t如图 3 中，当 H 在 EF 上时，则有 （82t） 2t+ （4t8）解得 t ，如图 4 中，当 G 与 D 重合时，易知 4t8t，解得 t 当 t 时，SS GHQ S TRQ （82t） 2 （4
38、t 8） 22t 2+16（3）如图 5 中，当 FHAB 时，延长 HF 交 AB 于 T，易知APBQ GQHGTQ 2t，PTt，6t+t 8，t 如图 7 中，当 HFAB 于 T 时，TB 82（82t）83t，解得 t ，如图 8 中，当 HFAB 时，t+2t8，t ，综上所述，t s 或 s 或 s 时，FH 所在的直线平行或垂直于 AB【点评】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，学会用分类讨论是思想思考问题，属于中考压轴题24（12 分）在平面直角坐标系中，对于点 P（m
39、，n）和点 Q（x ，y）给出如下定义：若 ，则称点 Q 为点 P 的“伴随点” 例如：点（ 1，2）的“伴随点”为点（5，0）（1）若点 Q（2，4）是一次函数 ykx +2 图象上点 P 的“伴随点”，求 k 的值（2）已知点 P（m，n）在抛物线 C1：y x 上，设点 P 的“伴随点”Q （x ，y）的运动轨迹为 C2直接写出 C2 对应的函数关系式抛物线 C1 的顶点为 A，与 x 轴的交点为 B（非原点），试判断在 x 轴上是否存在点M，使得以 A、B、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，说明理由若点 P 的横坐标满足2ma 时，点 Q 的纵坐标
40、 y 满足3y1，直接写出 a的取值范围【分析】（1）根据伴随点定义可求 k 的值（2）根据伴随点的定义可求 C2 的解析式先求 A，B 坐标，以 A、B、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形，则分三类讨论，根据平行四边形的性质可求 M 点坐标由 xm+4 可得 2xa+4，且抛物线顶点坐标为（6，3），3y 1 可得6a+4 10，可求 a 的取值范围【解答】解（1）设 P（x，kx +2）根据题意得：解得：k（2）根据题意可得y x23 x+6C 2 的解析式：y x23x+6抛物线 C1：y xB（4，0），A（2，1）以 A、B 、Q 、M 为顶点的四边形是平行四边形若 BA 为边，BM
41、 为边，则 ABMQ，AQBMQ 与 A 的纵坐标相同y Qy A11 x23x +6解得：x 16+2 ，x 262AQ 4+2 或42AQ BM，A（4，0）M（ 8+2 ，0）或（8 2 ，0）若 AB 为边，BM 为对角线，对角线 AQ 与 BM 互相平分且交点在 x 轴上Q 点纵坐标为 11 x23x +6解得 x12， x210AQ 中点横坐标为 6 或 2，且 AQ 与 BM 互相平分M（ 8，0）或（0，0）若 BM 为边， AB 为对角线，AB 的中点（3， ）且 AB 与 MQ 互相平分Q（6+2 ，1）或（62 ，1）MQ 的中点为（3， ）M（ 2 ，0）或（2 ，0）综上所述 M （ ，0）， ，0），（0，0），（ 8，0）（ ，0）（ ，0）x m+4，2ma2x4+aC 2 的解析式：y x23x+6顶点坐标为（6，3）3y1当 y1 时， x2 或 1064+ a102a6【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题
