1、*3.3 垂径定理,第三章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）,学习目标,问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,导入新课,情境引入,问题：如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?,线段: AP=BP,O,A,B,D,P,C,讲授新课,试一试
2、,证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.,即AOB是等腰三角形.,ABCD，,AP=BP，,AOC=BOC.,从而AOD=BOD.,想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧., CD是直径，CDAB，(条件), AP=BP,推导格式：,温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为CD没有过圆心,垂径定理的几个基本图形：,归纳总结,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对
3、的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ 过圆心 ；垂直于弦； 平分弦； 平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？,思考探索,举例证明其中一种组合方法 已知:求证：, CD是直径, CDAB，垂足为E, AE=BE,证明猜想,AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CDAB吗？为什么？ （2）,O,A,B,C,D,E,（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，AOEBOE（SSS），,AEO=BEO=90，,CDAB.,证明举例,思考：“不是直径”这个条件能去掉
4、吗？如果不能，请举出反例.,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.,垂径定理的推论,特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.,归纳总结,垂径定理的本质是:,满足其中任两条，必定同时满足另三条,（1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧,例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm.,解析：连接OA， OEAB，, AB=2AE=16cm.,16,一,典例精析,例2 如图， O的弦AB8cm ，直径CEAB于D，DC2cm，求半径O
5、C的长.,解：连接OA， CEAB于D，,设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得,解得 x=5，,即半径OC的长为5cm.,x2=42+(x-2)2，,证明：作直径MNAB. ABCD，MNCD. 则AMBM，CMDM （垂直弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDM ACBD,试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高., AB=37m，CD=7.23m., AD= AB=18.5m，
6、OD=OC-CD=R-7.23.,解得R27.3（m）.,即主桥拱半径约为27.3m.,R2=18.52+(R-7.23)2,例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,根据勾股定理，得,解得R=545.,这段弯路的半径约为545m.,如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.,2cm或12cm,针对训练,在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的
7、计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,d+h=r,1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .,5cm,2.O的直径AB=20cm, BAC=30,则弦AC= .,当堂练习,3.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又 AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A
8、B交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,理由：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。 AECEBEDE即 ACBD.,解：AC=BD,6.（分类讨论题）已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .,14cm或2cm,5. 如图，在ABC中，已知ACB=130，BAC=20，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_,7.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径,解：弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高
9、， OEAB于F，AF= AB=3m， 设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m， AO=r，OF=r-2， 在RtAOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2， 即r2=32+（r-2）2，解得r= m 即，AB所在圆O的半径为 m,拓展提升： 如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .,3cmOP5cm,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线满足:过圆心;垂直于弦; 平分弦（不是直径）; 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）,垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧.,两条辅助线： 连半径，作弦心距,构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.,基本图形及变式图形,课堂小结,
